Jens Carsten Jantzen Joachim Schwermer. Algebra. 2., korrigierte und erweiterte Auflage

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1 Springer-Lehrbuch

2 Jens Carsten Jantzen Joachim Schwermer Algebra 2., korrigierte und erweiterte Auflage

3 Prof. Dr. Jens Carsten Jantzen Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus C, Danmark Prof. Dr. Joachim Schwermer Fakultät für Mathematik Universität Wien Wien, Österreich ISSN ISBN DOI / ISBN (ebook) Mathematics Subject Classification (2010): 11-xx, 12-xx, 13-xx, 16-xx, 18-xx, 20-xx Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Vorwort Das Ziel dieses Buches ist es, in die Begriffe und Methoden der Algebra einzuführen und wesentliche Ergebnisse darzustellen. Es enthält den inzwischen klassischen Kanon, der von Begriffsbildungen wie Gruppe und Ring ausgeht und hin zu den Körpererweiterungen und der Galoistheorie führt. Darüber hinaus gestattet das Buch Einblicke in verschiedene Entwicklungen innerhalb der Algebra, die mit anderen Gebieten der Mathematik stark verflochten sind. Der oben genannte Kanon wird in den ersten sechs Kapiteln des Buches dargestellt. Die folgenden vier Kapitel behandeln zentrale Teile der Theorie der Moduln, Algebren und Ringe. In ergänzenden Abschnitten werden Ausblicke auf weiterführende Themen gegeben. Algebraische Begriffe spielen eine tragende Rolle in ganz unterschiedlichen Bereichen der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Im Rahmen dieses Buches ist es nicht möglich, alle Aspekte zu behandeln. Das (im folgenden skizzierte) Ergebnis unserer Auswahl ist sicher von subjektiven Gesichtspunkten und persönlichen Erfahrungen geprägt worden. Historisch gesehen sind große Teile der Algebra in engem Zusammenspiel mit der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie entwickelt worden. Wir betonen hier den Zusammenhang mit arithmetischen Fragestellungen und benutzen oft Beispiele aus diesem Umfeld, um allgemeine Begriffe der Algebra zu erläutern. Zentrale Begriffe der algebraischen Zahlentheorie sind der Gegenstand des Kapitels X über ganze Ringerweiterungen und Dedekindringe, in dem auch die Zerlegungsgesetze behandelt werden. Auch die im vorangehenden Kapitel IX entwickelte Theorie der endlich dimensionalen Divisionsalgebren über einem Körper gehört zu den Kindern der Zahlentheorie. Hier waren Fragen in der Klassenkörpertheorie der Ausgangspunkt für einen bedeutenden Aufschwung in der Theorie der hyperkomplexen Systeme, wie Algebren damals genannt wurden. Dem gegenüber räumen wir den aus der algebraischen Geometrie hervorgegangenen Bereichen der kommutativen Algebra wenig Platz ein und gehen nicht über den Hilbertschen Basissatz hinaus. Wir halten es für angemessen, daß diese Theorie in engem Zusammenhang mit der algebraischen Geometrie entwickelt wird. Eine solche Aufgabe würde jedoch den Rahmen dieses Buches sprengen. Dagegen betonen wir hier nichtkommutative Aspekte stärker als in vielen Lehrbüchern der Algebra. Hierzu gehören neben der bereits erwähnten Theorie der Divisionsalgebren die Abschnitte über artinsche Ringe in Kapitel VIII

5 2 Vorwort und dessen Supplemente sowie die Beschreibung von Schiefpolynomringen, die eine zentrale Rolle in der Theorie der noetherschen, nicht artinschen Ringe spielen. Im Rahmen der Gruppentheorie gehen wir über das Übliche hinaus, indem wir Gruppen mit Erzeugenden und Relationen diskutieren und dann die allgemeinen linearen Gruppen über Körpern näher untersuchen. Letzteres wird dann wieder vom arithmetischen Blickwinkel aufgenommen, wenn diese Gruppen über Zahlringen behandelt werden. Einige ergänzende Abschnitte sind durch die Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und, allgemeiner, von endlich dimensionalen Algebren motiviert. Dabei verzichten wir auf die Charaktertheorie, bei der wir auf gute Monographien verweisen können. Statt dessen legen wir Gewicht auf modultheoretische Aspekte wie projektive Moduln und Erweiterungen. Deren allgemeine Diskussion in den Supplementen zu Kapitel VII weist auch in die Richtung der homologischen Algebra. Im Anschluß an Kapitel VIII geben wir Ausblicke auf die Theorie von Frobenius-Algebren und die Darstellungstheorie von Köchern. Dabei geht es um Klassen von Algebren, die eine besondere Rolle in der Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und von Lie-Algebren spielen, die fundamental in der allgemeinen Darstellungstheorie von endlich dimensionalen Algebren sind und die interessante geometrische Anwendungen haben. Am Schluß des Buches haben wir für die Supplemente eine Liste mit weiterführender Literatur zusammengestellt, die ein vertieftes Studium der betrachteten Gebiete gestattet. In diesem Buch wird genügend Material für eine zweisemestrige Vorlesung bereitgestellt. Auch wird den Studierenden Stoff zum Selbststudium angeboten. Zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben sollen das Verständnis fördern. Aarhus und Wien, April 2005 Jens Carsten Jantzen Joachim Schwermer Vorwort zur zweiten Auflage In dieser Auflage haben wir ein Kapitel über quadratische Formen hinzugefügt, ein klassisches Gebiet der Algebra, das über die orthogonalen Gruppen und die Clifford-Algebren eine enge Verbindung zu anderen Themen des Buches hat. Außerdem ergänzen wir den Abschnitt über Gruppenalgebren mit einem Supplement über Darstellungen endlicher Gruppen. Schließlich haben wir alle uns bekannten Fehler korrigiert. Wir danken allen Lesern, die uns auf diese Fehler aufmerksam gemacht haben. Aarhus und Wien, Juli 2013

6 Inhaltsverzeichnis Vorwort Voraussetzungen I Gruppen: Grundlagen 1 Gruppen, Untergruppen und Nebenklassen Normale Untergruppen und Homomorphismen Die symmetrische Gruppe Faktorgruppen und Isomorphiesätze Produkte und Gruppenerweiterungen Operationen von Gruppen auf Mengen Übungen II Gruppen: Strukturtheorie 1 Die Sätze von Sylow Normal- und Kompositionsreihen Auflösbare Gruppen Nilpotente Gruppen Abelsche Gruppen Übungen A Freie Gruppen, Erzeugende und Relationen B Die allgemeine lineare Gruppe III Ringe 1 Ringe, Homomorphismen und Ideale Einheiten, Nullteiler Kommutative Ringe Ringe der Brüche Teilbarkeit in Integritätsbereichen Übungen IV Polynomringe 1 Polynome Nullstellen von Polynomen Polynome in mehreren Veränderlichen Unzerlegbare Elemente Übungen C Schiefpolynomringe

7 4 Inhaltsverzeichnis V VI VII Elementare Theorie der Körpererweiterungen 1 Körpererweiterungen Einfache Erweiterungen Algebraische Erweiterungen Zerfällungskörper Separable Erweiterungen Endliche Körper Übungen Galoistheorie 1 Galoiserweiterungen Einheitswurzeln Lineare Unabhängigkeit von Körperhomomorphismen, Normalbasen Die Polynome X n a Auflösbarkeit von Gleichungen Norm und Spur Übungen Moduln : Allgemeine Theorie 1 Definitionen Faktormoduln und Isomorphiesätze Direkte Summen und Produkte Erzeugendensysteme und Basen Exakte Folgen Endlich erzeugbare und noethersche Moduln Unzerlegbare Moduln Moduln über Hauptidealringen Moduln über K[X] Tensorprodukte von Moduln Übungen D Der Hilbertsche Basissatz E Projektive und injektive Moduln F Erweiterungen von Moduln VIII Halbeinfache und artinsche Moduln und Ringe 1 Einfache und halbeinfache Moduln Halbeinfache Ringe Der Dichtesatz Algebren Gruppenalgebren Artinsche Moduln

8 Inhaltsverzeichnis 5 7 Das Radikal eines Moduls Artinsche Ringe Moduln endlicher Länge Der Satz von Krull und Schmidt Übungen G Projektive Moduln über artinschen Ringen H Frobenius Algebren J Darstellungen von Köchern Z Darstellungstheorie endlicher Gruppen IX Zentrale einfache Algebren 1 Quaternionenalgebren Tensorprodukte von Algebren Zentrale Algebren Einfache Algebren Brauergruppen und Zerfällungskörper von Algebren Zentralisatoren und der Satz von Skolem & Noether Maximale Teilkörper Verschränkte Produkte Zyklische Algebren Übungen X Ganze Ringerweiterungen und Dedekindringe XI 1 Ganze Ringerweiterungen Dedekindringe und Körpererweiterungen Primidealzerlegung Zerlegungsgesetze Übungen K Die allgemeine lineare Gruppe über Ringen Quadratische Formen 1 Bilinearformen Quadratische Räume Orthogonale Gruppen Der Satz von Witt Clifford-Algebren Die Struktur von Clifford-Algebren Spin-Gruppen Übungen Literatur Index

9 Voraussetzungen Dieses Buch setzt die Vertrautheit mit der Sprache der Mengen voraus. Es benutzt das Symbol in einer Bedeutung, bei der die Gleichheit zugelassen ist; wir benützen, wenn wir die Gleichheit ausschließen wollen. Die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen werden als bekannt vorausgesetzt, ebenso die Notationen N, Z, Q, R, C für diese Mengen. Wir benützen die Konvention, daß 0 N. Die Primfaktorzerlegung in Z und Begriffe wie größter gemeinsamer Teiler sollten bekannt sein. Der größte gemeinsame Teiler von m und n wird mit (m, n) oder mit ggt(m, n) bezeichnet. Weiter wird der zentrale Stoff einer Anfängervorlesung über Lineare Algebra vorausgesetzt: Vektorräume über beliebigen Körpern, Basen, Dimensionen, lineare Abbildungen und ihre Matrizen, Determinanten, Cramersche Regel. Schließlich sollte man mit Begriffen wie Ordnungsrelation und Äquivalenzrelation vertraut sein. An einigen Stellen wird das Lemma von Zorn benützt. Dabei geht es um folgendes: Es sei X eine teilweise geordnete Menge, d.h. eine Menge versehen mit einer Relation x y, die reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. (Antisymmetrisch bedeutet, daß x y und y x x = y.) Eine Teilmenge Z von X heißt eine Kette, falls x y oder y x für jedes Paar x, y in Z. Man sagt, daß eine Kette Z in X eine obere Schranke in X hat, falls es ein x X gibt, so daß z x für alle z Z gilt. Die Aussage des Lemmas von Zorn ist dann die folgende: Hat jede Kette Z in X eine obere Schranke in X, so besitzt X ein maximales Element.