Kreisbewegung. Ein Leitprogramm zur Mechanik

Transkript

1 Ein Leitpogamm zu Mechanik

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3 Abeitsanleitung III Schulbeeich Gymnasien Fachliche Vokenntnisse Gundlagen de Kinematik und de Dynamik, Enegiesatz Einstieg: Buch Fokus Physik > Seiten 104, 108, 109, 110, 111

4 Abeitsanleitung IV Einfühung Die Ede deht sich und alles, was auf de Ede steht ode liegt, deht sich mit. Wi alle dehen auf eine iesigen Keisbahn in einem Tag einmal undum. en in übeaus vielfältige At können wi auf de Dippemess beobachten und eleben. Im Riesenad, auf dem Kaussell und beim Looping de Achtebahn bewegen wi uns auf eine Keisbahn. Abe auch auf de Stasse begegnen wi diese Bewegung. Auch wenn wi mit dem Auto, Motoad ode Fahad einen Keisel nu bis zu nächsten Abzweigung befahen, gelten dabei doch die Gesetze de. Diese Gesetze weden Sie mit Hilfe des voliegenden Leitpogammes lenen. Im esten Teil geht es um die Bescheibung de Bewegung. Sie weden dabei Ihe Kenntnisse von den geadlinigen Bewegungen anwenden können und zudem einige neue Begiffe und Gößen kennen lenen. Die Fage, waum ein Köpe eine Keisbahn bescheibt, wid im zweiten Kapitel beabeitet, wobei die bekannten Newton-Gesetze zu Anwendung kommen. Auf diese Gundlage weden Sie in den nachfolgenden beiden Kapitel die Käfte bei veschiedenen Beispielen untesuchen und dabei wohl auch einige de auf de "Chilbi" elebten Escheinungen ekläen können. Mit den Empfindungen, die man als Mitfahe bei eine vespüt, beschäftigt sich schließlich das letzte Kapitel, das jedoch nicht meh zum obligatoischen Stoff gehöt. Dieses sogenannte Additum können Sie in Angiff nehmen, wenn Sie die esten vie Kapitel zügig beabeitet haben.

5 Abeitsanleitung V Inhaltsvezeichnis Titelblatt Infomationen, Copyight Vowot, Einfühung I III IV Inhaltsvezeichnis V-VI Abeitsanleitung VII Kapitel 1 Bescheibung de 1 (beeits beabeitet) 1.1 Das Bogenmaß 3 1. Die Polakoodinaten Begiffe zu Die Bewegung auf dem Keis 11 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben 15 Kapitel Die Usache de 19 (neu).1 Die Bahngeschwindigkeit als Vekto 1. Die Zentipetalbeschleunigung 4.3 Die Zentipetalkaft 8 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben 3 Kapitel 3 Beispiele fü Zentipetalkäfte Auf de Suche nach de Zentipetalkaft Eine "Lösungsstategie" Das Auto in de Kuve Die Zwei-Köpe-Dehung (feiwillig) De vetikale Keis (feiwillig) 47 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben 50

6 Abeitsanleitung VI Kapitel 4 duch Schägstellung 58 (feiwillig) 4.1 Die Käfte Geschwindigkeit und Schäglage Recheche Lenkontollen 68 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben 71 Additum Tägheitskäfte 75 (feiwillig) A.1. Mitbewegt auf de Keisscheibe 77 A.. Beschleunigte und unbeschleunigte Bezugssysteme: Tägheitskäfte 80 A.3 Inetialsysteme genau betachtet 83 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben 88 Anhänge Anhang 1 Kapiteltests und Lösungen Z Z 1.9 Anhang Mediothek fü die Schüleinnen und Schüle Z.1 Anhang 3 Expeimentiemateial Z Z 3. Anhang 4 Von den Autoen benützte Quellen Z 4.1 Anhang 5 Hinweise Z Z 5. Anahng 6 Abeitsblatt Z 6.1 Anahng 7 Abeitspass Z 7.1

7 Abeitsanleitung VII Abeitsanleitung Sie weden hauptsächlich selbständig abeiten. Damit Sie dabei auch wiklich zum gesteckten Ziel gelangen, weden Sie von diesem Leitpogamm gefüht, duch die veschiedenen Lenetappen geleitet. Nach eine Übesicht sind in jedem Kapitel die Lenziele fomuliet. Dann abeiten Sie den Stoff duch. Dabei weisen die nachfolgenden Zeichen Sie auf bestimmte Tätigkeiten hin. Dieses Symbol zeigt Ihnen, dass Sie nun ein Expeiment ode ein Gedankenexpeiment duchfühen müssen. Hie bekommen Sie Gelegenheit, mit eine Kontollfage ode eine Aufgabe zu übepüfen, ob Sie den letzten Abschnitt vestanden haben. Sie können auch selbe kontollieen, ob Sie zu ichtigen Lösung gelangt sind, denn diese finden Sie jeweils am Schluss des beteffenden Kapitels. Dot bekommen Sie auch gewisse Hilfen, falls Sie nicht die ichtige Lösung gefunden haben. Das Leitpogamm ist ein Abeitsinstument, das Sie duch den Lenpozess hinduch füht. Es ist dagegen ungeeignet, um den Stoff - zum Beispiel vo de nächsten Püfung - nochmals zu epetieen. Estellen Sie deshalb in Ihem Theoieheft jeweils eine Zusammenfassung, wenn das nebenstehende Zeichen escheint. Sie soll das enthalten, was Sie sich fü die nächste Püfung meken und einpägen müssen. Sie daf nicht zu umfangeich sein, sich abe auch nicht auf eine eine Fomelsammlung beschänken. Falls Sie die Lenkontolle am Ende des Kapitels mit Hilfe Ihe Zusammenfassung efolgeich bestehen, hat sie ihen Zweck efüllt. Wenn Sie die Aufgaben und Lenkontollen efolgeich beabeitet haben, melden Sie sich am Schluss von jedem Kapitel beim Lehe zu einem Kapiteltest. Dabei geht es in este Linie daum, zu übepüfen, ob Sie genügend sattelfest sind, um das nächste Kapitel in Angiff zu nehmen. Nun wollen wi abe beginnen. Wi sehen uns est beim Test. Denn nu wenn Sie sich völlig in die Sackgasse gedängt fühlen, sollen Sie bei mi Hilfe holen.

8 Kapitel 1: Bescheibung de 1 Bescheibung de Übesicht Lenziele fü Kapitel Das Bogenmaß 1. Die Polakoodinaten 1.3 Begiffe zu 1.4 Die Bewegung auf dem Keis Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben Übesicht "Wie kann man eine Bewegung auf eine Keisbahn am besten bescheiben?" In diesem Kapitel weden Sie auf diese Fage eine Antwot finden. Dabei weden Sie alle wichtigen Begiffe zu Bescheibung eine kennenlenen. Was wissen Sie jetzt schon? Vieles wid Repetition aus andeen Fächen sein: So wissen Sie schon, was ein Keis ist. Sie wissen, dass die Göße eines Keises am einfachsten duch seinen Radius beschieben wid. Sie wissen auch, was eine Bewegung auf eine Geaden ist und wie man sie mathematisch bescheibt. Was weden wi tun? Wi weden Wissen aus Ihem Mathematikunteicht mit Wissen aus Ihem Physikunteicht kombinieen und damit einige neue Begiffe definieen. Dabei lenen Sie ein neues und paktisches Winkelmaß und ein de angepasstes Koodinatensystem kennen. Veschiedene Gößen zu Chaakteisieung eine sind miteinande duch einfache Fomeln veknüpft. Wi weden diese Fomeln heleiten. Alle neuen Begiffe weden Sie an paktischen Beispielen einüben. Eine Bewegung zu bescheiben heisst zu sagen, an welchem Ot und zu welche Zeit ein Köpe ist. Sie weden efahen, wie das fü die am einfachsten geht.

9 Kapitel 1: Bescheibung de Waum machen wi das? Mit diesen neuen Begiffen wid es dann viel einfache sein, übe die zu spechen und sie mathematisch zu bescheiben. Sie weden die Begiffe, die Ihnen in diesem Kapitel eklät weden, im ganzen Leitpogamm imme wiede anteffen. Es lohnt sich also, sich diese Begiffe zu meken. Wie gehen wi vo? Sie sollten einige Bogen Papie, Scheibwekzeug, einen Maßstab, einen Zikel, Ihe Fomelsammlung und den Taschenechne mit de Anleitung dazu beeit halten. Sie abeiten fü sich, bis Sie aufgefodet weden, mit einem Kollegen ode eine Kollegin zu diskutieen. Lenziele fü Kapitel 1 Sie wissen, wie man eine einfach bescheiben kann. Sie können alle mit (*) bezeichneten Definitionen und Fomeln auswendig, und Sie können sie auf konkete Pobleme anwenden. De Statschuss ist gefallen, Sie können mit dem Stoff beginnen: Es ist möglich, dass Ihnen das Thema des folgenden Abschnittes übe das Bogenmaß aus de Mathematik schon gut bekannt ist. Dann lösen Sie aus diesem Abschnitt nu die Aufgabe 1.1 (Lösungen zu den Aufgaben finden Sie jeweils am Ende des Kapitels.) Beeitet Ihnen diese Aufgabe keine Schwieigkeiten, dann können Sie den Abschnitt übe das Bogenmaß übespingen. Wenn Sie sich nicht so ganz sattelfest fühlen, so abeiten Sie den Abschnitt übe das Bogenmaß von Anfang an duch.

10 Kapitel 1: Bescheibung de Das Bogenmaß Aus de Mathematik kennen Sie vielleicht das Bogenmaß beeits. Wie wi am Schluss dieses Abschnittes sehen weden, ist das Bogenmaß eine fü die Physik besondes paktische At, die Göße von Winkeln anzugeben. Die willküliche Einteilung eines vollen Winkels in 360 fällt weg. Dies wid uns die Abeit seh eleichten. Dieses Kapitel enthält eine kuze Repetition de wichtigsten Begiffe. De Winkel α wid im Bogenmaß als Vehältnis de zu ihm gehöenden Gößen von Keisbogen b und Keisadius angegeben: α = b α b Fig. 1.1 Die Länge des Keisbogens kann man mit einem einfachen Deisatz beechnen. De Bogen übe einem 60 Winkel z.b. ist des vollen Umfanges U, da 6 60 = 360. Die allgemeine Fomel fü den Keisbogen b, welche den Winkel α in Gad einschließt, ist: α α b = U = π Division duch : b = α π 360 α = π 360 Diese Zahl hängt nu vom Winkel α ab! De Radius des Keises küzt sich heaus. Dieses Vehältnis gibt den Winkel im Bogenmaß an. Das Bogenmaß ist de Quotient aus zwei Stecken und hat keine Einheit. Damit man ekennt, dass es sich um einen Winkel handelt, benutzt man die Bezeichnung Radiant ode abgeküzt "ad". Bei Dimensionsbetachtungen (übepüfen de Einheiten) kann die Bezeichnung Radiant weggelassen weden. Das Wot "Radiant" wid nu hinzugefügt, um ganz kla zu kennzeichnen, dass es sich um einem Winkel im Bogenmaß handelt und man nicht einfach das " "-Zeichen vegessen hat.

11 Kapitel 1: Bescheibung de 4 Beispiel: De 60 -Winkel ist im Bogenmaß ausgedückt: b = π = π π = = 1,047ad 3 Aufgabe 1.1: "Das Bogenmaß" Rechnen Sie die Winkel α= 90, α= 45, α= 37 in das Bogenmaß um. Wie echnet man allgemein einen Winkel im Bogenmaß aus? Lesen Sie nun folgende Definition und vegleiche sie mit Ihe Antwot. Definition (*1.1) Ein Winkel α im Bogenmaß ist definiet als das Vehältnis des dazugehöenden Keisbogens zum Radius des Keises: α = b, [α] = ad Das Bogenmaß hat keine Einheit. Ih wid die Bezeichnung Radiant (abgeküzt "ad") zugefügt. Diese Definition sollten Sie sinngemäss auswendig können (daum steht ein Sten vo de Numme). Allgemein echnet man den Winkel α mit folgende Fomel ins Bogenmaß um: (*1.) [ ] α [ad] = π. 0 α Die Fomel kann so umgefomt weden, dass man aus einem Winkel im Bogenmaß [ad] einen Winkel in Gaden [ ] bekommt: (1.3) α [ ] = α[ ad] π Diese beiden Fomeln können Sie auch selbst heleiten. Vesuchen Sie es! (Sollte es Ihnen nicht gelingen, so beabeiten Sie den Stoff in diesem Kapitel noch einmal.) Sie fagen sich vielleicht, was das Ganze soll. Was ist de Voteil, wenn wi im Bogenmaß abeiten? Wie Sie aus de Definition (*1.1) sofot heleiten können, lässt sich ein Keisbogen seh einfach beechnen, wenn de dazugehöige Winkel im Bogenmaß gegeben ist: (1.4) b =. α [ad] Alle Deisatzechnungen mit π fallen weg! Weitee Voteile sehen Sie späte in diesem Leitpogamm.

12 Kapitel 1: Bescheibung de 5 1. Die Polakoodinaten Achtung: Diesen Abschnitt müssen Sie nu beabeiten, wenn Sie den Begiff "Polakoodinaten" nicht schon aus de Mathematik kennen. Sie lenen hie ein Koodinatensystem kennen, in dem eine einfach zu bescheiben ist. Sie weden katesische Koodinaten in dieses paktischee System umechnen können. Das Katesische Koodinatensystem ist Ihnen bekannt. Einem Punkt in de Ebene weden die Koodinaten (x,y) zugeodnet. y 0 y x P (x,y) x Fig. 1. Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit die Lage des Punktes zu bescheiben. Gibt man den Radius (Abstand vom Uspung) und den Polawinkel ϕ (Winkel zwischen den Stecke OP und de x-achse) an so ist die Lage des Punktes P auch eindeutig festgelegt. 0 y ϕ P x Fig. 1.3 Das Wetepaa und ϕ bezeichnet die Lage des Punktes P in Polakoodinaten. Beachten Sie, dass bei zwei Dimensionen stets zwei Koodinaten efodelich sind, entwede x und y ode und ϕ. Die katesische Koodinaten lassen sich in Polakoodinaten umechnen (und umgekeht). Die Beziehungen finden Sie in de DMK/DPK-Fomelsammlung S. 81. Falls Sie sich dain etwas üben wollen, emitteln Sie aus x = 4 und y = 3 die Polakoodinaten und ϕ, und beechnen Sie danach mit den Resultaten wiedeum x und y.

13 Kapitel 1: Bescheibung de Begiffe zu Die Bewegungen, die Sie bis jetzt im Physikunteicht kennengelent haben, waen alles Bewegungen auf eine Geaden, also lineae Bewegungen. Jetzt wollen wi Bewegungen auf eine Keisbahn betachten. Wi weden einige neue Begiffe definieen. Dabei nutzen wi unsee Kenntnisse von de lineaen Bewegung und übe das Bogenmaß. Zu Einneung: Eine lineae Bewegung eines Köpes heisst gleichfömig, wenn in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten gleiche Wegabschnitte zuückgelegt weden. Dabei wid das Vehältnis de Veschiebung zu benötigten Zeit als Geschwindigkeit definiet: s v = t (Falls Ihnen dies nicht meh völlig kla ist, so studieen Sie zuest den Stoff übe die lineae gleichfömige Bewegung in Ihem Physikheft ode -Buch, bevo Sie weitefahen) Diese Definition übetagen wi jetzt auf die gleichfömige : (*1.5) Eine heisst gleichfömig, falls in gleichen Zeitabschnitten gleiche Winkel übestichen weden. De Radius wid bei de konstant gehalten. Aufgabe 1..: "Die gleichfömige " Übelegen Sie, wo im Alltag gleichfömige en vokommen (mindestens 3 Situationen). Notieen Sie Ihe Ideen auf ein Blatt Papie und übepüfen Sie bei jedem Fall, ob die Definition de gleichfömigen auch zutifft. Analog zu Geschwindigkeit können wi eine Winkelgeschwindigkeit definieen: Definition (*1.6) Die Winkelgeschwindigkeit ω ist das Vehältnis des übestichenen Winkels ϕ zu dabei veflossenen Zeit t: ϕ ω = t Die Winkelgeschwindigkeit ω ("omega") nennt man auch Keisfequenz. Den Winkel ϕ messen wi imme im Bogenmaß. (*) Somit ist die Einheit de Winkelgeschwindigkeit ode Keisfequenz.

14 Kapitel 1: Bescheibung de 7 (Falls ad weggelassen wid, ist die Einheit ode s -1.) Bemekungen: Nach de Definition de gleichfömigen weden in gleichen Zeiten gleiche Winkel übestichen. Es spielt also keine Rolle, in welchem Zeitintevall t wi den ϕ übestichenen Winkel ϕ messen. Das Vehältnis ω = ist eine Konstante. t Wi können daum die gleichfömige auch so definieen: (1.7) Eine heißt gleichfömig, falls die Winkelgeschwindigkeit ω konstant ist. Machen wi eine kuze "Veschnaufpause" auf unsee Wandeung. Blicken wi kuz zuück. Folgende Begiffe sollten Ihnen etwas sagen: - Bogenmaß - Polakoodinaten - gleichfömige - Winkelgeschwindigkeit Püfen Sie sich ehlich. Könnten Sie jemandem die Begiffe ekläen? Machen Sie ein paa Gedanken, wie Sie das tun wüden. Wenn Sie in einem Thema unsiche sind, so lesen Sie die entspechende Stelle in diesem Leitpogamm nochmals duch. (Wenn Sie Mühe haben, die folgenden beiden Aufgaben 1.3 und 1.4 siche zu lösen, so gehen Sie den Abschnitt 1.1 übe das Bogenmaß nochmals duch, bevo Sie den Abschnitt 1.3 übe die Begiffe zu wiedeholen.) Aufgabe 1.3: "Die Winkelgeschwindigkeit" Wie goß ist die Winkelgeschwindigkeit ω, wenn man fü einen Umlauf auf eine Keisbahn s baucht? Aufgabe 1.4: "Die Winkeländeung" Die Winkelgeschwindigkeit ω betägt 4 π (ad/s) a) Welche Winkel wid in 6 s übestichen? b) Wie goß ist diese Winkel in Gaden ausgedückt? Aufgabe 1.3 lässt sich veallgemeinen, wenn man den Begiff de Umlaufszeit einfüht:

15 Kapitel 1: Bescheibung de 8 (*1.8) Die Zeit fü einen Umlauf auf eine Keisbahn nennt man Umlaufszeit ode Peiode. Man vewendet fü sie das Fomelzeichen T. Die Einheit von T ist die Sekunde. Allgemeine fomuliet lautet Aufgabe 1.3 nun so: Wie goß ist die Winkelgeschwindigkeit ω, wenn die Umlaufszeit T bekannt ist? Bei einem Umlauf betägt de übestichene Winkel ϕ geade π. Fü diesen Umlauf baucht man die Zeit t = T (T = Peiode). Daaus lässt sich die Winkelgeschwindigkeit beechnen: (*1.9) ω = ϕ = π / T t Aufgabe 1.5: "Die Edotation" Die Ede deht sich in 4 Stunden einmal um die eigene Achse. Also gilt T = 4 h. Beechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω de Edotation. Wie lautet de Zusammenhang zwischen ω und T? Wenn Sie sich nicht einnen können, vesuchen Sie, es duch Übelegen zu ekonstuieen! Aufgabe 1.6: "Das schnelle Rad" Die Umlaufszeit T eines Rades betage 0.0 s. Wievielmal deht sich das Rad po Sekunde? Auch diese Aufgabe lässt sich veallgemeinen: Ein peiodische Vogang ist ein Vogang, de sich nach eine gewissen Zeit (Peiodendaue) wiedeholt. Das Dehen eines Rades, das Dehen de Ede, jede gleichfömige ist ein peiodische Vogang: Nach de Peiode T ist de otieende Köpe wiede in de uspünglichen Lage. Zählt man nun, wievielmal sich ein peiodische Vogang po Sekunde wiedeholt, so egibt dies die Fequenz f. (Vewechseln Sie die Keisfequenz ω nicht mit de Fequenz f!) Die Fequenz f des Rades von Aufgabe 1.6 betägt also 50. Das heisst, das Rad deht sich 50 mal po Sekunde.

16 Kapitel 1: Bescheibung de 9 Ein andees Beispiel: Wenn Sie sich köpelich etwas anstengen, schlägt Ih Hez etwa 10 mal po Minute. Dies entspicht eine Hezfequenz von, da de peiodische Vogang des Hezschlages sich zweimal po Sekunde wiedeholt. Die Einheit de Fequenz ist ode s -1. Oft wid dafü auch eine spezielle Einheit angegeben um anzuzeigen, dass es sich um eine Fequenz handelt. Die Einheit heisst Hetz (abgeküzt Hz) zu Ehen des Physikes Heinich Hetz ( ). Die Einheit Hetz hat also nichts mit dem Hezschlag zu tun! (*1.10) Das Vehältnis de Anzahl (Umläufe, Peioden) zum Zeitintevall nennt man Fequenz f. Die Einheit de Fequenz ist Hetz (Hz) : 1 Hz = 1 s -1. Bei Maschinen und Motoen wid oft anstelle de Fequenz die "Touenzahl" in de Einheit "Umläufe po Minute" = angegeben. Wenn man Aufgabe 1.6 veallgemeinet, so lautet die Fage nun: Wie ist de Zusammenhang zwischen Peiode T und Fequenz f eine (eines peiodischen Vogangs)? Die Antwot sollten Sie sich meken: (*1.11) f = T 1 Einnen Sie sich an den Zusammenhang zwischen de Winkelgeschwindigkeit ω und de Peiode T? π 1 Fomel 1.9 lautete: ω = = π = π f T T Die Fequenz f und die Winkelgeschwindigkeit ω untescheiden sich um einen Fakto π! Von diesem Zusammenhang kommt auch de etwas mekwüdige Name Keisfequenz fü die Winkelgeschwindigkeit ω. Den Zusammenhang zwischen ω, T und f sollten Sie sich meken: (*1.1) π ω = = π f T

17 Kapitel 1: Bescheibung de 10 Aufgabe 1.7: "De Getiebeschaden" Ein Ton besteht aus peiodischen Luftduckschwankungen. Unse Oh nimmt diese Duckschwankungen auf, das Hin stuft den Ton als hoch ode tief ein, je nach Fequenz de peiodischen Duckschwankung. Ein hohe Ton (z.b Hz) hat die Gößee Fequenz als ein tiefe Ton (z.b. 60 Hz). De Kammeton (a') hat die Fequenz von 440 Hz. In einem defekten Getiebe stösst nun ein Zahnad bei jede Umdehung an und ezeugt somit eine peiodische Duckschwankung, die wi als 00 Hz Ton wahnehmen. a) Beechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω des Zahnades. b) Beechnen Sie die Peiode T des Zahnades. Wenn Ihnen diese Aufgabe Mühe beeitete, sollten Sie zu Aufgabe 1.3 zuückkehen und den Stoff bis hiehin nochmals duchabeiten. Sie haben jetzt einige neue Begiffe kennengelent: - Winkelgeschwindigkeit (Keisfequenz) ω, - Peiode T, - Fequenz f. Vesteht man die Bedeutung diese Begiffe, so sind die Beziehungen unte den veschiedenen Gößen mit Übelegungen zu "ekonstuieen". Paktisch ist es, wenn man sie auswendig kennt. Nehmen Sie nun Ihe Fomelsammlung zu Hand und schauen Sie nach, was zu den entspechenden Gößen und ihen Beziehungen steht. Vesuchen Sie sich dabei die Begiffe einzupägen!

18 Kapitel 1: Bescheibung de Die Bewegung auf dem Keis Im letzten Abschnitt dieses Kapitels geht es daum, die Bewegung auf dem Keis zu bescheiben. Wi wollen die Geschwindigkeit und die Koodinaten eines Köpes auf eine Keisbahn beechnen. Wi nutzen dabei unsee Kenntnisse übe Bogenmaß und Winkelgeschwindigkeit. Wie paktisch die Göße Winkelgeschwindigkeit ist, zeigt sich, wenn wi die Bahngeschwindigkeit beechnen wollen: Was ist die Bahngeschwindigkeit? Ein Beispiel: Sie fahen mit dem Fahad im Keis heum. Die Bahngeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die Ihnen Ih Tachomete anzeigt. Etwas mathematische: Wenn wi uns auf eine Keisbahn bewegen, so legen wi in eine Zeit t den Bogen b zuück. b ϕ Fig. 1.4 b Die Bahngeschwindigkeit ist somit: v = t Bei gleichfömige Bewegung kann de Spezialfall eine vollen Umdehung betachtet weden. Es gilt dann: b = π und t = T. b Somit ist v = = π / T = ω t Dabei wude im letzten Schitt Fomel (1.9) vewendet. Meken Sie sich diese Fomel: (*1.13) Bahngeschwindigkeit: v = ω. Bemekung: Bei de gleichfömigen ist ω konstant. Also ist hie auch die Bahngeschwindigkeit konstant. (Auf eine Keisbahn ändet sich nicht!)

19 Kapitel 1: Bescheibung de 1 Aufgabe 1.8: "De Töfffahe (Motoadfahe)" Ein Töff fäht auf eine keisfömigen Teststecke mit 100 km/h. De Keisadius betägt 160 m. a) Beechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω. b) Wie lange baucht de Töfffahe, um ein Vietel de Runde zu fahen? (Beechnen Sie dies, ohne den Keisumfang zu beechnen, echnen Sie mit ω!) c) Sind die 100 km/h eine goße Geschwindigkeit fü die Kuve auf de Keisbahn? Was denken Sie? Sie wissen jetzt, wie Sie aus de Winkelgeschwindigkeit ω die Bahngeschwindigkeit v beechnen. Um die jedoch genaue zu bescheiben, sollten wi auch angeben können, wo sich ein Köpe auf eine Keisbahn zu igendeine Zeit befindet. Am einfachsten ist das Poblem zu lösen, wenn man in Polakoodinaten abeitet. Wi wollen dazu folgende Aufgabe lösen: Aufgabe 1.9: "Das Kaussell" Ein Kaussell mit veschiedenen Figuen bewegt sich gleichfömig mit de Winkelgeschwindigkeit ω. a) Mit welche Winkelgeschwindigkeit bewegen sich die folgenden beiden Pfedchen: - das schwaze, das sich zuinnest nahe de Achse befindet? - das weisse, das sich zuäussest auf dem Kaussell befindet? b) Wo befindet sich das weisse Pfedchen zu einem beliebigen Zeitpunkt t, wenn es im Zeitpunkt t o = 0 s im Abstand o von de Dehachse ist und den Anfangswinkel ϕ o hat? Hinweis: De übestichene Winkel nach eine beliebigen Zeit t ist ϕ = ω t (Analog zu lineaen Bewegung s = v t). Vegessen Sie das ϕ o nicht! (ϕ o ist die analoge Göße zu s o in de Fomel s = s o + v t.) c) (fakultativ) Wie lautet die Lösung von a), falls de Zeitpunkt t o nicht einfach 0 s (Null) ist, sonden ganz allgemein als t o gegeben ist? Folgende Aufgabe sollten Sie lösen können, ohne oben Fomeln nachzusehen. Sie epetieen dabei die Zusammenhänge zwischen Fequenz, Winkelgeschwindigkeit, Peiode und Bahngeschwindigkeit. Gelingt es Ihnen noch nicht, so scheiben Sie sich die nachgeschlagenen Fomeln auf ein Blatt und vesuchen Sie, sie sich einzupägen.

20 Kapitel 1: Bescheibung de 13 Aufgabe 1.10: "Das Rennen auf dem Kaussell" Das oben beschiebene Kaussell deht sich mit de Fequenz 0.1 Hz. Zwei Pfede, die nebeneinande stehen, haben die Abstände von = 4 m und = 5.5 m von de Dehachse. a) Wie goß ist die Umlaufzeit T? b) Wie goß ist die Diffeenz de Bahngeschwindigkeiten de beiden Pfede? In diesem Kapitel haben Sie folgende Begiffe und Methoden kennengelent: - Bogenmaß - Polakoodinaten (,ϕ) - Winkelgeschwindigkeit (Keisfequenz) ω - Umlaufszeit (Peiodendaue) T - Fequenz f - Beziehungen zwischen ω, T, f - Bahngeschwindigkeit v - Bescheibung eine gleichfömigen Vesuchen Sie nun, diese Begiffe und Methoden fü sich zu epetieen. Sie sollten nachhe in de Lage sein, sie jemandem zu ekläen. Halten Sie sich beim Repetieen stikt an folgende Spielegeln. Sie eleichten Ihnen das Lenen: 1) Vesuchen Sie, sich selbst zu einnen. Blätten Sie nicht zuück! ) Haben Sie etwas vegessen, so scheiben Sie sich eine päzis fomuliete Fage auf ein Blatt Papie. Etwa "Wie lautet de Zusammenhang zwischen de Fequenz f und de Winkelgeschwindigkeit ω?" 3) Kommt Ihnen die Antwot imme noch nicht in den Sinn, so düfen Sie die Antwot nachschlagen. Schauen Sie nicht meh nach, als Sie fü die Beantwotung de Fage unbedingt bauchen. 4) Sobald Sie die Antwot gefunden haben, sollten Sie wiede diese Seite aufschlagen. Notieen Sie nun die gefundene Antwot unte Ihe gestellte Fage. 5) Wenn Sie duch alle Begiffe duchgegangen sind, schauen Sie sich Ih "Fage-Antwotblatt" nochmals duch. 6) Notieen Sie sich die Zusammenfassung ins Theoieheft.

21 Kapitel 1: Bescheibung de 14 Mit den folgenden Aufgaben können Sie püfen, ob Sie dieses Kapitel vestanden haben und die wichtigsten Fomeln auswendig kennen. Wenn Sie die folgenden dei Aufgaben ichtig beantwoten können ohne vone nachzusehen, ist das Fundament fü die weiteen Kapitel dieses Leitpogammes gelegt. Sie weden nun in de Lage sein, das Kapitel zu vestehen. Die Lösungen finden Sie wie imme am Ende des Kapitels. Gelingt es Ihnen nicht, die Fagen zu beantwoten, so befolgen Sie die Anweisungen in den Lösungen. Dann vesuchen Sie es ein zweites Mal. Als letzte "Check" stellt Ihnen danach de Tuto ein paa Fagen zu diesem Kapitel. Aufgabe 1.11: "Das Dehestauant" Sie sitzen in einem Dehestauant (z.b. auf dem Schilthon). a) Wie könnten Sie feststellen, ob sich das Restauant gleichfömig deht? b) Wie können Sie die Winkelgeschwindigkeit messen?. Aufgabe 1.1: "Geschwindigkeit de Ede" Die Ede umkeist die Sonne näheungsweise auf eine Keisbahn mit einem Radius von 149, km. Ein Umlauf dauet ein Jah ode 365,5 Tage. Beechnen Sie die Bahngeschwindigkeit de Ede in m/s. Aufgabe 1.13: "Ein Speichenad als Musikinstument" Ein Speichenad mit 3 Speichen baucht fü eine Umdehung 0, s. Sie halten seh vosichtig ein Stück Katon hinein. Welche Fequenz hat de Ton, den Sie höen?

22 Kapitel 1: Bescheibung de 15 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben Lösung 1.1: "Das Bogenmaß" De 90 Winkel entspicht einem Vietel des Keisumfanges. Also gilt: α = 90 = π / 4 = π / = ad De 45 Winkel entspicht einem Achtel des Keisumfanges. Also gilt: α= 45 = π / 8 = π / 4 = ad Fü den 37 Winkel kann die folgende "Deisatzechnung" gemacht weden: α = 37 = π (37 /360 ) = ad Lösung 1.: "Die gleichfömige " Jede Gegenstand auf de Ede deht sich in eine gleichfömigen um die Edachse. De Stundenzeige eine Uh deht sich in 1 Stunden in eine gleichfömigen übe das Ziffeblatt. Fäht ein Auto mit konstante Geschwindigkeit, so dehen die Räde gleichfömig. Also bewegt sich z.b. das Ventil in eine gleichfömigen um die Radachse. Lösung 1.3: "Die Winkelgeschwindigkeit" In de Zeit von s wid ein Winkel von π übestichen. Also betägt die Winkelgeschwindigkeit: ϕ ω = = π / s = π *(ad/s) = 3.14 ad/s t Lösung 1.4: "Die Winkeländeung" a) Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, welche Winkel (in Radiant) po Sekunde übestichen wid. Also wid in 6 Sekunden ein Winkel von ϕ = ω. t = ( π / 4) ( ad / s) 6s = 3π / ad übestichen. b) Eine volle Umdehung entspicht π ode 360. Also gilt 3π / ad = 70. Lösung 1.5: "Die Edotation" Rechnen wi T in Sekunden um: T = s = s π ω = = s -1 T

23 Kapitel 1: Bescheibung de 16 Feiwillige Egänzung fü "Astonomen": Genau genommen deht sich die Ede in einem Stentag um ihe Achse. Ein Punkt auf de Ede, de vom Edzentum gesehen auf einen Fixsten zeigt, ist nach einem Stentag wiede auf diesen Fixsten ausgeichtet. Ein Stentag dauet nu s. E ist küze als de Sonnentag, weil beim Sonnentag die Umkeisung de Sonne mit einbezogen wid. Lösung 1.6: "Das schnelle Rad" In de Zeit von 1 s kann sich das Rad (1/0.0s) = 50 Mal/s dehen. In 1 s ist die Umlaufzeit von 0.0 s 50 mal enthalten. Das Rad deht sich 50 mal po Sekunde. Lösung 1.7: "De Getiebeschaden" 00 mal in de Sekunde ezeugt das defekte Zahnad dieselbe Luftduckschwankung. Es deht sich also 00 mal po Sekunde. Seine Umdehungsfequenz f ist 00 Hz. Somit beechnet sich ω und T: ω = π f = ad*s -1 1 π T = = = s = 5 ms f ω Lösung 1.8: "De Töfffahe" a) Die Geschwindigkeit v des Töffs betägt: v = 100m/3.6s = 7.78 m/s, v = ω ω = v = (7.78 m/s)/160m = s -1 b) Ein Vietel eines vollen Keiswinkels π ist π / = ϕ. Die fü den Winkel ϕ benötigte Zeit betägt: t = ϕ / ω = ( π / ) / s -1 = 9.03 s c) De Töfffahe geht hie an die Genzen seine Möglichkeiten. 100 km/h ist eine echt hohe Geschwindigkeit fü eine Kuve mit einem Radius von 160 m. Am Ende dieses Leitpogammes weden Sie diese Antwot physikalisch begünden können.

24 Kapitel 1: Bescheibung de 17 Lösung 1.9: "Das Kaussell" a) Beide Pfedchen bewegen sich mit deselben Winkelgeschwindigkeit ω. Die Winkelgeschwindigkeit ist fü alle Figuen auf dem Kaussell gleich goß. Alle Figuen machen ja in deselben Zeit T eine volle Umdehung. b) Zu Zeit t o = 0 s betägt de Winkel ϕ o. Zwischen dem Zeitpunkt t o und dem Zeitpunkt t wid ein Winkel von ϕ = ω t übestichen. Also betägt de Winkel ϕ zu eine beliebigen Zeit t: (*1.14) ϕ(t) = ϕ o + ω t De Radius bleibt bei de konstant. Also gilt: (*1.15) (t) = o = const. Diese beiden Fomeln sollten Ihnen so kla sein, dass Sie sie jedezeit aufscheiben könnten! ϕ(t) = ϕ + ω t o ω t ϕ o t = 0 Fig. 1.5 c) Zwischen dem Zeitpunkt t o und dem Zeitpunkt t wid ein Winkel von ϕ = ω (t - t o ) übestichen. In de Aufgabe b) wa de Zeitpunkt t o = 0 s, sodass t o weggelassen weden konnte. Somit ist in allen Fomeln von Aufgabe b) ω t duch ω (t - t o ) zu esetzen. Lösung 1.10: "Das Rennen auf dem Kaussell" a) Die Umlaufszeit T beechnet sich nach T = f 1 = 10 s. (Natülich ist sie fü beide Pfede gleich.)

25 Kapitel 1: Bescheibung de 18 b) Die Winkelgeschwindigkeit ω beechnet sich nach ω = π f. Mit ω beechnet sich die Bahngeschwindigkeit einfach übe v = ω. Die Bahngeschwindigkeitsdiffeenz ist somit: v = ( - 1) ω = 1.5 π 0.1 m/s = 0.94 m/s Das äussee Pfed ist schnelle, denn es hat in de gleichen Zeit einen weiteen Weg zuückgelegt. Lösung 1.11: "Das Dehestauant" a) Gleichfömig dehen heisst in gleichen Zeitabschnitten gleiche Winkel übesteichen. Um dies zu übepüfen gibt es veschiedene Möglichkeiten: Sind z.b. die Fenste egelmässig angeodnet, so nehmen Sie als Winkelmaß (Bogen) den Abstand zweie Fenste. Dauet es imme gleich lang bis das nächste Fenste in deselben Position ist, so deht sich das Restauant gleichfömig. Hilfe: Repetieen Sie die Definition de gleichfömigen, lösen Sie Aufgabe 1.6 noch einmal. b) Die Peiode T ist einfach zu messen. Sie schauen, wie lange es dauet, bis sich das π Restauant um 360 gedeht hat. Daaus lässt sich ω beechnen ω = T Hilfe: Abeiten Sie den Stoff von Aufgabe 1.7 bis und mit Aufgabe 1.9 nochmals duch. Lösung 1.1: "Geschwindigkeit de Ede" Die Umlaufszeit de Ede in Sekunden ist T = 365, s 31, s. π Daaus lässt sich ω beechnen: ω =. Die Bahngeschwindigkeit betägt: T v = ω = π / T = 149, m 6,83/(31, s) 30'000 m/s (Eine Höllengeschwindigkeit!) Hilfe: Abeiten Sie den Abschnitt "Die Bewegung auf dem Keis" bis und mit Aufgabe 1.1 noch einmal duch. Lösung 1.13: "Ein Speichenad als Musikinstument" Das Rad deht sich mit eine Fequenz f = T 1 = 5 Hz. Da das Rad 3 Speichen hat und so po Umdehung 3 mal ein Geäusch von sich gibt, etönt ein Ton von f 3 = 160 Hz. Hilfe: Abeiten Sie den Stoff von Aufgabe 1.10 bis und mit Aufgabe 1.11 noch einmal duch.

26 Kapitel : Usache de 19 Usache de Übesicht Lenziele fü Kapitel.1 Die Bahngeschwindigkeit als VektoGöße. Die Zentipetalbeschleunigung.3 Die Zentipetalkaft Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben Übesicht Im esten Kapitel haben Sie die gleichfömige kennengelent. Sie kennen nun Begiffe wie Umlaufszeit und Fequenz. Aus dem Radius de Keisbahn und de Winkelgeschwindigkeit können Sie den Betag de Bahngeschwindigkeit beechnen. Im Kapitel, das Sie nun in Angiff nehmen, weden Sie die Kaft, welche fü die Keisbahn veantwotlich ist, kennenlenen. Man nennt sie die Zentipetalkaft. Dieses Kapitel ist folgendemaßen gegliedet: In Abschnitt.1 weden Sie die Bahngeschwindigkeit als Vekto kennenlenen. Sie weden sehen, dass sich diese bei einem Umlauf ändet. De umlaufende Köpe ist also beschleunigt. In Abschnitt. weden wi dann Betag und Richtung diese Beschleunigung beechnen. In Abschnitt.3 schliessen wi aus dem. Newton-Axiom, dass diese Beschleunigung duch eine Zentipetalkaft veusacht wid. Sie weden sich dabei in einem Expeiment selbst vom Vohandensein und von de Göße diese Kaft übezeugen. Zum Abschluss können Sie anhand von Testaufgaben selbst püfen, ob Sie den Stoff vestanden haben und anwenden können.

27 Kapitel : Usache de 0 Lenziele fü Kapitel Sie kennen den Unteschied zwischen dem Geschwindigkeitsvekto v und dessen Betag v und haben vestanden, dass die Bahngeschwindigkeit als Vekto aufzufassen ist. Sie kennen die Richtung und den Betag de Zentipetalbeschleunigung. Sie können ekläen, weshalb bei eine gleichmäßigen eine Zentipetalkaft wiken muss. Sie kennen deen Richtung und können deen Betag bestimmen.

28 Kapitel : Usache de 1.1 Die Bahngeschwindigkeit als Vekto.1.1 Die Geschwindigkeit als Vekto In diesem Abschnitt geht es um den Unteschied zwischen v und v. Fü diesen Abschnitt abeiten Sie mit dem Lehbuch "Physik in einem Band" von Don-Bade de Schülehandbibliothek. Dabei haben Sie folgende Aufgabe: Sie lesen von Kapitel 78 den Beginn von Abschnitt 1, also die Seite 50 sowie die Definition oben auf Seite 51. Damit haben Sie das Wichtige begiffen. Falls das Buch in de Bibliothek fehlt, können Sie den folgenden Text als Esatz lesen: Ein Köpe füht eine gleichfömige Bewegung aus, wenn e sich längs eine Geaden bewegt und in gleichen, beliebig kleinen Zeiten t imme gleich lange Wege s zuücklegt. Da de Weg nicht nu eine bestimmte Länge, sonden auch eine bestimmte Richtung hat, ist e als Vekto aufzufassen: Wi scheiben also statt s nun s. Unte de Geschwindigkeit eine gleichfömigen Bewegung vesteht man nun den Quotienten aus dem in einem Zeitintevall t zuückgelegten Weg s und dem Zeitintevall t: v = s (.1) t Dabei wude beücksichtigt, dass de vom Massenpunkt zuückgelegte Weg eine geichtete Göße, also eine vektoielle Göße, dastellt. Damit ist auch die Geschwindigkeit eine vektoielle Göße. Fü eine gleichfömige Bewegung, bei de sich de Massenpunkt zu Zeit t = 0 im Nullpunkt des Koodinatensystems befindet, kann die Geschwindigkeit auch folgendemaßen geschieben weden: Vektogleichung: Betagsgleichung: s v = (.) t s v = (.3) t Aufgabe.1: "Geschwindigkeit als Vekto-Göße" Welche zwei Beziehungen fasst die Vektogleichung v = s zusammen? t Die ichtigen Lösungen finden Sie am Ende des Kapitels.

29 Kapitel : Usache de.1. De Geschwindigkeitsvekto bei de gleichfömigen Wi kehen nun zu gleichfömigen zuück. Wi betachten einen Köpe, de sich mit konstante Winkelgeschwindigkeit ω auf eine Keisbahn vom Radius bewegt. Zu Zeit t befindet sich de Köpe im Punkt P(t) (Fig..1). Welche Richtung hat de Geschwindigkeitsvekto zu diesem Zeitpunkt t? Wi betachten dazu die Bewegung wähend des nachfolgenden Zeitintevalls t. Fü den Geschwindigkeitsvekto gilt dann: v = s t v hat also die Richtung von heausfinden. s. Somit müssen wi im esten Schitt die Richtung von s ϕ(t) v (t)? P(t) P(t+ t) s P(t) Fig..1 Fig.. Nach de Zeit t befindet sich de Köpe im Punkt P(t+ t), wobei e den Keisbogen von P(t) nach P(t+ t) zuückgelegt hat. Diese Keisbogen ist abe eine Linie, deen Richtung sich laufend ändet. Dies bedeutet, dass auch die Geschwindigkeit ihe Richtung wähend des Zeitintevalls t ändet. Gesucht ist abe die Richtung de Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t, also die Richtung de Momentangeschwindigkeit. Die Sehne s von P(t) nach P(t+ t) liefet uns die Richtung de mittleen Geschwindigkeit im Zeitintevall t. Wählt man dieses Zeitintevall imme kleine, so nähet sich diese mittlee Geschwindigkeit imme meh de Momentangeschwindigkeit. Fü ein beliebig kleines Zeitintevall t hat die Sehne s dann die Richtung de Tangente im Punkt P(t). Also hat auch v in P(t) die Richtung de Bahntangente in P(t).

30 Kapitel : Usache de 3 v (t) ϕ(t) P(t) Fig..3 Aufgabe.: "Geschwindigkeitsvekto zu veschiedenen Zeiten" Ein (punktfömige) Köpe bewegt sich mit konstante 1 Winkelgeschwindigkeit ω = s auf einem Keis mit Radius 3,0 cm. 3 Zu Zeit t = 0 übequet e die x-achse in mathematisch positivem Umlaufsinn, d.h. entgegen dem Uhzeige. Wie goß ist die Umlaufszeit T? Zeichnen Sie fü die Zeiten π 3π 5π t = 0 s, s, π s, s, π s, s den Ot auf dem Keis und den Vekto de Momentangeschwindigkeit. Die vollständige und koekte Zeichnung finden Sie am Ende des Kapitels. Aufgabe.3: "Funken am Schleifstein" Ekläen Sie das Vehalten de Funken am Schleifstein auf dem untenstehenden Foto. Fig..4

31 Kapitel : Usache de 4. Die Zentipetalbeschleunigung Einnen Sie sich noch an die Definition de Beschleunigung? Unte de Beschleunigung vesteht man den Quotienten aus de Ändeung des Geschwindigkeitsvektos und de dabei veflossenen Zeit t: v a = (.4) t Betachten Sie nun Ihe Zeichnung von Aufgabe., in de Sie den Geschwindigkeitsvekto fü die gleichfömige zu veschiedenen Zeitpunkten eingezeichnet haben, so ekennen Sie sofot: De Betag de Geschwindigkeit ist zwa konstant, abe die Richtung des Geschwindigkeitsvektos ist nicht konstant, wenn sich ein Köpe gleichfömig entlang eine Keisbahn bewegt. Daaus folgt, dass de Köpe beschleunigt ist...1 Beechnung de Zentipetalbeschleunigung Wi beechnen nun die Beschleunigung a, die ein Köpe efahen muss, damit e sich gleichmässig auf eine Keisbahn bewegt. Betachten Sie dazu die folgenden Abbildungen: v (t + t) v (t) P(t+ t) s ϕ P(t) Konstuktion de Geschwindigkeitsändeung duch Paallelveschiebung de Geschwindigkeitsvektoen v v (t + t) v (t) ϕ v Fig..5a Fig..5b Fü ein kleines Zeitintevall t können wi den Keisbogen wiedeum duch die Sehne s esetzen. Wähend sich de Köpe um den Winkel ϕ weite bewegt, deht sich auch de Geschwindigkeitsvekto v um den Winkel ϕ. Somit folgt aus de Ähnlichkeit de beiden Deiecke: s v = (.5) v

32 Kapitel : Usache de 5 Setzt man fü s = v. t und fü v = a. t ein, egibt dies v t a t = (.6) v Fü die gesuchte Beschleunigung a gilt also: v a = (.7) Mit de Beziehung v = ω. finden wi: a = ω. (.8) Abe in welche Richtung zeigt diese Beschleunigung? Betachten Sie die Figu.5b und lassen Sie t gegen Null gehen. Das Deieck de Geschwindigkeitsvektoen wid imme schmale und im Genzfall steht v senkecht auf v. Die Ändeung v ist also gegen den Keismittelpunkt hin geichtet. Aus de Definition de Beschleunigung folgt, dass die Beschleunigung a die gleiche Richtung hat wie die Geschwindigkeitsändeung v. Die Beschleunigung zeigt also auch gegen den Keismittelpunkt. Wi fassen zusammen: Ein gleichfömig keisende Köpe efäht eine Beschleunigung: a z v = = ω (.9) Diese ist gegen das Keiszentum geichtet und wid Zentipetalbeschleunigung genannt. Im nachfolgenden Abschnitt.. können Sie eine völlig andee Heleitung de Fomel fü die Zentipetalbeschleunigung finden. Dabei wid die gekümmte Bahn aus zwei Teilbewegungen zusammengesetzt und ein Satz aus de Geometie angewendet. Diese Abschnitt gehöt nicht zum obligatoischen Fundamentum. Beabeiten Sie ihn nu, wenn Sie bis jetzt in diesem Leitpogamm zügig voangekommen sind und Feude an geometischen Übelegungen haben. Andenfalls lösen Sie die Aufgabe.4 und fahen dann mit Kapitel.3 weite.

33 Kapitel : Usache de 6 Aufgabe.4: "Mondbewegung und Zentipetalbeschleunigung" Die Bewegung des Mondes kann in gute Näheung als gleichmässige um die Ede beschieben weden. De Bahnadius (genaue: die mittlee Entfenung vom Zentum de Ede zum Mittelpunkt des Mondes) misst 384'000 km. Die Umlaufszeit des Mondes um die Ede betägt 7 d 8 h. a) Wie goß ist die Zentipetalbeschleunigung, die de Mond efäht? b) Was wüde geschehen, wenn de Mond nicht ständig diese Zentipetalbeschleunigung zum Edmittelpunkt hin efahen wüde?.. Beechnung de Zentipetalbeschleunigung mit dem Höhensatz In diesem Abschnitt weden wi noch einmal den Betag de Zentipetalbeschleunigung heleiten, wobei wi den Höhensatz aus de Mathematik anwenden weden. Falls Sie damit nicht meh vetaut sind, können Sie diese geometische Beziehung in de DMK/DPK-Fomelsammlung auf Seite 56 nachschlagen. Betachten Sie nun folgende Figu: y A' C A H x B Fig..6 Vom Punkt A aus legt ein Köpe infolge de Bahngeschwindigkeit in einem kleinen Zeitintevall t in hoizontale Richtung näheungsweise die Stecke zuück. AA ' = v t (.10)

34 Kapitel : Usache de 7 Diese entspicht de Höhe des Deiecks ABC, denn HC = AA '. Folglich ist HC = v t (.11) Unte dem Einfluss de Zentipetalbeschleunigung allein wüde sich de Köpe von A aus in vetikale Richtung wähend t von A nach H bewegen. Diese Stecke beechnet man nach a dem Gesetz de gleichmässig beschleunigten Bewegung analog zu s = t. az AH = ( t) (.1) Tatsächlich füht de Köpe auf de Keisbahn beide Bewegungen miteinande aus und befindet sich nach de Zeit t im Punkt C. Offensichtlich ist das Deieck ABC echtwinklig, denn die Keisbahn stellt den Thaleskeis übe de Hypothenuse AB da. Nun benützen wi den Höhensatz. Diese besagt: Das Podukt de beiden Hypothenusenabschnitte ist gleich dem Quadat de Höhe. Also: AH HB = (HC) (.13) Einsetzen egibt: az a ( ( t Ausmultiplizieen und dividieen duch ( t) liefet: a z t) ) ( ( t) ) = ( v ) (.14) az z ( t) = v (.15) 4 Obige Übelegung gilt umso genaue, je kleine t ist. Lassen wi t gegen Null steben, können wi den Summanden mit ( t) venachlässigen, und wi finden wie ewatet: v = (.16) a z Zudem haben Sie gesehen, dass die gleichfömige fü kleine Zeiten t als Übelageung zweie Bewegungen dagestellt weden kann: 1. gleichfömige Bewegung in Richtung de Bahntangente mit Geschwindigkeit v. gleichmäßig beschleunigte, zum Keismittelpunkt geichtete Bewegung mit de Zentipetalbeschleunigung a z.

35 Kapitel : Usache de 8.3 Die Zentipetalkaft Im voigen Abschnitt haben Sie folgendes ekannt: Füht ein Köpe eine gleichfömige aus, so muss e die zum Keismittelpunkt v hin geichtete Zentipetalbeschleunigung a z vom Betag a z = (.17) efahen..3.1 Das. Newton-Axiom und die Zentipetalkaft Fü diesen Abschnitt benötigen wi das. Newton-Axiom, die Gundgleichung de Mechanik: F = m a (.18) Die beschleunigende Kaft F, d.h. die Resultieende alle auf den Köpe wikenden Käfte, ist gleich dem Podukt aus de Maße m des Köpes und de Beschleunigung a, die diese duch die esultieende Kaft efäht. Nach de Gundgleichung de Mechanik muss also stets eine Kaft wiken, damit eine Beschleunigung entsteht. Also muss auch bei de gleichmässigen die Resultieende von Null veschieden sein, die am keisenden Köpe angeifenden Käfte heben sich nicht auf. Es gilt damit: Damit ein Köpe eine gleichfömige ausfühen kann, muss auf ihn eine zum Keismittelpunkt hin geichtete Resultieende wiken. Sie hat den Betag v Fz = m az = m = m ω (.19) Diese Resultieende nennt man Zentipetalkaft. ACHTUNG! Meken Sie sich: "Zentipetalkaft" ist nu ein andee Name fü die Resultieende bei gleichfömigen en. Sie setzt sich aus den wiklich am Köpe angeifenden Käften zusammen und ist nicht eine Kaft, die zusätzlich zu diesen wikt.

36 Kapitel : Usache de 9 Aufgabe.5: "Zentipetalkaft und " Ist die Aussage "Ein Köpe bewegt sich auf einem Keis, daduch entsteht eine Zentipetalkaft" ichtig ode falsch? (Läuchli/Mülle S. 110, A4-393) Die ichtige Lösung finden Sie am Ende des Kapitels..3. Expeimentelle Übepüfung (da das Expeiment nicht möglich ist > sehen Sie hiezu im Intenet unte den Begiffen: Leifi Physik Zentipetalkaft nach!) Sie finden: >> Appaatu Zu Messung de Zentipetalkaft dient folgende Expeimentievoichtung: m Fig..7 F 0 ω Ein Wagen de Maße m befindet sich auf eine hoizontalen Schiene. Diese kann mit einem Moto um die vetikale Achse mit de Winkelgeschwindigkeit ω otiet weden. Dabei bescheibt de Wagen eine hoizontale Keisbahn mit dem Radius. De Betag de Kaft, mit welche de Faden den Wagen gegen den Keismittelpunkt O zieht, kann am Kaftmesse abgelesen weden. Skizzieen Sie die Situation und zeichnen Sie alle auf den otieenden Wagen einwikenden Käfte ein. Übezeugen Sie sich davon, dass alle anden Käfte auße de Fadenkaft sich geade aufheben. Damit ist die Fadenkaft auch die Resultieende, d.h. die Zentipetalkaft diese.

37 Kapitel : Usache de 30 c) Duchfühung des Expeimentes Man füht zwei veschiedene Messungen duch: (1) Winkelgeschwindigkeit ω fest, Radius vaiabel - Stellen Sie den Moto auf eine feste Dehzahl ein. Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω mit Hilfe de Stoppuh! Ein Tip: De Wet fü ω wid genaue, wenn Sie die Zeit fü 10 Umläufe messen und daaus die Winkelgeschwindigkeit ω bestimmen! - Duch Veschieben des Kaftmesses entlang de Vetikalen können Sie den Radius de Keisbahn veänden. Messen Sie nun fü dei veschiedene Radien den Betag de Zentipetalkaft und tagen Sie die Wete in eine Tabelle ein. - Vegleichen Sie den gemessenen Wet mit dem beechneten Betag fü die Zentipetalkaft! () Winkelgeschwindigkeit ω vaiabel, Radius fest - Stellen Sie eine Umlauffequenz f so ein, dass de Wagen eine Keisbahn vom Radius o = 15 cm bescheibt. - Bestimmen Sie mit de Stoppuh die Winkelgeschwindigkeit ω und lesen Sie den Betag de Zentipetalkaft ab. - Messen Sie den Betag de Zentipetalkaft fü zwei weitee Umlauffequenzen, abe bei gleichem Radius o. Dies können Sie eeichen, indem Sie nach dem Einstellen de neuen Fequenz den Kaftmesse entlang de Vetikalen veschieben, bis de Keisadius wiede o betägt. - Estellen Sie eine Tabelle und tagen Sie die Messwete ein. Vegleichen Sie den gemessenen und den beechneten Wet fü die Zentipetalkaft! Zum Abschluss hat man nun noch die Möglichkeit, selbe zu übepüfen, ob Sie den Stoff von Kapitel vestanden haben und bei Poblemstellungen anwenden können. Wenn Sie von den vie Teilaufgaben.6a)+b) und.7a)+b) mindestens dei ichtig gelöst haben, können Sie sich beim Tuto zum Kapiteltest melden. Aufgabe.8 ist fakultativ und eine Heausfodeung fü speziell Inteessiete. Die ichtigen Lösungen zu den Aufgaben finden Sie am Ende des Kapitels.

38 Kapitel : Usache de 31 Aufgabe.6: "Umlaufgeschwindigkeit eines Steins" Ein Stein de Maße m = 0,5 kg wid an eine Schnu auf eine hoizontalen Keisbahn vom Radius = 1 m heumgeschleudet. Dabei betägt die Kaft in de hoizontalen Schnu 00 N. a) Wie goß ist die Umlaufgeschwindigkeit des Steins? b) Wie goß ist die benötigte Kaft in de Schnu, wenn bei festem Radius die Umlaufgeschwindigkeit des Steins vedoppelt wid? c) Was passiet, wenn die Schnu plötzlich eisst? Aufgabe.7: "Köpe auf zwei veschiedenen Keisbahnen" Ein Köpe von 150 g bewegt sich auf einem Keis von 50 cm ode auf einem solchen von 100 cm Radius. a) Welche Zentipetalkaft muss wiken, damit die Bewegung in beiden Fällen mit eine Bahngeschwindigkeit von m/s efolgt? b) Wie goß ist die benötigte Zentipetalkaft, wenn die Umlaufszeit auf beiden Keisen 1,5 s betägt? (Läuchli/Mülle, S. 111, A4-396)

39 Kapitel : Usache de 3 Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben Lösung.1: "Geschwindigkeit als Vekto" 1. De Geschwindigkeitsvekto v hat die Richtung des zuückgelegten Weges s.. De Betag v des Geschwindigkeitsvektos v ist gleich dem Quotienten aus dem Betag des zuückgelegten Weges s und de dazu benötigten Zeit t. Lösung.: "Geschwindigkeitsvekto zu veschiedenen Zeiten" π π Die Umlaufzeit ist T = = = 3πs = 9, 4s ω 1 s 3 Nach de Zeit t = π/ s ist de Winkel zu x-achse ϕ = ω t = (/3 s -1 ) ( π / s) = π /3 = 60 De Betag de Geschwindigkeit ist zu jede Zeit v = ω = (/3 s -1 ) 3cm = cm/s und de Geschwindigkeitsvekto ist tangential zum Keis im beteffenden Punkt. t = π s t = π/ s t = 3π/ s ϕ = π/3 = 60 t = 0 s x t = π s t = 5π/ s Fig..9 Hat Ihnen die Beechnung de Umlaufzeit Mühe beeitet, so epetieen Sie Fomel (1.9) von Kap. 1. Fü die Beechnung des Winkels ϕ bauchen Sie Fomel (1.14), wobei in unseem Beispiel ϕ 0 = 0 ist (waum?). Den Betag de Geschwindigkeit liefet Fomel (1.13), die Richtung können Sie Fig..3 entnehmen.

40 Kapitel : Usache de 33 Lösung.3: "Funken am Schleifstein" De otieende Schleifstein eibt am Eisenstab und eisst ihm kleine Eisenspäne weg. Diese weden duch die Reibung so stak ehitzt, dass sie glühen. Diese glühenden Späne lösen sich von de Obefläche des Schleifsteines und fliegen in de Richtung weg, welche ih Geschwindigkeitsvekto in diesem Moment auf dem otieenden Stein hat. Diese Richtung ist bekanntlich tangential zu Keisbahn. Deshalb sind die Leuchtspuen auf dem Foto Tangenten an den keisfömigen Stein. Siehe dazu auch obenstehende Fig..9 von Lösung.. Lösung.4: "Mondbewegung und Zentipetalbeschleunigung" a) a = ω. π π 4π, mit ω = π f = wid dies zu a z = ( ) = = 0,007 m/s T T T b) Wenn de Mond nicht ständig diese Zentipetalbeschleunigung zum Edmittelpunkt hin efühe, wüde e auf de Keistangente an die Mondbahn geadlinig weitefliegen. Sind Sie auch zu diesen Egebnissen gekommen? Falls ja, dann können Sie gleich mit Kapitel.3 weitefahen. Wenn nicht, dann sollten Sie die Lösung von Aufgabe. (Figu.9) nochmals anschauen und das Kapitel. bis zum Ende von Abschnitt..1 eneut duchabeiten. Lösung.5: "Zentipetalkaft und " Die Aussage ist falsch! Die Zentipetalkaft ist die Usache fü die und nicht die Folge de Sind Sie zum Schluss gekommen, die Aussage sei ichtig? Dann ist es nötig, dass Sie einige Seiten zuückblätten und sich sowohl den Anfang vom Kapitel. (bis zu den Figuen.5a und.5b) wie auch das Kapitel.3 bis zu Aufgabe.5 nochmals genau anschauen. Lösung.6: "Umlaufgeschwindigkeit eines Steins" a) Die Kaft in de Schnu entspicht de Zentipetalkaft vom Betag F z = 00 N. F z v = m Fz v = = 0 m/s m b) Fü die Zentipetalkaft bei doppelte Geschwindigkeit v' = v gilt: ' ' v (v) 4v Fz = m = m = m = 4F z = 800 N Wid de Radius konstant gehalten, ist die viefache Zentipetalkaft efodelich.

41 Kapitel : Usache de 34 c) Wenn die Schnu eisst, kann sie keine Kaft meh auf den Stein ausüben. Damit wikt plötzlich keine Zentipetalkaft meh. Wie das Tägheitsgesetz besagt, bewegt sich de Köpe dann mit seine momentane Geschwindigkeit weite. Diese ist tangential an die Keisbahn und in diese Richtung fliegt de Stein fot. (vgl. auch die "Funken am Schleifstein" von Aufgabe.3) Übigens: Dasselbe passiet auch mit dem bätigen Röme im Bild des Titelblattes, wenn ihm Asteix seinen Wunsch efüllt. Das nächste Bild aus "Asteix de Gallie" zeigt die Folgen: Lösung.7: "Köpe auf zwei veschiedenen Keisbahnen" a) v = m = 0,5 m: F z = 1, N = 1,0 m: F z = 0,6 N F z Bei gleichbleibende Bahngeschwindigkeit v wid beim doppelten Radius die Zentipetalkaft halb so goß. π b) Fü die Umlaufzeit gilt: T = ω F z = mω = m ( π ) T = 0,5 m: F z = 1,3 N = 1,0 m: F z =,63 N Bei gleichbleibende Umlaufszeit T bzw. gleiche Winkelgeschwindigkeit ω wid beim doppelten Radius die Zentipetalkaft doppelt so goß.

42 Kapitel 3: Beispiele fü Zentipetalkäfte 35 Beispiele fü Zentipetalkäfte Übesicht Lenziele fü Kapitel Auf de Suche nach de Zentipetalkaft 3. Eine "Lösungsstategie" 3.3 Das Auto in de Kuve 3.4 Die Zwei-Köpe-Dehung 3.5 De vetikale Keis Lösungen und Hinweise zu den Aufgaben Übesicht Sie wissen jetzt, dass ein Köpe nu dann eine ausfühen kann, wenn eine Zentipetalkaft auf ihn einwikt. We ode was ist nun abe fü diese Kaft veantwotlich? In diesem Kapitel sollen Sie an meheen Beispielen efahen, dass es nicht etwa igendwelche "zentipetalen Heinzelmännchen" sind, die am keisenden Köpe ziehen ode stossen. Es sind viel meh so eale Käfte wie die Nomalkaft, Fadenkaft, Reibungskaft, Gewichtskaft ode eine Kombination von meheen diese Käfte, welche die efodeliche Zentipetalkaft ezeugen. Wi weden uns im Kapitel 3 voest auf Beispiele beschänken, bei welchen die auftetenden Käfte paallel ode echtwinklig zueinande sind, sodass wi sie in einem echtwinkligen Koodinatensystem betachten und elativ einfach beechnen können. Zudem weden Sie dabei eine Stategie zum Beabeiten von Poblemen mit en anwenden lenen. Zum Abschluss können Sie - in einem fakultativen Additum - Ihe Kenntnisse bei eine anwenden, welche eigentlich nicht gleichfömig ist, abe mit Hilfe des Enegiesatzes gut beabeitet weden kann.