3.7. Hall-Effekt. Messung der magnetischen Flußdichte B

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1 D.Michel Volesung Expeimentalphysik 00/04 Teil : Elektizitätslehe.7. Hall-Effekt. Messung de magnetischen Flußdichte B Inhalt: Wid ein äußees Magnetfeld mit de magnetischen Induktion B senkecht zu Stomichtung in einem Leite oientiet, so titt senkecht zu Stomichtung (l/ l ) und zu Magnetfeldichtung eine elektische Feldstäke E H auf (Hall-Effekt). Diese Effekt ist vebunden mit de Loentz-Kaft. Anodnung: Eine metallische Platte befindet sich im Magnetfeld B. Duch Anlegen eine äußeen Spannung fließt Stom I in Richtung l/ l senkecht zu B. Spannungsmessung an de Platte senkecht zu B und zu l Hall-Effekt a) Anodnung b) Zu Definition de Käfte auf die Das Feld B zeigt in die Ebene Ladungstäge Q = -e a) b)

2 Ekläung: Die Leitungselektonen mit Geschwindigkeit v, die entgegengesetzt zu technischen Stomichtung (l/ l ) geichtet ist (übliche Konvention fü die technische Stomichtung, de im äußeen Stomkeis von + zu - Pol de ihn ezeugenden Spannungsquelle fließt), efahen eine Loentz-Kaft. Duch Veamung de Elektonen auf de einen und Übeschuß auf de andeen Seite (bezüglich de Richtung diese Loentz-Kaft) entsteht ein elektisches Feld E H. Das Feld E H kann duch Abgeifen eine äußeen Spannung gemessen weden (Hall-Spannung). Aus ih kann das B-Feld gemessen weden ode bei bekanntem B die Dichte n de Ladungstägeanzahl. Quantitative Betachtungen: Loentzkaft F L = Q [ v B ] bewikt seitliche Ablenkung de Ladungstäge: F L = -e [ v B] (Q = -e, e: Betag de Elementaladung). Nach kuze Zeit wid F L duch Kaft F E auf Ladungstäge infolge des dann entstandenen elektischen Quefeldes E H, F E = - e E H, kompensiet, so daß Gesamtkaft auf jeden Ladungstäge Null wid: F L + F E = 0, d.h. e E H = -e [ v B]. Scheibe nu Betäge und eweitee mit nbd (n: Dichte de Elektonenanzahl, b: Beite, d: Dicke de Platte) ee H = eu H /b = e vb = e nbd vb/(nbd) Das elaubt den Übegang zu einem Ensemble de Elektonen mit de Stomdichte: j = - env und mit dem Stom I = ja = j bd = en v bd. Damit folgt: ee H = I B/(nbd) ode E H = 1/(ne) I/ (bd) B R H j B R H = 1/(ne) : Hall-Koeffizient (fü das zugundeliegende einfache Modell zu Bescheibung de metallischen Leitfähigkeit!) Hall-Spannung (zu Spannungsichtung, vgl. Abbildung): U H = b E H = R H I B /d Hall-Widestand: R (Hall) U H /I = B/(ned) = R H B/d

3 Egänzungen*: (1) Hall-Effekt bei Halbleiten: Die Beziehung zu Hall-Konstanten bleibt in ihe Stuktu ichtig, wenn man anstelle von n die Diffeenz n e - n l aus den Dichten de Leitungselektonen (e) und de Leitungslöche (l) setzt und Koektuen anbingt, die von de Kistall- und Bändestuktu heühen. () Quanten-Hall-Effekt: Messungen de Hall-Spannung an einem MOSFET (metal-oxide-semiconducto field-effect tansisto) bei tiefen Tempeatuen ( 1,8 K) und seh hohen Magnetfelden (B = 1,0 T) haben gezeigt [K. von Klitzing, G. Doda, and M. Peppe, Phys. Rev. Lettes 45, 494 (1980)], daß die Hall-Spannung einen stufenfömigen Velauf mit Plateaus besitzt, fü die de Hall- Widestand bestimmte diskete Wete annimmt: R (Hall) = h /(ν e ), mit ν = 1,,,... R K = h / e = 581,807 Ω, fü ν = 1 (von-klitzing-widestand, auch als Definition fü die Einheit Ω) Es ist auch ein Effekt nachgewiesen woden (an GaAs-AlGaAs-Heteoübegängen), bei dem ν gebochene Zahlen annimmt, z. B. ν = /, /5, /5, 4/5 und /7): factional quantized Hall effect [D. C. Tsui, H. L. Stoeme, and A.C. Gossad, Phys. Rev. Lettes 48, 1559 (198)] vgl. z. B. die Monogaphie: James William Rohlf, Moden Physics fom α to Z 0, John Wiley & Sons, Inc, New Yok (usw.), 1994, ISBN , S. 95 f. De Feld-Effekt-Tansisto: MOSFET (Rohlf, S.9, Fig. 14-4, b,)

4 D.Michel Volesung Expeimentalphysik 00/04, Teil : Elektizitätslehe.5. Magnetfeld de Ede (1) De magnetische Südpol liegt in de Nähe des geogaphischen Nodpols (z. Zt. bei 74 o nödliche Beite und 100 o westliche Länge). De magnetische Nodpol liegt in de Nähe des geogaphischen Südpols (z. Zt. bei 7 o südliche Beite und 155 o östliche Länge). () Die magnetischen Pole wanden statistisch um die geogaphischen Pole de Ede heum. Schwankungen des Magnetfeldes in geologischen Zeitäumen: Das Magnetfeld de Ede kann sich statistisch in unegelmäßigen Abständen auch umpolen, im Mittel besteht eine gleiche Oientieung ca Jahe. Nachweisba duch Messung de Magnetisieung von eisenhaltigen Gesteinen, die sie bei de Estaung bzw. Ablageung (vo allem Messungen von Poben von Ozeanböden) im damaligen Magnetfeld de Ede ehalten haben. Dabei auch Bestätigung de Theoie de Plattentektonik (Theoie de Kontinentalveschiebung, begündet duch Alfed Wegene, 191) Eine fei bewegliche Magnetnadel stellt sich in Richtung de Feldlinien des Edmagnetfeldes ein. Diese Richtung weist sowohl von de Hoizontalen auf Edobefläche ab (Inklination) als auch von Nod-Süd-Richtung (Deklination): Deklination: declinatio (lat.) = Abweichung, Abweichung von de geogaphischen Nod-Süd- Richtung, im Westen D. etwa 9 0 und im Osten D. etwa 0, ändet sich mit de Zeit Inklination: inclinatio (lat.) = Neigung, Abweichung von de Hoizontalen, Inklination in Deutschland zwischen 69 0 (im Noden D.) und 6 0 (im Süden D.) Also: Magnetische Süd- und Nodpol: Stellen auf Edobefläche mit jeweils 90 o Inklination () Eine nu in waageechte Ebene dehbae Magnetnadel (Kompaßnadel) efäht allein die Wikung de Hoizontalkomponente des Edmagnetfeldes (Hoizontalpojektion des Feldes.

5 Magnetische Meidiane (Abb. 109, S. 94, aus Gimsehl, Bd. II) (4) Das Edmagnetfeld ist näheungsweise das eines magnetischen Dipols nahe dem Edmittelpunkt, dessen Dipolachse um 11,4 o gegen die Achse de Edotation geneigt ist. Regionale Anomalien beuhen auf Unegelmäßigkeiten im Stömungssystem des Edinneen. Sie lassen sich duch schwache zusätzliche Magnetpole bescheiben (z. B. in Südpol in Sinkiang, weitee Zusatzpol in den USA. Dies hat beeits Columbus bei de Entdeckung Ameikas vewit). Lokale Abweichungen vom idealen Dipolfeld weden duch ungleichmäßige Veteilung magnetische Mateialien in de Edkuste bewikt, z.b. zeigt in Kiuna (Schweden) und in Kusk (Russland) die Kompaß- Magnetnadel nach Süden. In gößeem Abstand von de Edobefläche entstehen Abweichungen vom Dipolfeld duch Stöme geladene Teilchen (Potonen, Elektonen), die von Sonne emittiet weden ( Sonnenwind ). Abb..55 Edmagnetfeld. Die Quellen des Feldes liegen im inneen Teil de Ede, die äußeen Schichten tagen kaum dazu bei. Die Duchstoßpunkte P N, P S de Dipolachse duch die Edobefläche heißen geomagnetische Pole. (Abb..55, S. 111, aus Demtöde, Bd. II))

6 (5) Messungen: Deklinatoium: Richtung de Hoizontalpojektion (Abb. 108 aus Gimsehl Bd. II) Systematische Messungen de Hoizontalintensität duch Gauss Inklinatoium: Messung des Inklinationswinkels i, Totalintensitätsmessung mit Hilfe de Hoizontalintensität und mit dem Inklinationswinkel: B total = B hoizontal sin i Anwendung in Geophysik: Vokommen von Eisenez, z. B. Untesuchung de Anomalie von Kusk (Russland). Inklinatoium (Abb. 111 und 11 aus Gimsehl II) Komponenten des Edmagnetismus d = Deklinationswinkel i = Inklinationswinkel (Abb. 11 aus Gimsehl Bd. II)

7 D.Michel Volesung Expeimentalphysik 00/04, Teil : Elektizitätslehe.6. Magnetfeldmessungen (1) Messung duch Übelageung von Felden. Tangentenbussole (kein Vesuch) Das magnetische Feld eines Keisstomes wid dem zu messenden Magnetfeld übelaget (Edmagnetfeldmessung). Eine im Mittelpunkt des Keisleites stellt sich entlang de Resultieenden de beiden sich übelagenden Felde ein. Uspünglich diente diese Anodnung umgekeht zum Messen stake Stöme. Vetikale Keis aus Cu-Daht mit Radius, in dessen Mittelpunkt eine kuze Magnetnadel übe eine Keisteilung steht. Ebene des Keistomes wid so eingestellt, daß die Edfeld- Hoizontalkomponente H Ede in diese Ebene liegt. Nach Einschalten des Stomes stellt sich die Magnetnadel in einem bestimmten Winkel α que ein (α = 0 entspicht Richtung de Flächennomalen): tan α = H Ede / H Stom () Modellvesuch nach Oested (Chistian Oested, dänische Physike, ) Lange stomduchflossene Daht, Magnetfeld des langen Dahtes im Abstand unte dem Daht und Hoizontalkomponente des Edfeld H E(de) übelagen, Nachweis des esultieenden Feldes duch Ablenkung eine kleinen (!) Magnetnadel

8 () Schwingungsmethode zu Magnetfeldmessung Dehmoment T = m B, T = mb sinϕ, auf ein magnetisches Moment m im Magnetfeld B, bewikt wie bei physikalischem Pendel ein ückteibendes Moment: θ d ϕ/dt = - mb sinϕ hamonische Näheung de Schwingungsgleichung: θ d ϕ/dt = - mb ϕ, falls ϕ << 1 Keisfequenz ω, Schwingungsdaue T: ω = mb/θ = (π/t), θ Tägheitsmoment, ϕ kleine Auslenkwinkel aus de Ruhelage Messungen a) Schwingungsdaue T 1 bei Übelageung von B E(de) mit paallelem Zusatzfeld B Z : B = B E + B Z b) Schwingungsdaue T bei Messung im Edfeld B E(de) ohne Zusatzfeld: B = B E ( B E + B Z ) / B E = T / T 1 B E = B Z 1/(T /T 1 1) (4) Edfeldmessungen nach Gauss (Gauss sche Hauptlagen) a) Ausgangspunkt: Analoge Ausduck des Magnetfeldes H( ) von magnetischem Dipolmoment m wie elektisches Feld eines Dipols p : 1 B µ H ( ) = ( ) 0 = - m 5 ( m ) E b) Vewende Stabmagnet de Länge l mit magnetischem Dipolmoment m sowie Magnetnadel mit magnetischem Dipolmoment m, beide im Abstand >> 1. c) Gauss sche Hauptlage (i) ohne m. m oientiet sich entlang (ii) mit m B E (Hoizontalkomponente) B von m im Abstand, m B = B m = µ 0

9 Dehmoment auf m von B : T = m B () = µ m m 0 = m B sin( 90 ϕ ) cosϕ 1 Dehmoment auf m von B T E = µ 0 H E m sinϕ1 Gleichheit de Betäge: 1 m = tanϕ1 H E d). Gauss sche Hauptlage B von m im Abstand, m m B = µ 0 Dehmoment auf m von B : T = m B sin(90 -ϕ ) m m cos = ϕ Dehmoment auf m von B E : T = µ 0 B E m sinϕ Gleichheit de Betäge: m = tanϕ H E

10 e) Vebindung de Schwingungsmessungen zu Bestimmung des Poduktes mb E : ω A = B E m θ µ = H 0 E m θ Vgl. mit Egebnis aus Ziffe und/ode liefet m und B E. (5) Hall-Sonde (siehe Hall-Effekt) (6) Päzisionsmessungen mit Hilfe de Kenspinesonanz (Kenmagnetische Resonanz): Die Resonanz-Keisfequenz ω o (Lamo-Fequenz) ist gegeben duch: ω o = γb, γ (gyomagnetisches Vehältnis) ist eine typische Konstante fü jeden Ken mit einem von Null veschiedenem Kenspin (Ken-Eigendehimpuls)