Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 9 1 Theorie und Wirklichkeit 15

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1 Inhaltsverzeichnis Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 9 1 Theorie und Wirklichkeit Systematik der Wissenschaften Wo findet sich hier die Aktuarwissenschaft? Wahrscheinlichkeitsbasierte Sicherheitskonzepte Wechselwirkung von Modell und Wirklichkeit Bewertung von Verpflichtungen: Buchwerte und Marktwerte Regelbasierte versus prinzipienbasierte Anforderungen Mathematische Korrektheit versus Verständlichkeit und Interpretierbarkeit für Anwender Theorie und Wirklichkeit Betriebswirtschaftliche Theorie und Unternehmenswirklichkeit Was soll in einem Unternehmen bewertet werden? Die unterschiedlichen Bewertungssichten Mathematik und Unternehmensbewertung Verwendete mathematische Hilfsmittel Übungsaufgaben und Fragen Literatur 34 2 Bewertungen Bewertung von Wirtschaftsgütern Übersicht zu Bewertungsarten Cashflows Die wichtigsten Standard-Cashflows generell und speziell bei Lebensversicherungen Übungsaufgaben/Fragen Literatur 44 3 Duration, Konvexität und Dispersion Duration und Ableitung des Barwertes nach dem Diskontierungszins Duration von ewigen und temporären Renten (Zeitrenten) Konvexität, Dispersion und Taylor-Reihen Konvexität Dispersion Die Ableitung der Duration und die Dispersion Konvexität und Dispersion bei Zeitrenten für den Zinssatz i 0 = Näherungsformel für jährliche Amortisationsbeträge Rekursive Berechnung des Zinssatzes Grafik zur Abhängigkeit des Barwertes vom Zinssatz 56

2 10 Inhaltsverzeichnis 3.4 Taylor-Reihen und wiederholtes Aufsummieren der diskontierten Cashflow- Zahlungen Duration und Konvexität bei Rentenbarwerten in der Lebensversicherung Übungsaufgaben und Fragen Literatur 64 4 Zinssensitivität Exponentialdarstellung der Zinsvariation Ableitungen Integrale Frühere Beispiele, neu betrachtet in der Exponentialdarstellung Generelle Bemerkungen Reserveänderung bei Zinsvariation in der Lebensversicherung Prämien-und Leistungs-Cashflows Differentialgleichung Beispiel 4.1 für eine aufgeschobene Rente Integral zur Bestimmung der Reserveauffüllung Zinssensitivität bei einzelnen Produkten in der Lebensversicherung Beispiel 4.2 für die Reserveerhöhung bei einem Leibrentenportefeuille Zinssatzvariation: Prämie bei gleicher Leistung resp. Leistung bei gleicher Prämie Differentialgleichung Integral Sparprozess Beispiele 4.4 a-e für die Änderung der Versicherungssumme bei Zinsreduktion Darstellung der Zinssensitivität von Prämien und Leistungen Übungsaufgaben und Fragen Literatur 90 5 Zinssensitivität von Leibrenten und Sterblichkeitsannahmen Barwert und Duration von Leibrenten-Cashflows Kontinuierliche Rentenzahlung Linear fallende diskontierte Rentenzahlung, Sterbegesetz nach de Moivre Sterbegesetze von Gompertz und Makeham und die Gamma-Verteilung Übergang zum kontinuierlichen Fall Sterblichkeitsintensität und mehrjährige Überlebenswahrscheinlichkeit Rentenbarwerte im kontinuierlichen Fall Berechnung der Rentenbarwerte im Modell von Makeham mit der Gammaverteilung Die Lebenserwartung beim Gompertzschen Sterbegesetz Herleitung der Restterme bei der Lebenserwartung beim Gompertzschen Sterbegesetz 102

3 Inhaltsverzeichnis Duration von Rentenbarwerten beim Gompertzschen Sterbegesetz Herleitung der Näherungsformel D N (e^) für D(ef) Übergang vom Gompertzschen zum Makehamschen Sterbegesetz Erläuterungen zu dem nachfolgend aufgeführten Beispiel und zu den Abbildungen Grafiken zu Beispiel Die Rentenhöhe in Abhängigkeit vom Zinssatz Ableitung des Rentensatzes und der Duration Begrenzung der Ableitung des Rentensatzes nach dem Zinssatz Abhängigkeit des Rentensatzes vom Zinssatz Grafische Darstellung Berücksichtigung diskreter Zahlungen Unterjährige Rentenzahlung Prämien- und Rentenübertrag Couponzahlung, Stückzinsen und Theta bei Anleihen Theta bei Anleihen Übungsaufgaben und Fragen Literatur Solvency II und die Aggregation verschiedener Risiken Ermittlung des vorhandenen Risikokapitals ( Eigenmittel") Ermittlung des Solvenzkapitals Risikobegriff, Aggregation von Risiken Risikobegriff Erwartungswert, Varianz, Kovarianz und Korrelation Aggregieren von Risiken, Vektoraddition und Kosinussatz Korrelationsmatrizen in Solvency II Cholesky-Zerlegung Cholesky-Zerlegung der Korrelationsmatrix für die Basissolvenzanforderungen Cholesky- Zerlegung im Allgemeinen Risikobaum in Solvency II Risikolandkarte für Solvency II im Standardmodell: Risikobaum Vorgaben der EIOPA zur Bestimmung der Einzelrisiken Solvenzvorschriften in den USA Statutarische und marktnahe Bilanz Quadratwurzelformeln Interpretation der Quadratwurzelformeln mit der Vektoraddition Solvenzvorschriften in der Schweiz Risikokomponenten und deren Ermittlung bei Lebensversicherungen Risikomessung beim SST und bei Solvency II Die SST-Anforderungen bei Nichtlebensversicherungen Übungsaufgaben und Fragen 160

4 12 Inhaltsverzeichnis 6.11 Literatur Portfoliotheorie Bedeutung und Historisches Beispiele für zwei Anlageklassen Einführung eines weiteren Kriteriums mit unterschiedlichen Renditen Erweiterung auf beliebig viele Anlageklassen Berechnungen von effizienten Portfolios bei mehr als zwei Anlageklassen Generelle Lösung CAPM, der Beta-Faktor von Aktien und die Sharpe Ratio CAPM und der ß-Faktor von Aktien Nachweis der mit dem ß-Faktor gegebenen Beziehung zwischen Rendite und Risiko Sharpe Ratio" von Portfolios Ökonomisches Weltbild der Portfoliotheorie: Affinitäten und Unterschiede zu Solvency II Übungsaufgaben und Fragen Literatur Finanzmarktinstrumente Begriffe Preisgefüge bei Derivaten (Optionen etc.) Gegenüberstellung der Begriffe Stochastische Analysis für Praktiker Die drei Basispunkte Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung in der Thermodynamik Modell der Aktienkursentwicklung Formel von Itö Geometrische und arithmetische Renditen (Einfache) Brownsche Bewegung und geometrische Brownsche Bewegung Die Differentialgleichung von Black und Scholes zum Preis von Optionen Übergang von Zufallsvariablen zu partiellen Differentialgleichungen Die Formeln von Black und Scholes für die Preisbestimmung von Optionen Put-Call-Parität, Griechen", Delta Hedging und generelle Bemerkungen Preis der Put-Option aus der Put-Call-Parität Griechen Delta Hedging Bemerkungen zur Formel von Black und Scholes Übungsaufgaben und Fragen Literatur 227

5 Inhaltsverzeichnis 13 9 Stochastische Zinsmodelle Vergleich von stochastischen Modellen zur Aktien- und Zinsentwicklung Stochastische Modelle zur Entwicklung der Zinsintensität (short rate, instantaneous rate) Stochastische Differentialgleichungen Lösungen der Differentialgleichungen im Modell von Vasicek Bewertung von Zerobonds beim Zinsmodell von Vasicek Einfluss der Volatilität auf die erwartete Verzinsung Modell von Vasicek mit Kontraktion des Zinsprozesses Vergleich mit volatiler Jahresverzinsung Spot- und Forward-Preise und Zinsintensitäten Konvexitätsanpassung zwischen Forward-" und Future-Rate" Allgemeine Bemerkungen Bewertung von Zinsoptionen Generelles Erwartete Rendite, Wachstum des Preises der Anleihe resp. der Aktie Volatilität Bedeutung von Zinsoptionen und Zinsvolatilität für die Beurteilung des Finanzrisikos Vergleich von Optionen auf Anleihen mit Optionen auf Aktien Formel von Black Unterschiede zwischen der Formel von Black und Scholes und der Formel von Black Zinsswaps Swaptions und deren Bewertung nach dem Modell von Black Übungsaufgaben und Fragen Glossar, Lösungen Finanzbegriffe Bilanz-, Aufsichts- und Versicherungsbegriffe Lösungen Index 283