Kreisel aus Büroklammern

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1 to be published in the poceedings of the confeence of the Geman Physical Society, in Regensbug PREPRINT! may not be distibuted FILE: SAKAIDE.DOC / VERSION Keisel aus Büoklammen Chistian Ucke Technische Univesität München, Physik Depatment E, Gaching, ucke@e.physik.tu-muenchen.de Keisel gehöen zu den kindlichen Gundefahungen. Theoie ist zum Spielen nicht notwendig. Physike befassen sich seit jehe wissenschaftlich mit de Thematik. Physikstudenten müssen eizvolle und auch schwieige Aufgaben dazu beabeiten. De japanische Pofesso Takao Sakai hat einige genial einfache Keiselkonstuktionen edacht, die Kinde und Wissenschaftle gleichemaßen in den Bann ziehen können. Wie läßt sich aus eine Büoklamme ein Keisel hestellen? Die Büoklamme steht hie stellvetetend fü ein leicht vefügbaes, kuzes und dünnes Dahtstück definiete Länge. Takao Sakai aus Japan hat dazu einige hübsche Ideen entwickelt [1]. Leide sind sie in japanisch publiziet. Da diese Spache nicht geade zum üblichen Wissenstand eines Mitteleuopäes zählt und außedem die Zeitschift in Deutschland nu in Hannove vohanden ist, habe ich einen japanischen Kollegen gebeten, mi die wichtigsten Patien zu übesetzen. Einiges daaus kann man sich soga ohne japanisch-kenntnisse eschließen, da physikalische Fomeln in lateinische Schift und Zeichnungen auch so veständlich sind. Ich wede hie einen Auszug aus de Publikation von Takao Sakai dastellen und einige eigene Gedanken dazutun. (Abb. 4, 5 und anschließende Teile). Zu Realisieung des Keisels biege man eine Büoklamme zunächst zu einem geade Stück Daht und dann deat in einem Keisbogen mit zwei Speichen um eine Achse, daß de Schwepunkt genau in de Achse liegt (Abb. 1). De Winkel ß muß dazu eine Göße von 5.1 aufweisen. Die Beechnung dieses Winkel ist eine eizvolle Aufgabe fü Physikstudenten in den esten Semesten. De Bau und das Laufenlassen des Keisels ist eine untehaltsame Übung fü Kinde und Wissenschaftle []. In Abb. ist de Keisel in Aufsicht dagestellt. Ist de Winkel zwischen den Speichen zu goß ode zu klein, liegt de Schwepunkt offensichtlich nicht im Keismittelpunkt. Zu Beechnung des notwendigen Winkels kann man sich auf die Abb. 1: Eine Büoklamme kann so zu einem Keisel gebogen weden. Abb. : De Büoklammekeisel in de Aufsicht. 1

2 to be published in the poceedings of the confeence of the Geman Physical Society, in Regensbug PREPRINT! may not be distibuted FILE: SAKAIDE.DOC / VERSION Betachtung des Schwepunkts de beiden Speichen und des gegenübeliegenden Keisbogenstücks s beschänken. Die andeen Teile des Keisbogens sind symmetisch zum Mittelpunkt und bauchen deswegen nicht beücksichtigt zu weden. Zu bequemeen Beechnung wede de halbe Speichenwinkel eingefüht. In Abb. sind die Speichen und de Keisbogen s heausgehoben. De Koodinatenuspung liege im Keismittelpunkt. De Abstand zwischen dem Schwepunkt des Keisbogens und dem Keismittelpunkt sei 1. Da de Keisbogen s symmetisch zu -Achse liegt, egibt sich de Schwepunkt des Bogens aus dem Linienintegal = ds d s = = s cosϕ ϕ = = sin sin s Abb. : Zu Beechnung des Schwepunkts weden nu die Speichen und das gegenübeliegende Keisbogenstück betachtet. Mit ρ als Dichte po Längeneinheit egibt sich die Masse des Keisbogens zu m 1 = s ρ. Bezüglich des Koodinatenuspungs egibt sich ein Moment von M 1 = m 1 1 = ρ sin. De Schwepunkt de Speichen liegt bei = / cos; die Masse ist m = ρ. Das von den Speichen bezüglich des Koodinatenuspungs bewikte Moment folgt zu M = m = ρ cos. Aus de Gleichsetzung M 1 = M egibt sich die übeaschend einfache Bestimmungsgleichung tan =.5, d.h. = De Winkel zwischen den Speichen ist folglich ß = = 5.1. Die vohegehenden Betachtungen efoden Integalechnung, die in Schulen nicht allgemein voausgesetzt weden kann. De Winkel kann jedoch auch näheungsweise ohne Integal abgeschätzt weden. Dazu wid de Keisbogen duch eine Sehne esetzt (Abb.4) De Schwepunkt de Sehne egibt sich aus dem Radius zu 1 = cos, die Masse zu m 1 = a 1 ρ = ρ sin. Das esultieende Moment folgt zu M 1 = m 1 1 = ρ sin cos. Setzt man wiede M 1 = M (M ist schon vohe bestimmt woden), egibt Abb. 4: De Keisbogen wid zu näheungsweisen Beechnung duch eine Sehne esetzt.

3 to be published in the poceedings of the confeence of the Geman Physical Society, in Regensbug PREPRINT! may not be distibuted FILE: SAKAIDE.DOC / VERSION sich sin =.5 bzw. =. De Winkel ist jetzt etwas göße als de eakt beechnete, da de Schwepunkt de Sehne nähe zum Koodinatenuspung liegt. Noch besse ist natülich eine Näheung, bei de de Keisbogen duch zwei Sehnenstücke esetzt wid (Abb.5). Die sich dann egebende tanszendente Bestimmungsgleichung fü kann leicht mit heutigen Rechnen numeisch gelöst weden. De Winkel egibt sich zu 7., und das ist schon seh gut am eakt beechneten Wet. Abb. 5: Eine Näheung des Keisbogens duch zwei Sehnenstücke ist schon fast optimal. Mit Hilfe eine kleinen Flachzange kann so ein Keisel aus eine Büoklamme hegestellt weden. Im Notfall geht es soga mit den Fingen. Besondes geeignet sind Büo- bzw Aktenklammen mit Kugelenden. Möchte man den obeen Teil de Dehachse gleichlang dem unteen Teil de Achse und daübehinaus so goß wie de Radius machen, egibt eine kleine Rechnung, daß de obee Teil ungefäh 1/1 de Gesamtlänge de zu einem geaden Dahtstück gebogenen Büoklamme sein muß. Das genaue Biegen des Keisbogens und das Einhalten des koekten Winkels zwischen den Speichen ist nicht ganz einfach. Glücklicheweise kommt es nicht so genau daauf an, da man duch nachtägliches Vebiegen des Dahtes den Schwepunkt imme noch in die Achse bingen kann. Eine ansponende Aufgabe besteht dain, jedes Mitglied eine Guppe deatige Keisel hestellen zu lassen und dann zu vegleichen, welches Stück am besten läuft. Falls de Schwepunkt des Keisels nicht in de Achse liegt, ist de Keisel - statisch - nicht ausgewuchtet. Bei einem nicht ausgewuchteten Autoad fühen solche Unwuchten zu staken Belastungen de Lage, die Achse behält jedoch ihe Lage. Beim Autoad weden zum Auswuchten kleine Gewichte am Felgenand angebacht. Beim Keisel fühen Unwuchten zu ieguläen Bewegungen de Keiselachse, die ja im Gegensatz zu Achse eines Autoades nicht in einem festen Lage läuft. Beim Keisel läßt sich das - statische - Auswuchten duch ein geeignetes Vebiegen des Dahtes ebenfalls eeichen. Ein Rotationsköpe ist dynamisch ausgewuchtet, wenn die Dehachse mit eine Haupttägheitsachse übeeinstimmt. Das dynamische Auswuchten ist hie gewähleistet, wenn daübehinaus die Dehachse senkecht zu den in eine Ebene befindlichen Speichen und Keisbogen oientiet ist. De Keisel kann mit den Fingen bis auf einige tausend Umdehungen po Minute gebacht weden. Rotiet e schnell, sieht man nu noch einen feischwebenden Keising um die Achse. Die Dehzahl des Keisels läßt sich gob aus folgende Übelegung abschätzen. Hält man die Keiselachse zwischen Zeigefinge und Daumen,

4 to be published in the poceedings of the confeence of the Geman Physical Society, in Regensbug PREPRINT! may not be distibuted FILE: SAKAIDE.DOC / VERSION eeichen Finge bzw. Daumen etwa eine Geschwindigkeit von v =,1m/s. De Dahtduchmesse betägt etwa d = 1mm, d.h. de Radius =.5 mm. Daaus egibt sich ω = v/ =.1m/s/.5mm = s -1 bzw. f = s -1 /π = s -1 = 19U/m. Mit stoboskopische Beleuchtung lassen sich soga noch weit gößee Dehzahlen bestätigen. De Sakai-Keisel ist im Sinne de theoetischen Physik ein sogenannte unsymmetische Keisel, d.h. die Tägheitsmomente in zwei zueinande senkechten Richtungen in de -y-ebene sind unteschiedlich (I I y ). Diese Tägheitsmomente zu beechnen efodet etwas meh Aufwand. Aus Abb. 6 läßt sich ableiten: π 1 I = ( s sin ) ρ ds + ( sin ϕ) ρ dϕ + ρ h = sin π sin 1 h ρ 4 Abb. 6: Beechnung des Tägheitsmoments. Es wid nu die Hälfte des Keisels in Aufsicht in de -y-ebene gezeigt. π 1 I y = ( s cos ) ρ ds + ( cos ϕ) ρ dϕ + ρ h = + + cos π sin 1 h ρ 4 Das Tägheitsmoment bezüglich de z-achse ist 1 I z = ρ ( + π ) Fü ein bestimmtes Vehältnis h/ (1.6 h/ 1.68) liegt I z geade zwischen I und I y (Abb.7). Eine feie Rotation eines deatigen Keisels um diese Achse des mittleen Tägheitsmoments wäe dann nicht stabil. Das ist abe nu zu ealisieen, indem man den otieenden Keisel in die Luft wift, was gewisse Schwieigkeiten veusacht. Astonauten könnten das im schweefeien Raum natülich optimal duchfühen. Theoetischen Physiken ist daübehinaus ein unsymmetische Keisel nicht seh sympathisch, da e mathematisch schwieige zu handhaben ist. Wie kommt man also zu einem symmetischen Keisel? Abb. 7: Ein kitische Sakai-Keisel, bei dem geade das mittlee Tägheitsmoment in de z- Achse liegt (h = 1,65 ; maßstabsgeechte Abbildung). 4

5 to be published in the poceedings of the confeence of the Geman Physical Society, in Regensbug PREPRINT! may not be distibuted FILE: SAKAIDE.DOC / VERSION In Abb. 8 ist eine Lösung gezeigt, die ebenfalls auf Takao Sakai zuückgeht. Hat de Winkel zwischen den Speichen geade den ichtigen Wet, gilt I = I y. Die Beechnung dieses Winkels wid mit Abb. 9 vedeutlicht. In ganz ähnliche Weise wie bei de vohegegangenen Rechnung egibt sich fü ein Vietel des Keisels fü I und I y : I = ( s sin ) ρ ds + ( sin ϕ) ρ dϕ π / Abb. 8: Konstuktion eines symmetischen Büoklammekeisels. sin π sin = ρ I = ( s cos ) ρ ds + ( cos ϕ) ρ dϕ y π / cos π sin = ρ Abb. 9: Beechnung de Tägheitsmomente des symmetischen Keisels. Aufsicht auf ein Vietel des Keisels. Setzt man I = I y egibt sich tan = / bzw. =.69 (=,588ad). Eine inteessante und gut beechenbae Göße ist die kitische Rotationsfequenz, untehalb de symmetische Keisel bei Stöungen nicht meh stabil dehen []. Es gilt ω 4mghI kit = bzw. fkit = Iz mghi πi z Von mi vewendete Büoklammen (Noica Büoklammen N. 575 mit Kugelenden) haben eine Masse m =,7g und ρ =,75g/cm. Unte de Voaussetzung h = =,87cm, wie sie in Abb.8 bezeichnet ist, eechnet sich I = 4, 1 9 kgm bzw. I = 4 z + ρ kgm ( π ) =, 1 und f kit = 5, s -1 = U/min 8 Diese Fequenz ist beim Andehen mit den Fingen bequem zu übescheiten. Das ist die Voaussetzung dafü, daß de Keisel übehaupt gut läuft. 5

6 to be published in the poceedings of the confeence of the Geman Physical Society, in Regensbug PREPRINT! may not be distibuted FILE: SAKAIDE.DOC / VERSION Die konkete Realisieung dieses Keisels ist deswegen etwas schwieige, weil die vielen Speichen einen Goßteil de Gesamtlänge eine Büoklamme vebauchen. Daduch wid die Achse und de Gesamtkeisel etwas kompakt. Zu Abhilfe gehe man auf die nächste Büoklammegöße übe. Zu goß düfen deatige Keisel abe nicht weden. Sie sind bei zu goßem Tägheitsmoment nicht meh gut anzudehen. Es ist veblüffend, daß geade Büoklammen eine optimale Göße aufweisen. Sakai-Keisel ufen geadezu weitee Fagen hevo. Welchen Effekt haben z.b. die abgeundeten Ecken, die sich notwendigeweise bei de Vewiklichung des Keisels aus Daht egeben? Welchen Einfluß auf den Winkel zwischen den Speichen hat es, wenn die Speichen aus de Keisbogenebene symmetisch nach oben bzw. unten abweichen (Abb. 1), wobei de Schwepunkt in de Achse bleibt? Auch dies muß ja bei de Realisieung eines Keisels aus Daht beücksichtigt weden. Lassen sich noch weitee symmetische Keisel denken und konstuieen? Wie muß die Konstuktion eines Keisels beschaffen sein, bei dem die Speichen beide paallel zu Achse hin laufen (Abb. 11) und de Schwepunkt in de - unsymmetisch bezüglich des Keises - Achse liegt? Es lassen sich auch Keisel konstuieen, die statt eines Keisbogens eine quadatische Fom aufweisen. Diese lassen sich dann soga ohne Integale beechnen. Abb. 1: Welchen Einfluß hat ein Abweichen de Speichen aus de Keisebene? Abb. 11: Ein weitee Büo klammekeisel nach Sakai. Liteatu 1. Sakai, Takao: Topics on tops which enable anyone to enjoy himself, Mathematical Sciences (Sui-kagaki = ), No. 71, Januay 1986, p Büge, Wolfgang: De paadoe Eiekoche, Bikhäuse Velag, Basel Kuypes, Fiedhelm: Klassische Mechanik, Velag VCH-WILEY, Weinheim Einige Bilde von otieenden Sakai-Büoklammekeiseln (animated gifpictues) sind unte folgende Intenet-Adesse anzusehen: 6