Abiturprüfung Leistungskurs 1997/98

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1 Abiturprüfung Leistungskurs 997/98 Gymnsium Mecklenburg-Vorpommern Schsen Schsen-Anhlt Thüringen Berlin Brndenburg p petec Gesellschft für Bildung und Technik mbh Berlin

2 Autoren für die einzelnen Bundesländer bzw. die usgewählten Schulen: Mrgit Liskow (Mecklenburg-Vorpommern) Dr. Riner Heinrich (Schsen) Birgit Mier (Schsen-Anhlt) Dr. Ev-Mri Westerhoff (Thüringen) Michel Löber (C.-F.-v.-Siemens OG Berlin) Stephn Lnge (Pscl-Oberschule Berlin) Andre Stolpe (Gymnsium Müncheberg) U Gedruckt uf chlorfrei gebleichtem Ppier.. Auflge Die letzte Zhl bezeichnet ds Jhr dieses Druckes. petec Gesellschft für Bildung und Technik mbh, Berlin 998 Redktion: Prof. Dr. hbil. Krlheinz Weber Lyout: Mtthis Nerling, Heiko Schlichting Umschlggestltung: Britt Schrffenberg Druck: OSTHAVELLAND-DRUCK GmbH VELTEN ISBN

3 Inhlt Vorwort Mecklenburg-Vorpommern Aufgben Erwrtungsbilder Schsen Aufgben Erwrtungsbilder Schsen-Anhlt Aufgben Erwrtungsbilder Thüringen Aufgben Erwrtungsbilder Berlin / C.-F.-v.-Siemens OG Aufgben Erwrtungsbilder Berlin / Pscl-Oberschule (Gymnsium) Aufgben Erwrtungsbilder Brndenburg / Gymnsium Müncheberg Aufgben Erwrtungsbilder

4 Vorwort Ds vorliegende Heft enthält die Aufgben, die in den zentrlen Abiturprüfungen des Schuljhrs 997/98 für Mthemtik-Leistungskurse in den Bundesländern Mecklenburg-Vorpommern, Schsen, Schsen-Anhlt und Thüringen gestellt wurden. D es in Berlin und Brndenburg kein Zentrlbitur für ds Fch Mthemtik gibt, wurden ls Beispiele weiterhin die Abiturprüfungsrbeiten von zwei Berliner und einer Brndenburger Schule in ds Heft ufgenommen. Die Erwrtungsbilder skizzieren in der Regel einen möglichen Lösungsweg, wobei stets uch wesentliche Zwischenschritte Aufnhme fnden, um den Nchvollzug des Gednkengngs zu erleichtern und für den Lernenden die Möglichkeiten zur Selbstkontrolle zu erhöhen. Die ngegebenen Bewertungsvorschläge hben empfehlenden Chrkter. Einigen Arbeiten vorngestellte Hinweise informieren über länderspezifische Modlitäten der Prüfungsdurchführung. Hinsichtlich der Symbolik und Zeichensetzung wie uch der Bechtung der reformierten Rechtschreibung folgen die Aufgbentete den Originlfssungen, worus teilweise Unterschiede zwischen den Vorgehensweisen in den einzelnen Arbeiten resultieren. Aus Pltzgründen wr es erforderlich, mitunter fortlufende Gleichungen oder Schlußketten zu verwenden. Ds Zeichen wird dbei ls Abkürzung für drus folgt, drus ergibt sich u. ä. genutzt, lso nicht llein zur Kennzeichnung einer Impliktion im strengen Sinne. Der PAETEC Schulbuchverlg hofft, mit dieser Aufgbensmmlung den Lehrkräften Anregungen für die Gestltung eigener Klusur- und Prüfungsrbeiten sowie den Schülerinnen und Schülern Hilfe bei der Vorbereitung uf ds Abitur zu geben. Drüber hinus erlubt die geschlossene Veröffentlichung der Prüfungsufgben us einem Schuljhr gewiß interessnte Vergleiche bezüglich Schwerpunktsetzung, Anforderungsniveu, Aufgbengestltung usw. in den verschiedenen Bundesländern, worus wiederum Ansätze für eigenes Nchdenken erwchsen können. Die Redktion Berlin, Juli 998

5 Abiturprüfung Leistungskurs 997 / 98 Gymnsium Mecklenburg-Vorpommern

6 Mecklenburg-Vorpommern Hinweis: Die Schüler erhielten zwei Arbeiten, bestehend us dem übereinstimmenden Pflichtteil P und den Whlteilen A und B, von denen einer uszuwählen wr. Der Pflichtteil wr vollständig, von den Whlufgben wren zwei us dem Teil A oder zwei us dem Teil B zu berbeiten Aufgbe P: Geometrie In einem krtesischen Koordintensystem sind die Gerde g und die Gerde h durch folgende Gleichungen gegeben: z 0 z 0 g: y = 0 + r, h: y = + s. ) Berechnen Sie die Koordinten des Schnittpunktes der Gerden g und h und deren Schnittwinkel, und stellen Sie g und h in einem krtesischen Koordintensystem dr. b) Die Gerden g und h liegen in einer Ebene ε. Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Ebene ε die -y-ebene schneidet. c) Ermitteln Sie die Koordinten der Durchstoßpunkte der Gerden g und h mit den Koordintenebenen. d) Die Durchstoßpunkte der Gerden g und h mit den Koordintenebenen sind Eckpunkte eines Würfels. Geben Sie die Koordinten der fehlenden Eckpunkte des Würfels n. Aufgbe P: Anlysis Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y y = f() = für R, > 0. Zwischen dem Grphen G von f im krtesischen Koordintensystem und der -Achse werden Flächenstreifen der Breite gebildet (siehe Skizze). Die Mßzhlen,, der Inhlte dieser Flächenstreifen bilden eine Folge ( n ). ) Geben Sie eine Gleichung zur Berechnung von n n. Für welche n ist n < 0,0? b) Geben Sie für die Prtilsummenfolge (s n ) der Folge ( n ) ein Bildungsgesetz n. Von welchem n ist s n größer ls 0,955? c) Durch die Punkte S ( ) und S ( - ) von G verläuft eine Gerde g. 5 Berechnen Sie den Inhlt der von G und g eingeschlossenen Fläche. Berechnen Sie einen Winkel, unter denen sich der Grph G und die Gerde g schneiden. 6

7 Aufgben Aufgbe P: Stochstik In einer Kleinstdt wurden die Bürger (über 6 Jhre) befrgt, ob sie für eine utofreie Innenstdt sind. Die Zustimmung in einzelnen Bevölkerungsgruppen wr hierbei sehr unterschiedlich usgeprägt (vgl. nchstehende Tbelle). Männer 6 bis 5 Jhre Fruen 6 bis 5 Jhre Männer 6 bis 55 Jhre Fruen 6 bis 55 Jhre Männer über 55 Jhre Fruen über 55 Jhre Zustimmung % % % 0% 7% 7% Anteil n der Bevölkerung (über 6 Jhre) 6% 5% 5% 6% 8% 0% ) Mit welcher Whrscheinlichkeit ist eine zufällig usgewählte Person eine zufällig usgewählte Fru für eine utofreie Innenstdt? b) Durch die Loklzeitung werden 0 zufällig usgewählte Bürger dieser Stdt interviewt. Die Anzhl der Zustimmenden unter den befrgten Personen knn ls binomilverteilt ngesehen werden. Wir groß ist die Whrscheinlichkeit, dß hiervon weniger ls bzw. mehr ls Personen für die utofreie Innenstdt sind? c) Die Verwltung der Stdt stellt ufgrund der mngelnden Zustimmung für die utofreie Innenstdt ein neues Verkehrskonzept vor und behuptet, dß mindesten 60% der Bürger für dieses Konzept sind. Eine Bürgerinititive behuptet, dß der ttsächliche Prozentstz niedriger ist. Bei einer Umfrge unter 00 Bürgern sind nur 55 für dieses Verkehrskonzept. Knn mn ufgrund dieses Ergebnisses mit einer Irrtumswhrscheinlichkeit von 5% behupten, dß weniger ls 60% der Bürger für dieses Konzept sind? 7

8 Mecklenburg-Vorpommern Binomilverteilung (Summenfunktion) für n = 00 und p = 0,6 k P(X k) k P(X k) k P(X k) 0, , ,76 0, , ,805 0, , ,8697 0, , , , ,0 67 0, , , , , , , , , 70 0, , , , , ,65 7 0,995 0, ,0 7 0,9976 0, , ,9988 0, , ,999 0, , , , , , ,00 6 0,69 78,0000 Aufgbe A: Anlysis Gegeben ist eine Funktionenschr f durch die Gleichung y = f () = -, R, R, > 0. Die zugehörige Kurvenschr sei G. ) Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G n. b) Die loklen Etrempunkte von G liegen uf dem Grphen einer Funktion g. Geben Sie eine Gleichung für g n. Bestimmen Sie diejenige Funktion f, bei der die Entfernung zwischen den beiden Etrempunkten 5 Längeneinheiten beträgt. c) Skizzieren Sie den Grphen G und seine Asymptoten. Der Grph knn für betrgsmäßig große -Werte durch eine seiner Asymptoten ersetzt werden. Für welche Werte von ( > ) ist dbei der Betrg der Differenz der zugehörigen y-werte kleiner ls 0,0? 8

9 Aufgben d) Die Punkte O(0 0), P(u 0), Q(u f (u)) und R(0 f (u)) mit u R, u >, sind Eckpunkte eines Rechtecks. Bestimmen Sie u so, dß der Flächeninhlt dieses Rechtecks ein Minimum wird. e) Der Grph G, die Gerden = und = sowie die -Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Die Gerde mit der Gleichung y = + teilt diese Fläche in zwei Teilflächen mit den Inhlten I und I. Ermitteln Sie ds Verhältnis I : I. Aufgbe A5: Anlysis Gegeben ist eine Funktionenschr durch die Gleichung y = f () = ( + ) e, R, R, > 0. Die zugehörige Kurvenschr sei G. ) Berechnen Sie die Schnittpunkte von G mit den Koordintenchsen und die Etrempunkte. b) Die -Achse, die Gerde = t, t >, und der Grph G schließen eine Fläche A (t) ein. Berechnen Sie die Fläche A (t). Berechnen Sie lim A (t). t c) Die Funktion f () wird im Intervll betrchtet und hier durch die Funktion m mit m() = g() = 0, 0,75 + +, S f() = 0,5 +, S ngenähert. Dbei ist S die Schnittstelle der Grphen von g und h. c ) Berechnen Sie S näherungsweise uf eine Stelle hinter dem Komm genu. c ) Der Grph G, die -Achse und die y Gerde = begrenzen eine Fläche g 5 vollständig. Ihr Inhlt ist A = 7,8 Flächeneinheiten. Die Grphen von g und h h, die -Achse und die Gerden = und = schließen eine Fläche mit dem Inhlt A vollständig ein (siehe f Skizze). Berechnen Sie A. Um wieviel Prozent weichen A und A voneinnder b? S 9

10 Mecklenburg-Vorpommern Aufgbe A6: Geometrie Gegeben sind die Eckpunkte einer Pyrmide durch A(0 0 0), B(8 ), 8 C( 8 ) und S(0 0 - ). ) Stellen Sie die Pyrmide ABCS in einem Koordintensystem dr. b) Geben Sie für die Ebene ε, die durch die Punkte A, B und C verläuft, eine Gleichung n. Berechnen Sie den Abstnd des Punktes S von der Ebene ε. Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide ABCS. c) Berechnen Sie den Höhenfußpunkt S F der Höhe SS F der Pyrmide. d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Spurgerden der Ebene BCS in der -y-ebene. e) Berechnen Sie die Koordinten eines Punktes D uf der Knte AS so, dß SDC = 90. Aufgbe B: Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung y = f() = +. Der zugehörige Grph sei G. ) Geben Sie den mimlen Definitionsbereich n. Berechnen Sie von G die Koordinten der Schnittpunkte mit den Koordintenchsen und die der Etrempunkte. Skizzieren Sie G mindestens im Intervll. b) Der Grph G und die -Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Bei Rottion dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Körper K. Berechnen Sie dessen Volumen. c) Es stehen gerde Holzkegel mit folgenden Mßen in Längeneinheiten zur Verfügung: Kegel(): Rdius r =,5; Höhe h = Kegel(): Rdius r = ; Höhe h = 5 Kegel(): Rdius r = ; Höhe h =. Zeigen Sie, dß der Rottionskörper K us einem der vorgegebenen Kreiskegel durch Abschleifen hergestellt werden knn. Berechnen Sie den dbei entstehenden Abfll in Prozent. d) Der Grph von f, die -Achse ( 0) und die Gerde mit der Gleichung = u (u > 0) schließen eine Fläche vollständig ein. Bei Rottion dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Körper R. Berechnen Sie u näherungsweise (uf eine Stelle hinter dem Komm) so, dß für ds Volumen des Körpers R gilt: V = - π Volumeneinheiten. 0

11 Aufgben Aufgbe B5: Anlysis Gegeben ist die Funktionenschr f durch die y Gleichung y = f () = (ln ), R. Die zugehörige Kurvenschr sei G. G ) Bestimmen Sie den mimlen Definitionsbereich, und untersuchen Sie f uf 0 Monotonie. G b) Zeigen Sie, dß P(e + ) Wendepunkt von G ist. c) Bestimmen Sie für jedes die Gleichung der Wendetngente t w und die Gleichung der Normlen n durch P in Abhängigkeit von (Hinweis: n t w ). d) Die -Achse, die Wendetngente und die Normle bilden für jedes ein Dreieck. Für welches wird der Flächeninhlt dieses Dreiecks miniml? Aufgbe B6: Geometrie Gegeben ist ein dreiseitiges Prism ABCDEF durch die Eckpunkte A(6 0 ), B(6 0), C( 0 ), D( 6 6), E( 0 ), F( 6 8). Ds Prism wird begrenzt von den Dreiecken ABC und DEF sowie den Vierecken BEFC, ADFC und ABED. ) Stellen Sie ds Prism in einem krtesischen Koordintensystem dr. b) Zeigen Sie, dß es sich um ein schiefes Prism hndelt. c) Durch den Punkt P( 9) um den Mittelpunkt M der Strecke CF verläuft eine Gerde g. Berechnen Sie die Koordinten des Schnittpunktes und den Schnittwinkel der Gerden g mit der Ebene ABED. d) Berechnen Sie den Flächeninhlt des Dreiecks ABC. e) Ermitteln Sie den Abstnd der zueinnder prllelen Ebenen ABC und DEF. Berechnen Sie ds Volumen des Prisms ABCDEF.

12 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe P: Geometrie ) Koordinten des Schnittpunktes der Gerden g und h: r = + s 0 + r = + s r = + s 0 0 r = s Lösung: s =, r =, lso schneiden die Gerden einnder. Bestimmung des Schnittpunktes S: z 0 g: y = 0 + =,5 oder h: y = = S(,5,5,5) Schnittwinkel: Richtungsvektor von g: = ; Richtungsvektor von h: b = cos (g h) = cos ( b) = = + = (g h) = 70,5 Grphische Drstellung: z,5,5 z 0 g,5,5,5 - - S O y 5 h 0 b) ε: = 0 + p + q (p, q R) mit = und b = ls Richtungsvektoren; -y-ebene: = y 0

13 Erwrtungsbilder Normle zu ε: b= = i j k = i( ) j( ) + k( ) = 0 = 0 n 0 Normle zur -y-ebene liegt in der z-achse: = cos (-y-ebene ε) = cos ( n n ) = - = = (-y-ebene ε) = 5 c) -y-ebene g: = r; y = r; 0 = r G y ( 0 0) -z-ebene g: = r; 0 = r; z = r G z ( 0 0) y-z-ebene g: 0 = r; y = r; z = r G yz (0 ) -y-ebene h: = + s; y = + s; 0 = s H y ( 0) -z-ebene h: = + s; 0 = + s; z = s H z (0 0 ) y-z-ebene h: 0 = + s; y = + s; z = s H yz (0 0 ) d) z (0 0 ) (0 ) Fehlende Eckpunkte: P (0 0 0) P (0 0) P P P ( ) P ( 0 ) ( 0 0) P O P y ( 0) n 0 Bewertungsvorschlg: ) Koordinten des Schnittpunktes; Schnittwinkel; Zeichnung 6 BE b) Winkel, unter dem ε die -y-ebene schneidet BE c) Koordinten der Durchstoßpunkte BE d) Koordinten der fehlenden Eckpunkte des Würfels BE 5 BE

14 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe P: Anlysis ) Gleichung zur Berechnung von n : Aus f() = folgt die Stmmfunktion F() = + c. = [ ] = + = = [ ] = + = = [ ] = + = - = [ ] = + 5 = usw. n+ n n+ n = [ ] = - + = - ; n N, n Berechnung von n, so dß n < 0,0: n < 0,0, lso - < 0,0 und dmit n(n + ) >. n + n 76,9 > 0; m + m 76,9 = 0 m, = ± = 0,5 ± 8,78; m = 8,8; m = 9,8 (n 8,8)(n + 9,8) > 0 n > 8,8 und n > 9, 8, lso n > 8,8 oder n < 8,8 und n < 9, 8, lso n < 9,8 (entfällt) Für n 9 ist n < 0,0. b) Bildungsgesetz für s n : s = = s = + = + = s = s + = + - = s = s + = + - = usw. Eplizite Zuordnungsvorschrift: s n = - n n + Berechnung von n mit s n > 0,955: - n n+ > 0,955, lso n > 0,955n + 0,955 und somit 0,05n > 0,955 n >,; Für n ist lso s n > 0,995. c) Flächeninhlt von A (siehe Skizze): S ( ), S (5 - ) y A Trpez = ( + - ) = = 9,09 (FE) 5 0,5 A f = d = [ ] = + =,8 (FE) n( n+ ) ,5 n 9 5 n( n + ) S f 0,0 6 0 A S g

15 Erwrtungsbilder A = A Trpez A f = 7,9 (FE) Weiterer Lösungsweg: S ( ), S (5 - ) 5 Gerdengleichung für g: Allgemein: y = m + n S einsetzen ergibt: = m + n, lso n = m und 5 S einsetzen führt uf: - = m 5 + n, lso n = - 5m. Gleichsetzen: 5 m = - 5m, worus m = - und dmit m = - folgt. n = ( - ) = g: y = - + bzw. y = 0,88 +, (Auch ein Anstz über die Zweipunktegleichung der Gerden ist möglich.) Flächenberechnung: 5 A = [g() f()] d = (0,88 +, ) d 0,5 = [0, +, + ] = +, + (0, +, + ) = 7,9 (FE) 0,5 5 Winkelberechnung: Anstieg der Gerden g: m = 0,88 (siehe lterntiven Lösungsweg bei der Flächenberechnung bzw. Anstz mit m = y y - ) Anstieg der Kurve in S : f'() = ; f'( ) = 6, lso m = 6 m m + m m tn (G g) = =,00 Schnittwinkel zwischen G und g in S : (G g) = 5, Anstieg der Kurve in S : f '() = ; f'(5) = 0,06, lso m = 0,06 m m + m m tn (G g) = = 0,85 9 Schnittwinkel zwischen G und g in S : (G g) = 0, Bewertungsvorschlg: ) Gleichung für ( n ); Ermittlung von n, so dß n < 0,0 6 BE b) Bildungsgesetz für s n ; Berechnung von n, so dß s n > 0,955 BE c) Flächenberechnung, Berechnung eines Schnittwinkels 8 BE 8 BE ,5 5 0, ,08 0,06 + 0,88 + 0,

16 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe P: Stochstik ) Whrscheinlichkeit, dß eine zufällig usgesuchte Person die utofreie Innenstdt befürwortet: P = 0, 0,6 + 0, 0,5 + 0, 0,5 + 0, 0,6 + 0,7 0,8 + 0,7 0, = 0, Vernschulichung des Lösungswegs durch ein Bumdigrmm: 0,6 0,5 0,5 0,6 0,8 0,0 Whrscheinlichkeit, dß eine zufällig usgesuchte Fru die utofreie Innenstdt befürwortet: 0,0 P = + 0,08 + 0,09 0,7 0, oder 0,5 + 0,6 + 0, P = - 0, + - 0, + - 0,7 0, 0, b) X: Anzhl der Personen unter 0 usgewählten, die für utofreie Innenstdt sind X ist B(0 0,)-verteilt P(X < ) = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) 0 = 0, 0 0, , 0, , 0,7 8 0, ,06 + 0,7 = 0,878 0,88 P(X > ) = [P(X < ) + P(X = )] 0,88 0, 0,7 7 0,88 0,668 = 0,50 c) Zufllsgröße: X i Aussge des i-ten Bürgers, wobei X i = : für Verkehrskonzept ; X i = 0: gegen Verkehrskonzept X = Männer Fruen Männer Fruen Männer Fruen X i = k 0, 0, 0, 0,0 0,7 0,7 Verteilung: X ist B(00 p)-verteilt Signifiknzniveu: α = 0,05 Hypothesen: H 0 : p 0 0,6; H : p < 0,6 n i = 0,0 0,0 0,06 0,08 0,0666 0,09 P = 0, 6

17 Erwrtungsbilder Annhmebereich: A = {k +,, n} Ablehnungsbereich: A = {0,, k} P p0 (X A) = P 0,6 (X k) 0,05 Aus der Tbelle ist ersichtlich: k = 5, d.h., A = {5,, 00}; A = {,, 5} Mn knn mit der Irrtumswhrscheinlichkeit 0,05 nur behupten, dß weniger ls 60% der Bürger für ds neue Verkehrskonzept sind, flls sich bei der Umfrge weniger ls 5 Menschen für ds neue Verkehrskonzept entscheiden. Ds Umfrgeergebnis läßt dher nicht die Behuptung zu, dß weniger ls 60% der Bürger für ds neue Verkehrskonzept sind. Bewertungsvorschlg: ) Berechnung der Whrscheinlichkeiten BE b) Berechnung der Whrscheinlichkeit BE c) Prüfen der Behuptung BE 8 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis ) Asymptoten von G : P ist Polstelle von f () I) P = 0 und II) P 0 zu I) P = 0, lso P = zu II) 0, d > 0 nch Vorussetzung Also sind = Asymptotengleichungen von f. Polynomdivision ergibt weiterhin: : ( ) = y = + sind Asymptotengleichungen von f. b) Gleichung für g: Lokle Etrempunkte von G : f ' () = ( ) = f '' () = ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) = = f '( E ) = 0 I) E = 0 und II) ( E ) 0 zu I) E = E ( E ) = 0 E = 0; E = E E zu II) ( E ) = (0 ) 0; ( E ) = ( ) 0 7

18 Mecklenburg-Vorpommern 6 f '' ( E ) = - = < 0; f ( E ) = 0 P M (0 0) ( ) f '' ( E ) = = > 0; f ( E ) = P Min ( ) Gleichung für g: g( ) = bzw. g(0) = 0 g() = Bestimmung derjenigen Funktionen f, für die gilt: P M P Min = 5 (LE) Es ist P M P Min = ( ) + ( ). Gleichsetzen ergibt ( ) + ( ) = 5, lso 0 = 0, und somit = = (ndere Lösungen entfllen wegen R, > 0 nch Vorussetzung) Die gesuchte Funktion ist f () = -. c) Grph G der Funktion f : y f () = - 5 P Min y = + O P M 5 = Bestimmung der Werte für ( > ), für die gilt: f () ( + ) < 0,0: ( ) f () ( + ) = - ( + ) = - = 00 f () ( + ) < 0,0 - <, lso > 00 und dmit > 0 Somit gilt die Behuptung für lle > 0-8

19 Erwrtungsbilder d) Bestimmung von u (u R, u > ): u A Rechteck = u f (u) mit f (u) = - u y f u - u u u u ( u ) u u - u ( u ) ( u ) Zielfunktion: A(u) = u - = A'(u) = = R Q A''(u) = ( 6u 6u) ( u ) ( u u ) ( u ) ( u ) O P 6u 6u 6u + 6u u + 6u ( u ) = - = - u 6u + 6u ( u ) A'(u) = 0 I) u u = 0 und II) (u ) 0 zu I) u u = u (u ) = 0 u = 0 (u = 0 entfällt, d u > ) u = zu II) (u ) = ( ) = 0 A''( ) = = - = ( ) = 8 > 0 Für u = ist der Flächeninhlt des Rechtecks mit A = 6,75 (FE) miniml. e) I = - d = - d = ( ) d = ( ) d = [ + + ln ] = ln ( + + ln) = (8 + ln) (FE) I = - = 8 (FE); I = I I = ln (FE) I : I = 8 : ln 7,8 : Bewertungsvorschlg: ) Gleichungen der Asymptoten BE b) Gleichung für g; Bestimmung von f 6 BE c) Grph; Ermittlung der -Werte BE d) Bestimmung von u BE e) Verhältnis I : I BE 9 BE y f I O = I = y = + I = I + I 9

20 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe A5: Anlysis ) Schnittpunkte von G mit den Koordintenchsen: Schnittpunkt mit der -Achse: ( + ) e = 0 ( + ) = 0 (d e 0 für lle ) = P ( 0) Schnittpunkt mit der y-achse: 0 ( 0 + ) e = P y (0 ) Etrempunkte: f '() = e + ( + ) e ( ) = ( ) f '' () = ( ) e + e () = ( + + ) = ( + ) e f ' () = 0 ( ) = 0 (d e 0 für lle ) = f ''( ) = ( + ) e = e < 0 f ( ) = [( ) + ] e = e P M ( e ) b) Flächeninhlt A (t): t A (t) = ( + ) e d e Prtielle Integrtion: u() = + ; u'() = ; v'() = e ; v() = e d = e t A (t) = [( + )() e ] () e d t - = e ( t + ) [ () () e ] t - t - t t t - = e ( t + ) ( e e ) = e ( t + + ) + e e 0

21 Erwrtungsbilder Grenzwert: lim A (t) = lim ( t e ) = e t c ) Berechnung von S : Aus g() = h() folgt s() = 0, 0,75 +,5,; s'() = 0,6,5 +,5 n + = n = = Mit 0 =,5 ergibt sich =,75; =,65 S, Kontrolle: g(,) =,788; h(,) =,5; g(,) h(,) c ) Flächeninhlt: A = t t - e 0, n 0,75 n +,5 n, 0,6 n,5 n +,5 0,6 n,5 n +,5 n 0, n + 0,75 n,5 n +, 0,6 n,5 n +,5, f ()d = 7,8 (FE) A = g() d+ h() d,, = (0, 0, ) d + (0,5 +,) d 0 = [ - + ] + [ +,] =,86 +, + 7,5,99 = 7,86 (FE) Abweichung in Prozent: A 00% A 00,0% A und A weichen um c. 0,% voneinnder b., 0, n 0,75 n +, - 0,6 n,5 n +,5 Bewertungsvorschlg: ) Schnittpunkte; Etrempunkte 6 BE b) Fläche A (t); Berechnung lim A (t) 5 BE t c) Berechnung von S ; Berechnung von A ; Abweichung in Prozent 8 BE 9 BE,,

22 Mecklenburg-Vorpommern Erwrtungsbild zu Aufgbe A6: Geometrie ) z S 0 5 A C 5 y B 5 b) Gleichung für die Ebene ε: Prmetergleichung: ε: = OA + r AB + s AC = 0 + r + s 8 ; r, s R Koordintengleichung (prmeterfreie Gleichung): ε: ( OA ) n = AB AC i j k = 8 = (8 6)i (6 8)j + (6 6)k = 8 n = z 0 6 ε: y 0 = 0, worus ε: y + 6z = 0 folgt, lso:

23 Erwrtungsbilder ε: + y 6z = 0 Abstnd des Punktes S von der Ebene ε: OS OA n n d = mit OS =, OA = 0, n =, n = d = = = = (LE), (LE) Volumen der Pyrmide: 8 V = A G d mit A G = AB AC = 8 =, d = 8 V = = 8 = (VE) 0, (VE) c) : = + t ; ε: 0 = y + 6z g SSF ε: 0 = (0 t) (0 t) + 6( - + 6t), lso 0 = t + t t t = : y = = S F ( ) Weiterer Lösungsweg: : = + t (t R); ε: = 0 + r + s 8 (r, s R) (I) t = 8r + s (II) t = r + 8s (III) t = r + s (I') t = r (III') 8-6r = r g SSF g SSF g SSF z r = s 8

24 Mecklenburg-Vorpommern Lösung: r =, s =, t = 6 6 Koordinten des Höhenfußpunktes S F : S F ( ) d) -y-ebene: = y 0 ε BCS : = OB + p BC + q BS = + p + q ; p, q R (I) = 8 p 8q (II) y = + p q (III) 0 = + - q q = (I) + (II) + y = ( - ) 6 Spurgerde: y = +,5 8 0 e) ( DS DC ) = 90 DS DC = 0 mit DS =, DC = d z d z = 0, lso ( - d z )( d z ) = 0 8 d z = (d z = - entfällt, siehe Koordinten des Punktes S) Der Punkt D(0 0 ) erfüllt die Bedingung SDC = Bewertungsvorschlg: ) Zeichnung BE b) Gleichung der Ebene ε; Abstnd des Punktes S zur Ebene ε; Volumen der Pyrmide ABCS 7 BE c) Koordinten des Höhenfußpunktes S F BE d) Gleichung der Spurgerden BE e) Koordinten des Punktes D mit SDC = 90 BE 9 BE d z 8 d z Erwrtungsbild zu Aufgbe B: Anlysis ) Definitonsbereich: R, Schnittpunkte mit den Koordintenchsen:

25 Erwrtungsbilder mit der -Achse: 0 = = 0 oder + = 0 = 0, = P (0 0), P ( 0) mit der y-achse: y = 0 0+ y = 0, P (0 0) (d.h. P = P ) Etrempunkte: + f '() = + - = + ( + ) + + = - = f ''() = - = - = f '( E ) = 0 E + 8 = 0 und E 0 E = 8 f ''( ) = = = > 0 8 f( ) = ( ) + = - =,5 P Min ( ) bzw. P Min (,6,5) Grph G der Funktion f im Intervll : + ( + 8) ( + ) y f ( + ) ( + 8) 6 ( + ) ( + ) 0 P Min 0 b) V K = π ( ) d = π ( + ) d = π[ - + ] = π[0 (6 - )] = - π (VE) 6,76 (VE) 6 6 5

26 Mecklenburg-Vorpommern c) Kegel (): nicht möglich (s. Skizze; Grphen von f und g schneiden einnder) y f Kegel (): möglich (siehe Skizze) y f Prozentuler Abfll: V Kegel() = π 5 (VE) = 80 - π (VE) V K = 6 - π (VE) V Kegel() V K = - π - π (VE) = - π (VE) 80% des Kegels () ist Abfll. Kegel (): möglich (siehe Skizze) y f g Prozentuler Abfll: Aus der Skizze gewinnt mn die Vermutung, dß die Gerde g die Tngente n G n der Stelle = 0 ist. Nchweis: g: y = m = G: f'() = ; f'(0) = - 8 = Also ist die Vermutung richtig, und es gilt: K Kegel () Berechnung des Abflls π V Kegel() = 6 (VE) = - π (VE) V K = π (VE) 6

27 Erwrtungsbilder 6 V Kegel() V K = - π - π (VE) = 6π (VE) 75% des Kegels () ist Abfll. Die Herstellung us Kegel () ist lso günstiger. u 0 d) Aus π [f()] d = - π folgt [f()] d = 6 Lut Teilufgbe b) gilt: [f()] d = [ - + ] = - u + u, lso: - 6 u + u = - 8 u - 0 u 6 0 u + 6u = 5 u + 6u 5 = 0; (u + 6u 5)' = u + 8u u + 6u 5 u n + = u n - ; Anfngswert: u 0 = u + 8u u =,6; u =,8; u =,769 u,8 Für u,8 gilt: V R = - π (VE). Bewertungsvorschlg: ) Definitionsbereich; Schnittpunkte mit den Koordintenchsen; Etrempunkte; Zeichnung 6 BE b) Volumen des Rottionskörpers K BE c) Bestimmung der möglichen Kegel; Berechnung des Abflls 5 BE d) Berechnung von u 5 BE 9 BE u 0 6 Erwrtungsbild zu Aufgbe B5: Anlysis ) Definitionsbereich: R; > 0 Untersuchung uf Monotonie: f '() = (ln ) f '() = 0 ln = 0 (d 0 für lle ), lso ln = und somit ist = e. f '() < 0 für 0 < < e f ist monoton fllend. f '() = 0 für = e f nimmt lokles Minimum n. f '() > 0 für > e f ist monoton wchsend. 7

28 Mecklenburg-Vorpommern b) f '' () = (ln ) + = (ln ) = f '' (e + ) = = 0 f ''' () = - = - = f ''' (e + ) = = - 0 f (e + ) = (lne + ) = ( + ) = P(e + ) ist Wendepunkt von G. c) Gleichung der Wendetngente t w : Aus f '() = (ln ) mit P(e + ) folgt f '(e + ) = (lne + ) = ( + ) = = e + + n n = t w : y = Gleichung der Normlen n mit P n: Allgemein: y = b + c n t w und m = ist Anstieg von t w. Drus folgt b = - = ; = e + + c c = + - = n: y = + ( + ) + + ( e + ) ( ln+ + ) ( + ) 6 e + e + e + e + e + e + e + e + e + + e + e + e + - ln+ + ( ln + + ) e + e + ln 6 + e + d) A = m h mit m = und h = Nullstelle von t w : e + 0 = = Nullstelle von n: e + 0 = + + e + + e + = = Berechnung von m: e + + e + e + e + + e + e + e + + e + e + e + m = = = = y n + e + e + h m P(e + ) t w 8

29 Erwrtungsbilder Zielfunktion: A() = + e = + e = + e + e + Untersuchung uf lokles Minimum: A'() = + e + ; A''() = + e + e + e + A'() = 0 + e + = 0 e + e + =, lso e + = und somit ( + )lne = ln. ln = = ln e + e + e + A''(ln ) = - + e + ln = + = > 0 e + ln Für = ln 0, ist der Flächeninhlt des Dreiecks miniml. Bewertungsvorschlg: ) Definitionsbereich; Untersuchung uf Monotonie BE b) Nchweis, dß P(e + ) Wendepunkt von G ist BE c) Gleichung der Wendetngente und der Normlen durch P 5 BE d) Berechnung von 7 BE 9 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe B6: Geometrie ) z F 5 C D E A O 5 y 5 B b) Behuptung ist richtig, wenn z.b. gilt: CF r( CA CB ) mit r R. 9

30 Mecklenburg-Vorpommern CF = 6 ; CA = 0 ; CB = CA CB ij k = 0 = 8i (8 + )j + 8k = Es ist 6 r für lle r R, lso hndelt es sich um ein schiefes Prism. Weiterer Lösungsweg: Prism ABCDEF ist ein schiefes Prism, wenn die Seitenflächen keine Rechtecke sind, d.h., wenn z. B. gilt: CF CB 0: 6 = + 6 = 0 BCF 90, lso folgt die Beh. c) Koordinten des Schnittpunkts: Ermitteln des Mittelpunktes M der Strecke CF: OM = OC + CF = = M( 6) Gleichung der Gerden g: g: = + t ; t R Ebenengleichung: Prmetergleichung: ε: = OA + p AB + q AD = 0 + p + q 6 ; p, q R Koordintengleichung: AB AD i j k = 0 = (6 + )i ()j + 8k = n = ; d = 0 = + = 6 ε: 7 + y + z 6 = 0 Koordinten des Schnittpunktes: 7( + t) + +t + (9 t) 6 = 0, lso 0t = 0 und somit t = 0

31 Erwrtungsbilder t in die Gerdengleichung von g einsetzen: 5 y z 9 = + = 5 Schnittpunkt: S(5 5 ) Schnittwinkel (ε g): cos (ε g) = cos (n PM ) = = 0, (ε g) 9,7 d) A = AB AC = 0 = = = 6 (FE) e) Abstnd der Ebenen ε ABC und ε DEF : ε ABC : = 0 + r + s 0 n = ; d = 0 = 6 ε ABC : + y + z 6 = 0 Abstnd des Punktes D von der Ebene ε ABC : d = - = 0 7 Der Abstnd der beiden Ebenen beträgt Volumen des Prisms ABCDEF: V = A G h = 6 (VE) = 0 (VE) (LE). Bewertungsvorschlg: ) Zeichnung BE b) Nchweis, dß ABCDEF ein schiefes Prism BE c) Koordinten des Schnittpunktes; Schnittwinkel 8 BE d) Flächeninhlt des Dreiecks ABC BE e) Abstnd der Ebenen; Volumen des Prisms 5 BE 9 BE

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33 Abiturprüfung Leistungskurs 997 / 98 Gymnsium Schsen

34 Schsen Aufgben (Ersttermin und Nchtermin) Aufgbe A: Anlysis Für jedes ( R, > 0) ist eine Funktion f gegeben durch y = f () = 0 e ( D f ). Die Abbildung zeigt ds mit einem grfikfähigen Tschenrechner erzeugte Bild des Grphen der Funktion f. ) Geben Sie für die Funktion f den größtmöglichen Definitionsbereich n und führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Symmetrie, Koordinten der loklen Etrempunkte, Art der Etrem, Koordinten der Wendepunkte). Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Eistenz von Wendepunkten knn verzichtet werden. Eine Funktion f ht den Wertebereich 5 y 5. Ermitteln Sie für diese Funktion den Wert. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Gerden g, uf der die loklen Etrempunkte der Grphen ller Funktionen f liegen. Weisen Sie nch, dss uf der Gerden g ein Punkt eistiert, der nicht Etrempunkt einer Funktion f ist. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Der Grph der Funktion f, die -Achse und die Gerde mit der Gleichung = t (t R, t > 0) begrenzen im ersten Qudrnten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhlt dieser Fläche. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Durch den Koordintenursprung O, den Punkt P(; 0) und den Punkt Q(; f ()) wird für jedes ( R, > 0) ein Dreieck bestimmt. Berechnen Sie den mimlen Flächeninhlt, den ein solches Dreieck nnehmen knn. Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Eistenz des loklen Mimums knn verzichtet werden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 5)

35 Aufgben Aufgbe A: Anlysis Für jedes ( R, > 0) ist eine Funktion f gegeben durch y = f () = ( D f ). Außerdem ist die zweite Ableitung der Funktion f durch f ''() = - + ( R, < ) gegeben. ( ) / ) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen f n und führen Sie für die Funktionen f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinten der loklen Etrempunkte, Art der Etrem). Weisen Sie nch, dss die Funktionen f keine Wendestellen besitzen. Zeichnen Sie den Grphen der Funktion f 6 im Intervll und den Grphen der Funktion f im Intervll 6. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Ermitteln Sie eine Gleichung für die Tngente n den Grphen der Funktion f 6 im Punkt Q(; f 6 ()). (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion h, uf deren Grph lle loklen Etrempunkte der Grphen von f liegen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Für jedes ( R, > 0) schließt der Grph der Funktion f mit der -Achse eine Fläche vollständig ein. Bei Rottion dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Körper. Ermitteln Sie den Wert so, dss ds Volumen dieses Rottionskörpers π beträgt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 5) e) Der Grph der Funktion f und die -Achse begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie den Inhlt dieser Fläche. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe A: Anlysis (erhöhter Schwierigkeitsgrd) Gegeben ist die Funktion f durch y = f() = - ( D f ). ( ln) Die Abbildung zeigt ds mit einem grfikfähigen Tschenrechner erzeugte Bild des Grphen der Funktion f. 5

36 Schsen ) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f n. Der Grph der Funktion f besitzt genu einen loklen Minimumpunkt. Berechnen Sie dessen Koordinten. Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Eistenz eines loklen Etremums knn verzichtet werden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Es eistiert genu ein Punkt P(; f()) ( R, > ), dessen Abstnd zum Koordintenursprung miniml ist. Berechnen Sie die Koordinten dieses Punktes P. Hinweis: Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung für die Eistenz des loklen Minimums knn verzichtet werden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 6) Aufgbe A: Anlysis (erhöhter Schwierigkeitsgrd) Für jedes k (k R, k > 0) ist eine Funktion f k gegeben durch y = f k () = ( e + e ) ( R). Die Abbildung zeigt ds mit einem grfikfähigen Tschenrechner erzeugte Bild des Grphen der Funktion f. ) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung der Tngente n den Grph der Funktion f im Punkt Q(; f ()). Für jedes u (u R, u > 0) sind zwei Punkte P u (u; f (u)) und P u * (u; f (u)) gegeben. Die Gerde t u ist Tngente n den Grph der Funktion f im Punkt P u. Die Gerde t u * ist Tngente n den Grph der Funktion f im Punkt P u *. Ermitteln Sie den Wert u, für den sich die Tngenten t u und t u * rechtwinklig schneiden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 6) b) Die Länge eines Kurvenstückes des Grphen einer stetig differenzierbren Funktion f im Intervll b bezeichnet mn ls Bogenlänge L. Diese Bogenlänge knn mit der Formel L = b k k k + ( f' () ) d berechnet werden. 6

37 Aufgben Weisen Sie nch, dss mn die Bogenlänge des Grphen der stetig differenzierbren Funktion f k im Intervll b durch b L = k k ( e + e ) d berechnen knn. Ermitteln Sie die Bogenlänge L des Grphen der Funktion f k im Intervll k k. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe B: Anlytische Geometrie und linere Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(; ; ), B t (; + t; + t) und C t ( + t; t; ) (t R, t > 0) gegeben. ) Untersuchen Sie die Vektoren AB und AC uf linere Abhängigkeit. Berechnen Sie die y-koordinte des Vektors = y 8 so, dss die Vektoren, AB und AC liner bhängig sind. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 5) b) Weisen Sie rechnerisch nch, dss für jeden Wert t die Punkte A, B t und C t ein und dieselbe Ebene bestimmen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Für jedes t sind die Punkte A, B t und C t Eckpunkte eines Dreiecks AB t C t. Weisen Sie rechnerisch nch, dss jedes Dreieck AB t C t ein gleichschenkliges Dreieck mit der Bsis B t C t ist. Zeigen Sie, dss eine Gleichung für lle Winkelhlbierenden der Winkel C t AB t eistiert, die unbhängig vom Wert des Prmeters t ist und ermitteln Sie eine Gleichung dieser Winkelhlbierenden. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Berechnen Sie den Wert des Prmeters t, für den ds zugehörige Dreieck AB t C t den Flächeninhlt 6 ht. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) 7

38 Schsen Aufgbe B: Anlytische Geometrie und linere Algebr In einem krtesischen Koordintensystem sind die Ebenen E durch ( 7) + (5 5)y 5z = 5 ( R), 8 die Gerde g durch = 9 + r (r R) sowie 7 die Punkte P(5; ; 7), Q(5; 7; 7) und S(; ; ) gegeben. ) Zeigen Sie, dss der Punkt P in der Ebene E liegt. Berechnen Sie den Abstnd der Punkte P und Q. Ermitteln Sie den Wert, für den der Punkt Q in der Ebene E liegt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Die Gerde g schneidet die Ebene E im Punkt R. Die Punkte P, Q und R sind Eckpunkte eines in der Ebene E liegenden Dreiecks. Berechnen Sie ds Volumen der Pyrmide PQRS. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 8) c) Ermitteln Sie den Wert, für den die Ebene E orthogonl zur Ebene E ist. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Weisen Sie nch, dss die Gerde s mit 0 5 = 7 + p 7 (p R) in jeder der Ebenen E liegt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe B: Anlytische Geometrie und linere Algebr (erhöhter Schwierigkeitsgrd) In einem krtesischen Koordintensystem sind die Punkte A(; 5; 5), B(; ; ) und C(8; 0; 7) sowie die Gerde g durch = 0 + t (t R) gegeben. ) Zeigen Sie, dss die durch die Punkte B und C bestimmte Gerde h windschief zur Gerden g verläuft. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) 8

39 Aufgben b) Die Höhe h uf der Seite BC des Dreiecks ABC zerlegt ds Dreieck in zwei Teildreiecke. Ds flächenmäßig größere der beiden Teildreiecke rotiere um die Höhe h. Zeigen Sie, dss der Punkt F(; 6; ) Höhenfußpunkt der Höhe h ist. Berechnen Sie ds Volumen des entstehenden Rottionskörpers. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Gerden, die durch den Punkt A verläuft und die die Gerden g sowie h schneidet. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Aufgbe B: Anlytische Geometrie und linere Algebr (erhöhter Schwierigkeitsgrd) In einem krtesischen Koordintensystem ist eine gerde Pyrmide ABCDS mit S qudrtischer Grundfläche durch die Eckpunkte A(; 8; 6), B(9; 8; 6), C(9; 8; ), D(; ; ) und 7 M N S(; ; ) gegeben. g(mn) Auf der Seitenfläche ABS der Pyrmide L K D C liegen die Punkte M(0; ; 0) und N(; 5; ). Eine Ebene E, in der die Punkte M und N liegen, schneidet jede der vier Seitenflächen der Pyrmide (siehe Skizze). A B ) Weisen Sie nch, dss die durch die Punkte M und N bestimmte Gerde g prllel zu einer Grundknte der Pyrmide verläuft. Zeigen Sie, dss der Punkt M uf der Knte AS und der Punkt N uf der Knte BS liegt. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Die Schnittfigur der Ebene E mit der Pyrmide ist ds Trpez KLMN, dessen größere der beiden prllelen Seiten die Länge 9 besitzt und dessen Höhe beträgt. Berechnen Sie den Flächeninhlt des Trpezes. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E. (Erreichbre Bewertungseinheiten: 6) 9

40 Schsen Aufgbe C: Stochstik Eine Firm stellt verschiedene Elektronikerzeugnisse her. Eines dieser Produkte besteht us drei Buteilen T, T und T. Flls ein Buteil usfällt, ist ds Produkt nicht mehr funktionsfähig. Es ist beknnt, dss jedes dieser Teile innerhlb der Grntiezeit mit der Whrscheinlichkeit 0, usfällt und dss dieser Ausfll keine Auswirkungen uf die Funktionsfähigkeit der nderen Teile ht. In den Grntiebedingungen erklärt sich die Herstellerfirm bereit, bei jedem Buteil einmlig die Kosten für den Austusch zu übernehmen. Die Kosten für den Austusch von T betrgen 50 DM, von T 0 DM und von T 0 DM. ) Die Zufllsgröße X beschreibt die Kosten pro Produkt, die der Herstellerfirm durch die Grntieleistungen entstehen. Geben Sie die Whrscheinlichkeitsverteilung der Zufllsgröße X n. Ermitteln Sie die Kosten, die die Herstellerfirm durch die Grntieleistungen pro Produkt erwrten muß. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) Ein Erzeugnis der Firm sind Tschenrechner. Beknnt ist, dss 0% der produzierten Geräte defekt sind. Ursche dfür können die Fehler F und F sein. Die Whrscheinlichkeit für ds Auftreten von Fehler F beträgt 0,0. Sowohl Fehler F ls uch Fehler F hben 0,5% der produzierten Tschenrechner. b) Untersuchen Sie, ob die beiden Fehler F und F unbhängig voneinnder uftreten. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Ein Kontrolleur benötigt für eine Anlyse einen Tschenrechner, der sowohl Fehler F ls uch Fehler F ufweist. Wie viele Geräte müssten der Produktion wenigstens entnommen werden, dmit mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 99% wenigstens ein solcher Rechner dbei ist? (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Um Tschenrechner preiswert kufen zu können, gben die Gymnsien einer Stdt eine Smmelbestellung von 750 Stück bei dieser Firm b. Die Zufllsgröße Y beschreibt die Anzhl der Rechner unter den 750 gelieferten Geräten, die den Fehler F ufweisen. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit dfür, dss der Fehler F bei weniger ls 0 Rechnern uftritt? (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) 0

41 Aufgben Aufgbe C: Stochstik Ein Betrieb produziert Glühlmpen, Energiesprlmpen und Leuchtstoffröhren. ) Für die Produktion von Glühlmpen stehen zwei Mschinen M und M zur Verfügung. Die Mschine M produziert 65% der Glühlmpen, wobei der Ausschussnteil % beträgt. Bei der Mschine M beträgt der Ausschussnteil,5%. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit, dss eine in diesem Betrieb produzierte Glühlmpe Ausschuss ist? Eine zufällig der Produktion entnommene Glühlmpe ist Ausschuss. Mit welcher Whrscheinlichkeit stmmt diese Glühlmpe von Mschine M? Für eine Untersuchung benötigt mn ein von Mschine M gefertigtes Ausschussstück. Wie viele Glühlmpen von M müssen der lufenden Produktion mindestens entnommen werden, dmit sich mit einer Whrscheinlichkeit von mindestens 0,99 wenigstens ein Ausschussstück unter ihnen befindet? (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) b) Ein Fchgeschäft erhält eine Lieferung von 900 Glühlmpen, drunter 50 frbige. Aus der Lieferung werden 50 Glühlmpen zufällig entnommen. Bestimmen Sie unter der vereinfchten Annhme, dss die Anzhl der frbigen Glühlmpen in der Stichprobe beschreibende Zufllsgröße binomilverteilt ist, jeweils die Whrscheinlichkeit folgender Ereignisse. Ereignis A: Ereignis B: Unter den 50 usgewählten Glühlmpen sind höchstens frbige. Unter den 50 usgewählten Glühlmpen sind mindestens 8 frbige. (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) c) Bei der Produktion von Energiesprlmpen rechnet dieser Betrieb mit einer Ausschussquote von %. Eine Tgesproduktion n Energiesprlmpen wird komplett kontrolliert. Dbei werden 9 defekte Lmpen ermittelt. Der Produktionsleiter sieht in dieser Zhl die ekte Bestätigung der Ausschussquote. Wie viele Energiesprlmpen wurden n diesem Tg produziert? (Erreichbre Bewertungseinheiten: ) d) Die Lebensduer (in Stunden) von Leuchtstoffröhren sei ngenähert normlverteilt mit dem Erwrtungswert 500. Ermitteln Sie die Stndrdbweichung, wenn 98% der Leuchtstoffröhren eine Lebensduer zwischen 50 und 850 Stunden ufweisen. (Erreichbre Bewertungseinheiten: )

42 Schsen Erwrtungsbilder Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis ) Definitionsbereich: D f = { R} Nullstelle: 0 = 0 N N = 0 Symmetrie: f () = 0() e () = 0 e = f () Zentrlsymmetrie zum Koordintenursprung Etrempunkte: f '() = 0e ( ); f ''() = 0e ( ) f '( E ) = 0, lso E = 0 E = - E = - ; E = Nchweis: f ''( - ) = 0e ( - ) < 0 (d > 0) lokles Mimum; f ''( - ) = 0e ( - ) > 0 (d > 0) lokles Minimum; Koordinten der loklen Etrempunkte: 0 e P m (- ; ); P min ( - ; ) Koordinten der Wendepunkte: f ''( W ) = 0 0e W ( W W ) = 0 W ( W ) = 0 W = 0; W = - ; W = P W (0; 0); P W ( - ; ); P W ( - ; - ) Auf die Überprüfung einer hinreichenden Bedingung knn verzichtet werden. Wertebereich: 5 = 0 e = = b) Gerde: y = m (d zentrlsymmetrisch zum Koordintenursprung) = m - 0 m = e 0 lso y = e 0 e Der Punkt O(0; 0) ist Punkt der Gerden ber kein lokler Etrempunkt, d er Wendepunkt ist (siehe Aufgbenteil )). Als Nchweis ist es uch möglich zu zeigen, dss O(0; 0) für kein lokler Etrempunkt ist: - = 0 gilt für kein > 0. 0 e e e e 0 e e e -

43 Erwrtungsbilder c) Flächeninhlt: f () = 0 e t A = (0 e ) d = (5 e z ) dz (mit der Substitution z() = ) 0 = [5e z ] = 5e t (5) = 5e t + 5 = A d) Zielfunktion: A = f() = 5 e ( > 0) t 0 t 0 A'() = e (0 0 ); A'( E ) = 0 0 E 0 E = 0 Etrem: E = 0; E = ; E = ( E, E entfllen, wegen > 0) 0 e Q( E ; f ( E )) = Q(; - ) Flächeninhlt: A = - =,8 0 e 5 e Bewertungsvorschlg: ) Definitionsbereich; Nullstelle; Symmetrie;. Ableitung;. Ableitung; Etremstellen; Art der Etrem; Koordinten des loklen Minimumpunktes; Koordinten des loklen Mimumpunktes; Koordinten eines Wendepunktes; Koordinten ller Wendepunkte; Anstz für den Wert ; Wert b) Anstz für die Gleichung der Gerden; Gleichung der Gerden; Nchweis für den Punkt O(0; 0) c) Anstz für den Flächeninhlt; Substitution; Stmmfunktion; Flächeninhlt in Abhängigkeit von t d) Zielfunktion;. Ableitung; Lösung der kubischen Gleichung; Etremstelle; Flächeninhlt BE BE BE 5 BE 5 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis ) Definitionsbereich: 0 D f = { R, } Nullstellen: N = 0; N = Etrempunkte: f '() = - ; f ''() = f '( E ) = 0, lso E = 0 E = Nchweis: ( > 0) f ''( ) = - ( ) / < 0 lokles Mimum; f ( ) = - + ( ) / 6

44 Schsen Koordinten der loklen Etrempunkte: P m ( ; ) Wendestellen: f ''( W ) = 0, d. h. - = 0 W = - D f Grph: Also hben die Funktionen keine Wendestellen. f 6 : Nullstellen: 0; lokles Mimum: (; ) f : Nullstellen: 0; 6 lokles Mimum: (; ) 6 + W ( W ) / y f f 6 O b) y-wert: f 6 () = ; Anstieg: m = f 6 '() = - = y = m + n ergibt mit (; ) und m = = + n lso n = Gleichung der Tngente: y = + 6 c) P m ( ; ) ergibt = y = = - = Funktion h: h() = d) Volumen des Rottionskörpers: V = π (f()) d = π ( ( )) d = π ( )d = π[ - ] = π Wert : V = π π = π lso = 56 = 6 0 e) A = ( ) d; Substitution: z() = ; - = 0 A = (( + ) ( )) dz = ( z + z ) dz dz d z z 0

45 Erwrtungsbilder A = [ z 5/ + z / ] = ( ) = 8 6,6 5 Lösungsvrinte: 6 0 prtielle Integrtion A = uv' d = [uv] u'v d mit u = ; u' = ; v' = ; v = ( + ) / 0 5 Bewertungsvorschlg: ) Definitionsbereich; Nullstellen; Anstz für die. Ableitung (Produktregel);. Ableitung; Etremstelle; Nchweis des loklen Mimums; Koordinten des loklen Mimumpunktes; Anstz für die Wendestellen; Nchweis, dss keine Wendestellen eistieren; Grph der Funktion f 6 ; Grph der Funktion f BE b) y-koordinte des Punktes Q; Anstieg; Gleichung der Tngente BE c) Anstz; Gleichung der Funktion h BE d) Anstz für ds Volumen; Stmmfunktion; Volumen; Anstz für den Wert ; Wert 5 BE e) Anstz; Umformungen; Stmmfunktion; Flächeninhlt BE 5 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis ) Definitionsbereich: D f = { R, > 0, } ( ln) ln ( ln) ln ( ln) f'() = = - (Produktregel mit u = und v = (ln) ) f'( min ) = 0 ln min = min = e ; f(e ) = P min (e ; ) b) Für den Abstnd d der Punkte P(; f()) ( > ) gilt nch dem Stz des Pythgors: d() = + ( f ()) = + - ( ln) d'() = - ( + - ln ) = - ( + - ln ) (d = 0 D f ) + - ( ln) ( ln) ( ln) e ( ln) 5 e 5

46 Schsen Für die Etremstelle E muss gelten: d'( E ) = 0. Wegen > genügt die Untersuchung des. Fktors. ln 0 = + E ( ln = E ) 5 + ln E - Es genügt die Betrchtung des Zählers. ( ln E ) 5 Lösung der Gleichung (ln E ) 5 + ln E = 0 durch Substitution z = ln E. z 5 + z = 0 z = ; ln E = E = e; f(e) = e P E (e; e) (Die Gleichung 5. Grdes knn durch Probieren oder mit dem Newton-Verfhren gelöst werden. D die Eistenz genu eines Etrempunktes ls gegeben gilt, knn uf die Suche weiterer Lösungen verzichtet werden.) Lösungsvrinte: ( ln) ( ln E ) 5 h() = + - ; h'() = + Betrchtung der Etrem der Funktion h() = d (): - ln ( ln) 5 h'( E ) = 0 führt uf die selbe Gleichung 5. Grdes wie oben. Bewertungsvorschlg: ) Definitionsbereich;. Ableitung; Etremstelle; Koordinten des loklen Etrempunktes b) Zielfunktion;. Ableitung; Gleichung 5. Grdes; Substitution; Lösung der Gleichung; Koordinten des Punktes P BE 6 BE 0 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe A: Anlysis ) f () = e + e ; f '() = ( e e ) Tngente: y = m + n; Anstieg: m = f '() = (e e ) = Mit Q(; f ()) lso Q(; - ) gilt - = - + n. e Es folgt n = und dmit die Gleichung der Tngente y = - +. Anstz (Bedingung für rechten Schnittwinkel): f '(u) = (e u/ e u/ ) = e u + e u 6 = 0. Lösungsvrinte: Substitution z = e u e u / e u / e + e z + 6 = 0 z 6z + = 0 z ; = ± e + e e e 8 z f '( u) e - e e e u = ln( + 8 ),76 (trifft zu); u = ln( 8 ),76 (entfällt) e 6

47 Erwrtungsbilder. Lösungsvrinte: NEWTON-Verfhren f(u) = e u + e u 6; f'(u) = e u e u f ( ; n + = n n ) - f' ( n ) Strtwert: z. B. = (konvergiert nch Schritten uf Dezimlstellen gegen den Wert u =,767). Die zweite Lösung knn mit einem nderen Strtwert oder nhnd der Symmetrieeigenschften des Grphen gefunden werden. k k k k k b) f k '() = ( e e ) = ( e e ) k k Nchweis der Formel: b L = + k k d = + e k + e k d b = e - k e k d = e k e k d (Binomische Formel) b e k k = ( e ) d Bogenlänge: k e k k - e e - - k k k L = ( + e ) d = k[ e e ] = k(e ) - b b - k k - - e Bewertungsvorschlg: ). Ableitung; Anstieg der Tngente; Gleichung der Tngente; Anstz für den Wert u; qudrtische Gleichung; Wert u 6 BE b) Anstz für den Nchweis; Nchweis; Stmmfunktion; Ergebnis BE 0 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe B: Anlyt. Geometrie/lin. Algebr ) 0 B (; ; ) AB = ; C (9; ; ) AC = 8 Im Flle linerer Abhängigkeit gilt: AB = λ AC (λ R). 0 = λ 8 λ = 0; = λ () λ = 0 7

48 Schsen Die Vektoren AB und AC sind lso liner unbhängig. Deshlb muss für linere Abhängigkeit der drei Vektoren gelten: 0 8 = λ AB + µ AC (λ, µ R), d. h., y = λ + µ. 8 = 8µ µ = ; 8 = λ λ = ; Dmit folgt: y = 6; = 6. b) Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C : 0 8 (I) = + 8s = + r + s (r, s R) (II) y = + r 8s 0 (III) z = + r prmeterfreie Form: (I) + (II) (III) + y z = + y z = Einsetzen von B t und C t : B t : + + t + t = ; C t : + t + ( t) () = Es ergibt sich jeweils die whre Aussge =. Dmit liegen lle Punkte B t und C t in der Ebene E. Lösungsvrinte: Ebene E: 0 t = + r t + s t (r, s R) t Dieser Anstz führt zur selben prmeterfreien Form der Ebenengleichung: + y z =. Diese Gleichung ist unbhängig von t. c) Berechnung der Längen der Strecken AB t und AC t : d(ab t ) = 0 + t + t = 5t = 5 t; d(ac t ) = t + t + 0 = 5t = 5 t; Es gilt: d(ab t ) = d(ac t ). Ds Dreieck AB t C t ist lso gleichschenklig. Deshlb geht die Winkelhlbierende des Winkels C t AB t durch den Mittelpunkt M der Strecke B t C t. M( ( + t); ; ( + t)) M( + t; ; + t) Gleichung der Winkelhlbierenden (der Gerden durch A und M): t t = + s 0 = + st 0 = + q 0 (s R, q = st) Diese Gleichung der Winkelhlbierenden ist unbhängig von t

49 Erwrtungsbilder Lösungsvrinte: 0 AB t t = t ; AB = t0 AB t ; AC t = t ; AC t0 = t Richtungsvektor der Winkelhlbierenden: w = AB t0 + AC = 0 = 0 t0 ; w ist unbhängig von t. Dmit ergibt sich obige Gleichung der Winkelhlbierenden. d) Flächeninhlt: A = gh A = = 5t t 5t t 5 = t = Es folgt: t = (entfällt); t =. 0 AC 5t t g = d(b t C t )= ( + t ) + ( t ( + t) ) + ( ( + t) ) = t + t + t = t h = d(am) = ( + t ) ( + t+ ) = t + t = t t 6 t - t 6 Bewertungsvorschlg: ) Koordinten der beiden Vektoren; Ergebnis der Untersuchung uf linere Abhängigkeit; Anstz für die y-koordinte; Lösung des Gleichungssystems; y-koordinte b) Anstz für die Gleichung der Ebene durch die Punkte A, B t, C t ; Gleichung der Ebene; Punktproben für B t und C t c) Nchweis der Gleichschenkligkeit; Anstz für den Richtungsvektor der Winkelhlbierenden; Nchweis der Prmeterunbhängigkeit des Richtungsvektors; Gleichung der Winkelhlbierenden d) Länge der Grundseite des Dreiecks; Länge der Höhe des Dreiecks; Wert t 5 BE BE BE BE 5 BE Erwrtungsbild zu Aufgbe B: Anlyt. Geometrie/lin. Algebr ) Ebene E : 5z = 5 Einsetzen von P(5; 7 ; 7) liefert: 0 5 = 5 w. A. P E 9

50 Schsen Abstnd der Punkte P und Q: d = = - = 0,5 Q(5; 7; 7): ( 7) 5 + (5 5) = = 0 lso = b) 8 g: = 9 + r (r R) g E : (8 + r) 5( + r) = 5 r = Aus der Gleichung von g folgt mit r = : R(5; ; ). Flächeninhlt der Grundfläche PQR: E D ist die senkrechte Ebene zu PQ durch R. F ist der Fußpunkt des Lotes von R uf PQ. 0 = RF PQ = ( 5) 0 + (y + ) - + (z ) 0 y = Die Gleichung der Ebene E D lutet demnch: y =. Lotfußpunkt F: E D g(pq) g(pq): = + t ; Aus y = folgt t =. Dmit ergibt sich F(5; ; 7) 7 0 Abstnd der Punkte R und F: d = 0 + = 9 Flächeninhlt des Dreiecks PQR: A = PQ RF = - 9 = ,5 Lösungsvrinte: A = PQ PR sin( PQ, PR ) = 0,5 0,5 6,5 sin5,7 56,5 Die Gerde l verläuft durch S und steht senkrecht zu E. l: = + t 0 (t R), d 0 Normlenvektor von E ist. 5 5 Der Lotfußpunkt L des Lotes vom Punkt S uf die Ebene E ist der Schnittpunkt der Gerden l mit der Ebene E. l E : ( + t) 5( 5t) = 5 t = lso L(0; ; ) Die Höhe der Pyrmide ist gleich dem Abstnd der Punkte L und S. d(l, S) = ( 5) = 9 Lösungsvrinte: Höhe der Pyrmide = Abstnd des Punktes S von E 5 d(s, E ) = ( 0 ) e n = 7-0 =