Risikomodellierung im Standardmodell

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1 Risikomodellierung im Standardmodell Q- C L U B B E R L I N 7. M A I 0 D R. P E T E R T A K Á C S C O N S I N T O G M B H D R. R O L F M E R T I G G L U O N V I S I O N G M B H

2 Themen Theorie Risikomodellierung Begriffe und Verfahren Risikomaß und verteilung Abhängigkeitsstrukturen Risikoaggregation Standardmodell Vorgaben durch Solvency II Solvenzbilanz Risikokategorien und Teilrisiken Risikobewertung Stärken/Schwächen Weiterentwicklungen mit stochastischer Simulation Aktuelle Verfahren im Überblick Praxis aktuarielle Unterstützung Mathematica Kurzvorstellung Anwendungsbeispiel Projektentwicklung aktuarieller Arbeitsplatz Nutzungsmöglichkeiten Ergänzung zu Prophet Bestandsverdichtung MCEV aktuarielles Projekt Stochastisches Unternehmensmodell

3 Risikomodellierung 3 Risikobegriff Entscheidung zum Verhalten Meist unbekanntes Ergebnis Erwartetes Ergebnis Abweichungen von der Erwartung Mögliches Eintreten eines Ereignisses in der Zukunft mit negativer Auswirkung Vielzahl von Möglichkeiten Zufallsgröße Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient Risiko

4 Risikomodellierung 4 Bivariate standardisierte Normalverteilung Symmetrisch Finanz-, Versicherungsdaten eher schief Korrelationsstruktur Annahmen treffen flach auslaufende Ränder Kaum Extremwerte Gleichzeitige gemeinsame Extremwerte noch seltener Geringe Abhängigkeiten am Rand Dichtefunktion Verteilungsfunktion

5 Risikomodellierung 5 Risikomaße Varianz Var : Value at Risk VaR VaR : F inf{ x R, F x } Expected Shortfall TVaR, CVaR ES E E : E VaR

6 Risikomodellierung 6 Abhängigkeitsstrukturen Verteilung der Einzelrisiken??? Lognormal Normal Arcus Sinus Abhängigkeit der Risiken untereinander???

7 Risikomodellierung 7 Copulas Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors mit uniformen Randverteilungen Zerlegung der multivariaten Verteilung in Abhängigkeitsstruktur und univariate Randverteilungen Unabhängig von der Verteilung der Einzelrisiken Eindeutigkeit der Abhängigkeitsstruktur der Einzelrisiken bei stetigen Randverteilungen Theorem von Sklar berechenbares Maß für die Abhängigkeit an den Rändern

8 Risikomodellierung 8 Copulas Fréchet-Hoeffding-Schranken obere Schranke Komonoton unabhängig untere Schranke Kontramonoton

9 Risikomodellierung Risikoaggregation...,, ,...,,...,,..., ~... : n n n n n n n Var Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Var N : i i Var k SCR... : k Var k Var k SCR n Gesamt Wurzelformel Solvency Capital Required k gewählt k geeignet 9

10 Risikomodellierung 0 Risikoaggregation Verteilung bekannt ~ N 0, ~ N 0, Y ~ N 0, Y ~ Y Cov, Y unkorreliert, unabhängig unkorreliert, abhängig 0 Y 0 Y 0 Y Y SCR=3.64 SCR=5.77 Y Y SCR=9.064

11 Standardmodell Stochastische Modellierung der ökonomischen Bilanz im -Jahres-Horizont Ökonomische Bewertung der vorhandenen Eigenmittel Solvenzkapital, max. Verlust an Eigenmitteln, der mit bestimmter Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird Unbekannte Verteilung der ökonomischen Eigenmittel Solvency II Bilanz Marktwert der Assets ökonomische Eigenmittel Marktwert der Liabilities

12 Standardmodell Bewertung der Verbindlichkeiten mit Best-Estimate zuzüglich Risikomarge Bewertung der Kapitalanlagen mit Marktwerten Risikokategorien mit Teilrisiken sind definiert versicherungstechnisches Risiko Health, Life, Non-Life Marktrisiko Zins-, Aktien-, Immobilien-, Wechselkursrisiko, operationelles Risiko Solvenzkapitalbstimmung mittels faktorbasierten Ansatz oder Szenariorechnungen Korrelationen beim Übergang zum Gesamtrisiko Doppelte Bestimmung der ökonomischen Bilanz ersetzt stochastische Modellierung

13 Solvency II Bilanz Standardmodell 3 Ausgangsbilanz gestresste Bilanz z.b. Aktien fallen um x% ökonomische Eigenmittel ASM 0 ökonomische Eigenmittel ASM i Marktwert der Assets Marktwert der Liabilities Marktwert der Assets Marktwert der Liabilities SCR i =ASM 0 -ASM i SCR Solvency Capital Requirement ASM Available Solvency Margin i - Risikoindex

14 Europaweit standardisiert Standardmodell 4 Anwendbarkeits- und Wirkungsstudien auf europäischer Ebene: Quantitative Impact Studies QIS bis QIS 5 QIS 6 GDV Keine stochastischen Simulationen erforderlich Problematisch quantifizierbarkeit der Risiken implizite Normalverteilungsannahme VaR ist kein kohärentes Risikomaß Abhängigkeitsstruktur Korrelationsmatrizen Überschätzung SCR Vergleichbarkeit zwischen Unternehmen Weiterentwicklung zum partiellen internen Modell

15 Weiterentwicklungen mit stochastischer Simulation 5 Szenarien Risikofaktoren Risikoaggregation mit Bewertungsmodell

16 Weiterentwicklungen mit stochastischer Simulation Aktuelle Verfahren im Überblick Curve Fitting Bewertungsmodell: parametrisierbare Funktion Least Square Monte Carlo Bewertungsmodell: parametrisierbare Funktion Replicating Portfolio Bewertungsmodell: Portfolio aus Kapitalanlagen Keine inneren Simulationen Kalibrierung über Aktionärscashflow Inkrementeller Aufbau des Portfolios 6

17 aktuarielle Unterstützung Mathematica für das Aktuariat 7

18 aktuarielle Unterstützung Mathematica für das Aktuariat bietet: Transparenz und Nachvollziehbarkeit Interaktive Nutzung am Arbeitsplatz Geringer Einarbeitungsaufwand offen, erweiterbar Vorhandene Anwendungspakete Dynamisches Modellieren Schnittstellen zu anderen Programmsystemen Excel Harmonisierung der individuellen Datenverarbeitung Batch-Betrieb am Großrechner Unabhängigkeit von IT-Abteilung Entwicklung und Anwendung Performance Simulationsrechnungen 8

19 Copula Modelle aktuarieller Arbeitsplatz 9 D =CopulaDistribution[{"Frank",6}, {UniformDistribution[{0,}],UniformDistribution[{0,}]} ]; data=randomvariate[d,0^4]; Histogram3D[data,{{0,,0.},{0,,0.}},"PDF"] Histogram3D[data,{{0,,0.},{0,,0.}},"CDF"]

20 aktuarieller Arbeitsplatz 0 Copula - Schätzung {{63, 7},{6, 65},{37, 57},{5, 43},{58, 9}, {58, 73},{05, 6},{5, 70},{3, 60},{97, 74},..}. Empirische Randverteilungen Histogram[[All,]] Histogram[[All,]] Copula - Dichte. Gemeinsame Verteilung Dichtefunktion Verteilungsfunktion

21 aktuarielles Projekt Beispiel: Stochastisches Unternehmensmodell Oberfläche

22 aktuarielles Projekt Beispiel: Input/Output des GDV Standardmodells entspricht Excel-Modell

23 Zusammenfassung 3 Abhängigkeiten zwischen den Einzelrisiken sind zu berücksichtigen; sonst Fehleinschätzung des Gesamtrisikos durch Wurzelformel Korrelation als Abhängigkeitsstruktur nicht ausreichend Moderne Verfahren mit Stärken und Schwächen Copulas als Ansatz zur Modellierung von Abhängigkeiten Modellierungswerkzeug Mathematica Transparente Modellierung gekoppelt mit performanceoptimierten Algorithmen