Einführung in die Geometrie der Waben
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- Fanny Dunkle
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2 ELEMENTE DER MATHEMATIK VOM HÖHEREN STANDPUNKT AUS Band IV Herausgegeben von L. Locher-Ernst Einführung in die Geometrie der Waben von WILHELM BLASCHKE in H arnburg und l stanbul Springer Basel AG
3 ISBN ISBN (ebook) DOI / Nachdruck verboten. Alle Rechte vorbehalten, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm Copyright 1955 Springer Basel AG Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag, Basell955.
4 VORWORT Im Laufe meines Lebens habe ich im Zusammenwirken mit Schülern und Mitarbeitern verschiedene Gärtchen gehegt, und eines davon trägt die Aufschrift «Geometrie der Gewebe». Es hat mir seltsame Früchte getragen, wie etwa eine Einladung zu einer Tagung von Textilfachleuten. Deshalb spreche ich statt von «Geweben» jetzt lieber von «Waben», da mir Beziehungen zu Bienen und Imkern anziehender zu sein scheinen als zu Webern. Freund G. BoL hat unter meiner Mitwirkung 1938 ein schwerwiegendes Buch über diesen Gegenstand geschrieben, in dem auch geordnet und zusammengefasst wurde, was seit einer Schrift meines frühvollendeten Freundes G. THOMSEN ( ) von 1927 auf diesem Gebiet erarbeitet worden war. In den letzten Jahren habe ich nun wieder mancherorts Vorlesungen über Waben gehalten, so in Barcelona1), Harnburg, Istanbul und Messina. Deshalb folge ich gerne der Aufforderung des Kollegen LocHER, diesen Beitrag für seine Sammlung beizusteuern, zumal sich auch in der Schweiz tatkräftig Mitstrebende auf diesem Felde gefunden haben. Wenn FRANCESCO SEVERI kürzlich schrieb: «La matematica moderna e ammalata di astrattismo», so darf ich für unseren Zweig der Geometrie ein grosses Mass von Gesundheit (oder Mangel an Moderne?) in Anspruch nehmen, da es sich hier meist um sehr «anschauliche» Fragen handelt. Den Herren K. LEGRADY in Harnburg und A. ÖzKAN in Istanbul habe ich für Verbesserungen zu danken. Istanbul, im Frühling ) W. BLASCHKE, Introducti6n a la Geometria de los tejidos, conferencias dadas en Bar celona y Messina, refundidas por J. Teixidor y A. Dou, Seminario Matemätico de la Uni versidad de Barcelona 1954.
5 INHALT Vorwort Einleitung. I. Kurvenwaben in der Ebene 1. Beziehungen zur Nomographie 2. Sechseckwaben Beispiele Geradlinige Sechseckwaben 5. Kurven dritter Klasse und elliptische Funktionen. 6. Pfaffsche Formen einer Wabe Differentiatoren einer Wabe Zusammenhang und Krümmung einer Wabe Berechnung der Krümmung aus der Wabenfunktion. 10. Anwendung auf Flächenwaben 11. Geradlinige Waben Invariante Ableitungen Vollständiges Invariantensystem einer Wabe 14. Kanonische Entwicklung Deutung der Wabenkrümmung nach Thomsen 16. Normung der Wabenfunktion 17. Grundfragen der Nomographie 18. Komplexe Pfaffsche Formen. 19. «Drehung" einer Wabe 20. Übertragung nach Lord Kelvin und Levi-Civita 21. Gegenstück zu einer Bemerkung von E. Fermi 22. Waben und winkeltreue Abbildungen 23. Über das beste Nomogramm... II. Flächenwaben 24. Pfaffsche Formen einer Flächenwabe 25. Erste Invarianten. 26. Krümmung und Zusammenhang 27. Integrierbarkeitsbedingungen. 28. Invariante Ableitungen 29. Geometrische Deutung 30. Kurvenwaben in der Flächenwabe 31. Achtflachwaben 32. Schliessungsbedingung für Achtflachwaben. 33. Die ebenflächigen Achtflachwaben 34. Flächen-Sechseck-Waben
6 6 Inhalt 35. Berechnung von Invarianten aus der Wabenfunktion 36. Kanonische Entwicklung Ebenflächige Sechseckwaben Über Raumkurven vierter Ordnung erster Art 39. Streckbare Flächenwaben. 40. Fragen über Flächenwaben III. Bemerkungen über Viererwaben von Kurven in der Ebene 41. Übersicht über die Invarianten einer Viererwabe 42. Projektives Modell Normung der Pfaffschen Formen 44. Rang einer Viererwabe 45. Höchstrang Streckbarkeit 47. Sechseck-n-Waben 48. Fragen über wn. IV. Einiges über Kurvenwaben im Raum 49. Zweierwaben. 50. Dreierwaben. 51. Viereckwaben wn. 52. Raumkurven dritter Ordnung 53. Kubische Cremona-Transformation 54. Die Ausnahme-lffi6 55. Rang einer Kurvenwabe im Raum Stichworte und Namen
7 0. Einleitun~ Zunächst will ich versuchen, kurz unseren Gegenstand zu kennzeichnen. F. KLEIN hat in seinem «Erlanger Programm» von 1872 die «Geometrien» nach den zugehörigen Lieschen Gruppen eingeteilt. Ich habe dann mein Leben damit zugebracht, diesen Gedanken für die Differentialgeometrie fruchtbar zu machen. Nimmt man nun in einer Ebene (f mit den etwa kartesischen Zeigern x, y eine «allgemeine» oder «topologische Abbildung» x* = f(x, y), y* = g(x, y), (0.1) so kann man nach geometrischen Eigenschaften «im Kleinem fragen, die bei solchen Abbildungen erhalten bleiben. Dabei ist es bequem, von den reellen Funktionen f, g etwa anzunehmen, sie seien in einem Gebiet (!) von (f analytisch in den reellen Veränderlichen x, y, und ihre Funktionaldeterminante sei von Null verschieden: o(x*,y*) ----=1=0 o(x, y) (0.2) Dann vermitteln die Gleichungen (0.1) eine umkehrbar eindeutige und stetige Abbildung von (!) oder eines geeigneten Teilgebiets von (!) auf ein Gebiet <!>* von (f. Solche «topologische Abbildungem bilden natürlich keine Liesche Gruppe, selbst ihre Gruppeneigenschaft ist eingeschränkt. Wir wollen hier Eigenschaften von Figuren im Kleinen betrachten, die bei allen solchen Abbildungen (0.1) erhalten bleiben. In(!) sei nun eine «Kurvenschar» 6; gegeben, die(!) «schlicht» bedeckt u 1 (x, y) = u; = fest, derart, dass nirgends in (!) die beiden Ableitungen OU; -!fx- OU; a-y (0.3) gleichzeitig verschwinden und dass durch jeden Punkt x, y von (!) genau eine Kurve der Schar 6; hindurchgeht. Dabei werden wir in(!) die Funktion u;(x, y) wieder als analytisch voraussetzen. Nehmen wir nun in (!) drei solche Scharen an: i = 1, 2, 3 mit der Einschränkung, dass in (!) die Funktionaldeterminanten o(u;.uk) =!=0 (' k ) o(x, y) ], = ' ; ' ; ' ' (0.4)
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