4 Kinematik und Dynamik bei Kreisbewegungen

Transkript

1 4 Kinematik und Dynamik bei Keisbewegungen Wie spielen die Käfte bei Keisbewegungen zusammen? 4.1 Das Mustebeispiel: De VBZ-Bus Auch die Keisbewegung veanschaulichen wi uns am Beispiel des VBZ-Busses. De Bus fahe mit konstante Geschwindigkeit duch eine Kuve. Wi spechen von eine gleichfömigen Keisbewegung (gfk). Folgende Angaben gelten fü die Kuvenfaht des Busses: Die Masse des Busses betägt imme noch 26.0 t. Die Kuve besitze einen Kuven- ode Bahnadius von 63 m. Die (Bahn-)Geschwindigkeit des Busses sei konstant und betage v=12.5 m s. 4.2 Die Kinematik de gleichfömigen Keisbewegung (gfk) Ein Köpe, de gleichmässig eine Keisbahn abfäht, bescheibt eine gleichfömige Keisbewegung (gfk). Seine Geschwindigkeit bezeichnet man in diesem Fall als Bahngeschwindigkeit und es gilt: Bahngeschwindigkeit bei de gleichfömigen Keisbewegung (gfk) Bescheibt ein Köpe eine gleichfömige Keisbewegung mit Bahnadius und Umlaufszeit T, so gilt fü seine Bahngeschwindigkeit v: v= 2π T = 1 Keisumfang po 1 Umlaufszeit (20) Wüde de VBZ-Bus eine Runde in einem Keisel fahen, so egäbe sich fü seine Umlaufszeit aus Gleichung (20): v= 2π T= 2π T v = 2π 63 m 12.5 m = 32 s s De Geschwindigkeitsbetag v bleibt bei eine gfk konstant. Zu Geschwindigkeit gehöt abe auch eine Richtung. Sie muss vollständigeweise als Vekto (= Pfeil) dagestellt weden. Bei eine Keisbewegung liegt die Bewegungsichtung stets auf eine Tangente an die Keisbahn! 33

2 De Köpe muss also eine Beschleunigung efahen, welche fü die Veändeung de Bewegungsichtung veantwotlich ist, den Geschwindigkeitsbetag abe unveändet lässt. Diese At von Beschleunigung nennt man Zentipetalbeschleunigung a Z. Die Zentipetalbeschleunigung a Z Bescheibt ein Köpe eine gfk mit de Bahngeschwindigkeit v und dem Bahnadius, so efäht e eine konstante Zentipetalbeschleunigung a Z. Diese steht stets senkecht zu aktuellen Bewegungsichtung und zeigt ins Zentum de Keisbahn. Ih Betag ist gegeben duch: a Z = v2 (21) Anmekungen zu Zentipetalbeschleunigung Gleichung (21) fü den Betag de von a Z lässt sich heleiten, indem man sich übelegt, wie sich die Geschwindigkeitsichtung bei eine Keisbewegung momentan veänden muss. Bis jetzt steht Ihnen die Mathematik (Vektogeometie, Diffeentialechnung) fü diese Heleitung alledings nicht zu Vefügung, weshalb wi hie daauf vezichten. De Vosatz zentipetal wude duch Newton gepägt. E bedeutet soviel wie nach dem Zentum / de Mitte stebend (petee = lat. Veb fü steben nach ode sich begeben ). Im Beispiel des VBZ-Busses ehalten wi fü die Zentipetalbeschleunigung mit (21): a Z = v2 = ( ) 12.5 m 2 s 63 m = 2.5 m s 2 Zu Vedeutlichung: De Bus wid duch diese Zentipetalbeschleunigung wede schnelle, noch langsame. Sie hält ihn lediglich auf seine Keibahn! 4.3 Die Dynamik de gleichfömigen Keisbewegung (gfk) Das Aktionspinzip (= 2. Newton sches Axiom) eklät uns den Zusammenhang zwischen Kaft und Bewegung: Die Zusammenfassung alle wikenden Käfte zu eine einzigen, esultieenden Kaft F es zeigt stets in die Richtung de Beschleunigung a. Es gilt Gleichung (16): F es = m a Diese Newton sche Aussage gilt auch fü Keisbewegungen! Ein Köpe, de eine gfk bescheibt, muss eine esultieende Kaft F es efahen, welche in die Richtung de Zentipetalbeschleunigung a Z, also ins Zentum de Keisbahn zeigt. Fü den Betag diese esultieenden Kaft folgt mit (16) und (21) sofot: F es = m a Z = m v2 Im Falle eine gfk bezeichnen wi die esultieende Kaft F es neu als Zentipetalkaft F Z. Dies ist lediglich ein neue Name! Es gibt daan nichts Neues zu vestehen. Zentipetalkaft F Z = Bezeichnung fü die esultieende Kaft F es im Falle eine gfk 34

3 Das Aktionspinzip bei de gleichfömigen Keisbewegung (gfk) Ein Köpe bescheibt genau dann eine gfk, wenn die esultieende Kaft F es senkecht zu seine aktuellen Bewegungsichtung steht. In diesem Fall bezeichnen wi F es als Zentipetalkaft F Z. Bewegt sich ein Köpe de Masse m mit de Bahngeschwindigkeit v auf eine Keisbahn mit Radius, so gilt fü den Betag von F Z : F Z = m a Z = m v2 (22) Anmekungen zu Zentipetalkaft Die Fomel fü F Z beinhaltet die wesentlichen physikalischen Aussagen: Um einen Köpe auf eine Keisbahn zu halten, baucht man meh Kaft,... je meh Masse m de Köpe besitzt (F Z m), je enge die Kuve, also je kleine de Bahnadius ist (F Z 1 ), vo allem abe je gösse die Geschwindigkeit v des Köpes ist, denn sie fliesst quadatisch in die Beechnung de Zentipetalkaft ein (F Z v 2 )! De im Alltag so oft gehöte Begiff Zentifugal- ode Fliehkaft meint nicht das Gleiche wie die Zentipetalkaft! Wi kommen im Abschnitt 4.5 daauf zu spechen. 4.4 Die Käfte bei de Kuvenfaht des VBZ-Busses 35

4 Die auf den Bus wikenden Käfte lassen sich in den dei Richtungen des Raumes betachten: aufwäts abwäts: De Bus ist in vetikale Richtung in Ruhe. Es ist also: F N = vowäts ückwäts: De Bus fäht mit konstante Geschwindigkeit in Vowätsichtung. Laut dem Tägheitspinzip gilt dahe: F M = F R,Roll + F L De Moto abeitet in Vowätsichtung, um Rolleibung und Luftwidestand zu kompensieen. echts links: Nehmen wi an, de Bus befinde sich in eine Linkskuve. Dann muss e zwangsläufig aus igendeinem Gund eine Kaft nach links efahen, denn als esultieende Kaft muss eine Zentipetalkaft nach links, also ins Zentum de Keisbahn entstehen. Welche Kaft hält den Bus in de Kuve? Es ist die seitliche Hafteibung zwischen Pneus und Stasse. Die Reifen ollen ja nu in Vowätsichtung, seitlich haften sie! Es gilt also: F Z = F R,Haft Vefügt de Bus tatsächlich übe die benötigte seitliche Haftung? Beechnen wi dazu einmal die aktuelle Zentipetalkaft nach Gleichung (22): F Z = m v2 = kg (12.5 m s 63 m ) 2 = N Die Hafteibungszahl zwischen eine tockenen Stasse und Autopneus betägt z.b. etwaµ H = Dann folgt fü die Hafteibungskaft F R,Haft gemäss Gleichung (15) auf Seite 22: F R,Haft µ H F N =µ H =µ H m g= kg 9.81 N kg = N Die maximal mögliche Hafteibung eicht also bei Weitem, um den Bus in de Kuve zu halten schliesslich handelt es sich ja um ein öffentliches Vekehsmittel, bei dessen Faht es niemals in die Nähe de physikalischen Genzen gehen sollte. Umgekeht lässt sich nun abe beechnen, wie schnell de Bus denn bei diesen Bedingungen maximal sein düfte, um sich geade noch in de Kuve zu halten: F Z = F R,Haft,max = N F Z = m v2 v= FZ m = N 63 m = m kg s = 83 km h Vielleicht hätten Sie eine deutlich gössee maximale Geschwindigkeit ewatet, weil de Unteschied zwischen aktuelle Zentipetal- und maximal mögliche Hafteibungskaft oben so goss wa: F Z = N N=F R,Haft,max Hie widespiegelt sich eben de quadatische Einfluss de Geschwindigkeit v in de Zentipetalkaft- Gleichung F Z = m v

5 4.5 Scheinkäfte in beschleunigten Bezugssystemen Will man das Aktionspinzip (= 2. Newton sches Axiom) anwenden, so daf das System, in welchem die Käfte und Bewegungen beschieben weden, selbe nicht beschleunigt sein. Solche nichtbeschleunigten Bezugssysteme heissen Inetialsysteme. Dies tifft fü die Stasse in gute Näheung zu, fü den Bus hingegen nicht. Deshalb teten innehalb des Busses scheinba Käfte auf, die es von de Stasse aus gesehen ga nicht gibt. Wi spechen von Schein- ode Tägheitskäften. Hie seien zwei Beispiele ewähnt. In den Sitz gedückt weden Beschleunigt de Bus von de Stasse aus gesehen, so hat man innehalb des Busses den Einduck eine Kaft nach hinten zu efahen. Dies ist eine Scheinkaft! Sie entsteht, weil unsee Köpe aufgund ihe Masse täge sind und von sich aus in Ruhe bleiben wüden. De Innenaum des Busses ist hingegen kein Inetialsystem. E beschleunigt vowäts. So entsteht de Einduck eine nach hinten wikenden Kaft, gegen die Sie sich im Bus stemmen müssen. Die Zentifugal- ode Fliehkaft Macht de Bus eine Linkskuve, so wüde sich unse Köpe im Bus aufgund seine Tägheit aus Sicht de Stasse weite geadeaus bewegen. De Bus beschleunigt abe nach links, und so entsteht innehalb des Busses de subjektive Einduck, eine Kaft nach echts esp. in de Kuve nach aussen zu efahen. Genau diese Kaft die es aus de Sicht de Stasse ga nicht gibt wid Zentifugalode Fliehkaft genannt. Es ist eine Kaft, die nu innehalb das Busses existiet eben eine Scheinkaft. 4.6 Kaftangaben als Vielfache des Otsfaktos Gundsätzlich lässt sich jede beliebige auf einen Köpe wikende Kaft F als Vielfaches de Gewichtskaft ausdücken, welche de Köpe an de Edobefläche efäht: F=x Ist z.b. x=5, also F= 5, so sagt man, auf den Köpe wiken 5 g. Man gibt den Vegleich also in Vielfachen des Otsfaktos g an de Edobefläche an. Solche vegleichenden Angaben haben sich besondes fü Situationen mit staken Beschleunigungen eingebüget, wie die folgenden Beispiele zeigen sollen. Beschleunigung im Fomel 1 -Auto Die Beschleunigung eines Fomel 1 -Autos betägt von 0 auf 100 km h knapp a=17 m s 2. De Fahe (z.b. 72 kg) efäht diese Beschleunigung, weil seine Rückenlehne ihn mit de entspechenden Nomalkaft nach vone schiebt. Aus eine Käfteskizze wid kla, dass diese Nomalkaft de Rückenlehne geade gleich de esultieenden Kaft sein muss. Mit dem Aktionspinzip (16) folgt: F N = F es = m a=72 kg 17 m s2= 1 224N Fü den Vegleich mit ist es abe ga nicht notwendig, den Wet de Nomalkaft zu kennen. Das gesuchte Vielfache egibt sich diekt aus dem Vegleich von Beschleunigungswet und Otsfakto: F N = x x= F N = F es = m a m g = a g = 17 m s m s 2 = 1.73 De Fahe wid beim Stat also etwa mit 1.7 g in den Sessel gedückt esp. von diesem beschleunigt. 37

6 Beschleunigungen beim Wäscheschleuden Wie stak wid die Wäsche beim Schleuden gegen die Tommelwand gedückt? Voübelegungen: Beim Schleuden dehe sich die Wäschetommel mit Umdehungen po Minute. Dann dauet die einzelne Umdehung T = s. Die Tommel besitze einen Radius von = 33.0 cm. Aus (20) folgt fü die Bahngeschwindigkeit: v= 2π T = 2π m = m s s Fü die Zentipetalbeschleunigung ehalten wi aus (21): ( ) a Z = v2 m 2 = s m = m s 2 Käftesituation: Wi betachten einen Wäscheklumpen in dei Momenten de Dehung: Folgeungen: In jedem de dei Momente efäht de Wäscheklumpen total die gleich gosse Zentipetalkaft F Z (= esultieende Kaft) in Richtung Tommelmitte, denn es handelt sich ja um eine gfk mit fixem Radius und fixe Geschwindigkeit. Alledings setzt sich F Z in den dei Momenten unteschiedlich zusammen. Daaus schliessen wi auf unteschiedliche Nomalkäfte, welche die Wäsche efäht. Diese lassen sich jeweils in Vielfachen des Otsfaktos angeben: Situation 1: Die Nomalkaft muss zusätzlich die Gewichtskaft kompensieen. Es folgt: F Z = F N,1 F N,1 = F Z + x 1 = F N,1 = F Z+ = m a Z+ m g m g Die Wäsche wid mit 134 g gegen die Wand gedückt! = a Z g + 1= m s m s 2 = =134 Situation 2: Die Nomalkaft ist geade gleich de Zentipetalkaft, denn die Gewichtskaft wid duch die Reibungskaft kompensiet. Es folgt: F N,2 = F Z x 2 = F N,2 Die Wäsche wid neu mit 133 g gegen die Wand gedückt! = a Z g = m s m s 2 = 132.7=133 Situation 3: Nomalkaft und Gewichtskaft ezeugen gemeinsam die Zentipetalkaft. Es folgt: F Z = F N,3 + F N,3 = F Z x 3 = F N,3 Die Wäsche wid nu noch mit 132 g gegen die Wand gedückt! = =132 38

7 4.7 Das Newton sche Gavitationsgesetz Das Newton sche Gavitationsgesetz Als Gavitation (ode Gewichtskaft) bezeichnen wi die anziehende Kaft, welche zwei Köpe aufgund ihe Massen aufeinande ausüben. Fü zwei Punktmassen m 1 und m 2 im Abstand gilt: = G m1 m 2 2 (23) Dabei bezeichnet G die univeselle Gaviationskonstante. Univesell bedeutet: G hat im ganzen Univesum den gleichen Wet, nämlich: 11 N m2 G= kg 2 Anmekungen zum Gavitationsgesetz Im Gavitationsgesetz weden sogenannte Punktmassen in die Rechnung eingesetzt. Damit ist ein theoetisches Konstukt gemeint. Man lässt die Massen de sich anziehenden Köpe auf Punkte zusammenschumpfen, um einen sinnvollen Abstand zwischen ihnen zu definieen. Bei übeall gleich dichten Kugeln sitzt die Punktmasse genau im Mittelpunkt. Das gilt in gute Näheung fü Metallkugeln, abe eben auch fü Stene, Planeten und Monde. Um andes gefomte Köpe bauchen wi uns kaum Gedanken zu machen, denn die Gavitation ist eine so schwache Kaft, dass sie nu bei iesigen Massen wiklich spüba und elevant wid. Es muss also mindestens eine de eben genannten Himmelsköpe beteiligt sein. Die Gavitation ist popotional zu beiden beteiligten Massen. Entscheidend am Gavitationsgesetz (23) ist das Abstandsquadat 2 im Nenne: Die Gavitation nimmt mit zunehmendem Abstand elativ asch, weist abe totzdem eine unendliche Reichweite auf. Das folgende Diagamm zeigt dieses quadatische Abfallvehalten gaphisch und illustiet zudem, wie klein die Gavitation in Alltagssituationen ist. Die beiden Schnellzuglokomotiven mit doch ansehnlichen 80 Tonnen Masse ziehen sich mit geademal einem knappen halben Millinewton an, wenn ihe Schwepunkte einen Abstand von 30 Meten aufweisen und nähe können sie sich auf demselben Gleis kaum kommen! In 60 Meten Entfenung betägt die Kaft nu noch ein Vietel. So funktioniet ein quadatisches Abfallvehalten: Bei Vedoppelung de Distanz vietelt sich de Wet, denn 2 2 = 4. 39

8 4.8 Keisbahnen von Himmelsköpen Aus de Newton schen Mechanik folgt, dass sich leichtee Himmelsköpe auf elliptischen Bahnen um viel massigee Zentalköpe bewegen. Dies gilt also z.b. fü Satelliten/Monde um Planeten ode Planeten/Kometen um Sonnen (Stene). Es ist mathematisch echt anspuchsvoll, die Newton sche Mechanik allgemein fü ellipitsche Bahnen zu bescheiben. Viele Satelliten, Monde und Planeten nicht hingegen Kometen bewegen sich alledings auf nahezu keisfömigen Bahnen um den Zentalköpe (Keis = Spezialfall eine Ellipse mit gleich gossen Halbachsen). Deshalb lassen sich deen Umlaufbewegungen beeits mit den uns bekannten Gleichungen zu gfk gut bescheiben. Die Kaftgleichung fü Himmelsköpe Himmelsköpe bewegen sich alleine im nahezu pefekten Vakuum des Weltaums. Sie efahen deshalb keinelei Reibungs- ode Kontaktkäfte. D.h., die einzige auf einen Himmelsköpe wikende Kaft ist die Gavitation in Richtung des Zentalköpes. Hie das Beispiel de um die Sonne keisenden Ede: Diese alleinige Kaft muss laut Newton gleich de esultieenden Kaft F es, und das bedeutet im Falle eine Keisbewegung eben gleich de Zentipetalkaft F Z sein: Kaftgleichung fü Himmelsköpe auf Keisbahnen: F Z = (24) Damit folgt aus de Gleichung (22) fü die Zentipetalkaft und aus dem Gavitationsgesetz (23): F Z = m v2 = G M m 2 = v 2 = G M Dabei scheibt man fü die Masse des Zentalköpes gene ein gosses M und fü jene des keisenden Köpes ein kleines m. Wie Sie sehen, küzt sich bei gavitativen Keisbewegungen um Zentalköpe die Masse m des keisenden Köpes weg. Das ist imme so. Fü die Umlaufszeiten ode Geschwindigkeiten von Satelliten ist die Satellitenmasse z.b. also stets bedeutungslos. (25) 40

9 Bahnadius und Umlaufszeit Ist alleine die Gavitation fü eine keisfömige Umlaufbahn veantwotlich, so gehöt zu jedem Bahnadius eine ganz bestimmte Umlaufszeit T. Die mathematische Beziehung egibt sich diekt aus Gleichung (25), wenn auf de linken Seite die Gleichung (20) fü die Bahngeschwindigkeit v bei eine gfk eingesetzt wid: v 2 = G M 4π 2 2 T 2 = G M 1 2=G M T 4π 2 3 T 2 = 4π2 3 T= G M 4π 2 3 G M v= 2π T : (4π 2 2 ) (...) 1... Soll ein Satellit auf eine bestimmten Höhe ausgesetzt weden, so ist daduch also beeits vogegeben, wie lange seine Umlaufzeit zu dauen hat. Das gilt z.b. auch fü das Space Shuttle. Abeitet es mit abgestelltem Antieb auf eine Höhe von 450 km übe de Edobefläche, so egibt sich fü die Daue eine Edumundung: 2 T= 4π 2 3 G M = Geostationäe Satelliten 4π 2 ( m) 3 = s=93 min N m kg kg 2 Umgekeht kann man nun fagen, auf welche Höhe ein Satellit positioniet weden muss, wenn man eine bestimmte Umlaufszeit vogeben möchte. Aus obige Gleichung egibt sich: 4π 2 2 T 2 = G M T 2 4π 2 3 G M T 2 = 4π = 3 G M T 2 Speziell nützlich fü die Wettebeobachtung sind geostationäe Satelliten. Diese stehen stets übe demselben Ot auf dem Äquato. Dies ist möglich, weil ihe Flughöhe so goss ist, dass die Umlaufszeit geade einen Tag betägt. Beechnen wi den zugehöigen Bahnadius: 3 = 3 GMT 2 4π 2 = 3 4π N m 2 kg kg ( s) 2 4π 2 = m= km Fü die Höhe übe Edboden folgt: h= R= km km= km. Geostationäe Satelliten sind im Vegleich zu andeen Satelliten seh weit von de Ede entfent! 2 Edadius R=6 370 km Bahnadius = km+450 km=6 820 km, Edmasse M= kg 3 T= 1 Tag= s= s 41