Modellbildung Gravitation

Transkript

1 - - Modellbildung Gaitation Bildungsstandad Im Bildungsstandad Physik steht epflichtend:...die Schüleinnen und Schüle können: in Modellen, Stuktuen und Analogien denken und agumentieen die natuwissenschaftliche Abeitsweise (Hypothese, Vohesage, Übepüfung im Expeiment, Bewetung...) anwenden in Gößenodnungen denken und sinnolle physikalische Abschätzungen duchfühen den funktionalen Zusammenhang zwischen physikalischen Gößen gaphisch dastellen und intepetieen Diagamme Expeiment, Messwete, Diagamme und funktionale Zusammenhänge miteinande in Beziehung setzen Modellbildungssysteme einsetzen und die Egebnisse eflektieen den in Mathematik eingefühten (auch gaphikfähigen) Taschenechne oteilhaft einsetzen Hilfsmittel und Infomationsuellen wie Lexika, Fachzeitschiften, Tabellenweke, Fomelsammlungen, Computepogamme, Intenet... sachgeecht nutzen und dabei auch Expeten einbeziehen die Genzen de natuwissenschaftlichen Gesetze und Modellostellungen ekennen. Sie wissen, dass zwischen unsee Efahungswelt und ihe physikalischen Bescheibung unteschieden weden muss das eigene Denken beim Poblemlösen kontollieen, eflektieen und beweten und so neues Wissen aufbauen... All diese Aspekte können in ganz unteschiedlichen Unteichtseinheit bei eschiedenen Themen eine Rolle spielen so auch bei de Modellbildung. An diesem Thema kann die natuwissenschaftliche Abeitsweise exemplaisch diskutiet weden. Ausgehend on Hypothesen, schon bekannten Gundgesetzen entstehen Modell, die in einem Modellbildungssystem zu Vohesagen fühen, die an den bestehenden Efahungen eflektiet ode im Expeiment übepüft weden müssen. Die Egebnisse aus dem Modellbildungssystem weden hiebei mit expeimentellen Messweten in Beziehung gesetzt. Das Spielen mit Modellpaameten schult das Denken in Gößenodnungen und die Duchfühung sinnolle physikalische Abschätzungen. Hie spielen funktionale Zusammenhänge zwischen physikalischen Gößen und deen gaphische Dastellung bzw. Intepetation eine zentale Rolle. Neben Modellbildungssystemen z.b. Moebius, Dynasis usw. - kann man den in de Mathematik eingefühten gaphischen Taschenechne z.b. TI83Plus zu Ausfühung des Algoithmus (Compute-Pogamm), in dem die Realität modelliet wid, ewenden. Bei diesem Unteicht weden die Genzen de natuwissenschaftlichen Gesetze, Modellostellungen, handlungsoie tiet deutlich und die Schüleinnen und Schüle lenen, dass zwischen unsee Efahungswelt und ihe physikalischen Bescheibung unteschieden weden muss. Sie lenen hiebei das eigene Denken beim Poblemlösen zu kontollieen, zu eflektieen und zu beweten und so neues Wissen aufzubauen.

2 - - Gundlagen Die Definitionen de Momentangeschwindigkeit und de Beschleunigung sind neben de Einfühung de Zentipetal- und Gaitationskaft zentale Punkte de Dynamik. Momentangeschwindigkeit Die Definition de physikalischen Göße Momentan-Geschwindigkeit ist: d s ( t) ( t) = = s( t) Die Ableitung de Stecke nach de Zeit wid o allem im Anfangsunteicht duch eine Definition esetzt, in de man näheungsweise daon ausgeht, dass die Geschwindigkeit in dem Zeitinteall Dt konstant ist. In einem endliche Zeitintealle Dt wid dann die Stecke: d t D s = D t zuückgelegt. Damit egibt sich fü die seit dem Stat zuückgelegte Stecke: s( t+ Dt) = s( t) + Dt & Beschleunigung Die Definition de physikalischen Göße Beschleunigung ist: d a = = & d t Esetzt man die zeitliche Ändeung de Beschleunigung unte Annahme, dass die Beschleunigung im endlichen Zeitinteall Dt konstant ist duch die Näheung: D = a D t Egibt sich die seit dem Stat eeichte Geschwindigkeit nach de Gleichung: = ( t + Dt) ( t) + a D t Zentipetalkaft Zusammen mit de Zentipetalkaft F G m M = fg F ZP = m spielt die Gaitationskaft ein entscheidende Rolle z.b. fü ein gundlegendes Veständnis unsees Sonnensystems. Umso enttäuschte müssen die Schüleinnen und Schüle sein, dass man mit diesen Gundlagen selbst ein so einfache Rechnung, wie den adialen Wegflug on de Ede nicht so einfach beechnen kann das zeigt die folgende Aufgabe. Genzen Poblemstellung Gegeben sei die Anfangsgeschwindigkeit und die Anfangskoodinaten s des Raumschiffes. Die Bewegung des Raumschiffes efolgt zunächst adial weg on de Ede. De Moto des Raumschiffes sei zunächst abgestellt. Gesucht wid die

3 - 3 - Geschwindigkeit und die Koodinaten des Raumschiffes nach einem kleinen Zeitschitt Dt (im Computepogamm dt). Lösungsesuch: Die Aufgabe scheint zunächst seh leicht zu sein. Wenn man abe die zugehöigen Gleichungen notiet, stellen sich seh schnell Pobleme ein. Das Raumschiff hat zu einem bestimmten Zeitpunkt t die Koodinate s alt. Will man die neue Koodinate des Raumschiffes beechnen, so stellt man fest, dass sie eine Funktion de alten Koodinaten und de Geschwindigkeit ist. s neu = f ( s, ) Also muss man zuest die Geschwindigkeit beechnen. Die Geschwindigkeit ist abe eine Funktion de alten Geschwindigkeit und de aktuellen Beschleunigung: neu = alt f (, a) Das heißt abe, dass sich die Geschwindigkeit wähend dem Zeitinteall ständig ändet! Also muss man zuest die Beschleunigung beechnen. Sie ist abe eine Funktion de Koodinaten des Raumschiffes: alt a neu = f ( s ) Auch die Beschleunigung ändet sich ständig und hängt außedem on de s- Koodinate ab, fü deen Beechnung man abe a geade bauche. Und damit beißt sich die Rechenschlange in den Schwanz. Eine geschlossene Lösung dieses Poblems scheitet nicht an de beschänkten Schulmathematik - sie ist pinzipiell nicht möglich. Übigens, die meisten Pobleme de heutigen Physik sind genau on diese At - pinzipiell nicht geschlossen lösba. Schitt-Vefahen Näheungslösung Eine Lösung dieses Poblems ist nu möglich, wenn man SO TUT ALS OB. Wi betachten ganz kleine Zeitschitte und enachlässigen innehalb de Zeitschitte die Veändeungen de Geschwindigkeit und de Beschleunigung. Wi esetzen innehalb diese kleinen Zeitschitte die Momentan-Geschwindigkeit und -Beschleunigung duch eine At Duchschnittswet innehalb dieses Zeitintealls. Die kontinuielichen Wetändeungen weden also duch eine Teppenkue angenähet.

4 - 4 - Position Stat- Position Position s = + E h s s t = + D s = s + Dt a g m E = - a g m = - E =... = + a Dt = + a Dt Einige Schitte in diesem Vefahen sollten on den Schüleinnen und Schülen zunächst zu Fuß geechnet weden. Anschließend übenimmt ein Computepogamm als Rechenknecht diese Aufgabe. Rechnung zu Fuß s a t t t+ D t t+ D t t+3 D

5 - 5 - Altenatie Modellbildung Wie man diese Poblematik angeht, soll konket an einem Aufgabenbeispiel eläutet weden: Offene Fagestellung Ein Köpe mit de Masse kg bewegt sich im Zentalfeld eines Planeten mit de Masse 6 4 kg am Ot (s x = 69 km s y ) geade mit de Geschwindigkeitskomponente y =8 m/s ( x = ). Auf dem Bildschim soll die Bahnkue des Köpes gaphisch ausgeben weden Enge Fagestellung Ein Köpe mit de Masse kg bewegt sich im Zentalfeld eines Planeten mit de Masse 6 4 kg am Ot (s x = 69 km s y ) geade mit de Geschwindigkeitskomponente y =8 m/s ( x = ). [a.] Bestimmen Sie s x als Funktion on x und dt! [b.] Bestimmen Sie s y als Funktion on y und dt! [c.] Bestimmen Sie den Radius als Funktion on s x und s y! [d.] Bestimmen Sie die Beschleunigung a als Funktion on g, m und! [e.] Bestimmen Sie die a x -Komponente de Beschleunigung a als Funktion on a, s x und! [f.] Bestimmen Sie die a y -Komponente de Beschleunigung a als Funktion on a, s y und! [g.] Bestimmen Sie die neue x -Komponente de Geschwindigkeit als Funktion de alten x -Komponente, a x und dt! [h.] Bestimmen Sie die neue y -Komponente de Geschwindigkeit als Funktion de alten y -Komponente, a y und dt! [i.] De Zeitfotschitt on Rechengang zu Rechengang sei dt. Deuten Sie die Gleichung t = t + dt! [j.] Wenn Sie nun die oben gefundenen Gleichungen nacheinande in de Moebiusumgebung eintagen und die Anfangswete festlegen, können Sie das fetige Moebiuspogamm staten. [k.] Testen Sie das Pogamm mit eschiedenen Anfangsweten...

6 - 6 - Lösungsoschlag in Moebius: Pogammoschlag fü Moebius sx := sx + x * dt sy := sy + y * dt := st (sx * sx + sy * sy) a := - g * m / ( * ) ax := a * sx / ay := a * sy / x := x + ax * dt y := y + ay * dt t := t + dt Anfangswete Die Einheiten spielen im Physikunteicht eine zentale Rolle und weden dahe intensi geübt. Waum man in einem mathematischen Wekzeug wie z.b. Moebius keine Einheiten eingeben kann, muss im Unteicht thematisiet weden. Es empfiehlt sich zunächst folgende Anfangswete zu übenehmen, beo man mit eigenen Weten spielt : sx = 6,9E6 x = dt = sy = y = 8 m = 6E4 g = 6,67E- t =

7 - 7 - Lösungsoschlag mit dem TI83Plus: Pogammoschlag fü den TI83Plus Die Einheiten spielen im Physikunteicht eine zentale Rolle und weden dahe intensi geübt. Waum man in einem mathematischen Wekzeug wie z.b. bei Pogammen des TI83Plus keine Einheiten eingeben kann, muss im Unteicht thematisiet weden. Die Zuweisung de Vaiablenwete (z.b. bei den Anfangsweten) efolgt nicht ü- be das Symbol :=, das man eentuell on Pascal ode Delphi he kennt, sonden übe das -Symbol. Es empfiehlt sich zunächst folgende Anfangswete zu übenehmen, beo man mit eigenen Weten spielt Positionen de X- und Y-Achsen und die Maßstäbe efolgen manuell üb die WIN- DOW-Taste ode automatisch mit folgenden Anfangspogammzeilen: Anfangswete : -E7 Xmin : E7 Xmax :.5E7 Xscl : -E7 Ymin : E7 Ymax :.5E7 Yscl s x = 6,9E6 s x X : 6,9E6 X x = x V : V dt = dt D : D s y = s y Y : Y y = 8 y W : 8 W M = 6E4 : 6E4 M g = 6,67E- : 6,67E- G t = : T Pogamm : Fo ( K,,8,) s x := s x + x * dt s x X : X + V * D X s y := s y + y * dt s y Y : Y + W * D Y := st (s x * s x + s y * s y ) : (X * X + Y * Y) R a := - g * M / ( * ) : -G * M / R / R A a x := a * s x / a x B : A * X / R B a y := a * s y / a y C : A * Y / R C x := x + a x * dt x V : V + B * D V y := y + a y * dt y W : W + C * D W t := t + dt dt D : T + D T : Pt-On(X,Y) : End