32 Die Diffusionsgleichung

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1 32 Die Diffusionsgleichung 32.1 Motivation (Wärmeleitungsgleichung) Sei Ω R 3 ein ebiet. Wir betrachten Wärmeleitung in Ω und eine Funktion u = u(t, x), wobei t [0, T ] und x Ω, die die Temperaturverteilung beschreibt. Wir setzen voraus, dass das Medium in Ω homogen ist. Für jedes ebiet Ω ist dann u(t, x) dτ( x) proportional zur in Wärmeenergie in. Energieerhaltung bedeutet also für ein glattes ebiet : d u(t, x) dτ( x) = j(t, x) dt N( x) do( x) + f(t, x) dτ( x), }{{} Wärmetransport durch }{{} Wärmequellen in wobei j(t, x) der Vektor des Wärmeflusses sei. Wenn u glatt genug ist, kann man links Integral und d vertauschen ( Kap.22 in HMII) und erhält mit dem Divergenzsatz: dt u(t, x) dτ( x) = div j(t, x) dτ( x) + f(t, x) dτ( x). t Da Ω sonst beliebig ist, geht dies nur, wenn gilt: Fouriers esetz besagt nun t u(t, x) = div j(t, x) + f(t, x) für alle (t, x) (0, T ) Ω. j(t, x) = c u(t, x) für ein c > 0 dh dass sich die Wärme in Richtung des größten Temperaturgefälles ausbreitet und betragsmäßig proportional zur Länge des radienten u(t, x) = (t, x) ist. Zusammen ergibt sich die Wärmeleitungsgeichung wobei sich = 3 i=1 u x1. u xn u(t, x) = c u(t, x) + f(t, x) für alle (t, x) (0, T ) Ω, t 2 x 2 i nur auf die räumlichen Variablen bezieht. Bemerkung: enauso lässt sich argumentieren, wenn u(t, x) die Dichte eines ases beschreibt, dass in Ω der Diffusion unterliegt, oder wenn Ω R n mit n 3. 44

2 32.2 Die rundlösung der Wärmeleitungsgleichung Wir betrachten Die für t > 0 und x R n definierte Funktion t u(t, x) = ( u)(t, x), t > 0, x R n. (W) (t, x) := (4πt) n/2 e x 2 4t heißt rundlösung der Wärmeleitungsgleichung oder Wärmeleitungskern auf dem R n. Es gilt t (t, x) = (t, x) für alle t > 0, x R n, dh ist Lösung von (W). Häufig schreibt man auch Es gilt für alle t > 0 und sowie im Sinne von (t, x, y) := (t, x y) = (4πt) n/2 e x y 2 4t für t > 0, x, y R n. R n (t, x) dτ( x) = 1 (t, x) 0 (t 0+) für x 0, (t, ) δ 0 (t 0+) R n (t, x)ϕ( x) dτ( x) ϕ( 0) (t 0+) (K) für alle stetigen Funktionen ϕ : R n R mit ϕ = 0 außerhalb einer Kugel B( 0, R). Die Konvergenzaussage gilt dabei für viel mehr Funktionen, vgl unten. Beweis für (I): Das Integral R n (t, x) dτ( x) ist gleich n j=1 ) ((4πt) 1/2 e x2 j 4t dx n dx 2 dx 1 = n j=1 ( (4πt) 1/2 Für ein einzelnes Integral führt die Substitution ξ = 2η t, dξ = 2 t dη, auf (4πt) 1/2 vergleiche Beispiel (3) in 21.4 (HMII). e ξ2 4t dξ = 1 π e η2 dη = 1, e x 2 j 4t dxj ). (I) 45

3 Beweisskizze für (K): Zunächst ist ϕ beschränkt, und es gibt K > 0 mit ϕ( x) K für alle x R n. Sei nun ε > 0 und δ > 0 so, dass ϕ( x) ϕ( 0) < ε/2 für x δ. Dann gilt (t, x)ϕ( x) dτ( x) ϕ( 0) (t, x) ϕ( x) ϕ( 0) dτ( x) R n R }{{} n >0 ε (t, x) dτ( x) + 2K (t, x) dτ( x). 2 x δ x δ Das erste Integral rechts ist 1 wegen (I). Im zweiten Integral substituiert man x = y t und erhält (t, x) dτ( x) = (1, y) dτ( y) 0 (t 0+). x δ y δ/ t Insbesondere findet man t 0 > 0 so, dass für t (0, t 0 ) das zweite Integral ε 4K ist Anfangswerte für t = 0 Ist f : R n R stetig und beschränkt, so gibt es genau eine beschränkte Lösung des Problems t u(t, x) = ( u)(t, x), t > 0, x R n, u(0, x) = f( x), x R n. Diese ist gegeben durch u(t, x) = (t, x y)f( y) dτ( y), R n t > 0, x R n. Es gilt u C ((0, ) R n ) und u(t, x) f( x) (t 0+) für jedes x R n. Bemerkung: Ist g : (0, ) R n stetig und beschränkt, so ist eine Lösung von t u(t, x) u(t, x) = g(t, x), t > 0, x R n, u(0, x) = 0, x R n, gegeben durch t u(t, x) = (t s, x y)g(s, y) dτ( y), t > 0, x R n. 0 R n Dies ist (formal!) die Variation-der-Konstanten-Formel Maximumsprinzip 46

4 Sei Ω R n beschränkt, T (0, ) und Ω T := (0, T ) Ω. Dann gilt Ω T = ({0, T } Ω) ([0, T ] Ω). Wir definieren den parabolischen Rand Ω T := ({0} Ω) ([0, T ] Ω), bei dem der Deckel des Zylinders fehlt. Wir setzen voraus u : [0, T ] Ω R ist stetig und in Ω T zweimal stetig partiell differenzierbar nach x 1,..., x n, sowie stetig partiell nach t differenzierbar. (RV) Satz: Es gelte (RV) und t u u = 0 in Ω T. Dann nimmt u Maximum und Minimum auf dem parabolischen Rand Ω T an, dh es gilt max{u(t, x) : t [0, T ], x Ω} = max{u(t, x) : (t, x) Ω T } min{u(t, x) : t [0, T ], x Ω} = min{u(t, x) : (t, x) Ω T }. Allgemeiner gilt die Aussage über das Minimum, wenn t u u 0 in Ω T, und die Aussage über das Maximum gilt, wenn t u u 0 in Ω T. Folgerung: Das Anfangs-Randwertproblem t u u = g in Ω T, u(t, x) = f(t, x), (t, x) Ω T, hat höchstens eine Lösung u : [0, T ] Ω R mit der Eigenschaft (RV). Beweis: Sind u 1 und u 2 Lösungen, so ist v := u 1 u 2 Lösung von t u u = 0 in Ω T, u Ω T = 0. Aus dem Maximumsprinzip folgt dann u = 0 in Ω T Separation der Variablen Wir betrachten die Wärmeleitungsgleichung auf dem Intervall [0, 1] mit homogenen Dirichletrandbedingungen: u t u xx = 0, t > 0, x (0, 1), u(t, 0) = u(t, 1) = 0, u(0, x) = f(x), (1) wobei f : [0, 1] R gegeben ist. Zur Lösung machen wir den Separationsansatz u(t, x) = v(t)w(x), t > 0, x [0, 1]. 47

5 Dann ist u t = v (t)w(x) und u xx = v(t)w (x), und Einsetzen in die leichung führt (für v 0, w 0) auf v (t) v(t) = w (x), t > 0, x [0, 1]. w(x) Da die linke Seite nicht von x und die rechte Seite nicht von t abhängt, geht dies nur, wenn es eine Konstante λ R gibt mit Dies führt auf v(t) = e λt v(0), t > 0, und auf v (t) v(t) = λ = w (x), t > 0, x [0, 1]. w(x) w (x) λw(x) = 0, w(0) = w(1) = 0, wobei wir auch die Randbedingungen des ursprünglichen Problems berücksichtigt haben. Wir suchen nun λ, für die es Lösungen w 0 dieses Randwertproblems gibt. Für λ = 0 ist jede Lösung von w = 0 ein erade. Aus den Randbedingungen folgt dann w = 0. Für λ 0 ist jede Lösung von w λw = 0 dabei eine Linearkombination w(x) = c 1 e µx + c 2 e µx, wobei µ C \ {0} mit µ 2 = λ. Die Randbedingungen implizieren nun c 1 + c 2 = 0 und c 1 e µ + c 2 e µ = 0. Dieses lineares leichungssystem hat genau dann eine nichttriviale Lösung ( c 1 c 2 ) ( 0 0), wenn e µ e µ = 0 ist. Dies ist äquivalent zu e 2µ = 1, dh zu µ = kπi für ein k Z \ {0} (k = 0 ist wegen µ 0 ausgeschlossen). Wir erhalten also λ k = k 2 π 2 und als zugehörige reelle Lösung (bis auf eine multiplikatve Konstante) Zusammen haben wir also Lösungen w k (x) = sin(kπx) = 1 2i (ekπix e kπix ), x [0, 1]. u k (t, x) = e k2 π 2t w k (x) = e k2 π 2t sin(kπx), t 0, x [0, 1], erhalten mit Anfangswerten u k (0, x) = w k (x) = sin(kπx), x [0, 1]. ilt nun f(x) = m k=1 a k sin(kπx) für ein m N und gewisse a k R, so ist die Lösung von (1) gegeben durch u(t, x) = m a k u k (t, x) = k=1 m a k e k2 π 2t sin(kπx), (t, x) [0, ) [0, 1]. k=1 48

6 Entsprechendes gilt für m =, wenn man die Koeffizienten (a k ) so sind, dass man den Reihen einen Sinn geben kann. Dies ist z.b. für k=1 a k < der Fall. Die Reihe für f konvergiert dann absolut und gleichmäßig auf [0, 1] und u ist stetig auf [0, ) [0, 1]. liedweises Ableiten der Reihe für u ist in (0, ) [0, 1] möglich nach Sätzen aus HM I. Bemerkung: Ein analoges Vorgehen ist möglich bei leichungen t u u = 0, t > 0, x Ω, u(t, x) = 0, x Ω, u(0, x) = f( x), x Ω, (2) wobei Ω R n beschränkt ist. Auch hier muss man λ (die Eigenwerte) und Funktionen w : Ω R (die Eigenfunktionen) suchen mit w = λw in Ω, w Ω = 0. Man braucht etwas mehr mathematische Theorie um zu zeigen, dass dies hier immer auf eine Folge (λ k ) von Eigenwerten führt mit λ k (ohne weitere Voraussetzungen an Ω). Fordert man statt der homogenen Dirichletbedingung u(t, x) = 0, x Ω, homogene Neumann-Randbedingungen N u(t, x) = 0, x Ω, so braucht man für eine entsprechende Aussage Regularitätsvoraussetzungen an den Rand Ω. Ende Woche 14 49