Hörsaalübung 4, Analysis II

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1 Fchbereich Mthemtik der Universität Hmburg Dr. H. P. Kini Hörslübung 4, Anlysis II SoSe 28, 4./5. Mi Uneigentliche und prmeterbhängige Integrle Die ins Netz gestellten Kopien der Unterlgen sollen nur die Mitrbeit während der Vernstltung erleichtern. Ohne die in der Vernstltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlgen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Vorussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig uffllen, werden nur mündlich während der Vernstltung ngesgt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlgen n nderer Stelle ist untersgt!

2 x dx = x+ + + C R, x dx = ln x + C sin(β x)dx = β cos(β x) + C β R, β cos(β x)dx = β sin(β x) + C β R, β cos 2 dx = tnx + C x e (β x) dx = e(β x) β + C β R, β sinhxdx coshxdx +x = coshx + C = sinhx + C 2 dx = rctnx + C x2 dx = Artnh x + C x < dx x2 = rcsinx + C x < dx 2 = Arsinh x + C +x x 2 dx = Arcosh x + C x > 2

3 Uneigentliche Integrle Bisher betrchtet: unbestimmtes Integrl: f(x)dx z.b. x 2dx = x + C. bestimmtes Integrl: b f(x)dx z.b. 2 x 2dx = 2 +. beschränkter Integrnd, beschränktes Intervll! Frge: Mchen die folgende Ausdrücke Sinn? x dx, x dx, x 2dx, y f(x)= / x x 2dx x 3

4 Nheliegend : Grenzwertbildung z z dx := lim x2 dx = lim x 2 z x z = lim z z + =. nlog + dx := lim x2 dx = lim x 2 + x = lim + =. Mn sgt im ersten Fll ds uneigentliche Integrl im zweiten Fll ds uneigentliche Integrl dx existiert oder konvergiert und x2 dx existiert nicht oder divergiert. x2 Wie klären ob konvergent/divergent? 4

5 . Fll: Stmmfunktion berechnen und Grenzwert bilden Wichtiges Beispiel ) vgl. Vorlesung Sei f(x) := x s,s R,I = (, ), >. Dnn ist f stetig in I und dmit uf I lokl integrierbr. Es gilt x s+ x dx = s+ + C s s ln x + C s = z f(x)dx = lim z x s dx = [ ] x s+ z lim s z s + lim z [ln x ]z s = = 5

6 f(x)= / x f(x)= / x y 5 y x x xsdx existiert s >. Völlig nlog schließt mn xsdx existiert s <. Zur Erinnerung: { divergiert für s k= k s konvergiert für s > 6

7 Beispiel 2) z cos(x)dx : = lim z cos(x)dx = lim z sin(x) z = lim z sin(z) existiert nicht! Beispiel 3:) Definitionslücke im Inneren des Integrtionsintervlls 2 x (x 2 ) 2 dx = beide Integrle müssen unbhängig von einnder konvergieren! 7

8 Im Flle der Existenz, gilt 2 x dx = lim (x 2 ) 2 x(x 2 ) 2 dx + lim b + 2 b x(x 2 ) 2 dx 8

9 Beispiel 4) x 3 x (x 4 + ) x 5 + x dx Zwei Probleme: 9

10 2.Fll: Stmmfunktion nicht beknnt, nur Existenz/Konvergenz prüfen Stz (Mjornten- /Minorntenkriterium): Seien f,g : [, ) R lokl integrierbr. Dnn gelten: Mjorntenkriterium Ist f(x) g(x) so konvergiert uch Ist g(x) f(x) so divergiert uch. Außerdem x [, ) und f(x)dx x [, ) und f(x)dx f(x) dx konvergent = g(x) dx konvergent, g(x) dx divergent, f(x) dx konvergent! Gilt wieder nlog für I = (, b], und im Flle einer isolierten Definitionslücke. Liegen mehrere Problemstellen vor, so wird ds Integrl zerlegt, so dss mn es jeweils nur mit einem Problem zu tun ht.

11 BEISPIELE) x x 3 + dx. Bechte: x sdx { divergiert für s ) konvergiert für s > )

12 x 2 x6 + 2x 2 + dx 2

13 (x )sin(x) sin(x 2 ) x 3 + dx 3

14 Beispiele Prmeterbhängiger Integrle Die Gmmfunktion wird für x > definiert ls Γ(x) := + e t t x dt. Gmmwhrscheinlichkeitsverteilung / Versicherungsmthemtik Der Integrlsinus wird definiert ls Si(x) := x sin(t) t dt. Signlverrbeitung Die Frenelschen Integrle (Optik / Quntenmechnik) S(x) := 2 2π x sin(t 2 )dt C(x) := 2 2π x cos(t 2 )dt Sei f : R R, f : t f(t) eine hinreichend gltte, für t höchstens exponentiell wchsende (d.h. σ,m R + : f(t) Me σt t > ) Funktion. 4

15 Die Lplcetrnsformierte von f wird definiert ls L(f)(s) := F(s) := e st f(t)dt, s > σ. Mn schreibt uch f F. Mit Hilfe der Lplcetrnsformtion läßt sich die Lösung von Differentilgleichungen uf die Lösung lgebrischer Gleichungen zurück führen. Alle oben ufgeführten Integrle hängen ußer von der Integrtionsvriblen noch von einer weiteren Unbeknnten(einem Prmeter) b. Solche Integrle nennt mn prmeterbhängige Integrle. FRAGE: Wie verändern sich die Werte solcher Integrle, wenn mn n dem Prmeter wckelt? Wie sieht lso die Ableitung nch dem Prmeter us? Leibniz Regel : d dx b(x) (x) f(x,t)dt = b(x) (x) x f(x,t)dt + b (x)f(x,b(x)) (x)f(x,(x)) 5

16 Beispiel : Lplce-Trnsformierte von f ist gegeben durch L(f)(s) := F(s) := e st f(t)dt, s > σ >. Wir berechnen F (s), F (s) und F (s). F(s) = F (s) = F (s) = F (s) = = F (s) = e st f(t)dt d ds ( ) e st f(t) dt = 6

17 Vermutung: F (n) (s) = e st ( t) n f(t)dt Beweis: Induktion nch n. Induktionsnfng: siehe oben. Annhme: für ein festes, beliebiges n N gelte F (n) (s) = e st ( t) n f(t)dt. Dnn folgt: F (n+) (s) = d ds F (n+) (s) = s e st ( t) n f(t)dt. ( ) e st ( t) n f(t) dt = e st ( t) n+ f(t)dt. 7

18 Beispiel 2: Lplce-Trnsformierte f n (t) = { t < t n t, n =,,2,3, n = f(t) = { t < t = F (s) = e st f (t)dt = lim e st dt = lim [ e st s ] = Existiert für s > 8

19 { t < n = : f (t) = t t,. Zu Fuss: lim t e st dt 9

20 n = 2 : lim t 2 e st dt Zu Fuss: lim t 2 e st dt 2

21 Ds hätten wir einfcher hben können, denn nch Beispiel : Flls f(t) F(s) t f(t) F (s) oder t f(t) F (s). Also f (t) = t f (t) (F (s)) = f 2 (t) = t f (t) (F (s)) = Allgemeiner: tf n (t) = f n (t) = { t < t n t, n N.. = F n (s) = F n (s), wobei F (s) = s =! Behuptung: F n (s) = n! s n+. Beweis: Vollständige Induktion s + 2

22 Anfng : n = siehe oben. Annhme : Für ein festes n N gelte F n (s) = (n )! s (n )+ Schritt: Dnn gilt F n (s) = F n (s) = ( (n )! s n ) = (n )! = ( s n ) =. = n! s n+ 22

23 Beispiel 3: noch ein Ml Leibniz-Regel d dx b(x) (x) f(x,t)dt = b(x) (x) x f(x,t)dt + b (x)f(x,b(x)) (x)f(x,(x)) Also erhält mn zum Beispiel für F(x) = +x 2 lnx xe t dt F (x) = d dx +x 2 lnx xe t dt = +x 2 lnx d dx (xet )dt + ( + x 2 ) xe +x 2 (ln(x)) xe ln(x) = +x 2 lnx e t dt + 2x xe +x2 x x x = e +x2 x + 2x 2 e +x2 x Bemerkung: Hier hätte mn uch erst integrieren und dnn bleiten können. 23