Finanzmathematik I Lösung der übriggebliebenen Aufgaben

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1 Prof Dr T Meyer-Brandis H Hoffmann Winter term 05/6 Lösung des letzten Teils von 83: Finanzmathemati I Lösung der übriggebliebenen Aufgaben iv log S log S 0 + R R }{{} :Y +RG R 8 Da der mittlere Teil eine Summe von iid Zufallsvariablen ist, önnen wir den Zentralen Grenzwertsatz anwenden, wonach die Grenzzufallsvariable S normalverteilt ist Die Parameter ergeben sich durch Y r, da für alle p > gilt, dass R Var P R p max{ a, b } p folgt zusammen mit der Unabhängigeit der Y, dass Var P Var P Schlussendlich ergibt sich, dass Y + r rt σ T R 0 R σ T S log S 0 + rt σ T Var P S σ T Aufgabe 84: Sei die Funtion v gegeben durch vx, t xφ d + x, t e rt KΦ d x, t, wobei d + : d + x, t : log x K + r + σ t σ, t d : d x, t : log x K + r σ t σ t Φ die Verteilungsfuntion der Standardnormalverteilung ist Dann ist vs 0, T der Blac-Scholes-Preis einer europäischen Call-Option auf die Atie S mit Ausübungszeitpunt T Strie K Mit der Bezeichnung ϕ für die Dichtefuntion einer Standardnormalverteilung, zeigen Sie:

2 i Delta: x, t : x vx, t Φ d + x, t, ii Gamma: Γx, t : x x, t ϕ d + x, t xσ t, iii Theta: Θx, t : xσ vx, t t ϕ d t + x, t + Kre rt Φ d x, t, iv Rho: ρx, t : r vx, t Kte rt Φ d x, t, v Vega: Vx, t : σ vx, t x tϕ d + x, t Ferner folgern Sie, dass Lösung: Zunächst bemeren wir, dass Somit gilt: Θx, t rx x, t + σ x Γx, t rvx, t ϕd + ϕd + σ t e d e d σ t e σ t π ϕd K x e rt i x, t Φ d + x, t + xϕ d + x, t x d +x, t e rt Kϕ d x, t x d x, t Φ d + x, t + xϕ d + x, t xσ t e rt Kϕ d x, t xσ t Φ d + x, t ii Γx, t ϕ d + x, t xσ t iii Θx, t xϕ d + x, t t d +x, t + re rt KΦ d x, t e rt Kϕ d x, t t d x, t xϕ d + x, t σ σ r + t e rt Kϕ d x, t σ σ r t + re rt KΦ d x, t xσ t ϕ d + x, t + Kre rt Φ d x, t iv ρx, t xϕ d + x, t r d +x, t + te rt KΦ d x, t e rt Kϕ d x, t r d x, t xϕ d + x, t t σ e rt Kϕ d x, t t σ + te rt KΦ d x, t te rt KΦ d x, t v Vx, t xϕ d + x, t σ d +x, t e rt Kϕ d x, t σ d x, t xϕ d + x, t σt t log x K + r σ /t t σ t + e rt Kϕ d x, t σt t + log x K + r σ /t t σ t x tϕ d + x, t Die letzte Gleichung folgt durch simples Einsetzen der Ergebnisse

3 Aufgabe 73: Sei ein Zweiperiodenmart t 0,, gegeben mit zwei Anlagegütern S 0, S, wobei der uméraire gegeben ist durch S 0 + r t, r 0%, weiterhin sei S0 St St u {Yt} + St d {Yt } Dabei seien Y, Y iid Zufallsvariablen mit P Y δ + δ, außerdem sei u,5, d 0,9 Bestimmen Sie unter den Annahmen F 0 {, Ω}, F σy F F σy, Y, zu den folgenden Derivaten C P ut C Call jeweils einen arbitragefreien Preis eine replizierende Handelsstrategie i Loobac Put Option: C P ut max 0 t S t S ii Asiatische Call Option Average Price Call: S av 3 Si, C Call Sav K +, K Lösung: Das eindeutige Martingalmaß ist gegeben durch i0 P Y t P Y t 0 0, 05 0, i Wir berechnen nun den arbitragefreien Preis des Derivats: C ST 0,44 C 0,44 + 0, , ,06 Um den Hedge ξ t ξ 0 t, ξ t, t, zu berechnen dieser existiert wegen der Eindeutigeit des Martingalmaßes, benutzen wir zunächst die Gleichung also auf {S,5}: Also erhalten wir ξ 0 5/96, ξ /6 Auf {S 0,9} erhalten wir: ξ T S T C, ξ 0,44 + ξ,5 0 ξ 0,44 + ξ,35 0,5 ξ 0,44 + ξ,35 0 ξ 0,44 + ξ 0,8 0,9 Also erhalten wir ξ 0 95/88, ξ 9/54 Insgesamt haben wir also ξ ξ, 0 ξ {S,5} + ξ, 0 ξ {S 0,9} , 6 {S,5} + 88, 9 54 {S 0,9} 5 96 {S,5} {S 0,9}, 6 {S,5} 9 54 {S 0,9} 3

4 Um ξ zu berechnen benutzen wir die durch die Definition eines Hedges verlangte Eigenschaft der Selbstfinanziertheit ξ t S t ξ t+ S t t,, T, also hier: ξ S ξ S Wir erhalten die folgenden Gleichungen: also ξ 5 88, 36 ii Analog zu i berechnen wir C,44 C S 0 T,44 ξ 0, + ξ,5 5 96, 6,5, ξ 0, + ξ 0,9 95 9, ,9, Für den Hedge erhalten wir für ξ auf {S,5}: ,6 Auf {S 0,9} erhalten wir: ξ 0,44 + ξ,5 7 ξ 0,44 + ξ, ξ 0,44 + ξ,35 ξ 0,44 + ξ 0,8 0 Also haben wir ξ 5 6 {S,5} 5 88 {S 0,9}, Für ξ erhalten wir dann wieder die folgenden Gleichungen: 3 {S,5} {S 0,9} also ξ , ξ 0, + ξ,5 5 6, + 3,5, ξ 0, + ξ 0,9 5 5, ,9, Aufgabe 74: Seien Y t, t,, T, iid Zufallsvariablen mit P Y µ, σ auf einem Wahrscheinlicheitsraum Ω, F, P mit Filtration F 0 σω, F t σy,, Y t, t,, T Seien weiterhin S 0 St t u, t 0,, T Finden Sie Konstanten C Z, so eyu dass dp dp Z S T C die Dichte eines zu P äquivalenten Martingalmaßes P ist Identifizieren Sie die Verteilungen von Y t, t,, T, unter P 4

5 Lösung: Es ist S t+ E P S Ft t+ S T C Ft S E P e Y t+ e C Y t+ E P ST C t F t E P e C Y t+ Also muss C so bestimmt sein, dass E P e C+Y t+ EP e C Y t+ Ausrechnen dieser Erwartungen führt auf folgende Gleichung exp {C + µ + } C + σ exp {Cµ + } C σ wegen der strengen Monotonie von expx auf C + µ + C + σ Cµ + C σ Das ist aber für C µ erfüllt Zur ormierung brauchen wir noch σ Z E P S T C exp T Cµ + T C σ Sei nun B BR Dann gilt P Y t B B Y t E P B Y t dp E P B Y t dp Z S T C Z E P B Y t e C Yt E P e C Y u B B e Cx σ π e σ π e x µ u t σ dx e Cµ+ C σ x µ+cσ σ dx Also sind Y t, t,, T, unter P wieder iid normalverteilt mit P Y µ + Cσ, σ σ, σ 5