Rolf Walter. Lineare Algebra und analytische Geometrie

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1 Rolf Walter Lineare Algebra und analytische Geometrie

2 ~ Aus _ dem Programm Mathematik ,. Grund legende Lehrbucher: Analysis 1 und 2, von O. Forster Lineare Algebra, von G. Fischer Analytische Geometrie, von G. Fischer Einfiihrung in die lineare Algebra von R. Walter Lineare Algebra und analytische Geometrie von R. Walter Lineare Algebra und ana Iytische Geometrie I und II, von E. Brieskorn Lineare Algebra und analytische Geometrie, 3 Bande, von H. Schaal Ebene Geometrie, von E. Kunz Elementare Zahlentheorie, von G. Frey Weiterfuhrende LehrbGcher: Analysis 3, von O. Forster Funktionentheorie, von W. Fischer und I. Lieb o ifferentiaigeometrie von Kurven und Flachen, von M. P. do Carmo Differentialgeometrie, von H. Brauner EinfGhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, von E. Kunz Vieweg '

3 Rolf Walter Lineare Algebra und analytische Geometrie Mit 56 Bildern Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden

4 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Walter, Rolf: Lineare Algebra und analytische Geometrie / Rolf Walter. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1985 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1985 Die Vervielfiiltigung und Ubertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch fiir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mu liber die Zahlung einer Geblihr fiir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fur die Vervielfiiltigung durch alle Verfahren e i n s c h l i e ~ l i c h Speicherung urrd jede Ubertragung auf Papier, Transparente, Filme, Blinder, Platten und andere Medien. Satz: Vieweg, Braunschweig Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, Lengerich ISBN-13: DOl: / e-isbn-13:

5 v Vorwort Dieses Buch behandelt die lineare und multiline are Algebra sowie die analytische Geometrie. Es ist entstanden aus entsprechenden Vorlesungen des ersten Studienjahres, die ich mehrfach an den Universitaten Freiburg und Dortmund fiir Mathematiker, Physiker und Studenten mit mathematischem Nebenfach gehalten habe. Der Schwerpunkt dieses Buches liegt auf den weiterfiihrenden Themen des zweiten Semesters. ledoch ist die Darstellung weitgehend in sich abgeschlossen, da elementare Kenntnisse wiederholt und oftmals neu begriindet werden. Fiir die erstmalige Aneignung der Grundlagen sei auf meine,,einfiihrung in die line are Algebra" (Vieweg 1982) hingewiesen. Nach algebraischen Vorbereitungen befabt sich der erste Teil dieses Buches mit allgemeinen Vektorraumen, Normalformen linearer Abbildungen, komplexen Vektorraumen und multilinearer Algebra. Hervorzuheben sind die Diskussion der Codimension, der Briickenschlag zur Analysis in Gestalt der normierten Vektorraume und die Fundierung der Hauptachsentransformation mit dem Rayleighschen Extremalprinzip. Bei den komplexen Vektorraumen erfolgt ein elementarer Beweis des "Fundamentalsatzes der Algebra", der im folgenden zutreffender als algebraischer Fundamentalsatz in C bezeichnet wird. Darauf aufbauend wird die reelle lordansche Normalform mittels des "Durchganges durch Komplexe" gewonnen. (Hierbei werden ausnahmsweise gezielte Vorkenntnisse aus dem Einfiihrungsband angenommen.) Der zweite Teil entwickelt die analytische Geometrie auf der Basis der linearen Algebra, und zwar getrennt nach den affinen, euklidischen und projektiven Gesichtspunkten, jeweils mit den spezifischen Hilfsmitteln der betreffenden Struktur. Nach den linearen Gebilden werden die quadratischen Hyperflachen behandelt. Der allgemeinen Grundhaltung entsprechend, wird auch in der Geometrie die moderne, basisfreie Denkweise bevorzugt. Dementsprechend sind die Resultate in einem starkeren AusmaB als sonst ublich unabhangig von der endlichen Dimension (und iibrigens auch yom Skalarenkorper). Wo es geboten erscheint, wird aber der basisfreie Aufbau durch Koordinatenrechnungen erganzt. BewuBt bietet dieser Band an einigen Stellen mehr, als in einem Semester erarbeitet werden kann. So konnen die Abschnitte iiber den algebraischen Fundamentalsatz in C und iiber lordansche Normalform, multiline are Algebra und projektive Geometrie als Wahlmoglichkeiten betrachtet werden. Denn diese Themen werden in anderen Abschnitten nicht verwendet. Auch sonst wurde auf gegenseitige Unabhangigkeit geachtet. Eine Sonderrolle spielt das Kapitel 0 iiber Algebra, von dem in der Folge nur einige Grundbegriffe gebraucht werden, das aber fiir die mathematische Allgemeinbildung sehr niitzlich ist.

6 VI Vorwort Dem Buch sind zahlreiche Ubungsaufgaben mit vie len Losungshinweisen beigegeben. Die Aufgaben enthalten zum einen konkrete Rechenbeispiele zum Text. Zum anderen werden durch sie weiterfuhrende Themen erschlossen, die sich auch gut fur ein Proseminar eignen. Dem Leser sei die Beschaftigung mit Obungsaufgaben besonders empfohlen: Es kommt ja nicht selten vor, da ' die Bewiiltigung eines interessanten tlbungsproblems ein Schltisselerlebnis fur eine besonders intensive Beziehung zur Mathematik darstellt! - 1m Text werden die Aufgaben prinzipiell nicht verwendet. Insgesamt war mein Ziel ein weitgehend unabhiingiges Lehrbuch der linearen Algebra und analytischen Geometrie, das sowohl der Festigung des Bekannten wie auch dem Aufbau neuer, relevanter Bezirke dient und das nicht zuletzt als Referenz-Werk fur hohere Vorlesungen geeignet ist. Danken mochte ich auch an dieser Stelle Frau G. Schmidt, geb. Wienke ffir ihren unermiidlichen Einsatz bei der Textherstellung, den Herren Dipl.-Math. S. Peters und Dr. W. Strobing ffir Hilfe und wertvolle Ratschliige bei der Korrektur sowie Frau Dr. P. Danzer Katzarova ffir ihre Unterstiitzung bei den Bildern. Mein Dank gilt aber auch dem Verlag, vor allem Frau Schmickler-Hirzebruch, fur die gute Betreuung des Werkes. Dortmund, im November 1983 Rolf Walter

7 VII Zum Gebrauch des Buches Die acht Kapitel sind in Abschnitte mit jeweils zweistelligen Nummern gegliedert. In jedem Abschnitt fangt die Numerierung von Defmitionen, Formeln usw. neu an, wobei Satze und Definitionen gemeinsam mit g r o ~ lateinischen e n Buchstaben durchgezahlt sind. Lediglich die Numerierung der Bilder und Tabellen ist im ganzen Buch durchlaufend. Verweise erfolgen im gleichen Abschnitt ohne dessen Nennung, an anderen Stellen unter Anftigung des zitierten Abschnitts in eckigen Klammern; z.b. verweist "Satz E [5.1]" auf Satz E des Abschnittes 5.1. Bei einem,,zusatz" werden stets die Voraussetzungen beibehalten. Das Ende einer Uberlegung wird durch das Zeichen 0 angedeutet, die Zeichen := und =: signalisieren eine Definitionsgleichung, wobei der Doppelpunkt auf der Seite der neu eingefiihrten G r o steht. ~ e Generalvoraussetzungen, die zu Beginn eines Abschnittes gemacht werden, gelten auch fiir die zugehorigen Aufgaben. Die Standardmengen der Mathematik sind f o l g e n d bezeichnet: e r m a ~ e n N Menge der natiirlichen Zahlen (oime 0) Z Menge der ganzen Zahlen Q Menge der rationalen Zahlen R Menge der reellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen. Das Anhangen des Indexes,,0" bedeutet hier Hinzunahme, die Schreibart,,\0" Wegnahme der Null; z.b. ist No die Menge der natiirlichen Zahlen zusammen mit 0, Z\O die Menge Z ohne 0. DieMarken,,+" und,,-" bezeichnen entsprechende Vorzeicheneinschrankungen; z.b. ist R+ die Menge aller positiven, R die ~ Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Am Ende des Buches finden sich Verzeichnisse der Literatur und der weiteren Symbole sowie das Sachverzeichnis. Hinweise auf das Literaturverzeichnis erfolgen durch Nennung der Autoren in Kursivschrift (gegebenenfalls mit einer Ordnungsnummer). Das Buch: "R. Walter, Einfiihrung in die lineare Algebra" wird kurz durch,,i" zitiert. Das Sachverzeichnis enthiilt auch die Lebensdaten der erwahnten Wissenschaftler.

8 VIII Inhaltsverzeichnis o Aus der Algebra Gruppen und Untergruppen Homomorphe Abbildungen und Faktorgruppen Restklassen ganzer Zahlen Ringe und K6rper Vektorraume Grundlagen Cartesische Produkte und Summen Dualitat Quotientenraume und Codimension Normierte Vektorraume Feinstruktur spezieller Endomorphismen euklidischer Vektorraume Hilfsmittel Symmetrische Endomorphismen Isometrische Endomorphismen Normale Endomorphismen Komplexe Vektorraume Komplexe und reelle Struktur Der algebraische Fundamentalsatz in C Anwendung auf die lordansche Normalform Multilineare Algebra Multilineare Abbildungen und Multilinearformen Tensorprodukt endlich dimensionaler Vektorraume Tensoralgebra tiber einem endlich dimensionalen Vektorraum Alternierende multilineare Abbildungen und Formen Aull.ere Algebra tiber einem endlich dimensionalen Vektorraum Darstellung von Untervektorraumen und Determinanten in der aull.eren Algebra

9 I nhaltsverzeichnis IX 5 Affine und euklidische Geometrie Affine Geometrie Affine Abbildungen Euklidische Geometrie Quadratische Hyperflachen in der affinen und euklidischen Geometrie Definition und Darstellung von Quadriken Schnitt mit Geraden Affine Quadriktypen Euklidische Quadriktypen Projektive Geometrie Motivierung Priizise Definitionen und grundlegende Begriffe Das Dualitiitsprinzip Homogene Koordinaten und projektive Bezugssysteme Das Doppelverhiiltnis Projektive Abbildungen Quadriken in der Projektivgeometrie Zusammenhang mit der Affingeometrie Literaturhinweise Wichtige Symbole Sachverzeichnis