Grundkurs Mathematik. Berater Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann, Gisbert Wüstholz

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1 Grundkurs Mathematik Berater Martin Aigner, Peter Gritzmann, Volker Mehrmann, Gisbert Wüstholz

2 Die Reihe Grundkurs Mathematik ist die bekannte Lehrbuchreihe im handlichen kleinen Taschenbuch-Format passend zu den mathematischen Grundvorlesungen, vorwiegend im ersten Studienjahr. Die Bücher sind didaktisch gut aufbereitet, kompakt geschrieben und enthalten viele Beispiele und Übungsaufgaben. In der Reihe werden Lehr- und Übungsbücher veröffentlicht, die bei der Klausurvorbereitung unterstützen. Zielgruppe sind Studierende der Mathematik aller Studiengänge, Studierende der Informatik, Naturwissenschaften und Technik, sowie interessierte Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II. Die Reihe existiert seit 1975 und enthält die klassischen Bestseller von Otto Forster und Gerd Fischer zur Analysis und Linearen Algebra in aktualisierter Neuauflage.

3 Hannes Stoppel Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und Lösungen 8., überarbeitete und erweiterte Auflage

4 Hannes Stoppel Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik West. Wilhelms-Univers. Münster Münster, Deutschland Birgit Griese Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Bochum, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 1998, 1999, 2001, 2003, 2005, 2008, 2011, 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz- Ge setzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

5 Vorwort Seit die zehnte Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer erschienen ist, die als Neuerung gegenber den älteren Auflagen viele Übungsaufgaben enthält, sind beim Verlag viele Anfragen nach den Lösungen dieser Aufgaben eingegangen. Auf Anregung von Frau Schmickler-Hirzebruch begann im Winter 96/97 die Arbeit an diesem Lösungsbuch. Dennoch stehen wir der Veröffentlichung eines Buches, das nur aus Lösungen zu Übungsaufgaben besteht, skeptisch gegenüber, da die eigene Beschäftigung mit Problemen und viel eigenes Nachdenken für das Verständnis von Mathematik unverzichtbar sind. Das Nachschlagen von Lösungen in einem Buch macht nach dieser Überzeugung nur Sinn, wenn man sich vorher selbstständig und ausgiebig mit der Aufgabe auseinandergesetzt hat. Wir hoffen, daß unsere LeserInnen diese Disziplin besitzen. Unter diesen Voraussetzungen kann ein Lösungsbuch davor schützen, viel Zeit ohne viel Nutzen mit einer einzelnen Aufgabe zu vertun und so hoffentlich Frustrationen verhindern. Dieses Buch ist jedoch auch für geübte MathematikerInnen von Interesse, denn wir haben auf folgendes besonderen Wert gelegt: Viele der Übungsaufgaben in der zehnten und elften Auflage der Linearen Algebra gewinnen im Zusammenhang mit Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik an Bedeutung, von denen eine AnfängerIn freilich noch nichts wissen kann. Wir haben uns bemüht, so oft wie möglich auf solche Bezüge zu verweisen. Das soll zur Motivation beitragen, denn es platziert die lineare Algebra als Teilgebiet der Mathematik in dem Geflecht der vielen anderen Teildisziplinen an einer zentralen Stelle. In diesem Zusammenhang sind wir stets für weitere Anstöße offen und freuen uns über Anregungen unserer LeserInnen, die wir in einer späteren Auflage berücksichtigen können. Das vorliegende Arbeitsbuch enthält die Aufgaben aus der elften Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer, einige Ergänzungsaufgaben sowie deren Lösungen. Es kann auch mit der zehnten Auflage der Linearen Algebra benutzt werden. Kapitel, die mit einem Stern versehen sind, können beim ersten Durcharbeiten des Stoffes übergangen werden. Dasselbe gilt für Aufgaben mit Stern. Danken wollen wir all denen, die uns bei der Herstellung dieses Buches unterstützt haben. An erster Stelle stehen der Verlag Vieweg und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch, die dieses Projekt ermöglicht und unterstützt haben. Professor Gerd Fischer gilt besonderer Dank für die zahlreichen Gespräche und die Hilfe bei Details. Stefan Lache hat uns nicht nur durch das Mathematikstudium als Kommilitone und danach als Freund begleitet, sondern auch frühere Versionen dieses Buches sehr sorgfältig Korrektur gelesen und uns mit zahlrei-

6 VI Vorwort chen Verbesserungshinweisen unterstützt. Jens Piontkowski hat Teile des Manuskriptes gewissenhaft durchgesehen und wertvolle Tipps gegeben. Volker Solinus hat nach schier endlosen Nörgeleien von unserer Seite die Bilder perfekt erstellt. Ohne diese Personen wäre das ganze Projekt sicher nicht zu einem guten Ende gelangt. Düsseldorf, im November 1997 Hannes Stoppel und Birgit Griese Vorwort zur 8. Auflage Für die vorliegende 8. Auflage wurden einige neue Themen hinzugefügt. Es gibt nun Aufgaben zu Quadriken, die in vielen Vorlesungen des ersten Semesters behandelt werden. Vertiefungen der Tensorrechnung werden insbesondere Studierenden der Mathematik und Physik nützlich sein. Um die Vorstellungskraft zu stützen, wurde das Kapitel 0 um einem Abschnitt über Geraden und Quadratische Kurven im R 2 ergänzt, in dem besonderer Wert auf die Anschauung gelegt wurde. Wir möchten zudem auf das Verzeichnis mathematik/algebra/book/ im Internet hinweisen, in dem sich Lösungen einiger Aufgaben befinden. Wir freuen uns über den anhaltenden Erfolg dieses Werkes und wünschen weiterhin viel Freude an diesem inhaltlich und ästhetisch ansprechenden Gebiet der Mathematik! Gladbeck, im August 2014 Hannes Stoppel und Birgit Griese

7 Inhaltsverzeichnis I Aufgaben 1 0 Lineare Gleichungssysteme Ebenen und Geraden im Standardraum R Das Eliminationsverfahren von GAUSS... 4 Ergänzungsaufgaben Geraden und Quadratische Kurven im R Ergänzungsaufgaben Grundbegriffe Mengen und Abbildungen Ergänzungsaufgabe Gruppen Ergänzungsaufgabe Ringe, Körper und Polynome Ergänzungsaufgabe Vektorräume Ergänzungsaufgabe Basis und Dimension Summen von Vektorräumen Ergänzungsaufgabe Lineare Abbildungen Beispiele und Definitionen Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume Ergänzungsaufgabe Lineare Gleichungssysteme Lineare Abbildungen und Matrizen Multiplikation von Matrizen Ergänzungsaufgaben Koordinatentransformationen Elementarmatrizen und Matrizenumformungen Ergänzungsaufgaben Determinanten Beispiele und Definitionen Ergänzungsaufgaben... 33

8 VIII Inhaltsverzeichnis 3.2 Existenz und Eindeutigkeit Ergänzungsaufgabe Minoren Ergänzungsaufgaben Determinante eines Endomorphismus und Orientierung Ergänzungsaufgaben Eigenwerte Beispiele und Definitionen Ergänzungsaufgabe Das charakteristische Polynom Diagonalisierung Ergänzungsaufgabe Trigonalisierung Potenzen eines Endomorphismus Die Jordansche Normalform Ergänzungsaufgaben Euklidische und unitäre Vektorräume Das kanonische Skalarprodukt im R n Das Vektorprodukt im R Das kanonische Skalarprodukt im C n Bilinearformen und Sesquilinearformen Ergänzungsaufgaben Orthogonale und unitäre Endomorphismen Ergänzungsaufgabe Selbstadjungierte Endomorphismen Ergänzungsaufgaben Hauptachsentransformation Ergänzungsaufgaben Dualität Dualräume Dualität und Skalarprodukte Ergänzungsaufgaben Tensorprodukte Multilineare Algebra Ergänzungsaufgaben... 70

9 Inhaltsverzeichnis IX II Lösungen 73 0 Lineare Gleichungssysteme Ebenen und Geraden im Standardraum R Das Eliminationsverfahren von GAUSS Geraden und Quadratische Kurven im R Ergänzungsaufgaben Grundbegriffe Mengen und Abbildungen Ergänzungsaufgabe Gruppen Ringe, Körper und Polynome Vektorräume Basis und Dimension Summen von Vektorräumen Lineare Abbildungen Beispiele und Definitionen Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume Lineare Gleichungssysteme Lineare Abbildungen und Matrizen Multiplikation von Matrizen Koordinatentransformationen Elementarmatrizen und Matrizenumformungen Determinanten Beispiele und Definitionen Existenz und Eindeutigkeit Ergänzungsaufgabe Minoren Determinante eines Endomorphismus und Orientierung

10 X Inhaltsverzeichnis 4 Eigenwerte Beispiele und Definitionen Das charakteristische Polynom Diagonalisierung Trigonalisierung Potenzen eines Endomorphismus Die Jordansche Normalform Euklidische und unitäre Vektorräume Das kanonische Skalarprodukt im R n Das Vektorprodukt im R Das kanonische Skalarprodukt im C n Bilinearformen und Sesquilinearformen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Selbstadjungierte Endomorphismen Hauptachsentransformation Dualität Dualräume Dualität und Skalarprodukte Tensorprodukte Multilineare Algebra Literaturverzeichnis 303 Sachwortverzeichnis 305 Symbolverzeichnis 310