Hinunter und wieder hinauf Maxwellsche Räder

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1 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Hinunte und wiede hinauf Maxwellsche Räde Chistian Ucke und Hans Joachim Schlichting Sisyphus musste bekanntlich einen Stein mühsam begauf bewegen, de dann imme wiede hinunte ollte. Das bekannte Maxwellsche Rad macht vielen Physikstudenten ähnliche Mühe. Es gibt jedoch keative und untehaltsame Vaiationen dieses Klassikes. Das Maxwellsche Rad ist als klassische Vesuch zu Demonstation de mechanischen Enegieehaltung Physikstudenten und Schülen aus Paktika und Vofühungen weithin vetaut beileibe nicht imme Feude und Anegung stiftend. Nach unseen Rechechen hat es nicht de beühmte Physike James Clek Maxwell selbst entwickelt, es ist abe vemutlich nach ihm benannt. Ein Maxwellsches Rad ist mit seine hoizontalen Achse vom Radius an zwei vetikalen Fäden so aufgehängt, dass diese sich bei Dehung des Rads um die Achse auf- ode abwickeln. Abb.1: Maxwellsches Fallad als Designobjekt; Gesamthöhe 3cm. Rechts befindet sich das Rad in aufgewickeltem Zustand in fast maximale Höhe. Bingt man das Rad duch Aufwickeln de Fäden in die höchste Lage (maximale potenzielle Enegie) und lässt es dot los, so bewegt es sich unte dem Einfluss de Schwekaft imme schnelle otieend mit konstante Beschleunigung nach unten. Unten angekommen (maximale Rotationsenegie), deht es sich aus Tägheit weite, die Fäden wickeln sich unte Umkehung des Wicklungssinns auf und es bewegt sich dabei wiede nach oben. Dabei eeicht es nicht meh die Ausgangshöhe, d.h. es ist mechanische Enegie veloen gegangen. Die Bewegung kommt deswegen meist nach etwa deißig bis fünfzig Ab- und Aufwätsbewegungen zu Ruhe. Bei dem Modell aus Abbildung 1 vemindet sich bei eine Ab- und Aufwätsbewegung die mechanische Enegie um etwa 8%. Beim unteen Umkehpunkt deht sich unte Beibehaltung de Rotationsichtung des Rads die Bewegungsichtung in eine seh kuzen Zeitspanne um. Das veusacht einen Ruck nach unten, d.h. die Spannung des Aufhängefadens wid plötzlich vegößet. E kann deswegen soga eißen. In de bekannten Fom als schwees Metallad ist es mittleweile auch als Designobjekt bzw. office toy günstig ehältlich (Abbildung 1). 1

2 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Statt des physikalisch-technisch optimieten Rads sind auch andee Dehköpe denkba. In Abbildung ist beispielweise ein ästhetisch anspechende Papagei dagestellt. Das lädt auch zu keativen Eigenkonstuktionen ein. Ein gewisses Poblem besteht bei solchen unsymmetischen Figuen dain, den Schwepunkt exakt mittig in die Dehachse zu positionieen. Außedem daf die Achse des mittleen Tägheitsmoments de Figu nicht mit de Dehachse zusammen fallen, da in diesem Fall die Dehung instabil wid. Eine ganz andee Heangehensweise an die Auf-und Abbewegung eines Rads kommt in dem vo meheen Jahen ehältlichen Sisyphos-Rad zum Ausduck. De Name spicht fü sich. Duch einen Plastikdehköpe läuft zental eine dünne, magnetisiebae, vechomte Achse hinduch, auf de in de Mitte innehalb de Plastikschale ein stake Magnet sitzt. Zwei vechomte Eisenstangen mit eine Länge von etwa 55cm sind so auf eine Plattfom befestigt, dass de Abstand unten etwas göße ist als die Länge de Dehachse. Nach oben hin nimmt de Abstand de Stangen leicht ab. Setzt man das Dehad oben an de einen ode andeen Seite de Stangen symmetisch an, otiet es langsam beginnend und dann imme schnelle wedend an den Stangen hinunte. Je nachdem auf welche Seite de Stangen das Dehad angesetzt wid, egibt sich eine Links- ode Rechtsdehung des Rads. Die infolge de Magnetisieung bedingte Anziehung de Achse duch die Stangen sogt dafü, dass es auch ohne Aufwicklung Abb.: Ein Papagei als Maxwellsches Rad (Bild J. Becke). Abb.3: Das Sisyphos-Rad mit magnetische Achse. eines Fadens um die Achse zu keine Fallbewegung kommt. sonden eine Dehung esultiet. Wid beim Heabollen des Dehads de Abstand de Stangen schließlich göße als die Länge de Dehachse, läuft das Rad zwischen den Stangen duch und gelangt auf die andee Seite. Unte Beibehaltung des Rotationssinnes bleibt dem nunmeh mit maximale Dehgeschwindigkeit otieenden Rad nichts andees übig, als auf diese Seite anzusteigen (siehe Video SisyphosRad1.wmv im Zusatzmateial). Diese Richtungswechsel entspicht im Pinzip genau dem an den Fäden des klassischen MaxwellRads bewikten Übegang von de Abwicklung zu Aufwicklung. Auch de Impuls nach unten bei dem Umkehvogang ist entspechend vohanden. Ein Unteschied besteht dain, dass die Reibung de magnetisieten Achse des Dehköpes an den Stangen von de Stäke de Magnetisieung abhängen kann. Im vohandenen Modell wude die Magnetisieung mit de Masse des Dehköpes so abgestimmt, dass de Dehköpe bei dem unteen Umkehvogang geade nicht heuntefällt.

3 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Ein Nachteil ist die bei diesem Modell vohandene Achse mit konstantem Duchmesse. Setzt man den Dehköpe nicht ganz symmetisch zu den Stangen an, läuft e schief hinunte, kann dabei mit dem Plastikteil die Stangen selbst beühen und soga zum Stillstand kommen (siehe Video SisyphosRad1.wmv im Zusatzmateial). Bei de in Abbildung 4 gezeigten Konstuktion ist die Achse des Dehköpes ebenfalls magnetisiet, alledings sind die Achsenden hie konisch ausgebildet. Die Stangen sind wie im voigen Fall leicht winkelig angeodnet; ih Abstand ist unten etwas göße als die Länge de Dehachse. Abb.4: Ein Sisyphos-Rad mit konischen Achsenden. De Voteil diese Konstuktion besteht dain, dass sich de Dehköpe beim Hinunteollen duch einen inteessanten Regelvogang von selbst stabilisiet (siehe Video SisyphosRad.wmv im Zusatzmateial). Befindet sich nämlich de Dehköpe nicht genau in de Mitte zwischen den Stangen, deht sich das Rad an eine Stange auf einem gößeen Radius de Achse als auf de andeen Seite. Dann läuft die Achse an de Stange wegen des gößeen Radius abe schnelle hinunte (ode hinauf) und damit wiede zu Mitte zwischen den Stangen. Eine ähnliche, konische Konstuktion weisen übigens Eisenbahnäde auf, die sich daduch auf den in dem Fall natülich paallel laufenden Schienen imme mittig stabilisieen. Eine weitee Besondeheit ist, dass de Dehköpe schnell statet, da zu Beginn de Duchmesse de Achse goß ist. Beim Hinunteollen wid de Radius kleine. Die Abwätsbeschleunigung des Schwepunkts des Dehköpes nimmt deswegen hie im Vegleich zu eine Achse mit konstantem Duchmesse beim Hinunteollen ab (siehe Infokasten). Ein unmittelbae quantitative Vegleich mit dem klassischen Maxwell Rad ist deswegen schwieig, weil die Dehachse keinen konstanten Duchmesse und die Stangen einen Winkel aufweisen. Alle bishe beschiebenen Vaiationen haben den Nachteil, dass die Auf- und Abbewegung nach einige Zeit aufgund von Reibungsvelusten zu Ende geht. Schon lange gibt es ein Spielzeug namens Zaubead (gegebenenfalls andee men; Englisch ail twile), bei dem das duch menschliche Kaft ausgeglichen wid. Auf vechomten Eisenstangen befindet sich ein Dehköpe mit eine magnetischen Achse, deen Enden häufig auch konisch ausgebildet sind (Abbildung 5). Duch geschicktes Bewegen des Spielzeugs kann man die luste kompensieen und ein längees Auf und Ab ode Hin und He des Dehköpes ezielen. Fotgeschittene Modelle gen übe kleine Lichtquellen im Dehköpe, die eine Abb.5: Ein sogenanntes Zaubead ist eine spieleische Vaiation des Maxwell Rads. Hie kann man die Bewegungsumkeh aufgund de Vebeiteung des Stangenabstands seh gut beobachten. 3

4 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), che visuelle Attaktion ezeugen. Jo-jo s ähneln einem Maxwell schen Rad. Bei ihnen wid duch menschliche Aktivität eine andauende Auf- und Abbewegung eines Dehköpes bewikt. Das ist jedoch ein eigenes Thema. Zusammenfassung Das Maxwellsche Rad ist als ein klassisches Expeiment zu Ehaltung de mechanischen Enegie bekannt. Statt dieses technisch optimieten zylindefömigen Rads mit goßem Tägheitsmoment kann man beispielsweise auch Tiefiguen als Dehköpe nehmen. Daübe hinaus kann man das Rad mit eine magnetischen Achse an senkecht aufgebauten Eisenstangen hinunte und hinauf laufen lassen. Eine konische Fom de Achsenden ebingt zusätzlich eine Selbststabilisieung des Dehads zwischen den Achsen. Stichwöte Maxwellsches Rad, Fallad, Maxwellsche Scheibe, Zaubead, magnetisches Lichtad, Keisel, Maxwell wheel, Maxwell disk, ail twile, magnetic gyo-fly wheel Die Autoen Chistian Ucke und Hans-Joachim Schlichting sind die Begünde de Kolumne Spielwiese. Anschiften: D. Chistian Ucke, Rofanst. 14B, 8185 München ucke@mytum.de Pof. D. Hans Joachim Schlichting, Didaktik de Physik, Univesität Münste, Münste schlichting@uni-muenste.de 4

5 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Infokasten Theoie Am pinzipiellen Aufbau eines Maxwellschen Rads, bestehend aus eine dünnen Achse, einem zylindischen Rotationsköpe und aufgehängt an einem dünnen Faden lassen sich einige quantitative Zusammenhänge vedeutlichen. In de Abbildung 6 ist aus Günden de Übesichtlichkeit de Duchmesse de Achse seh goß dagestellt. Ist de Achsduchmesse klein gegen den Duchmesse des eigentlichen Rads (<<R), befindet sich de Schwepunkt S hineichend genau senkecht unte dem Aufhängepunkt. Ansicht von vone R seitliche Ansicht A mg seitliche Ansicht ω ω max Abb.6: Benennungen beim Maxwellschen Rad. y h Die Gesamtenegie eines Maxwellschen Rads setzt sich aus potenzielle und kinetische Enegie zusammen. Enegieveluste alle At weden im Folgenden venachlässigt. Wid de Nullpunkt de potenziellen Enegie auf den Koodinatenuspungspunkt beim unteen Umkehpunkt bezogen, hat das Rad beim obeen Statpunkt die potenzielle Enegie U = mgh. Beim Abollen addiet sich zu momentanen, potenziellen Enegie U = mgy die tanslatoische kinetische Enegie E k = ½ mv und die Rotationsenegie des Rads E = ½I A ω mv I Aω (1) E = mgy + + = mgh m = Gesamtmasse; v = Geschwindigkeit; I A = Tägheitsmoment bezüglich Angiffspunkt A, ω = Winkelgeschwindigkeit; g = 10m/s² Mit de Beziehung v = ω egibt sich aus Fomel (1) nach einigen Umfomungen fü die Geschwindigkeit v des abwäts ollenden Rads g( h y) g I A () v = = ( h y) = a( h y) mit k = 1+ I A k m 1+ m Die Beschleunigung des Rads a = g/k ist folglich kleine als die Edbeschleunigung g, da k > 1. Mit de anfänglichen Annahme <<R gilt auch I A I, wobei I das Tägheitsmoment des Zylindes bezüglich de Dehachse duch den Schwepunkt S sein soll: I = ½ m R. Damit egibt sich g g (3) a = = g k R R 1+ 5

6 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Die Beschleunigung ist also konstant beim Hinunteollen, unabhängig von de Masse bzw. dem Tägheitsmoment des Rads und umso kleine, je meh sich Radius von Dehachse und Zylinde untescheiden. Seh empfindlich ist sie abhängig vom Radius de Dehachse. Hie muss gegebenenfalls die Dicke des Aufhängefadens beücksichtigt weden []. Das in Abbildung 1 gezeigte Rad hat eine Masse von m = 310g; de Duchmesse de Achse betägt 7mm, de Duchmesse des zylindefömigen Rads 60mm. Damit egibt sich etwa a = 0,7m/s², d.h. eheblich wenige als die Edbeschleunigung g. Bei Beücksichtigung eine Fadendicke von 0,9mm egibt sich a = 0,35m/s². Bei eine Höhendiffeenz von h = 1cm betägt die Geschwindigkeit beim unteen Umkehpunkt etwa v = 33cm/s. Diese beechneten Wete konnten duch eine Videoanalyse (Viana; im Rahmen de Messunsicheheit bestätigt weden (siehe Zusatzmateial). Kommt das Maxwellsche Rad zum unteen Umkehpunkt, bewegt sich de Schwepunkt in eine kuzen Zeit t auf einem Halbkeis um den Befestigungspunkt des Aufhängefadens an de Achse (gestichelte ote Linie in Abbildung 7). Die Schwepunktgeschwindigkeit v veändet ihe Richtung um 180 (= π), d.h. es gibt eine Impulsändeung de Göße mv. Das veusacht eine zusätzliche, kuzzeitig wikende Kaft auf den Faden, die sich in Fom eines Rucks bemekba macht Aufhängefaden (4) = mv mv ω mv π F = = mit = t π π t ω bzw. mit dem Egebnis aus Fomel () und da hie außedem x = 0, << R (5) F = m gh π I (1 + m A 4mgh m ) π ( m + 0,5mR 8mgh ) πr ω Abb.7: Umkehpunkt beim Maxwellschen Rad. Diese zusätzliche Kaft ist umso kleine, je kleine de Radius de Dehachse ist, alledings auch umso göße, je länge die Stecke zum Hinuntelaufen ist. Fü das in Abbildung 1 gezeigte Rad egibt sich bei eine Höhendiffeenz von h= 1cm etwa eine Kaft von F = 6N. Veglichen mit dem Gewicht des Rads von 3,1N bedeutet das insgesamt etwa eine Vedeifachung de Fadenspannung duch den Ruck. Das kann bei zu dünnen Fäden zum Abeißen fühen. Liteatu [1] Goth, J. et al: Enegiebetachtungen zum Maxwellschen Rad, Mathematisch- Natuwissenschaftliche Unteicht 37 (1984), [] Pecoi, B. et al: The Maxwell Wheel investigated with MBL, The Physics Teache 36 (1998),

7 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Zusatzmateial Das Dehad aus Abbildung 1hat die aus Abbildung 1z esichtlichen Abmessungen. Damit eechnen sich folgende Wete: 60,0 m = 310g 16,3mm 9,3 mm 30,0mm 1,5mm 7,0mm Tägheitsmoment bezüglich de Dehachse duch den Schwepunkt I = 1397gcm Tägheitsmoment bezüglich de Dehachse duch den Rand de Dehachse 140mm Abb.1z: Abmessungen des Maxwellschen Rads. I A = 1435gcm Die Tägheitsmomente bezüglich Schwepunkt und Aufhängepunkt untescheiden sich um,7%, d.h. tatsächlich nu seh wenig. Das Tägheitsmoment wid teilweise bei den veeinfachten Fomeln ga nicht benötigt. Man kann damit jedoch die Gößenodnung de Veeinfachungen beechnen. Die Beschleunigung gemäß Fomel (3) egibt sich zu a = 0,7m/s². Die Fadendicke betägt 0,9mm. Rechnet man die Hälfte davon zum Radius de Dehachse dazu, egibt sich gemäß Fomel (3) eine Beschleunigung von a = 0,35m/s². Aus dem Video (Video Maxwellad.avi) wude mit Hilfe des fei zugänglichen Auswetepogammes Viana ( folgendes Diagamm emittelt: 7

8 eingeeicht eschienen in: Physik in unsee Zeit 46 (015), Hieaus lässt sich die Abnahme de mechanischen Enegie nach jede Schwingung zu 8% emitteln. Die Maxima de Kuve (ote Punkte) nehmen entspechend eine Exponentialfunktion ab: 0,045t A( t) = 1,4 e R = 0,9985 Diffeenziet man die Kuven de Abbildung de Position des Schwepunkts nach de Zeit, ehält man folgendes Diagamm: Aus diese Gafik lässt sich entnehmen, dass die Maximalgeschwindigkeit des Schwepunkts bei eine Fallhöhe von 1cm etwa 37cm/s betägt. Die Rechnung mit Fomel () egibt 33,3 cm/s. Die scheinba isolieten Punkte zwischen den Geaden sind keine Messfehle, sonden stellen Messpunkte zwischen de Abwäts- und Aufwätsbewegung im unteen Umkehpunkt da. Die Geaden sind alle paallel zueinande. Das bedeutet, die Beschleunigung bei de Ab- und Aufwätsbewegung ist imme gleich goß. Die Beschleunigung selbst folgt aus de Steigung de Geaden und egibt sich zu a = 0,336m/s² (aus Regessionsgeade). Das stimmt befiedigend mit dem beechneten Wet von a = 0,35m/s² übeein. Das Video wude mit 30 Bilden/Sekunde aufgenommen. Das kann heutzutage fast jede Digitalkamea. Man ekennt, dass das Dehad nicht nu hinunte und wiede hinauf ollt, sonden dass zusätzliche Schwingungen des gesamten Dehads aufteten. Diese Schwingungen sind bei diesem einfachen Modell kaum zu vemeiden, da das manuelle Staten des Dehads aus de obeen Position paktisch nicht ohne Stöeffekte machba ist. Außedem entsteht bei dem unteen Umkehpunkt eine pinzipiell nicht vemeidbae Schaukelbewegung. Unte diesen Umständen escheinen die Wete de quantitativen Auswetung und de Vegleich mit den Beechnungen ganz befiedigend. Es zeigt sich, dass das einfache Maxwellad mit allgemein zugänglichen Hilfsmitteln inteessante Expeimentalphysik emöglicht. 8