Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

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1 Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Fch Nme, Vornme Klsse Abschlussprüfung n der Fchoberschule im Schuljhr / Mthemtik (A) Prüfungstg.. Prüfungszeit Zugelssene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 9: - : Uhr Mthemtische Formelsmmlungen (keine selbst ngefertigten) ohne Musterlösungen, Tschenrechner ohne Grphikdisply, keine CAS-Rechner, frei progrmmierbre Speicher müssen gelöscht sein. Ds Hndbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Tschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lge sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen dvon keinen Gebruch mchen. Ihre Lösungswege sind so zu gestlten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur uf den besonders gekennzeichneten Bögen nzufertigen, die Sie für die Prüfung erhlten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Nmen zu versehen. Für jede neue Aufgbe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprchliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Mlus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der stz besteht us vier verschiedenen Einzelufgben, die Sie lle berbeiten müssen! Gesmtzhl der bgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, und Gesmtpunkte und Gesmtnote : Blätter Aufgbe Nr.: Soll % Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Mluspunkt - Punkt Punkt Insgesmt: Dtum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qulifizierende Bildungsgänge mit Fchhochschulreife

2 Herbst, (Mthemtik) vorschlg A /4 Ds Robert-Koch-Institut in Berlin ht den Verluf der Drmerkrnkung EHEC (siehe Bild) untersucht. Die Zhl der Erkrnkten A knn näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung drgestellt werden: A() t = t + t ; t D A 5 Die Erfssung der Erkrnkten beginnt zum Zeitpunkt t =. t (Zeit in Tgen, Werte sind ggf. uf zwei Nchkommstellen nzugeben). Berechnen Sie, wie viele Personen m zehnten Tg ( t = ) erkrnkt sind. /. Berechnen Sie den Tg, n welchem die Epidemie vorbei ist. /5. Berechnen Sie den Tg, n dem die meisten Personen erkrnkt sind. Berechnen Sie weiter, wie viele Personen n diesem Tg erkrnkt sind. /.4 Berechnen Sie, n welchem Tg sich die Zhl der Erkrnkten m stärksten änderte. /4.5 Berechnen Sie den exkten Zeitpunkt, n welchem noch kurz vor Ende der Epidemie Personen erkrnkt wren. Verwenden Sie hierzu ein geeignetes Näherungsverfhren (z.b. Newtonverfhren, Strtwert t = 4 ). /7.6 Zeichnen Sie den grphischen Verluf der Epidemie in ds nchstehende Koordintensystem. /4.7 Berechnen Sie, wnn die Erkrnkungsrte,5 Erkrnkungen/Tg beträgt. /8 Fortsetzung nächste Seite Enterohämorrhgische Escherichi coli (EHEC) Herbst, (Mthemtik) Seite von 5

3 Herbst, (Mthemtik) vorschlg A grphische Drstellung zu.6 Herbst, (Mthemtik) Seite von 5

4 Herbst, (Mthemtik) vorschlg A /5 Der Grph einer Funktion f dritten Grdes besitzt bei W ( ) einen Wendepunkt und wird n der Stelle x = von der Gerden mit der Funktionsgleichung gx ( ) = x+ berührt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. Wenn Sie ds Gleichungssystem nicht ufstellen können, lösen Sie erstzweise ds folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie dmit die gesuchte Funktionsgleichung f ( x) = x + bx + cx + d der Funktion f. = 4 + b + c +,5d = 4 + 8b + c = + b + c = + b Herbst, (Mthemtik) Seite von 5

5 Herbst, (Mthemtik) vorschlg A /5 Eine Schokoldenfbrik möchte eine Prlinenschchtel in Form eines gleichseitigen Dreiecks entwerfen (s. Skizze). Ds Volumen dieser Schchtel ergibt sich us den zu verpckenden 5cm³ Prlinen und dem Hohlrum zwischen den Prlinen, der mit 8cm³ ngegeben wird. Ein Designer erhält nun den Auftrg, die Schchtel so zu dimensionieren, dss der Mterilverbruch für die Schchtel möglichst gering gehlten wird. Klebeflze und Lschen sollen dbei vernchlässigt werden. h Rechnen Sie ohne Einheiten:. Zeigen Sie, dss der Inhlt der Oberfläche der Schchtel durch folgende (Ziel-) Funktion beschrieben werden knn: /7 584 A() = + ( Längeneinheit =ˆ cm bzw. Volumeneinheit =ˆ cm.). Ermitteln Sie diejenigen Werte für und h, für die der Mterilverbruch bei der Schchtelherstellung miniml wird. /6. Berechnen Sie den Oberflächeninhlt für diese optimierte Schchtel. / Herbst, (Mthemtik) Seite 4 von 5

6 Herbst, (Mthemtik) vorschlg A 4 / Die Funktionen f, g und h sind durch die folgenden Funktionsgleichungen gegeben: 9 f ( x) = x x + x, x D f, 4 9 g( x) = x x + x, x Dg, 4 5 h( x) = x + x, x Dh 5 5 (siehe die nebenstehende Abbildung). 4. Berechnen Sie den Inhlt A der Fläche, die vollständig vom Grph der Funktion f und der x -Achse begrenzt wird. Bestimmen Sie dzu die Nullstellen der Funktion f uf rechnerischem Weg. /7 4. Berechnen Sie ds bestimmte Integrl ( ( ) ( )) gx f x dx und begründen Sie, dss der Wert dieses Integrls dem Inhlt A der Fläche entspricht, die vollständig von den Grphen der Funktionen f und g begrenzt wird. Bestimmen Sie dzu uf rechnerischem Weg die Schnittpunkte der beiden Funktionen. / 4. Ermitteln Sie die Schnittstellen der Funktionen g und h uf rechnerischem Weg, und bestimmen Sie den Inhlt A der Fläche, die vollständig von den Grphen der Funktionen g und h begrenzt wird. /8 4.4 Zeigen Sie, dss die in 4. berechnete Fläche zwischen den Grphen der Funktionen f und g durch die senkrechte Gerde mit der Gleichung x = 5 hlbiert wird. /5 Herbst, (Mthemtik) Seite 5 von 5

7 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. A () =! () + () = 6 5 Am zehnten Tg sind 6 Personen erkrnkt.. Berechnung der Nullstellen von A. At ()! " t # t! 5 5 N/ 5 t (" t# )! t! ( Beginn der Epidemie) " t #! 5 tn!! 5 Die Epidemie ist nch 5 Tgen vorbei.. Hochpunkt des Grphen von A : A!(t) =! t + t 5 5 A!(t) =! 5 t + 5 t = t(! 5 t + 5 ) = t E = (Beginn der Epidemie)! t + = 5 5 t E = 5 =6 =6,6 5 A!! (t) =! 6 t A!! (t E ) =! 6 "6,6 + < (Mximum) 5 5 A(t E ) = A( 6,6)! 9,6 Am 6. Tg sind die meisten Personen erkrnkt. An diesem Tg sind 9 Personen erkrnkt..4 Wendestellen von A :!! A (t) =! 6 5 t + 5 = t = 5 = 8, Am 8. Tg änderte sich die Anzhl der Erkrnkten m stärksten. Herbst, (Mthemtik) Seite von 7

8 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben.5 A(t) =! 5 t + t =! 5 t + t! = Nullstellenfindung z. B. mit dem Newtonverfhren t =4 A(t ) =,4 t = 4,49 A(t ) = -97 t = 4,4 A(t ) = -, t " 4,4 Tge.6 Grph der Funktion A : 4.7 Erkrnkungsrte! A (t) =! 5 t + 5 t =! 5 t + 5 t! = t! 5 5 t = ( ) t / = 5 ±! t! t!,6! 5 6 = 5 ±5,7 Die Erkrnkungsrte m. Tg und m. Tg beträgt jeweils,5 Erkrnkungen/Tg. Summe 8 9 mögliche BE 4 Herbst, (Mthemtik) Seite von 7

9 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben Anstz: f( x) = x + bx + cx+ d! = + + f ( x) x bx c f!! ( x) = 6x+ b Bedingungsgefüge:. f () = 4 ( g () = + = 4 ). f!() = (Steigung der Gerden). f () = (Wendepunkt bei W ( ) ) 4. f!!() = (Wendepunkt bei W ( ) ) Gleichungssystem: I: 4 = 8 + 4b + c + d II: = + 4b + c III: = + b + c + d IV: = 6 + b Lösen des Gleichungssystems (ebenso Erstz-LGS) 5 Drus ergibt sich (uch Erstz-LGS): =!, b=, c=, d =! Für die Funktionsgleichung gilt: f( x) =! x + x + x! Summe 7 8 mögliche BE 5 Herbst, (Mthemtik) Seite von 7

10 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben. Erstellung der Zielfunktion:. A (, h) =! A +! A O Dreieck Rechteck =!! +!! h Huptbedingung 4 V = + = cm (Gesmtvolumen) V = A! h Dreieck 4 =! 4! h Nebenbedingung Es folgt: 78 h =! Eingesetzt in die Huptbedingung: 78 A() =!! +!! 4! 584 =! + Zielfunktion! Berechnung der Abmessungen: Bedingung für Minimum: A(! ) = und A(!! ) > = # A! ( ) " 584 " min ! " = +!! 584! = :!! 584 = = 78 = cm Überprüfung der Art des Extremums: 68 A!! ( ) = + " 68 A!! () = + # 5,96 > $ Minimum " min Herbst, (Mthemtik) Seite 4 von 7

11 Teilufgben Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Erwrtete Teilleistung Höhe der Schchtel: h = 78! h = 78! = 6,9cm. Oberfläche der optimierten Schchtel: 584 A() =! +! 584 A( ) =! + " 74,cm! Der Inhlt der Oberfläche beträgt 74,cm! bei einer Kntenlänge von cm und einer Höhe von rund 6,9cm. Summe 6 9 mögliche BE 5 Herbst, (Mthemtik) Seite 5 von 7

12 Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Teil- Erwrtete Teilleistung ufgben 4. Bestimmung der Nullstellen von f : Nullsetzen f ( x) = 4 x " x + 9 x = $ x " x ( x " x + 6) =! x =, x = x = 6 x # Berechnung des bestimmten Integrls: 6 6! 9 " / f ( x) dx = / $ x # x + x % dx = & 4 ' ( 4 9 ) * x # x + x =, # = 6 Flächeninhlt:A =, 7 FE 4. Berechnung des bestimmten Integrls: 6 + 6x = $! 5 " g x f x dx x x dx ( ( ) ( )) / / # = $ # + % = & ' 5 # x + x = ( ) *, #. +. = 5 Bestimmung der Schnittpunkte: Gleichsetzen f ( x) = g( x) 4. 4 x " 6x 9 " x + x = x " 4 + 8x = " 9x + 48x $ x ( x " ) =! x =, x = x # ( ) =, f () = 4! 9 x + x $ 5 " x $ f Schnittpunkte: P = ( ), P ( 4) = Die Integrtionsgrenzen entsprechen den x -Koordinten der Schnittpunkte. Der Integrnd ist die Differenz der Funktionen, die die obere/untere Begrenzung bilden. Flächeninhlt: A = 5FE Bestimmung der Schnittstellen: Gleichsetzen g ( x) = h( x) 4 x! 9 x + 5 x =! 5 x + 5 x " x!8x =!8x " x!x = " ( ) = $ x = x =, x = x # x! Herbst, (Mthemtik) Seite 6 von 7

13 Teilufgben Herbst, (Mthemtik) Erwrtungshorizont vorschlg A Erwrtete Teilleistung Berechnung des bestimmten Integrls:! " /( hx ( )# gx ( )) dx= / $ # x + x % dx= & 4 4 ' 4 4 ( ) 5 + # x + x =# * + * = - 6, Flächeninhlt: A = FE Berechnung des bestimmten Integrls: obere Grenze 5 5 5! 5 " gx f x dx x x dx ( ( ) ( )) / / # = $ # + % = & ' 5 ( 5 ) # x + x =# * 5 + * 5 = -,. Flächeninhlt: A 5 = FE Die Fläche wird lso durch die Gerde x = 5 hlbiert Summe mögliche BE Herbst, (Mthemtik) Seite 7 von 7