Schauderbasen und das Beispiel der Riesz-Basen auf Hilberträumen

Transkript

1 Schauderbasen und das Beispiel der Riesz-Basen auf ilberträumen Bernhard Stiftner 0. Dezember 0 Inhaltsverzeichnis Allgemeines zu Schauderbasen Spezielle Schauderbasen auf ilberträumen 8 3 Literatur 8

2 Allgemeines zu Schauderbasen Bemerkung. Sei X ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum der Dimension N N, dann gibt es N linear unabhängige Vektoren (b n N und eine eindeutige Folge (a n N von Skalaren, sodass x = N a n b n ( gilt. Für Details verweise auf [AV]. Es liegt nahe dieses Konzept auf Vektorräume "gröÿerer"dimension zu erweitern. Dies ist "manchmal", mit gewissen Einschränkungen auch möglich. Denition. Sei X ein nomierter linearer Raum. Eine Folge B := (b n in X heiÿt Schauderbasis von X, wenn es für jedes x X eine eindeutige Folge (a n von Skalaren gibt, mit x = a n b n ( Bemerkung 3. ˆ Nicht jeder Banachraum X hat eine Schauderbasis. ˆ In Denition konvergiert die Summe in der Norm des normierten Raums. Diese Konvergenz muss nicht absolut sein. ˆ In der Folge (b n aus der Denition ist die Reihenfolge wesentlich. Die Eigenschaft eine Schauderbasis zu sein kann bei einer beliebigen Permutation der Elemente verloren gehen. ˆ Der Nullvektor ist kein Element einer Schauderbasis. Wäre nämlich b n0 = 0 für eine Schauderbasis (b n, dann hätte er mit 0 = a n0 b n0 = a n0 0 für ein beliebiges a n0 mehr als eine Darstellung. ˆ Eine Schauderbasis ist linear unabhängig. Für eine nichttriviale beliebige Linearkombination 0 = a n b n (3 des Nullvektors müsste nämlich es dann n 0, n N geben mit a n0, a n 0. Damit gilt dann b n0 = n n 0 a n0 a n b n (4 Damit hat b n0 aber zwei verschiedene Darstellungen bzgl. der Schauderbasis (b n, was einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Darstellung darstellt. ˆ Ein Banachraum, der eine Schauderbasis hat, ist seperabel; d.h er hat eine abzählbare,dichte Teilmenge. Wähle zum Beispiel: { } M := a n b n : a n Q n N (5 dann gilt sicher M = X.

3 Beispiel 4. ˆ l p (I für überabzählbares I und p < hat keine Schauderbasis, da er nicht seperabel ist; nicht jeder seperable Banachraum besitzt umgekehrt eine Schauderbasis. ˆ l p (N, der Raum der p-summierbaren Folgen, ist seperabel und hat auch Schauderbasis. Wähle zum Beispiel (b m := (δ mn die kanonischen Einheitsvektoren. ˆ Betrachte für n N und i N mit i n die Funktionen des aar-systems: i x < i n+ n+ h n i +i : [0, ] R : x x < i n+ n+ 0 sonst. (6 Die h k sind sicher nicht orthogonal. Das System (h k k N ist eine Schauderbasis des L p [0, ] für p <. ˆ In der Darstellung von f L p [0, ] bzgl. dem aarsystem kommt es für < p < nicht auf die Reihenfolge der Summanden an. Für p = gilt das nicht. Im Allgemeinen gibt es auch keine andere Basis, sodass es in der Darstellung von f L [0, ] für die Koezienten nicht auf die Reihenfolge der Vektoren ankommt. Denition 5. (i Sei ein ilbertraum mit dem inneren Produkt (,. Eine Menge B := {b α : α A} in mit einer beliebigen Indexmenge A heiÿt Orthonormalsystem (ONS, wenn (b α, b β = δ nm α, β A (7 (ii Ein Orthonormalsystem heiÿt Orthonormalbasis (ONB, wenn es kein echt gröÿeres Orthonormalsystem gibt, d.h. für jedes ONS B mit B B bereits B = B folgt. Bemerkung 6. Mit dem Lemma von Zorn folgt dann leicht, dass es in jedem ilbertraum eine (nicht unbedingt abzählbare ONB gibt (vgl. dazu [FANA] Lemma Wir betrachten ab jetzt nur mehr abzählbare ilbertraumbasen. Satz 7. Sei ein ilbertraum und B := {b n : n N} in ein abzählbares Orthonormalsystem. Die folgenden Aussagen sind äquivalent (i B ist eine Orthonormalbasis. (ii D := span {b n : n N} ist dicht in. (iii Für alle x gilt die Parsevalgleichung; d.h es gilt x = (x, b n b n (8 und diese Darstellung ist eindeutig bzgl. (b n. Beweis. siehe [FANA], Korollar in vereinfachter Version (ursprünglich für beliebige Indexmengen Bemerkung 8. ˆ Jede abzählbare ONB ist lt. Satz 7 eine Schauderbasis, daher ist der Begri Schauderbasis eine Verallgemeinerung einer abzählbaren ONB auf einem ilbertraum. 3

4 ˆ In der Summe aus (7 kommt es auf die Reihenfolge nicht an. Vergleiche dazu Satz 7. Für obige Summendarstellung war nur die Dichtheit von D := span {b n : n N} wichtig. D ist aber invariant unter beliebigen Permutationen der b n. ˆ Sei (b n eine Schauderbasis auf einem ilbertraum und gelte zusätzlich (b m, b n = δ mn, dann ist (b n wegen der Äquivalenz von (i und (ii in Satz 7 eine ONB. Denition 9. Sei X ein normierter Raum und (b n eine Schauderbasis. Deniere die kanonischen Projektionen P N : X X : x = a n b n N a n b n (9 Bemerkung 0. ˆ Die kanonischen Projektionen hängen natürlich von der speziellen Schauderbasis (b n ab. ˆ Es gilt P N (X = span {b n : n N}. ˆ Die kanonischen Projektionen einer Schauderbasis (b n auf einem normierten Raum sind im Allgeinenen nicht beschränkt. Später werden wir für die kanonischen Projektionen P N von Schauderbasen auf Banachräumen sogar die gleichmäÿige Beschränktheit zeigen. Für eine abzählbare ONB auf einem ilbertraum gilt sogar immer P N =. Lemma. Sei (b n eine Schauderbasis eines normierten Raums X. Die kanonischen Projektionen P N erfüllen die folgenden drei Eigenschaften: (i Es gilt dim (P N (X = N, (ii P N P M = P M P N = P min(n,m, (iii für x X gilt P N (x x für N. Gelte umgekehrt für eine Folge von beschränkten (! Projektionen (P N N N auf einem normierten Raum die Eigenschaften (i-(iii, dann sind diese Projektionen die kanonischen Projektionen einer Schauderbasis. Beweis.. Es gilt P N (X := span {b n : n N} und die Vektoren (b n sind linear unabhängig, woraus die Aussage unmittelbar folgt.. klar 3. folgt sofort aus der Denition der Schauderbasis. Gelte für eine Folge von Projektionen (P N N N auf einem normierten Raum umgekehrt die Eigenschaften (i-(iii. Aus (ii folgt P N (X = P M (P N (X P M (X für M N und mit (i ist (P N (X eine Folge von aufsteigenden Unterräumen mit dim (P N (X + = dim (P N+ (X. Sei nun (b n beliebige Folge, sodass aber (b n N eine Basis von P N (X ist und zusätzlich b n+ ker P n (X gilt. Setze zusätzlich P 0 = 0. Mit (iii folgt dann für eine x X: P N+ (x P N (x = N+ a n b n N ã n b n (0 4

5 für zwei Folgen von Skalaren (a n N+ und (ã n N. Es gilt nun ( N+ 0 = P N (P N+ (x P N (x = P N a n b n und damit muss a n = ã n gelten für n N. Damit gilt aber für ein geeignetes a n+. Wir können nun weiter berechnen: N ã n b n = N a n b n N ã n b n ( P N+ (x P N (x = a n+ b n+ ( x = lim N P N (x = lim N P N (x P 0 (x = lim n = N (P n (x P n (x (3 (P n (x P n (x = a n b n (4 für Skalare a n. Für die Eindeutigkeit diese Darstellung betrachte eine weitere Darstellung x = β n b n. Die Projektionen sind lt. Voraussetzung stetig. Daher gilt für M N dann P M (x = P M ( lim N N β n b n = lim N P M ( N β n b n = M β n b n (5 Damit folgt sofort β n b n = P n (x P n (x = α n b n und dadurch die Eindeutigkeit der Darstellung. Damit ist (b n eine Schauderbasis und es folgt auch gleich, dass P n die kanonischen Projektionen von (b n. Lemma. Sei (X X ein normierter Raum mit einer Schauderbasis (b n. Gelte nun für die kanonischen Projektionen P n dann sup P n X <, dann ist (b n auch eine Schauderbasis der n Vervollständigung und die kanonischen Projetionen P n sind genau die stetigen Fortsetzungen von P n auf X. Beweis. Da die P n beschränkt sind, können sie stetig auf die Vervollständigung X erweitert werden. Nenne diese Erweiterung P n. Wir überprüfen nun die Eigenschaften (i-(iii aus Lemma für Pn auf X. Pn (X ist endlichdimensional und damit abgeschlossen in X. Für die Vervollständigung gilt P n (X P ( n X und damit folgt P ( n X = P n (X. (ii folgt sofort da die Aussage für die P n ja auf einer dichten Teilmenge gilt. Für (iii betrachte x X. Es gilt lt. Voraussetzung P n (x x für alle x X. Sei nun x ɛ X derart, dass x ɛ x für ɛ 0. Betrachte nun ( lim P n ( x = lim Pn lim x ɛ = lim lim P n (x ɛ = lim lim P n (x ɛ = lim x ɛ = x (6 ɛ 0 ɛ 0 ɛ 0 ɛ 0 wobei das dritte Gleichheitszeichen aus sup P X n = sup P n X < und der daraus resultierenden Gleichmäÿigkeit der Grenzübergangs in n folgt. Es folgt dass (b n eine Folge wie im Beweis der Umkehrung von Lemma ist. Der Rest folgt dann genauso. Satz 3. Sei (b n eine Schauderbasis auf einem Banachraum X. Setze für x = a n b n dann N X x B := sup a i b i. Es gelten die folgenden Aussagen: N N 5

6 (i B ist eine Norm auf X. (b n ist auch eine Schauderbasis auf (X, B und für die kanonischen Projekionen P N gilt P N B. (ii (X, B ist ein Banachraum und B eine äquivalente Norm auf X. (iii Es gilt sup P n X < für n N. Beweis. (i Wir zeigen zuerst, dass B eine Norm auf X ist. Die Wohldeniertheit folgt aus N x X = lim a n b n < (7 n X Die omogenität und die Dreiecksungleichung folgen sofort aus der Denition. Für die Denitheit betrachte die wieder (7. Es folgt sofort x B x X. Für x B = 0 folgt dann x X = 0 und weil X eine Norm ist, dann auch x = 0. Damit ist B eine Norm auf X. Nun zeigen wir, dass (b n auch eine Schauderbasis auf (X, B ist. Dazu verwenden wir Lemma. Für die kanonischen Projektionen P n der Schauderbasis (b n in (X, X rechnen wir also die Eigenschaften (i-(iii und die gleichmäÿige Beschränktheit der P n als Abbildung auf (X, B nach. Die Eigenschaften (i und (ii sind keine Frage der Topologie und folgen daher einfach weil (b n eine Schauderbasis auf (X, X ist. Für die Eigenschaft (iii wähle x X. Es gilt x P n (x B = sup P m (x P n P m (x X = sup P m (x P n (x X 0, (8 n m da die P n (x für n N den endlichen Teilsummen der Reihendarstellung bzgl. der Schauderbasis entsprechen und die eine Cauchyfolge in (X, X sind. Für die Beschränkheit betrachte schlieÿlich für m N P m B = sup x B = sup P m x B = { sup { da ja P n P m (x = P min(m,n (x. sup x B sup P n P m (x X = sup sup x B P n P m (x X : für x gilt sup P i (x X i N P n P m (x X = (9 }}, (0 (ii Wir zeigen zuerst, dass (X, B ein vollständiger Raum ist. Sei dazu X die Vervollständigung von X bzgl. B. Wir rechnen nach, dass X = X gilt. In (i haben wir gezeigt, dass (b n eine Schauderbasis (X, B. Mit Lemma folgt auch, dass (b n Schauderbasis der Vervollständigung X ist. Sei nun x X, dann existiert eine eindeutige Folge von Skalaren a n mit x = a n b n. Da ja lt. (i auch B X auf X gilt, folgt, dass N a n b n eine Cauchyfolge in (X, X ist. Daher gibt es x X mit N a n b n x bzgl. X für N, denn (X, X ist ein Banachraum. (b n ist auch eine Schauderbasis in (X, B und wegen Lemma, (iii gilt dann auch P N (x = N a n b n x bzgl. B. Insgesamt folgt x = x. 6

7 Für die Äquivalenz der Normen betrachte nun Einbettung ι X : (X, B (X, X. Wegen B X ist das eine stetige bijektive Abbildung zwischen zwei Banachräumen. Mit einem Korollar des Satzes der oenen Abbildung folgt, dass auch ι X stetig ist und damit auch die Äquivalenz der Normen. (iii Lt. (i gilt P n B für n N. Lt. (ii sind B und X äquivalente Normen, womit die Aussage unmittelbar folgt. Satz 4. Sei (b n eine Schauderbasis auf einem Banachraum X. Die Abbildung ψ N : X R (C : x = a n b n a N ( ist ein stetiges lineares Funktional auf X und es gilt b N X ψ N C B b N X ( Beweis. Setze P 0 = 0. Für x = a n b n und N N gilt dann und schlieÿlich ψ N X = P n (x P n (x X = ψ N (x b N X = ψ N (x b N X (3 sup ψ (x = b N X x X sup x X ψ (x b N X b N X sup P n X }{{} lt. Satz 3 (iii <, (4 Schlieÿlich gilt noch ψ N (b N = und damit ψ N X b N X Insgesamt folgt ψ N X b N X. 7

8 Spezielle Schauderbasen auf ilberträumen Sei nun ein ilbertraum. Bemerkung 5. ˆ Für eine Schauderbasis (b n betrachte das Funktional ψ N : R (C : x = a n b n a N (5 wie in Satz 4. ψ N ist eine stetiges lineares Funktional und mit dem Satz von Riesz-Fischer existiert eine eindeutige Folge (c n mit ψ n (x = (x, c n x n N (6 und damit gilt: x = a n b n = ψ n (x b n = (x, c n b n (7 Wir erhalten auf diese Weise also eine Verallgemeinerung der Fourierreihe bzgl. einer ONB auf dem ilbertraum. ˆ Klarerweise gilt (b m, c n = δ mn für m, n N. ˆ Es folgt ψ n = c n. Bemerkung 5 motiviert die folgende Denition: Denition 6. Sei ein ilbertraum. Zwei Folgen (c n und (d n in diesem ilbertraum heiÿen biorthogonal, wenn (c n, d m = δ nm n, m N (8 8

9 Satz 7 (Banach. Sei ein ilbertraum mit einer Schauderbasis (b n. (i Es existiert genau eine Folge (c n, sodass (b n und (c n biorthogonal sind. (ii Es gilt span {c n : n N} =. (iii Jedes x wird durch x = (x, c n b n (9 eindeutig bzgl. (b n dargestellt. (iv (c n aus (i ist auch eine Schauderbasis von. Beweis. (i Für eine Schauderbasis (b n lässt sich wie in Bemerkung 5 eine biorthogonale Folge (c n nden. Es muss lt. Denition 6 für jedes n 0 N dann c n0 span {b n : n n 0 } gelten. Es gilt dim span {b n : n n 0 } = und wegen (b n0, c n0 = ist (c n auch schon die einzige mögliche Folge. (ii Wir zeigen span {c n : n N} = 0. Für x = a n b n span {c n : n N} gilt sicher (c n, x = 0 für alle n N. Berechne dann ( 0 = (x, c m = a n b n, c m = Damit folgt aber x = 0. Schlieÿlich folgt span {c n : n N} =. (iii Mit Bemerkung 5 und (i folgt die Aussage unmittelbar. (iv Lt. dem vorherigen Punkt gilt für jedes x die Gleichung x = a n (b n, c m = a n (b m, c m = a m m N (30 (x, c n b n (3 und diese Summe konvergiert in der Norm. Wegen der Stetigkeit des Skalarprodukts (, folgt, dass für y auch (x, y = (x, c n (b n, y R (C (3 gilt. Es gilt weiters (x, y = lim N Betrachte weiters die Projektionen ( x, N (y, b n c n x, y (33 N Q N : span {c n : n N} : y (y, b n c n (34 9

10 Die Q N sind sicher beschränkt, da x (x, b n für jedes n N sicher stetig ist und Q N damit nur ein endliche Summe von stetigen Abbildungen ist. Mit (33 folgt dann Q n (y y bzw. Q n id. Schwach konvergente Teilfolgen sind beschränkt (folgt aus Banach-Steinhaus, d.h für x gilt sup Q n (y M y. Mit dem Prinzip der gleichmäÿigen Beschränktheit (vgl. [FANA], Korollar 4.. folgt dann, sup Q n < M <. Mit (ii wähle dann für ein y und ɛ R + können wegen (ii N ɛ N und d ɛ n mit n N ɛ derart gewählt werden, dass gilt. Weiters gilt damit N ɛ y d ɛ nc n < ɛ (35 N Q N (y ɛ N ɛ d ɛ nc n = Q N (y d ɛ nc n für N > N ɛ (36 und damit Q N ɛ N (y d ɛ nc n Mɛ (37 Für N > N ɛ gilt damit N ɛ Q N (y x Q N (y d ɛ N nc n + ɛ d ɛ nc n y ( + M ɛ (38 Damit gilt Q N (y = N (y, b n c n x bzw. y = (y, b n c n. Für die Eindeutigkeit betrachte eine weitere Darstellung y = d n c n. Dann gilt Q (y = d c = (y, b c. Weil sicher c n 0 für n N gilt (sonst wäre der n-te Koezient immer 0, folgt d = (y, b. Induktiv folgt, dann sofort d n = (y, b n für n N. 0

11 Bevor wir Riesz-Basen denieren noch die folgende Bemerkung: Bemerkung 8. Sei (φ n eine ONB auf einem ilbertraum und A B ( und sogar invertierbar. Für x gilt dann A x = ( A x, φ n φ n = ( x, A φ n φ n (39 und ( ( x = A x, A φ n φ n = ( x, A φ n Aφ n (40 Setze nun b n := Aφ n und c n := A φ n für n N. Es gilt (b m, c n = ( Aφ m, A φ n = ( Aφ m, A φ n = ( A Aφ m, φ n = δ mn (4 damit haben wir die Folgen (b n und die dazu biorthogonale Folge (b n, mit x = (x, c n b n (4 Wegen ( (x, c m = a n b n, c n = a m m N (43 folgt dann die Eindeutigkeit dieser Darstellung. Damit wird jede Orthonormalbasis (φ n durch einen Operator A B ( in die Schauderbasis (Aφ n deniert. Durch Bemerkung 8 wird die folgende Denition motiviert. Denition 9 (Riesz-Basis. Eine Folge (b n auf einem ilbertraum heiÿt äquivalent zu einer Orthonormalbasis (φ n, wenn es einen invertierbaren Operator A B ( gibt, mit Aφ n = b n für alle n N. Eine solche Schauderbasis wird auch Riesz-Basis genannt. Bemerkung 0. ˆ Wie in Bemerkung 8 folgt, dass eine Riesz-Basis eine Schauderbasis ist, womit der Basisgegri gerechtfertigt ist. ˆ In Denition 9 ist es äquivalent zu fordern, dass es einen Operator à B ( gibt, mit Ãb n = φ n, wobei (φ n eine Orthonormalbasis ist; wähle einfach à := A.

12 Lemma. Sei (b n eine Riesz-Basis auf. (i Die zu (b n biorthogonale Basis (c n ist auch eine Riesz-Basis. (ii Es gilt sup b n A und inf b n. A ( (iii b n b n ist auch eine Riesz-Basis. Beweis. (i Lt. Voraussetzung existiert ein A B ( und eine ONB (φ n mit Aφ n = b n für alle n N. Betrachte schlieÿlich die Folge (A φ n mit für n N. Wie schon in (4 gilt (b m, A φ n = δ mn für m, n N. Da (b n eine Schauderbasis ist und die zu einer Schauderbasis biorthogonale Folge lt. Satz 7 eindeutig und wieder eine Schauderbasis ist, und sicher A B ( und A auch invertierbar ist, folgt die Aussage unmittelbar. (ii Es gilt und weiter womit beide Ungleichungen gezeigt sind. b n = Aφ n A n N (44 = φ n = A b n A b n n N (45 (iii Deniere für n N die auf der ONB (φ n die Abbildung Bφ n = φ n b n ; dadurch die lineare Fortsetzung B auf span {φ n : n N} eindeutig deniert. Mit (ii berechne ( N B a n φ n N = a n A b n = ( N A B a n φ n N a n = (46 Stetig fortsetzen auf liefert schlieÿlich B B (. ( Analog folgt, dass B invertierbar ist. Es gilt ABφ n = b n b n für alle n N und damit ist b n b n eine Riesz-Basis. (47

13 Bemerkung. ˆ Jede Riesz-Basis ist lt. Denition eine Schauderbasis. Die Frage unter welchen Voraussetzungen eine Schauderbasis eine Riesz-Basis ist, ist nicht so einfach zu beantworten. Details dazu später. ˆ Riesz-Basen sind im Wesentlichen ONB auf bzgl. einem veränderten, dieselbe Topologie erzeugenden Skalarprodukt (,. Dazu der folgende Satz. Satz 3. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i Die Folge (b n ist eine Riesz-Basis. (ii Es gibt ein Skalarprodukt (, (, auf, das dieselbe Topologie wie (, (b n ist eine ONB in (, (,. erzeugt und (iii span {b n : n N} = und es existieren K, K R + sodass N N und für jede Folge von Skalaren (a n gilt: K N a n N a n b n K N a n (48 (iv span {b n : n N} =, es existiert eine zu (b n biorthogonale Folge (c n mit span {c n : n N} = und es gilt (f, b n <, (f, c n < (49 Beweis. ˆ (i (ii: Sei A B ( der invertierbare Operator auf, der (b n auf eine ONB (φ n abbildet. Betrachte (x, y := (Ax, Ay ; es folgt leicht, dass (, ein Skalarprodukt auf ist. Bezeichne die zugehörige Norm auf mit. Man rechnet auch leicht nach, dass gilt. Schlieÿlich gilt noch womit (b n eine ONB in (, (, ist. A x Ax = x A x (50 (b m, b n = (Ab m, Ab m = (φ m, φ n = δ mn, (5 ˆ (ii (iii: Im vorherigen Schritt haben wir nachgerechnet, dass für x die Ungleichungskette K x Ax K x (5 für K, K R + gilt. Sei nun (a n eine Folge von Skalaren und N N, dann gilt K N N a n = K a n φ n N K a n φ n ( N A a n φ n N = a n b n (53 N = K a n (54 3

14 ˆ (iii (i: Sei (φ n eine beliebige abzählbare ONB auf. Eine solche existiert; wende auf (b n einfach das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt an. Deniere die Operatoren N N A : span {φ n : n N} span {b n : n N} : a n φ n a n b n (55 und dieser Operator ist sicher wohldeniert. Betrachte weiter N A : span {b n : n N} span {φ n : n N} : a n b n N a n φ n (56 was per se noch nicht wohldeniert ist, denn {b n : n N} ist keine Basis. Sei nun aber o.e.d.a für x span {b n : n N} dann x = N a n b n = N ã n b n für Folgen (a n N und (ã n N. Wegen der Voraussetzung in (iii gilt dann: N a n ã n K N a n b n N ã n b n = 0 (57 und damit folgt die wohldeniertheit von A auf span {b n : n N}. Insgesamt folgt nun ( N A N N a n φ n = a n b n K a n N = a n φ n und ( N A a n b n N = a n φ n = N a n K N a n b n Damit sind A und A dicht denierte und beschränkte Opertoren und lassen sich daher eindeutig auf A, A B ( fortsetzen. Es folgt leicht A A = A A = id. Damit ist A B ( ein linearer invertierbarer Operator mit Aφ n = b n und damit ist (b n eine Riesz-Basis. ˆ (i (iv: Der erste Teil der Aussage ist trivial. Für den zweiten Teil der Aussage sei (c n die zur Riesz-Basis (b n birorthognoale Basis. Es existiert ein A B (, das noch dazu invertierbar ist mit Ab n = φ n = A c n für alle n N. Nun gilt lt. Bemerkung 5 x = (x, c n b n = (58 (59 (x, b n c n (60 und weiter also auch Ax = (x, c n Ab n = (x, c n φ n (6 A x = (x, b n A c n = (x, b n φ n (6 und schlieÿlich > Ax = (x, c n und > A x = (x, b n (63 ˆ (iv (i: Mühsam, vgl. [GOKREIN], Kapitel 6, Theorem. 4

15 Denition 4. Eine Schauderbasis (b n auf einem ilbertraum heiÿt permutierbar, wenn jede Permutation der Basiselemente wieder eine Schauderbasis ergibt. Lemma 5. (i Abzählbare ONBs sind permutierbar. (ii Die zu einer Schauderbasis (b n biorthogonale Schauderbasis ist wieder permutierbar. (iii Riesz-Basen sind permutierbar. Beweis. (i Folgt aus Bemerkung 8. (ii Sei (b n permutierbar und σ : N N eine beliebige Permutation. Betrachte die lt. Lemma 7 eindeutige biorthogonale Basis (c n. Klarerweise ist ( c σ(n biorthogonal zur Folge ( bσ(n und lt. Voraussetzung ist ( b σ(n wieder eine Schauderbasis. Wieder mit Lemma 7 folgt, dass ( c σ(n wieder eine Schauderbasis ist. (iii Sei x beliebig, (b n eine Riesz-Basis, σ : N N eine beliebige Permutation und (φ n und A B ( die zugehörigen ONB und der beschränkte, invertierbare, lineare Operator, mit Aφ n = b n für n N. Es gibt dann eine eindeutige Folge (a n von Skalaren, sodass x = = A a n b n = A A a σ(n φ σ(n = a n b n = A a n Ab n = A a n φ n = (64 a σ(n A φ σ(n = a σ(n b σ(n, (65 gilt, wobei das vierte Gleichheitszeichen aus der Permutierbarkeit von ONBs folgt. Die Eindeutigkeit dieser Darstellung folgt wie in Satz 7, (iii. Bemerkung 6. In Lemma 5 haben wir für einen ilbertraum mit der permutierbaren Basis (b ( n, ihre biorthognoale Basis (c n und für eine Permutation σ : N N gezeigt, dass die zu bσ(n biorthogonale Basis ( c σ(n ist. Da lt. Satz 7 x = (x, c n b n und diese Darstellung eindeutig ist, folgt auch x = ( x, cσ(n b σ(n. Damit ist die Koezientenfolge einer permutierten Schauderbasis gleich der permutierten Koezientenfolge. Wir zitieren Lemmas. Lemma 7. Sei (b n eine Folge in einem Banachraum X (nicht unbedingt eine Schauderbasis und sei { } sup b n : A < <, (66 n A X dann gelten die folgenden beiden Aussagen. (i Es gilt sup N; ɛ n N ɛ n b n < (67 X 5

16 (ii und b n X < (68 Beweis. Siehe [GOKREIN], Kapitel 6, Lemma., Lemma. Denition 8. Eine Schauderbasis (b n auf einem ilbertraum heiÿt fast normiert, wenn inf b n > 0 und sup b n < (69 Lemma 9. (i Sei (c n die zur fast normierten Schauderbasis (b n auf einem ilbertraum biorthogonale Basis, dann ist auch (c n fast normiert. (ii Riesz-Basen sind fast normiert. Beweis. (i Betrachte die Abbildung ψ N aus Bemerkung 8. Mit dem.teil der Bemerkung und Satz 4 folgt inf c n = inf ψ n inf b n = sup > 0 (70 b n und sup c n = sup ψ n C B sup = C B b n inf b < (7 n für eine von der Basis abhängigen Konstante C B R +. (ii Bereits in Lemma (ii gezeigt. Satz 30. Eine Schauderbasis (b n auf einem ilbertraum ist eine Riesz-Basis, genau dann wenn sie permutierbar und fast normiert ist. Beweis. ˆ = : Bereits in Lemma 5 (ii bzw. Lemma 9 (ii gezeigt. ˆ =: Ein beliebiges x und eine beliebige Permutation σ : N N gilt lt. Bemerkung 5 und weil (b n lt. Voraussetzung permutierbar ist, dann x = (x, c n b n = ( x, cσ(n b σ(n (7 wobei (c n die zu (b n biorthogonale Schauderbasis ist. Für eine beliebige Permutation σ : N N und für ein x = (x, c n b n = ( x, cσ(n b σ(n gilt wegen Satz 3 dann > x X C x B (x, c n b n n A B (73 6

17 denn für A < ordne die n A einfach nach vorne. Damit ist aber auch die Voraussetzung von Lemma 7 erfüllt und es gilt: (x, c n b n < (74 und analog (x, b n c n < (75 Da (b n und (c n lt. Lemma 9 (ii fast normiert sind, folgt die Aussage folgt nun mit Satz 3. (x, c n < und (x, b n < (76 Beispiel 3. Es ist gar nicht so leicht eine Schauderbasis (b n zu nden, die keine Rieszbasis ist. Betrachte etwa das Beispiel von K.I. Babenko. (( α + x α exp (iπnx < α < ; α 0 (77 n Z Dies ist eine Basis auf L (,, aber keine Riesz-Basis. 7

18 3 Literatur [ANA] M. Kaltenbäck, Analysis für Technische Mathematik, Vorlesungsskript an der TU Wien, 0 [BASPT] M. Fabian, P. abala, P. ajek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory- The basis for linear and non-linear Analysis, Springer, New York, 00 [FANA]. Woracek, M. Kaltenbäck und M. Blümlinger, Funktionalanalysis, 8.Auage, Vorlesungsskript an der TU Wien, April 0 [GOKREIN] I.C. Gohberg, M.G. Krein, Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators, American Mathematical Society, Rhode Island, 969 [AV]. avlicek, Lineare Algebra für Technische Mathematiker, eldermann Verlag, Berliner Studienreihe zur Mathematik, Band 6, Berlin 006 [WIKI] ; Zugri am