Risikozerlegung und Risikoattribution

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1 Risikozerlegung und Risikoattribution Stephen Wehner Senior Consultant

2 Agenda 1. Risikomaße und deren Eigenschaften. Risikomodell von Markowitz 3. Risikoattribution 4. Zuordnungsproblem von Covarianzrisiko 5. Mehrfaktoren Risikomodelle 6.Risikozerlegung im fundamentalen Mehrfaktorenmodell 7. Trennung von Risikoattribution und Risikozerlegung im Mehrfaktorenmodell 8. Risikoattribution nach Asset Allocation und Asset Selection

3 Risikomaße und deren Eigenschaften (I) Standardabweichung der Rendite ( ) ( ) σ ( R) = E R E R i i i etabliertes Risikomaß einfach zu interpretieren in Renditeeinheiten einfach zu schätzen Erwartungstreuer Schätzer: n 1 Std Ri Ri R 1 ( ) = ( ) n i= 1

4 Risikomaße und deren Eigenschaften (II) Varianz der Rendite ( ) ( ( )) ( ( )) σ Ri = σ Ri = E Ri E R i Quadrat der Standardabweichung Erwartungstreuer Schätzer n 1 Var Ri Ri R 1 ( ) = ( ) n i= 1

5 Risikomaße und deren Eigenschaften (III) σ d.h. falls x R + x R + Const ( ) 1 1 ( ) σ ( ) ( ) = x σ R + x R + x x Cov R R , 1σ 1 σ 1 ρx, xσ 1 σ = x R + x R + x x R R ( ) ( ) ( ) ( ) R1, R unkorreliert, gilt: σ R + R = σ R + σ R ( ) ( ) ( ) Korrelation Varianz ist im Gegensatz zur Standardabweichung additiv

6 Risikomaße und deren Eigenschaften (IV) Beispiel: Aktive Rendite Tracking Error RA = RPort RBench σ R = σ R R ( ) ( ) A Port Bench = σ R + σ R Cov R, R ( ) ( ) ( ) Port Bench Port Bench Risikozerlegung

7 Risikomaße und deren Eigenschaften (V) Fazit Risikozerlegungen lassen sich immer nur über den Varianzoperator bestimmen und nicht direkt über die Standardabweichung Sofern die Zerlegungsvariablen nicht unkorreliert sind, entstehen immer gemischte Covarianz Terme, die sich nicht mehr eindeutig den Zerlegungsvariablen zuordnen lassen

8 Risikomaße und deren Eigenschaften (VI) Beispiel: ( R1) ( R ) R1, R σ = 3%, σ = 4%, ρ = 0 ( R) = ( R + R ) = ( R ) + ( R ) σ σ σ σ 1 1 ( 0,03) ( 0,04) = + = 0, , 0016 = 0, 005 σ ( R) = 0,005 = 5% d.h. für prozentuale Attribution gilt: 1 trägt mit 9/5, R mit 16/5 zum Gesamtrisiko von R bei R

9 Risikomodell von Markowitz (I) σ R Port i i i = 1 n Gewicht von Asset i = w R Rendite von Asset i n n n ( RPort ) = wi σ ( Ri ) + ww i jcov( Ri, Rj ) i= 1 i= 1 j= 1 i j ( R ) Cov( R, R ) σ 1 1 n T w1 w1 = w n w n Cov( Rn, R1 ) σ ( Rn)

10 Risikomodell von Markowitz (II) Nachteile: quadratischer Schätzaufwand: n + n Varianzen und Covarianzen müssen geschätzt werden zur Schätzung müssen mindestens ebensolange Zeitreihen zur Verfügung stehen Neuemmissionen (keine Historie) können nicht in die Risikoberechnung integriert werden das Risikomodell bietet keine natürliche Risikozerlegung, d.h. Risikoquellen werden nicht transparent

11 Risikoattribution (I) Markowitz Modell: Assets werden zunächst in verschiedene Klassen (z.b. Assetklassen, Sektoren, Style-Segmente, Durationklassen, etc.) eingeteilt m R = w R Port k k k = 1 Gewicht von Klasse k Rendite von Klasse k

12 Risikoattribution (II) σ m m n = + ( R ) ( ) ( ) Port wkσ Rk wk w ' Cov Rk, R ' k= 1 k= 1 k = 1 ' k k ' k k Problem: Sofern Renditen der ex ante festgelegten Klassen nicht unkorreliert sind treten hohe positive oder negative Covarianzen auf, d.h. nur ein Teil des Risikos läßt sich so eindeutig zuordnen

13 Risikoattribution (III) Nachteil: kein slice and dice möglich, d.h. Zerlegung nur nach vordefinierter Atrribution möglich Portfolio US-Equity Swiss Equity Finanz Finanz Keine Risikozerlegung nach Sektoren möglich! Attribution muß erst neu definiert werden.

14 Zuordnungsproblem von Covarianzrisiko Zwei Ansätze werden in der Literatur vorgeschlagen: 1.Gleichverteilung des Covarianzrisikos σ R + R = σ R + Cov R, R + σ R + Cov R, R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mit Risikobeitrag von R Risikobeitrag von 1 R. Verteilung nach prozentualen Varianzbeiträgen ( ) ( ) ( ) σ ( R1 ) Risikobeitrag von σ ( R+ R ) (, ) ( ) ( 1 )( (, )) σ R + R = σ R + α Cov R R + σ R + α Cov R R α = 1 R Risikobeitrag von 1 R

15 Mehrfaktoren Risikomodelle (I) R r = β F + ε i l l i l = 1 F ε mit l, i unkorreliert Faktorrendite Faktorsensitivität ( F) Cov( F, F ) σ 1 1 r T β1 β1 σ ( Ri ) = + σ εi β r β r Cov ( Fr, F1 ) σ ( Fr) ( ) Faktorkovarianzmatrix (FCM)

16 Mehrfaktoren Risikomodelle (II) Portfoliorendite R = x R n Port i i i= 1 Port T Port β 1 β 1 n RPort FCM xi i Port Port i= 1 β r β r σ = + σ ε ( ) ( ) mit β n Port i l = xi l i= 1 β

17 Mehrfaktoren Risikomodelle (III) Vorteile: Schätzaufwand linear: es müssen nur noch n β- Werte und die Faktorkovarianzmatrix geschätzt werden Natürliche Risikozerlegung entlang der Risikofaktoren Niedrige Covarianzterme, falls Faktoren unkorreliert; Anforderung an Faktorauswahl

18 Mehrfaktorenmodelle (I) Statistische Faktormodelle (Faktorbestimmung mittels Hauptkomponentenanalyse) Makroökonomische Faktormodelle Fundamentale Faktormodelle strukturelle Faktormodelle

19 Mehrfaktorenmodelle (II) Faktoreigenschaften orthogonal Interpretation hoher Erklärungsgehalt stabil im Zeitablauf Modelltypen Statistisch Makro. Fundamental nahezu bei entspr. Research

20 Risikozerlegung im fundamentalen Mehrfaktorenmodell Risk Decomposition (Barra Aegis)

21 Risikozerlegung im fundamentalen Mehrfaktorenmodell Risk Decomposition (BarraOne)

22 Risikozerlegung im fundamentalen Mehrfaktorenmodell Nachteil: Risikozerlegung entlang der Risikofaktoren, nicht aber nach Attributionsschema des Investmentprozesses!! Beispiel: Barra Sektoren Global Equity Modell MSCI Sektoren Klassifikation

23 Risikoattribution mit Mehrfaktorenmodellen Groups by Scheme (BarraOne)

24 Risikoattribution nach Asset Allocation und Asset Selection σ ( R ) = σ R R active port bench ( ) EQ EQ FI FI ( portrport portrport Rbench ) EQ EQ FI FI EQ EQ FI FI ( portrport portrport benchrbench benchrbench ) = σ ω + ω = + + σ ω ω ω ω = + ( ) + EQ ωactive ( ω ω ) R ω R ω R FI ωactive EQ EQ EQ EQ FI FI FI FI EQ EQ FI FI σ ωbench ωport ωbench Rport ωbench + port bench port bench bench + bench bench = ( R R ) + R + ( R R ) + EQ FI Ractive Ractive EQ EQ EQ EQ EQ FI FI FI FI σ ωbench port bench ωactive port ωbench port bench ωac tive EQ EQ FI FI EQ EQ FI FI ( benchractive benchractive activerport activerport ) σ ω ω ω ω = EQ EQ FI FI EQ EQ FI FI = σ ωbenchractive + ωbenchr active + σ ωactiverport + ωactiver port + COV Rselection, R Rselection Rallocation ( allocation ) R FI port

25 Risikoattribution nach Asset Allocation und Asset Selection R R R ω ω ω x port x bench x active x port x bench x active Return of asset class x within portfolio Return of asset class x within benchmark Active Return of asset class x Weight of asset class x within portfolio Weight of asset class x within benchmark Active weight of asset class x

26 Risikoattribution nach Asset Allocation und Asset Selection ω EQ active = ω = FI active 0 EQ EQ FI FI ( ) σ ( R ) = σ ω R + ω R active bench active bench active EQ EQ FI FI = σ ωportractive + ωportr active Rselection

27 Risikoattribution nach Asset Allocation und Asset Selection R EQ active = R = FI active 0 EQ EQ FI FI ( ) σ ( R ) = σ ω R + ω R active active port active port EQ EQ FI FI = σ ωactiverbench + ωactiver bench Rallocation

28 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit