3 Volumen und Oberfläche der Kugel? Berechne die Oberfläche einer Kugel mit Inhalt 1,0 Liter! y = cos α

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1 Gmnasium Stein Gundwissenkatalog Mathematik Jahgangsstufe 0 Zusammenhänge, die man nicht in de "Mekhilfe" findet, sind mit makiet; Wissen / Können Beispiele Kugel: De Radius eine Kugel wid vedeifacht. Wie änden sich daduch Volumen V = Volumen und Obefläche de Kugel? = V = ( ) = ( ) = 7 = 7 V V Tipp: inheit = m ; kuz: V Obefläche O = O Tipp: inheit = m ; Anwendung in Sachzusammenhängen Sektofläche und Bogenlänge; Bogenmaß von Winkeln als Bogenlänge zum Radius : (Bogen) = 80 (Gad) Sinus und Kosinus fü beliebige Winkel: P( ) sei de zum Winkel gehöende Punkt auf dem inheitskeis sin = - Koodinate von P cos = - Koodinate von P sin tan = bzw. cos tan = Tangentenabschnitt Definitionen im echtwinkligen Deieck (nu fü 0 < < 90 ) gwk 9. Klasse! Taschenechne (TR) auf vewendetes Winkelmaß einstellen: Bogenmaß RAD Gadmaß DG Bei den Gaphen von Sin- und Cos-Funktion wid de Winkel im Bogenmaß angetagen; Bezeichnung dann sonst üblicheweise statt Umkehfunktionen am TR: SIFT sin liefet einen zu sin gehöenden Winkel, jedoch nu die eine Lösung mit SIFT cos liefet ebenfalls nu die Lösung mit s gibt abe imme unendlich viele Lösungen ( Peiode ): die gestichelten Pojektionslinien" in de Gafik schneiden die Sinuslinie bzw. die Kosinuslinie unendlich oft. In [0 ;60 ] gibt es i.a. Lösungen. 80 P - O = ( ) = ( ) 90 0 = cos d) cos = 0,7 TR: II, III = 60 II 5,6 = 9 = 9 O kuz: O Beechne die Obefläche eine Kugel mit Inhalt,0 Lite! V = = dm = dm O = dm,8 dm A 60 = µ und A µ µ A µ = = bµ 60 µ µ A µ b 60 = und b µ µ b µ = = µ 60 80, ; c) sin = 0,7 TR: I, IV = 60 5,6 III = 80, = sin - = sin e) cos = = 80 k 60 bzw. = k = cos P( ) 90 ; 60 ; 5 usw. II III Bsp.: a) sin = 0,7 TR: I, bzw. 0,775 II = 80 5,6 bzw.,7 weitee Lösungen: sin II 60 0, usw. bzw. 7,06 usw. II 60 95,6 usw - bzw. II 8,65 usw. sin III b) cos = 0,7 TR: I 5,6 IV = 60 I, t II cos II cos III III sin - I cos I cos IV IV I sin I IV b µ Stahlensatz: t : = sin : cos t = tan sin IV Vozeichenübesicht: cos

2 Bestimmung von Wahscheinlichkeiten bei kompleen mehstufigen Zufallsepeimenten mit ilfe von Pfadegeln in Baumdiagammen ode mit eine Viefeldetafel (fü -stufige peimente) zu Pfadegeln gwk 9 Scheibweisen: bedeutet: Das eignis und das eignis titt ein. = Gegeneeignis zu Bedingte Wahscheinlichkeit: P () = Wskt von unte de Bedingung = Wskt von, wenn eintitt Beechnung de bedingten Wskt entwede "diekt" ode duch "Umkehung de Pfadegeln" im Baumdiagamm - vgl. Bsp. (weite unten) Die bedingten Wahscheinlichkeiten stehen im Baumdiagamm an den Ästen nach den esten Vezweigungen s handelt sich hie um eine logische und nicht um eine "zeitliche" Bedingung; vgl. "umgekeht" im Bsp. Die Viefeldetafel ist übesichtliche und imme vewendba, wenn keine bedingten Wskten gegeben sind. In Baumdiagammen können im Unteschied zu Viefeldetafel auch die bedingten Wahscheinlichkeiten diekt eingetagen bzw. abgelesen weden. Wenn bedingte Wskten gegeben sind, dann Baumdiagamm günstige! (vgl. z.b. Wh.aufgabe N. 0 ) Oft ist es dabei nützlich, die beiden möglichen Bäume zu kombinieen (abe nicht imme nötig) - vgl. Bsp.! Die Wikung von ausaufgaben auf die Zeugnisnote soll in eine Guppe von 00 Schülen untesucht weden. Man betachtet dazu die eignisse = "in Schüle macht egelmäßig seine ausaufgaben in Mathematik" = "folg": De Schüle bekommt in Mathe im Zeugnis mindestens eine Umfageegebnis: 60 Schüle machten ihe ausaufgabe = 60 von diesen Schülen hatten 8 folg = 8; 8 Schüle hatten keine egelmäßige ausaufgabe und waen nicht efolgeich = 8 intag diese absoluten äufigkeiten (fett geduckt) in die Viefeldetafel T und gänzung de Tafel ; z.b. = 60 8 = Beechnung de "Laplace-Wskt" ( gwk8!) Viefeldetafel T In den inneen gauen Rechtecken stehen die absoluten äufigkeiten bzw. Wskten de "und"-eignisse; z.b.: = 8 ; P( ) = 0, 0, totale Wskten und-wskten ; z.b. P( ) = 0, P () P ( ) P () P () : 00 P () = Wskt, dass ein Schüle folg hatte, wenn e ausaufgaben gemacht hat: T P () = P () = 8 = = 0, bzw. P () = 60 0, 0,0 0,9 Summe = bedingte Wahscheinlichkeiten P () P ( ) P () P () 0, P( ) = = 0, 80 P() = = 0,05 = Wskt fü folg, wenn man keine A macht 0 umgekeht: P () = Wskt, dass ein Schüle die A gemacht hatte, wenn e 8 efolgeich wa = = = 0,96 50 Pfadegel: P () = 0, P ()= P ( ) = P ( )= P () = Absolute äufigkeiten: T gesamt gesamt ,0 0, 0, = 0, ("Umkehung") 0,5 0,75 totale Wskten = 0,7; einfache: P ( ) = P () = 0,05; P () = 0,05 = 0,95; P () = P () = 0,96 = 0,0 ; P () = (weiten mit ) 00 0,75 Relative äufigkeiten Wahscheinlichkeiten(Wskt): T 0, 0,0 0,5 0,9 0,75 0 0,0 0, = 0,96 0,5 (T) = 56 0,76 75 = ; P ( ) = 9 = 0,5 75

3 Potenzfunktionen mit natülichen ponenten ( "wichtige Funktionstpen") als Bausteine fü ganzationale Funktionen Nomalfom und Nullstellenfom (ganze Abschnitt) Bestimmung de Nullstellen (Nst) mit Vielfachheit aus de Nomalfom duch Faktoisieen: Ausklammen gwk 7 binomische Fomeln gwk 9 quadatische Lösungsfomel gwk 9 ode "Vieta" Polnomdivision Bedeutung de Nullstellen fü den Gaphen; speziell fü das Vozeichenvehalten: geade Vielfachheit kein VZW (Vozeichenwechsel) ungeade Vielfachheit Vozeichenwechsel ("Teassenpunkt" fü Vielfachheit ) bei Vielfachheit = schneidet G f die -Achse bei Vielfachheit > ist die -Achse Tangente an G f Das Vehalten fü ± wid duch den Summanden mit dem gößten ponenten bei bestimmt Anmekung: Die genaue Lage von "och - und Tiefpunkten" ist i.a. est in de. Klasse bestimmba. Dies wid insbesondee wichtig, wenn die gf nicht die Maimalzahl de Nst hat, wie z.b. f() = ( Nst ) ode soga ga keine Nst hat, wie z.b. f() = ( Nst ) ine ganzationale Funktion (gf) ist eine eelle Funktion, deen Funktionstem sich als Polnom scheiben lässt, also als Summe aus Potenzen von, die jeweils mit einem eellen Koeffizienten multipliziet sind. De gößte ponent von heißt Gad de gf. Bsp.: f() = 7, 6 (Gad 7) g() = 6 (Gad ) Duch Faktoisieen ehält man die Nullstellenfom: g() = ( )( ) ine gf vom Gad n hat höchstens n Nullstellen Bsp. a) Gegeben: f() = 0,75 (,5) ( ) Skizzieen Sie den Gaph de Funktion! Statwet : f() = 0,75 0,5 = Nst.: = 0; einfach Vozeichenwechsel (VZW) =,5 ; doppelt kein VZW = ; -fach kein VZW Vielfachheit > flache als bei =,5 Ausmultiplizieen f() = 0,75 7. Vehalten fü ± wie bei 7 also lim f () = und lim f () = ( 7 ) Bsp. b) "umgekeht": Gegeben ist de obige Gaph eine gf f vom Gad 7. Bestimmen Sie eine Funktionsvoschift fü f! Nst. (Vielfachheiten beachten!) f() = a (,5) ( ) einfachen Punkt einsetzen; hie z.b. P( ) = a (0,5) a = 0,75 also f() = 0,75 (,5) ( ) Bsp.a) f() = ( ) ( 6) Faktoisieen: bin.fomel; Ausklammen f() = ( ) ( ) = ( ) f() =,5 Vehalten fü ± wie bei "Statwet" z.b.: f() =,5 Bsp.b) umgekeht: G f f() =? analog wie b) Bsp. ) f() = 5 (Nomalfom) Bekannt sei weite, dass = eine Nst von f ist (ode: "Pobieen") Faktoisieen : f() = ( ) = ist Nst f enthält den Lineafakto ( ) weite Faktoisieen duch Polnomdivision: ( ) : ( ) = f() = () ( ) weite Faktoisieen hie mit quadatische Lösungsfomel = 0 / = ( ± ) ; = ; =,5 also: f() = ( ) ( )(,5) = = ( ) (,5) (Nullstellenfom) Vehalten fü ± wie bei 5 ; evtl. noch f() = Polnom als Nomalfom "Teassen- -punkt" Gobskizze von G f

4 ponentialfunktionen zu Modellieung von eponentiellem Wachstum: f() = 0 a ode 0 = b a mit 0 = f(0) = b und a = Wachstumsfakto a > Wachstum 0 < a < "Zefall" Abgenzung von lineaem Wachstum Die Rechenegeln fü Logaithmen ( Mekhilfe) sind dieselben Regeln wie fü Potenzen ( gwk 9 ) - nu in neue Scheibweise ponentialgleichungen sind Gleichungen mit de Unbekannten im ponent. Lösung duch Logaithmieen auf beiden Seiten "Bei alles umgekeht" Veändeung eine Göße wähend eine Zeiteinheit ( = ) a) um das -fache des aktuellen voheigen Wets () : = () () = () const. eponentielles Wachstum: = 0 ( ) = 0 a (a = ) b) um das -fache des Anfangswets 0 : = 0 = const! lineaes Wachstum: = 0 0 = 0 m ( m = 0 ) Bsp.) in Kapital von 000 wid mit 8 % p.a. (po Jah) vezinst: f() = Kapital in 000 ; = Zahl de Jahe a) Vezinsung mit Zinseszins f a () = ( 0,08) =,08 (epon. W.) b) Die Zinsen weden nicht mitvezinst f b () = 0,08 = 0,6 (lin. W.) b) Beachte den Unteschied zwischen ponentialfunktion f () = a Bsp.) Zahl de Jod Kene in in einem adioaktiven Päpaat in Abhängigkeit (Vaiable im ponent) und von de Zahl de Tage: f() =, ,97 Potenzfunktion f P () = 0,97 = a = = 0,97 = 0,08 (Vaiable in de Basis) Die Zahl de Kene nimmt po Tag um 8, % ab = log a b ist die Die "Umkehaufgabe" zu Bsp.) wid mit dem Logaithmus gelöst: Lösung von a = b Nach welche Zeit halbiet sich die Zahl de Kene? ("albwetszeit" =?) in Woten: = log a b 0,5.,7 0 5 =, ,97 0,5 = 0,97 = log 0,97 0,5 = 7,99 ist diejenige Zahl, mit de Die albwetszeit betägt etwa 8 Tage (TR!) man a potenzieen muss, um b zu ehalten Logaithmenwete ohne TR: Def. log a a log = und a a = spich: Logaithmus von b weite log a = 0 fü alle a > 0 zu Basis a log 8 = ; denn = 8 (mit welche Zahl muss man potenzieen, um 8 zu ehalten) Logaithmus ist also nu ein andee Name fü ponent! log = log = ; lg 0,00 = log 0 0 = ; log = log = Funktionsgaphen Blatt "wichtige Funktionstpen" influss von Paameten auf Funktionsgaphen: a) g() = a f() Steckung in -Richtung mit Fakto a b) g() = f(b ) Steckung in -Richtung mit Fakto b c) g() = f( c) Veschiebung in -Richtung um c d) g() = f( ) d Veschiebung in -Richtung um d ) log a ( u v ) = log a u b f() a log a v a a = a (u = a ; v = a ) ) log a ( u : v ) = log a u log a v a : a = a ) log z a u = z log a u ( a ) z f() f() f() f() f( ) = a z f(,5) dabei jeweils u>0; v>0; a>0 a Bsp.: lg (00 a ) = lg 00 lg a = lg a; log (a ) ist nicht zelegba a) = 5 lg (..) lg = lg lg5 ( lg lg5) = lg lg = 0,77 lg lg5 Spezialfall von a) : g() = f() Spiegelung an de -Achse Bei Steckung in -Richtung bleiben alle Schnittpunkte mit de - Achse fest b) 6 6 = 6 ( ) 6 6 = ie mit passende = 0,5 Basis Lösung ohne TR (ode wie a) ) möglich! c/d f() a) f(),5 Spezialfall von b) : g() = f() Spiegelung an de -Achse Bei Steckung in -Richtung bleibt de Schnittpunkt mit de -Achse fest

5 Allgemeine igenschaften von Funktionen Achsenpunkte und Definitionsmenge gwk8 und gwk9 ; Wiedeholungsaufgaben Smmetie des Gaphen Tpische Vetete: a) bezüglich des G f ist asa G f Koodinatensstems G f ist achsensmmetisch zu -Achse (asa) f() = f() (fü alle D) G f ist punktsmmetisch zum Uspung (psu) f() = f() (fü alle D) Podukte (analog fü Quotienten) : "asa asa = asa" ( " = ") " psu asa = psu " ( " = " ) " psu psu = asa" (" = " ) b) allgemeine Smmetien Vehalten fü ± a) Wenn sich die Funktionswete eine Funktion f "fü seh goße nu noch beliebig wenig von de Zahl a untescheiden", dann sagt man: f konvegiet gegen a ode De Genzwet von f fü ist a kuz: lim f () = a G f hat dann die waagechte Asmptote = a Analog fü Wenn f fü nicht konvegiet, dann sagt man: f divegiet fü. ie gibt es Fälle (vgl. Bsp.): b) Bestimmte Divegenz: lim f () = bzw. lim f () = als smbolische Scheibweise dafü, dass de Gaph "nach oben bzw. nach unten veschwindet" Analog fü c) Unbestimmte Divegenz P ( ) = f() = P( ) = f() Bsp.: f() = sin() G f ist asa (" = ") f() = cos() G f ist psu (" = ") f() = G f ist psu (" = ") G f ist asa (" = ") Duch eine Veschiebung des Gaphen ( Paameteeinfluss c/d ) weden Smmetieachse bzw. Smmetiezentum mit veschoben Whaufgabe N. Wichtige Spezialfall: lim f() = 0 die -Achse ist Asmptote zu G f G f ist psu f() Bsp.: lim = 0 und lim = 0 ; kuz: lim = 0 ; allg.: lim = 0 ( > 0) ± ± gwk8; wichtige Funktionstpen 0,5 lim = 0 ; abe lim = ; lim 0,5 = 0 ; abe lim 0,5 = ; lim = lim sin = 0, denn 0 = ; lim = " " = g() = sin divegiet zwa unbestimmt fü ( ebenso wie fü ), ist abe "beschänkt" " gewinnt" sin unbestimmte Divegenz von f() = sin fü Spezialfall ationale Fkt.: f() = z() n() als Quotient zweie ganzationalen Fkt. mit Zählegad = z und Nennegad = n n > z lim f() = 0 ("Nenne gewinnt") ± n < z = P ( ) lim ± Z f() G f = f() sin (bestimmte Divegenz; "Zähle gewinnt") n = z lim f() = const 0 ± Bsp.: f() = = 0 lim f () = = ± 0 P( ) f() = cos Ganzationale Funktionen mit laute geaden ponenten Bsp.: f() = 6 6 ( 0 ) Funktionen mit einem Gaphen, de asa ist, heißen deshalb auch geade Funktionen f() = sin Ganzationale Funktionen mit laute ungeaden ponenten Bsp.: f() = 7 0,5 Funktionen mit einem Gaphen, de psu ist, heißen deshalb auch ungeade Funktionen waagechte Asmptote: = 0,5 Gundwissen-0-g8.doc