2. Grundlagen der Funktionalanalysis

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1 Existenz eines neutrlen Elements: 1 v = v α, β K und v, v 1, v 2 V. 2. Grundlgen der Funktionlnlysis Die Funktionlnlysis beschäftigt sich mit Vektorräumen und stetigen Abbildungen uf diesen. Wichtig ist dbei der Begriff des Funktionls, d.h. einer Abbildung von Vektoren uf Sklre Norm, bestimmtes Integrl und des Opertors, d.h. einer Abbildung von Vektoren uf Vektoren Differentition, unbestimmtes Integrl. Mn knn die Funktionlnlysis ls eine Erweiterung der Lineren Algebr uffssen. Ein wichtiger Spezilfll der in der Funktionlnlysis untersuchten Vektorräume sind normierte Vektorräume, z.b. Hilberträume. 2.1 Vektorräume Vektorräume sind in der Physik von besonderer Bedeutung, d sie oft die zugrundeliegende mthemtische Struktur des physiklischen Problems wiederspiegeln. Wir beginnen mit einer kurzen Wiederholung der grundelegenden Definitionen. Definition 2.1 Vektorrum. Es sei K ein Körper R oder C und eine Menge V gegeben mit einer inneren Verknüpfung Addition: + : V V V, v1, v 2 v 1 + v 2 und einer äußeren Verknüpfung Multipliktion mit Sklren, : K V V, α, v α v, dnn heißt V Vektorrum über K, wenn gilt: V1: V zusmmen mit der Addition + ist eine Abelsche Gruppe. V2: Für die Multipliktion mit Sklren gilt Distributivität: α + β v = α v + β v Distributivität: α v 1 + v 2 = α v 1 + α v 2 Assozitivität: α β v = αβ v 20 Die Elemente v V heißen Vektoren. Als Schreibweise für Vektoren wählen wir v, nch Dirc uch ket gennnt. Definition 2.2 Untervektorrum. Sei V ein K-Vektorrum. Die Teilmenge W V heißt Untervektorrum von V, wenn gilt UV1: W UV2: Abgeschlossenheit bezüglich Addition : w 1, w 2 W w 1 + w 2 W UV3: Abgeschlossenheit bezüglich Multipliktion mit Sklren: w W, α K α w W Ddurch wird in W eine Vektorrumstruktur induziert. K n : Die Menge K n ller n-tupel α = α 1,..., α n, α i K d.h. der gewohnte n-dimensionle K-Vektorrum, K = R oder K = C b l p : Die Menge l p 1 p < ller Folgen für die gilt αn p < c C[, b]: Die Menge C[, b] ller uf dem Intervll [, b] stetigen Funktionen. d C n [, b]: Die Menge C n [, b] ller uf dem Intervll [, b] n-ml stetig differenzierbren Funktionen. e L p : Die Menge L p 1 p < ller uf dem Intervll [, b] messbren Funktionen f : t ft, für die ds Integrl b dt ft p existiert. 2.2 Normierte Räume In Form einer Norm führen wir eine Struktur in Vektorräumen ein; es wird sich zeigen, dss es viele verschiedene Relisierungen von Normen gibt. Normen quntifizieren den Begriff des Abstndes zwischen Vektoren. Definition 2.3 Norm. Es sei ein K-Vektorrum V gegeben, uf dem eine Abbildung : V R definiert sei. Diese Abbildung nennen wir Norm, wenn die folgenden Axiome gelten wir verwenden die Schreibweise v v : 21 n=1

2 N1: v 0, wobei v = 0 v = 0 N2: Homogenitätseigenschft: α v = α v N3: Dreiecksungleichung: v 1 + v 2 v 1 + v 2 Einen Vektorrum mit einer Norm nennen wir normierten Rum und bezeichnen ihn mit V,. Lemm 2.1. Sei eine Norm uf V, dnn gilt für lle v 1, v 2 V: v 1 ± v 2 v 1 v 2. Wir betrchten jetzt Folgen in Vektorräumen. Unter dem Limes der Folge v n n v verstehen wir, dss gilt: v n v n 0. Normierte Räume hben die folgenden Stetigkeitseigenschften: Stz 2.1. Es sei ein normierter Rum V, gegeben mit den Folgen v n, v n V und α n K und den Konvergenzeigenschften v n n v, v n n v n, α n α, dnn gilt: 1 v n + v n n v + v. 2 α n v n n α v 3 v n n v Ds beweist mn mit den Normeigenschften N1-N3, z.b. für 1 v n + v n v + v = v n v + v n v v n v + v n v n 0 Aus den Vektorrumbeispielen lssen sich z.b. mit folgenden Normen normierte Vektorräume konstruieren: Euklidische Norm 2 : K n, 2 : α 2 := n α l 2, α α 1,..., α n K n b C[, b], 2 : f 2 := dt ft 2, 22 f C[, b] b p-norm p, 1 p < : 1/p l p, p : α p := α l p, α α 1,..., α n,... l p b 1/p L p [, b], p : f p := dt ft p, f L p [, b] Die Vektorräume l p und L p, insbesondere l 2 und L 2 spielen eine wichtige Rolle in der Quntenmechnik. Sklrprodukt Eng verbunden mit der Norm ist ds Sklrprodukt in Vektorräumen. Definition 2.4 Sklrprodukt. Es sei ein K-Vektorrum gegeben, uf dem eine Abbildung : V V K R oder C definiert sei. Wir nennen diese Abbildung Sklrprodukt, wenn folgende Axiome für lle v, v 1, v 2 V und α K gelten: S1: v v 0, wobei v v = 0 v = 0 Sklrprodukt ist positiv definit S2: v 1 αv 2 = α v 1 v 2 S3: v v 1 + v 2 = v v1 + v v2 S4: v 1 v 2 = v 2 v 1 Sklrprodukt ist Hermitesch Gilt v 1 v 2 = 0, so heißen die Vektoren v 1 und v 2 orthogonl zueinnder. Aus diesen Definitionen folgt, dss mit v = v v, v V eine Norm uf V erklärt wird, die knonische Norm uf V gennnt wird. Die Normxiome N1-N3 folgen dnn us S1-S3. l 2, 2 : α β := α nβ n, β 1,..., β n,... l 2 n=1 α α 1,..., α n,..., β Ds so definierte Sklrprodukt erzeugt die Euklidische Norm 2 ls knonische Norm. Mn vergewissert sich leicht, dss es sich bei α β um ein Sklrprodukt hndelt: 23

3 1 α α = n α nα n = n α n 2 0, und n α n 2 = 0 α n = 0 n α = 0. 2 α cβ = n α n cβn = c n α nβ n = c α β. 3 α β + γ = n α n βn + γ n = n α nβ n + n α nγ n = α β + α γ. 4 α β = n α nβ n = n β n α n = β α. b C[, b], 2 : f g := b dt ft gt, f, g C[, b] Auch in diesem Fll erzeugt die Euklidische Norm 2 die knonische Norm. c b C[, b], w 2 : f g := dt wt ft gt, f, g C[, b] mit einer Gewichtsfunktion wt C[, b], für die wt > 0 gilt. Einen Vektorrum mit einem Sklrprodukt nennt mn uch einen Prähilbertrum. Eine Norm, die durch ein Sklrprodukt erzeugt wird, ht folgende Eigenschften: Stz 2.2. Sei ein K-Vektorrum gegeben mit v 1, v 2 V, α K, mit einer knonischen Norm, die durch ds Sklrprodukt erzeugt wird, dnn gilt: 1 Schwrzsche Ungleichung: v1 v 2 v1 v 2. 2 v 1 + v 2 = v 1 + v 2 α 0 mit v 1 = α v 2 oder v 2 = α v 1. 3 Prllelogrmmidentität: v 1 + v v 1 v 2 2 = 2 v v Polrisierungsidentität K = R v 1 v 2 = 1 4 v1 + v 2 2 v 1 v 2 2. b K = C v 1 v 2 = 1 4 v1 +v 2 2 v 1 v 2 2 +i v 1 iv 2 2 i v 1 + iv 2 2. Dule Vektoren und Dulräume Wir untersuchen nun die Lineritätseigenschften des Sklrproduktes. Wir beginnen mit dem zweiten Argument des Sklrprodukts und setzen v 1 = α v 2 + β v Dnn ist nch S2, S3 v v 1 = v α v 2 + β v 3 = α v v 2 + β v v 3, d.h. v v 1 ist eine linere Funktion von α und β, ds Sklrprodukt ist liner im zweiten Argument. Jetzt wenden wir uns dem ersten Argument zu und setzen v = α v 2 + β v 3. Wir bilden dsselbe Sklrprodukt unter Verwendung von S2-S4: v v 1 = v 1 v = α v 1 v 2 + β v 1 v 3 = α v 1 v 2 + β v 1 v 3 = α v 2 v 1 + β v 3 v Wir finden lso, dss v v 1 im ersten Argument keine linere Funktion von α und β ist. Mn nennt ds Sklrprodukt ntiliner im ersten Argument. Die durch ds Sklrprodukt definierte Form ist dher nicht biliner sondern sesquiliner. Um diese Asymmetrie bezüglich erstem und zweitem Argument des Sklrprodukts ufzulösen, interpretieren wir die sogennnten br-vektoren ls Elemente eines nderen Vektorrums. Dbei gibt es eine direkte Korrespondenz zwischen Vektoren beider Räume. Es gibt lso einen Rum der kets und einen dzu dulen Rum der brs. v heißt dnn der zu v dule Vektor; sie trgen den identischen Nmen v. Die Multipliktion eines br mit einem ket wird jetzt durch erklärt. Wenn wir setzen, finden wir v 1 v 2 v 1 v 2 v = v 2 α + v 3 β v v 1 = α v 2 v 1 + β v 3 v 1, d.h. dsselbe Resultt wie in 2.1. Somit ist v = v 2 α + v 3 β der zu v = α v 2 + β v 3 dule Vektor. Unser Sklrprodukt ist lso usschließlich zwischen brs und kets, d.h. zwischen Elementen zweier unterschiedlicher ber eng verwndter Vektorräume definiert. 25

4 Die mthemtische Grundlge für die Dircsche Br-Ket-Nottion ist der Zusmmenhng des Sklrprodukts uf normierten Vektorräumen später dnn Hilberträumen mit lineren Abbildungen oder lineren Funktionlen uf diesen: Zu jedem lineren Vektorrum V existiert ein sogennnter Dulrum linerer Funktionle uf V. Ein Funktionl weist jedem Vektor v V einen sklren Wert K zu. Ein lineres Funktionl erfüllt zusätzlich: F α v +β w = αf v +βf w α, β K und v, w V. 2.2 Beispiel für ein lineres Funktionl: ds bestimmte Integrl; es weist jeder Funktion f einen Sklr zu und ist liner. Die Menge ller lineren Funktionle bilden einen Vektorrum V den Dulrum, wenn wir uch die Summe definieren: F 1 + F 2 v = F 1 v + F2 v. 2.3 Der folgende Stz stellt jetzt die eindeutige Beziehung zwischen Vektorrum und zugehörigem Dulrum her: Stz 2.3 Rieszsches Theorem. V und V sind isomorph, d.h. es gibt eine eineindeutige Beziehung zwischen den lineren Funktionlen F in V und den Vektoren w in V. Alle lineren Funktionle hben die Form F v = w v, wobei w ein fester Vektor und v ein beliebiger Vektor ist. Deshlb können wir ein Funktionl F mit einem br-vektor w V identifizieren, der uf einen Vektor v V wirkt, mit der Schreibweise w v. Mn drf dbei nie die Antilinerität us dem Auge verlieren: der Vektor ket α v korrespondiert zum Funktionl br α v. 2.3 Hilberträume Hilberträume sind von zentrler Bedeutung in der Quntenmechnik. Zu ihrer Definition bruchen wir zunächst den Begriff der Cuchyfolge: Definition 2.5 Cuchyfolge. Es sei ein normierter Rum V, gegeben mit einer Folge v n V, n N. Diese Folge heißt Cuchyfolge, wenn zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N existiert, sodss für lle n, n > n 0 gilt: v n v n ɛ. Wir schreiben dfür kurz: v n v n n,n Wir sgen v n V konvergiert, wenn gilt: v n v n 0 und v V. Mn mcht sich leicht klr, dss es höchstens ein solches Element in V gibt, denn flls es ein weiteres Element v V gäbe, würde nch der Dreiecksungleichung N3 gelten: v v v v n + v n v 0 und zusmmen mit N1 v = v. Lemm 2.2. Jede konvergente Folge ist eine Cuchyfolge. Beweis: Es konvergiere v n gegen v, dnn gilt: v n v n v n v + v v n n,n 0. Für den Hilbertrum benötigen wir den Begriff der Vollständigkeit: Definition 2.6. Ein normierter Rum V, heißt vollständig, wenn in ihm jede Cuchyfolge konvergiert. Ds ist nicht selbstverständlich, denn es gibt j z.b. im Körper der rtionlen Zhlen Cuchyfolgen, die nicht gegen eine rtionle Zhl konvergieren; erst die Erweiterung des Körpers uf nichtrtionle Zhlen - die reellen Zhlen - mcht ihn vollständig. Nun hben wir lles prt für die Definition des Hilbertrums: Definition 2.7 Hilbertrum. Einen normierten Rum V, mit einme Sklrprodukt Prähilbertrum, der vollständig ist, nennen wir Hilbertrum und bezeichnen ihn mit H V,. 1 Der Prähilbertrum l 2, 2 mit Sklrprodukt α β = n α nβ n, α, β l 2 ist ein Hilbertrum. Er wird uch der Hilbertsche Folgenrum gennnt. Der Beweis der Vollständigkeit ist ein wenig knifflig Litertur. 2 Der Prähilbertrum L 2, 2 mit Sklrprodukt f g = b dx f xgx, f, g, L 2 ist ein Hilbertrum. Er wird uch der Hilbertsche Funktionenrum gennnt. Auch hier ist der Beweis der Vollständigkeit nicht gnz einfch; schon für die Positiv-Definitheit des Sklrprodukts muß mn vom Riemnn- Integrl zum Lebesgue-Integrl übergehen; dieses konvergiert im Mittel uch für Funktionen mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen. Der Hilbertrum ist dnn der Rum ller Lebesgue-integrierbren Funktionen, wobei wir Funktionen identifizieren, die sich nur uf einer Menge 27

5 vom Mß Null unterscheiden; ds Sklrprodukt ist uf diesem Quotientenrum eindeutig definiert und positiv-definit. Dieser Rum heißt Lebesguerum und ist definiert durch L [, b] ˆL 2 [, b] := L 2 [, b] /N [, b] = v ik α l v il = α l v ik v il = d.h. die Koeffizienten müssen lle null sein. α l δ kl = α k mit der Nullmenge N [, b] := { f L 2 [, b] f f = 0 }. Dies bildet eine Äquivlenzklsse in L 2 [, b], bei der Funktionen zur gleichen Klsse gehören, wenn sie fst überll übereinstimmen. 2.4 Orthogonlität Definition 2.8. Sei H ein Hilbertrum mit Unterräumen W, W H. Die Vektoren v, v H heißen orthogonl v v, wenn gilt: v v = 0. Wir schreiben v W, wenn v w = 0 w W. Zwei Unterräume W, W H heißen orthogonl, wenn w w = 0 w W, w W. Den Unterrum W := { v H v W } nennen wir Orthogonlrum von W. Wir bezeichnen mit W + W := { w + w w W, w W, W W = {0} } die direkte Summe zweier Unterräume und nennen sie orthogonle Summe, flls die Unterräume uch noch orthogonl sind W W und schreiben dfür W W. Für den durch die Vektoren { w i }, w i W ufgespnnten Unterrum schreiben wir uch w 1, w 2,.... Die bzählbre Teilmenge v i,2,... H nennen wir ein Orthogonlsystem, wenn prweise gilt: v i v j, i j. Gilt zusätzlich v i v j = δ ij, so nennen wir dies ein Orthonormlsystem ONS. Viele der folgenden Sätze und Definitionen sind us der lineren Algebr beknnt: Definition 2.9 Linere Unbhängigkeit. Eine Menge von Vektoren v i, i = 1,..., n heißt liner unbhängig, wenn gilt: α i v i = 0 α i Ansonsten heißen sie liner bhängig. Lemm 2.3. Jede Teilmenge eines Orthogonlsystems ist liner unbhängig. Beweis: Sei eine beliebige Teilmenge eines ONS gegeben: { v i1, v i2,..., v in }, dnn folgt us 0 = n α l v il, α l K 28 Definition 2.10 Dimension. Ein Vektorrum ht die Dimension n, wenn es in ihm mximl n liner unbhängige Vektoren gibt. Die Dimension eines Vektorrums ist unbhängig von der Whl der Bsis. In der Quntenmechnik hben wir es oft mit unendlich-dimensionlen Vektorräumen zu tun. Es gilt die Verllgemeinerung des Stzes von Pythgors: Lemm 2.4 Pythgors. Sei v i,2,...,n ein Orthogonlsystem in H und die knonische Norm, dnn gilt: 2 v i = v i 2 Beweis: i v i 2 = i v i j v j = ij v i v j = ij δ ij v i 2 = i v i 2 Trigonometrisches Orthonormlsystem: Sei H = L [, b], 2, dnn ist f n t := ein ONS, d gilt: 1 exp i 2πn b b t, n Z 2.6 f n f n = 1 b b dt exp i 2πn n t = δ nn b b Legendrefunktionen: Sei H = L 2 [, 1], 2, dnn führen die Legendreschen Polynome d n P n t := 1 t 2 2 n n! dt n 1 n, n N

6 d.h die ersten fünf sind P 0 t = 1, P 1 t = t, P 2 t = 1 2 3t2 1, P 3 t = 1 2 5t3 3t, P 4 t = t4 30t uf ds Orthonormlsystem der Legrendeschen Funktionen η n t := n P nt. 2.8 Die Legendrefunktionen treten beispielsweise uf, wenn mn die Lplcegleichung ϕ = 0 in Kugelkoordinten löst. c Hermitefunktionen: Sei H = L 2 R, w 2 mit wt = e t 2, d.h. ft w 2 = dt wt ft 2, dnn führen die Hermiteschen Polynome H n t := n t2 dn e, n N dt ne t2 d.h die ersten fünf sind H 0 t = 1, H 1 t = 2t, H 2 t = 4t 2 2, H 3 t = 8t 3 12t, H 4 t = 16t 4 48t uf ds ONS der Hermiteschen Funktionen ψ n t := e t2 2 2n n! π H nt Diese Funktionen treten ls Eigenfunktionen des hrmonischen Oszilltors uf. d Lguerrefunktionen: Sei H = L 2 [0, ], w 2 mit wt = e t 2, dnn führen die Lguerreschen Polynome L n t := e t dn dt n t n e t, n N uf ds ONS der Lguerreschen Funktionen φ n t := e t 2 n! L nt Die Lguerreschen Funktionen gehen in die Eigenfunktionen des Wsserstofftoms ein. 30 Als nächstes müssen wir die Frge bentworten, wie mn in einem gegebenen Hilbertrum ein Orthonormlsystem konstruiert. Stz 2.4 Grm-Schmidtsches Orthonormlisierungsverfhren. Es sei ein System { v 1,..., v n } liner unbhängiger Elemente us H gegeben, dnn gibt es ein Orthonormlsystem { e 1,..., e n } mit v1,..., v n = e 1,..., e n d.h. von den v i und den e i wird derselbe Unterrum ufgespnnt. Beweis: Wir setzen e 1 := v 1 v 1 und { führen den konstruktiven Beweis durch Induktion. Sei nun ein ONS ei },...,l<n schon bestimmt, sodss gilt: v 1,..., v l = e 1,..., e l. Dnn setzen wir ẽ l+1 := v l+1 l e i e i v l und zeigen, dss dieser Vektor orthogonl zu llen Vektoren { e 1,..., e l } ist: l l e j ẽ l+1 = e j v l+1 e j e i e i v l+1 = e j v l+1 δ ij e i v l+1 = 0 für lle j = 1,..., l. D v l+1 liner unbhängig ist, ist ẽ l+1 = 0. Nun setzen wir e l+1 := ẽ l+1 ẽ l+1 und erhlten ds ONS { e 1,..., e l+1 }. Beispiel: Wir betrchten den Hilbertrum H = L [, 1],, und den Unterrum der liner unbhängigen Polynome { v n = t n}. Dnn ergibt n=0,1,... ds Grm-Schmidtsche Orthonormlisierungsverfhren ds ONS der Legendrefunktionen. Die ersten Schritte der Orthonormierung wir beginnen mit Index 0 sttt 1 im Stz 2.4: v 0 = 1, v 1 = t, v 2 = t 2. v 0 v 0 = ẽ 1 = v 1 e 0 e 0 v 1 = t 1 2 dt = [t] 1 = 2 e 0 = dt t = t ẽ 1 ẽ 1 = = dt t 2 = 2 3 e 1 = 3 2 t

7 ẽ 2 = v 2 e 0 e 0 v 2 e 1 e 1 v 2 = t 2 1 dt t t dt t 3 = t ẽ 2 ẽ 2 = e 2 = dt t = t 2 1 = 3 =0 dt t t2 + 1 = = t2 1 Die folgende Ungleichung besgt, dss die Norm eines Vektors mindestens so groß ist wie die einer beliebigen Projektion uf einen Unterrum: Lemm 2.5 Besselungleichung. Es sei { e 1, e 2,... } ein nicht notwendig vollständiges ONS in H, dnn gilt für lle v H: v 2 i ei v Ds Gleichheitszeichen gilt genu dnn, wenn lim n v 2 e i v e i = 0 wobei wie üblich die ket-klmmern unter der Norm weggelssen sind. Beweis: Wir splten v 2 in zwei zueinnder orthogonle Anteile uf und verwenden Lemm 2.4 Pythgors: v 2 = v e i e i v + e i e i v 2 = und dmit folgt die Behuptung. v e i e i v 2 + ei v 2 0 Definition 2.11 Orthonormlbsis. Ein gegebenes Orthonormlsystem { e1, e 2,... } heißt vollständig oder eine Orthonormlbsis ONB, wenn für lle v H die Prsevlsche Gleichung gilt: v 2 = n v en Lemm 2.6. Ein ONS { e 1, e 2,... } in H ist genu dnn vollständig, wenn us e i v = 0 i folgt, dss v = 0 ist. 32 Lemm 2.7. Jeder Vektor v in einem n-dimensionlen Vektorrum knn ls Linerkombintion von n liner unbhängigen Vektoren e i, i = 1,..., n geschrieben werden: v = α i e i 2.16 Die Entwicklungskoeffizienten α i heißen uch Koordinten des Vektors in der gewählten Bsis. Lemm 2.8. Die Entwicklung eines Vektors in einer liner unbhängigen Bsis ist eindeutig. v ist die bstrkte Nottion eines Vektors. Erst in einer gewählten Bsis wird der Vektor durch konkrete Koeffizienten spezifiziert. In den Komponenten gelten die vertruten Rechenregeln: v = α i e i, w = β i e i v + w = Für ds Sklrprodukt in einer ONB gilt v, w wie oben: v w = ij α i β j e i e j = ij α i β j δ ij = i α i + β i e i α i β i Diese Form ht ds Sklrprodukt in jeder ONB; während die Koeffizienten α i, β i von der Bsis bhängen, ist i α i β i bsisunbhängig. Entwicklung in einer Orthonormlbsis: Ausgehend von der Drstellung des Vektors v in einer ONB { e i } v = α i e i berechnen wir die Koeffizienten α i in dieser Bsis durch Multipliktion mit den brs e j : e j v = e j α i e i = α i e j e i = α i δ ij = α j d.h. α j = e j v, die Entwicklungskoeffizienten ergeben sich ls Sklrprodukte mit den Bsisvektoren. 33

8 Lemm 2.9 Vollständigkeitsreltion. Sei { e 1, e 2,... } eine Orthonormlbsis im Hilbertrum H, dnn gilt für lle v, v H die Prsevlsche Gleichung für ds Sklrprodukt: v v = i v e i e i v 2.17 Beweis: Der Beweis folgt us der Stetigkeit des Sklrprodukts, zusmmen mit v = i e i e i v und v = i e i e i v, denn: v v = lim n e i e i v e i e i v = v e i e i v i i =1 Die nächste wichtige Eigenschft von normierten Räumen ist die Seprbilität; wenn ein Hilbertrum seprbel ist, dnn ist er im wesentlichen bzählbr-unendlichdimensionl. Definition 2.12 Seprbilität. Ein normierter Rum V, heißt seprbel, wenn es in V eine bzählbre dichte Teilmenge W gibt, d.h. für lle ε > 0 und v V existiert ein v ε W mit v v ε < ε. In der Quntenmechnik hben wir es fst immer mit seprblen Hilberträumen zu tun. K n, 2 K n = R n, C n ist seprbel, d die Menge Q bzählbr dicht in R liegt. b l 2, 2 ist seprbel. c LR ist seprbel. d L p [, b], p, 1 p < ist seprbel. Ds Besondere n seprblen Hilberträumen gibt ds folgende Lemm wieder: Lemm In jedem seprblen Hilbertrum H existiert eine Orthonormlbsis. Dmit knn mn lso jeden Vektor eines seprblen Hilbertrums in eine Reihe, d.h. eine bzählbre Summe entwickeln. An dieser Stelle klären wir einige Begriffe, die wir uch im folgenden Kpitel benötigen: 34 Definition 2.13 Homomorphismus. Eine Abbildung f : V W zwischen zwei Vektorräumen V und W heißt Homomorphismus, wenn sie liner ist, d.h. dditiv f v 1 + v 2 = f v 1 + f v 2 v 1, v 2 V und homogen f α v = αf v v V,α K Homomorphismen heißen uch linere Opertoren. Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus V V. Ein Isomorphismus ist ein bijektiver d.h. injektiver und surjektiver Homomorphismus. Die zwei Räume V und W heißen isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus existiert. Ein Automorphismus ist ein isomorpher Endomorphismus. Definition 2.14 Normisomorphismus. Ein normerhltender Isomorphismus f : V W zwischen zwei normierten Räumen V und W, d.h. fv = v v V heißt Normisomorphismus. Zwei Räume heißen normisomorph, wenn zwischen ihnen ein Normisomorphismus existiert. Definition 2.15 Isometrie. Ein Homomorphismus zwischen zwei Räumen V und W mit Sklrprodukt, der ds Sklrprodukt erhält, d.h. f v 1 f v2 = v 1 v 2 heißt Isometrie. v 1, v 2 V Eine unitäre Abbildung ist ein isometrischer Isomorphismus. Mit diesen Begriffen wird die Trgweite des folgenden Stzes deutlich: Stz 2.5 Isomorphiestz seprbler Hilberträume. Es sei H ein unendlichdimensionler C-Hilbertrum mit Sklrprodukt H. Flls es eine höchstens bzählbre Menge gibt, die dicht in H liegt, so existiert eine bijektive linere Abbildung T : H l 2, sodss für lle u, v H gilt: v v H = Tv Tv wobei ds Stndrdsklrprodukt im l 2 bedeutet. 35

9 Der Stz besgt lso, dss jeder seprble unendlichdimensionle C-Hilbertrum normisomorph zu l 2 ist. Für die Quntenmechnik bedeutet ds, dss ds Studium der Schrödingergleichung sowohl im L 2 R durchgeführt werden knn Schrödingersche Wellenmechnik lso uch im l 2 Heisenbergsche Mtrizenmechnik. 36