Einführung in die Algebra

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1 Einführung in die Algebra Teül von PROF. DR. FALKO LORENZ Westfälische Wilhelms-Universität, Münster 2., überarbeitete Auflage XiSfSrOl«Wissenschaftsverlag Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich

2 INHALTSVERZEICHNIS! KonitnuleAbcuikzit mit läaket und Lineal 1 Die Problemstellung 1 Algebraisierung des Problems 5 Körpergrad 14 2 Vn/i Beg>U6& exmt azae.bjialbche.n KöipeAeAweAÄvuing 19 Algebraische Elemente einer Körpererweiterung 19 Minimalpolynom eines algebraischen Elements 21 Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch 22 Eigenschaften algebraischer Körpererweiterungen 24 3 Einfache. K.ÖA.peAeAiA)esiteJw.nge.n 27 Weitere Charakterisierungen algebraischer Elemente 27 Restklassenringe und Homonorphiesatz 28 Konstruktion einfacher algebraischer Körpererweiterungen; der Satz von Kronecker 32 Quotientenkörper; Konstruktion einfacher transzendenter Körpererweiterungen 35 Primkörper und Charakteristik eines Körpers 38 Charakterisierung einfacher algebraischer Körpererweiterungen 39 4 Giu.ndbexi'Uiiz dea TiltboAkeXZile-htt 41 Elementare Eigenschaften und idealtheoretische Beschreibung 41 Der Begriff eines Hauptidealringes 43 Faktorielle Ringe 44 Einige weitere Begriffe der Ringtheorie; Chinesischer Restsatz 50

3 X 5 Zot PAJjn(,aktoAze/ilegu.ng -in PolynomAingen. Ven. Satz von Gauß 53 Einführung in die Problemstellung 53 Der Satz von Gauß 55 Ein Ansatz zur Untersuchung der Irreduzibilität von Polynomen und Anwendungen 58 6 ZeA6iWtu.ngAkoA.peA. von Polynomen 63 Homomorphismen von Körpererweiterungen 63 Der algebraische Abschluß eines Körpers 65 Der Begriff einer normalen Körpererweiterung 67 Das Tensorprodukt eines Systems von K-Algebren 69 Das Lemma von Zorn mit Anwendungen 73 7 SepoxobilitäX bei alge.baaiac.ken KöApeAeAweXteAangen 76 Zum Begriff separabler algebraischer Körpererweiterungen 76 Separabilitätskriterium für irreduzible Polynome und Folgerungen 81 8 Gato-Uiche K'6AptAeM>eJXeAu.nge.n 87 Definition und grundlegende Eigenschaften von galoisschen Körpererweiterungen 87 Der Hauptsatz der Galoistheorie für endliche galoissche Körpererweiterungen 91 Die Galoisgruppe eines separablen Polynoms 92 9 Endliche KöApeA, zykluche Gnwppen and E-inhe-itMWizeln 96 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für endliche Körper 96 Eigenschaften zyklischer Gruppen 98 Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers sind zyklisch 100 Der Körper der n-ten Einheitswurzeln über K 102 Die Irreduzibilität des n-ten Kreisteilungspolynoms über Der Frobeniusautomorphismus einer Erweiterung endlicher Körper OpzAationen von GAuppen auf, Utngen 108 Die Bahnengleichung und einige ihrer Anwendungen 108 Die Sylowsätze 114

4 XI 17 Anwendungen de* GaZo-iiAchen Tkto'Ue. auf, /C*.e-c4-tei ung4feö.*pe* 118 Ein hinreichendes und notwendiges Konstruierbarkeitskriterium; Anwendung auf die n-teilung des Kreises 118 Bestimmung des quadratischen Teilkörpers von quadratische Reziprozitätsgesetz 0(?n) und das E/igönzung and Ve* te^ung de* GaZoiiichm. Jhtoiviz 130 Verhalten der Galoisgruppe bei Erweiterung des Grundkörpers 130 Die lineare Unabhängigkeit von Körperhomomorphismen 133 Normalbasen 136 Unendliche Galoiserweiterungen Hom and SpuA 151 Grundlegende Eigenschaften 151 Norm und Spur für endliche Körpererweiterungen 155 Der Satz 90 von Hubert 159 N Redie G eidwngen 163 Reine Gleichungen und zyklische Galoisgruppen 163 Irreduzibilitätskriterium für reine Gleichungen 167 Zyklische Erweiterungen vom Grade p bei Charakteristik p 169 Kummertheorie 171 Struktur endlich erzeugter abelscher Gruppen tue F-*oge nacn de* Au&lö&baAkeÄJt von GleÄduingm 190 Die Problemstellung 190 Auflösbare Gleichungen und auflösbare Gruppen 192 S n als Gruppe der allgemeinen Gleichung n-ten Grades 200 Der Hauptsatz über symmetrische Funktionen 205 Der Satz von Abel 206 Kleiner Exkurs über Permutationen 207 Auflösung kubischer Gleichungen 212 Auflösbare Gleichungen von Primzahlgrad 217 Beispiele nicht-auflösbarer Gleichungen über Der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz 223

5 XII J6 VeA Begilü elnea ga.nzajlge.bkcuao.ken TU.ngeAuielteAu.ng [mit Anwendu.nge.n In dea Galolitkzoili.) Ganze Elemente einer Ringerweiterung Endliche Ringerweiterungen sind ganz Ganzer Abschluß bei Ringerweiterungen Der Begriff eines ganzabgeschlossenen Ringes Ein Fortsetzungssatz für ganze Ringerweiterungen Ein Reduktionsprinzip der Galoistheorie Eine Bemerkung zum Umkehrproblem der Galoistheorie J7 Vle. JKaM.ze.nde.nz von n Beweis der Transzendenz von n Beweis des Satzes von Lindemann-Weierstraß 5!S Einige. GKundbegKlUe. &ÜA Vianize.nde.nte. KöipeAenweÄÄenung Die Existenz von Transzendenzbasen Der Transzendenzgrad einer Körpererweiterung Der Noethersche Normalisierungssatz 79 VeA HltbeAticke HuZUteJUtmalz Algebraische K-Mengen Der Hilbertsche NulIstellensatz Der Hilbertsche Basissatz und Folgerungen Transzendenzgrad und die Dimension affiner K-Varietä'ten ANHANG: Übungsaufgaben und ergänzende Bemerkungen REGISTER