Diversifikation unter eingeschränkter Kapitalmobilität: ein gleichgewichtstheoretischer Ansatz

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1 Diversifikation unter eingeschränkter Kapitalmobilität: ein gleichgewichtstheoretischer Ansatz Damir Filipovic Ludwig-Maximilians-Universität München Versicherungsmathematisches Kolloquium 24.Oktober 2005

2 Übersicht Vergleich interner Modelle Risikobasierte Kapitaladäquanz Risikomodellierung und messung. Industrie- Beispiel: Kovarianzmethode Diversifikation unter eingeschränkter Kapitalmobilität 2

3 Solvency II Neues EU-System zur Bewertung der Gesamtsolvabilität, basierend auf einem prospektiven risikobasierten Ansatz (initiiert 2001) 3 Pillars: quantitative Anforderungen, Prozesse und Aufsicht, Transparenz und Marktdisziplin Pillar 1: Solvency Capital Requirement (SCR) und Minimum Capital Requirement (MCR), Bewertung von Assets und Liabilities, Gruppen-Diversifikation, etc. Committee of European Insurance and Occupational Pension Supervisors (CEIOPS) berät Solvency II Projekt durch 3 spezifische calls for advice (Aug 2004-Mar 2006) Formale Annahme durch EC geplant im Juli

4 Benchmarking Studie über Interne Modelle Ausgangslage: Fehlen eines aufsichtsrechtlichen Rahmens für die Evaluierung von internen Modellen (Solvency II Standardmodell, Pillar 1 und 2) Chief Risk Officer (CRO) Forum Benchmarking Studie: Bestandesaufnahme der Risikomessmethoden unter den CRO Forum Mitgliedern Auswertung und Vergleich der verschiedenen Methoden, auch mit SST und FTK gemeinsamer Nenner ( Minimalstandards ) Prinzipien zur aufsichtsrechtlichen Zulässigkeit von internen Modellen Glossar und Terminologie (Filipovic-Rost LMU: Benchmarking Study of Internal Models, 2005) 4

5 Klassifizierung/Differenzierung Interner Modelle Kapitaladäquanz Solvenz: ökonomisch, regulatorisch, Ratingagentur Level: Gruppe, Business Units Kapital: Policyholder, Shareholder Bewertung von Liabilities: statutorisch, markt-konsistent Risikomodellierung: szenarienbasiert, statisches Faktormodell, Kovarianzmodell, stochastisches Faktormodell Risikomessung Zeithorizont: 1 Jahr, Mehrperioden Risikomass: VaR, TailVaR, Ruinwahrscheinlichkeit Aggregation: Aggregation von Standalone-Zahlen, Gesamtverteilung der P&L 5

6 Übersicht Vergleich interner Modelle Risikobasierte Kapitaladäquanz Risikomodellierung und messung. Industrie- Beispiel: Kovarianzmethode Diversifikation unter eingeschränkter Kapitalmobilität 6

7 Verfügbares Risiko-Kapital (C) C = A L Verfügbares Kapital Wert der Assets Wert der Liabilities Abhängig von der Auswahl und Bewertungsprinzipien der Assets und Liabilities Marktkonsistente Bewertung der Assets: marked to market falls verfügbar sonst marked to model (z.b. risikoneutrale Bewertung) Bewertung der Liabilities: Statutory reserves Risk margin Best estimate Best estimate 7

8 off-balance sheet Positionen Erfordertes Risiko-Kapital (RC) A(0) L(0) IAA: total balance sheet requirement RC t=1: C(1) C(0) risk adjusted value 8

9 Erfordertes Risiko-Kapital (RC) off-balance sheet Positionen Einjahressicht! A(0) L(0) IAA: total balance sheet requirement RC t=1: C(1)-RM C(0) RM RM risk adjusted value Risikoaufschlag (RM) für gesamte Abwicklung des Portfolios

10 Diversifikation Diversifikation = Ausweitung des Portfolios auf verschiedene Risikoquellen (Produkte, Märkte, Länder, etc) statt Konzentration auf einzelne Bereiche die Vereinigung von vielen unabhängigen Einzelrisiken führt zu einem niedrigen Variationskoeffizienten der P&L Unabhängige Risikotypen (z.b. Markt- und Versicherungsrisiken) haben einen statistisch ausgleichenden Effekt auf die relative P&L-Variabilität ALM, Hedging: Ausgleich der Effekte von Risikofaktoren durch entgegengesetzte Portfoliosensitivitäten

11 Übersicht Vergleich interner Modelle Risikobasierte Kapitaladäquanz Risikomodellierung und messung. Industrie-Beispiel: Kovarianzmethode Diversifikation unter eingeschränkter Kapitalmobilität 11

12 Industrie-Beispiel: Kovarianz-Methode P&L = Summe von normal-verteilten Einzelpositionen: Δ C = C 1) C(0) = Z ( 1 Z n Diversifikation Risikomass linear in Standardabweichung (VaR, TailVaR): ρ ( X ) = κ Var( X ) Kapitalallokation via Marginalmethode: k i = d dt ρ ( ΔC + tz ) i = κ t= 0 j Cov Var ( Z, Z ) i ( ΔC) j 12

13 Kovarianz-Methode: Kapitalallokation Risk type Market Credit Non-life Insurance Life Insurance Geography A Geography B BU1 BU2 BU1 BU2 k Level 1: within risk types k = κ Var( Z ) (CRO Forum: A framework for incorporating diversification in the solvency assessment of insurers ) 13

14 Kovarianz-Methode: Kapitalallokation Risk type Market Credit Non-life Insurance Life Insurance Geography A Geography B BU1 BU2 BU1 BU2 k Level 2: across risk types within BUs k = κ BU1 Cov Var ( Z, Zj) BU1 Z j (CRO Forum: A framework for incorporating diversification in the solvency assessment of insurers ) 14

15 Kovarianz-Methode: Kapitalallokation Risk type Market Credit Non-life Insurance Life Insurance Geography A Geography B BU1 BU2 BU1 BU2 k Level 3: across BUs within geography = κ GeographyA Var Cov ( Z, Z ) j GeographyA (CRO Forum: A framework for incorporating diversification in the solvency assessment of insurers ) k Z j 15

16 Kovarianz-Methode: Kapitalallokation Risk type Market Credit Non-life Insurance Life Insurance Geography A Geography B BU1 BU2 BU1 BU2 k Level 4: across geographies or regulatory jurisdictions = κ Group Cov Var ( Z, Z ) j Group (CRO Forum: A framework for incorporating diversification in the solvency assessment of insurers ) k Z j 16

17 Probleme Kovarianz-Methode berücksichtigt keine Tail- Abhängigkeiten ( Stresstests, Copulas!) Kovarianz-Kapitalallokation ist nicht fair Beispiel: 3 BUs A B BU1 BU2 BU3 k1 k2 k3 correlation = Level 1 (stand alone): Level 3 (within geography A): Level 4 (full diversification): k1 = k2 = k3 = k1 = 100 = k1 = 100 =

18 Probleme Kovarianz-Diversifikation erfordert volle Kapitalmobilität: Jurisdiction A Jurisdiction B Group BU1 BU2 BU3 BU4 BU5 BU6 net result Regulatorisches Risiko: Regulatoren könnten freie Kapitalmobilität zwischen Ländern verhindern Management Risiko: Firmenmanager könnten notwendige Kapitalzuführung verweigern Standardisierung von Risiko- und Kapitaltransfers! 18

19 Übersicht Vergleich interner Modelle Risikobasierte Kapitaladäquanz Risikomodellierung und messung. Industrie- Beispiel: Kovarianzmethode Diversifikation unter eingeschränkter Kapitalmobilität 19

20 Standardisierte Diversifikation: einfaches Beispiel n BUs mit zukünftigem Verfügbarem Kapital C 1,,C n Jede BU unterliegt einer Minimalkapitalanforderung m 1,,m n Alle BUs können zu angemessenem Preis am Überschuss (C i -m i ) + von BU i teilhaben ( Call Optionen) Neue Risikoposition von BU i wird ( ) i ij j j i C + j + λ C m + γ Alte Position Call Optionen Cash C 1 m 1 m n-1 m 2 C 2 m n C n BU 1 BU 2 BU n-1 BU n 20

21 Optimierungsproblem Finde optimalen Risikotransfer λ und Kapitaltransfer γ, welcher das aufsummierte Gruppen-Erforderte Kapital ( C ) j mj ρ C i + λij + γi i j minimiert unter der Clearing-Nebenbedingung Frage: wie ändern sich die heutigen Bilanzwerte Assets und Liabilities unter diesem Risiko- und Kapitaltransfer? + + ( C ) + j mj γi C + i λij i j i C i 21

22 Mathematisches Resultat (Filipovic-Kupper, LMU) Einen optimalen Risikotransfer λ und Kapitaltransfer γ gibt es genau dann, wenn eine Gleichgewichts- Preisregel existiert: Jede individuelle Business Unit erreicht durch Risikotransfer λ und Kapitaltransfer γ maximale Reduktion ihres Erforderten Kapitals unter allen Risikound Kapitaltransfers, welche das Verfügbare Kapital (Wert der Assets minus Wert der Liabilities) bezüglich dieser Preisregel unverändert lassen. Diversifikation = Reduktion von Erfordertem Kapital RC 22

23 Diversifikation = Reduktion von RC L(0) t=1: C(1) A(0) C(0) RC Vor Risiko- und Kapitaltransfer 23

24 Diversifikation = Reduktion von RC Gleichgewichtspreisregel L(0) t=1: C(1) A(0) C(0) RC Neues Risikoprofil Nach Risiko- und Kapitaltransfer 24

25 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Verfügbares Kaptial heute: C 1 (0)= C 2 (0)=100 (Mio EUR) in einem Jahr: 100 Zustände, Erwartungswert je 100 C 2 C 1 Risikomass: 99% TailVaR 25

26 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Verfügbares Kaptial heute: C 1 (0)= C 2 (0)=100 (Mio EUR) in einem Jahr: 100 Zustände, Erwartungswert je 100 C 2 Erfordertes Kapital C 1 Stand alone RC 1 = 82.5 RC 2 = 82.9 Risikomass: 99% TailVaR 26

27 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Verfügbares Kaptial heute: C 1 (0)= C 2 (0)=100 (Mio EUR) in einem Jahr: 100 Zustände, Erwartungswert je 100 C 2 Erfordertes Kapital C 1 Stand alone RC 1 = 82.5 RC 2 = 82.9 Risikomass: 99% TailVaR Gruppe voll diversifiziert RC vd = 115 (<RC 1 +RC 2 ) 27

28 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Minimal-Kapital = 40% RC ( SST): m 1 =33, m 2 =33.2 C 2 C 1 28

29 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Minimal-Kapital = 40% RC ( SST): m 1 =33, m 2 =33.2 Optimaler Risikotransfer C 2 λ 11 λ 12 λ 21 λ C 1 Gleichgewichtspreise O 1 =(C 1 -m 1 ) + O 2 =(C 2 -m 2 )

30 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Minimal-Kapital = 40% RC ( SST): m 1 =33, m 2 =33.2 Optimaler Risikotransfer C 2 λ 11 λ 12 λ 21 λ C 1 Gleichgewichtspreise O 1 =(C 1 -m 1 ) + O 2 =(C 2 -m 2 ) Neue Positionen RC (alt) C x (O 1 4) x (O 2 15) 63 (82.5) C x (O 1 4) 0.81 x (O 2 15) 52 (82.9) 30

31 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Neue Positionen RC (alt) C x (O 1 4) x (O 2 15) 63 (82.5) C x (O 1 4) 0.81 x (O 2 15) 52 (82.9) Summe = C 1 +C xO xO Voller Diversifikationseffekt 31

32 Beispiel: Gruppe mit 2 Business Units Neue Positionen RC (alt) C x (O 1 4) x (O 2 15) 63 (82.5) C x (O 1 4) 0.81 x (O 2 15) 52 (82.9) Summe = C 1 +C xO xO Clearing-Nebenbedingung: Summe < C 1 + C 2 Voller Diversifikationseffekt Überschuss in 100 Mio EUR für 100 Modellpunkte 32

33 Zusammenfassung Neue Methode zur Bewertung und Messung von Risiko- und Kapitaltransfers zwischen Business Units Verfügbares Kapital bleibt gleich (Gleichgewichtspreis) bei maximaler Reduktion von Erfordertem Kapital (Optimierung) hoher Diversifikationseffekt Diversifikation wird aufsichtsrechtlich anerkennbar durch Standardisierung dieser Methode 33