Grundwissen am Ende der 9. Jahrgangsstufe. Wahlpflichtfächergruppe I

Transkript

1 Grundwissen m Ende der 9. Jhrgngsstufe Whlpflichtfächergruppe I Ssteme linerer Gleichungen mit zwei Vriblen lösen Qudrtische Gleichungen: Lösungsformel, edeutung der Diskriminnte, Koordinten der Schnittpunkte von Funktionsgrphen, Tngentilprobleme In der Menge R der reellen Zhlen rechnen Definition der Qudrtwurzel kennen und nwenden Einfche Termumformungen mit Qudrtwurzeln Grphen und Eigenschften von qudrtischen Funktionen, Scheitelform Gleichungen von Prbeln ermitteln, Prmeterverfhren Flächeninhlte ebener Figuren insbesondere uch mithilfe zweireihiger Determinnten Umfng und Flächeninhlt von Kreisen, Mntel- bzw. Oberfläche und Volumen von Prismen, Prmiden, gerden Kreiszlindern und Kreiskegeln sowie von Kugeln bbildung durch zentrische Streckung nwenden Streckenlängen mit dem Vierstreckenstz bestimmen erechnungen mithilfe von Vektoren Ähnlichkeit von Dreiecken Mithilfe der Flächensätze m rechtwinkligen Dreieck Streckenlängen berechnen

2 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/ M 9. Ssteme linerer Gleichungen mit zwei Vriblen Einen usdruck der Form x + b = c x + b = c nennt mn lineres Gleichungssstem. Zur estimmung der Lösungsmenge bieten sich zwei Verfhren n:. Gleichsetzungsverfhren. Einsetzungsverfhren x + = x + 0 = 0 x + + = 0 x + = 0 = x + x = = x x + = 0 Gleichsetzen der Rechtsterme: Einsetzen der I. in die II. Gleichung: x + = x ( ) + = 0 x = 0 + = 0 7 = = Einsetzen in Gleichung I: Einsetzen in Gleichung I: = + = x = = IL = { ( ) } IL = { ( )} ufgben: estimme die Lösungsmenge folgender linerer Gleichungsssteme und deute ds Ergebnis geometrisch. ) x = 9 c) x +,6 = 0,8 7 + x = 0 + x +, = 0 c) 7, = x d) x + = 6 = x + = x

3 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/ M 9. Erweiterung des Zhlenbereichs: Die Menge R der reellen Zhlen Irrtionle Zhlen Irrtionle Zhlen sind Zhlen, die sich nicht in ruchform drstellen lssen (unendlich lnge, nicht periodische Dezimlbrüche). Reelle Zhlen Die Menge R der reellen Zhlen besteht us den rtionlen und den irrtionlen Zhlen. In R gelten die beknnten Rechengesetze. Wurzeln, Rechenregeln für Wurzeln heißt Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ). Dbei ist der Rdiknd. Die Wurzel ist durch Für, b R + 0 gilt: = für > 0 definiert. b = b (Produktregel) = mit b 0 (Quotientenregel) b b ² b = b (teilweises Rdizieren) b = = b (b 0) b b b b b c b c = = b + c b + c b c b c² (Nenner rtionl mchen) ufgben: (Hinweis: lle vorkommenden Vriblen stehen für positive rtionle Zhlen) ) Vereinfche soweit wie möglich: ² 8b ; 9² ; 8b ² b) Multipliziere us und vereinfche: ( b b c + b³ ) b ; ( + 7 ): c) Mche den Nenner rtionl und vereinfche: 6 ² ; ; ; ³ + ; ;

4 M 9. Qudrtische Funktionen GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/ Qudrtische Funktionen Qudrtische Funktionen hben Gleichungen der Form = x + bx + c;, b, c R, 0 mit G = R x R und D = R Die Grphen sind Prbeln, deren Form und Öffnung von bhängt > 0 Öffnung nch oben < 0 Öffnung nch unten < gestuchte Prbel = Normlprbel > gestreckte Prbel Jede Prbel besitzt eine Smmetriechse, diese schneidet die Kurve im Scheitelpunkt S mit S b b c Die Gleichung = (x x S ) + S ist die Scheitelform der Prbel mit dem Scheitelpunkt S(x S S ) eispiel: Die Funktion f mit = x 6x + ist gegeben. Der Grph ist eine gestreckte nch oben ( ) geöffnete Prbel mit dem Scheitel S 6 6 = S(,,) D = R; W = {,}; Scheitelform: = (x,), Wurzelfunktion: Die Wurzelfunktion ist die Umkehrung der qudrtischen Funktion. Sie besitzt eine Gleichung der Form =, b, c R; (x + b) 0 eispiel: f mit = x 6x + ; S( ) f: = (x ) + f : x = ( ) + ; f : (x ) = ( ) f : = (x ) + Prbelschren: eispiel: p(): = x x + + ; (x + b) + c Eine Prbelschr besteht us Prbeln mit gemeinsmen Eigenschften. Sie werden durch eine Funktionsgleichung beschrieben, die einen Prmeter enthält. Die Scheitelpunkte der Schrprbeln liegen uf einem Trägergrphen. S + Trägergrph p T der Scheitelpunkte: x = = + + (x) = x = + (x) + p T : = x + x + ufgbe: ) erechne die Scheitelkoordinten der Prbel p: = x x + und zeichne p. b) Die Prbel p: = x 6 + x wird mit verschoben. Ermittle die Gleichung von p. c) Gegeben ist die Funktion f mit = 0,x + x. Gib die Gleichung der Umkehrfunktion f, sowie Definitions- und Wertemenge von f n. d) Die Prbelschr p(b) mit = x + bx b + b ist gegeben. Zeichne die Schrprbeln. für b { ; 0; } und gib die Gleichung des Trägergrphen der Scheitelpunkte von den Schrprbeln n.

5 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/ M 9. Qudrtische Gleichungen und Ungleichungen Qudrtische Gleichung Eine Gleichung, bei der die Vrible im Qudrt vorkommt, heißt qudrtische Gleichung. Eine qudrtische Gleichung der Form x² + bx + c = 0 mit 0 knn mit der Lösungsformel gelöst werden. b + b² c b b² c Es gilt: L = ; Mithilfe des Terms b² c knn mn erkennen, ob die qudrtische Gleichung eine, zwei oder keine reelle Lösung ht. Dieser Term heißt Diskriminnte D. D = b²c D > 0 zwei reelle Lösungen D = 0 eine reelle Lösung D < 0 keine reelle Lösung Qudrtische Ungleichung Eine Ungleichung der Form x² + bx + c < > 0 mit 0 heißt qudrtische Ungleichung. esteht die Lösungsmenge einer qudrtischen Ungleichung us einem oder zwei Intervllen, so erhält mn die Intervllgrenzen ls Lösungsmenge der zugehörigen qudrtischen Gleichung. Wurzelgleichungen Gleichungen, bei denen die Vrible unter einer Wurzel steht, heißen Wurzelgleichungen. Werden Wurzelgleichungen durch Qudrieren gelöst, ist eine Probebelegung unbedingt notwendig. ufgben:. estimme die Lösungsmenge. G = R. ) x² + 8x + = 0 b) x² 8x + = 0 c),x² + x + = 0. estimme R so, dss die Gleichung genu eine Lösung besitzt. G = R. x² + x + = 0. Zeige dss die Gerde g: = x + 0,7 eine Tngente n die Prbel p: = x² 6x + 7 ist.. Die Digonlenlängen einer Rute unterscheiden sich um, cm. erechne die Längen der Digonlen, wenn der Flächeninhlt,7 cm² beträgt.

6 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/ M 9. Ssteme mit qudrtischen Gleichungen Gleichungsssteme mit qudrtischen Gleichungen enthlten mindestens eine Gleichung, deren Vrible im Qudrt steht. Zur rechnerischen Lösung werden ds Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder dditionsverfhren genutzt. Dbei ergibt sich gewöhnlich eine qudrtische Gleichung. Deren Diskriminnte D entscheidet über die nzhl der Lösungselemente. Prbel und Gerde eim Schnitt einer Prbel mit einer Gerden treten die folgenden Fälle uf: D > 0 Seknte D = 0 Tngente D < 0 Pssnte Gerden prllel zur -chse des Koordintensstems hben stets nur einen Schnittpunkt mit der Prbel gemeinsm. Prbel und Prbel - D > 0 D = 0 D < 0 ufgben:. Ermittle die Schnittpunktskoordinten von ) p : = (x ) + und g : = x b) p : = x + x und p : = x + 6x + c) p : = x + x und g : = x +. Für welchen Wert des Prmeters liegt eine Tngente vor? p : = x + x + und g() : = x +. Für welchen Wert des Prmeters berührt die Gerde g die zugehörige Schrprbel? g : = x + und p() : = (x )

7 Prllelogrmm: eispiel: Dreieck: h h g M 9.6 Flächeninhlt ebener Vielecke GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/6 Der Flächeninhlt eines Prllelogrmms ist gleich dem Produkt us einer Seitenlänge und der zugehörigen Höhe. Prllelogrmm = g h Im krtesischen Koordintensstem ist der Flächeninhlt uch der etrg der Determinnte, die durch die ufspnnenden Vektoren und b gebildet wird. = Prlle log rmm Ds Prllelogrmm CD ht die Koordinten ( ), (7 ), D( ). erechne die Vektoren (diese müssen vom gleichen Punkt usgehen): 7 ( ) 8 = =, ( ) D = = 8 CD = FE = (8 ( ) ( )) FE = 6 FE g x b b x Der Flächeninhlt eines Dreiecks ist gleich dem hlben Produkt us einer Seitenlänge und der zugehörigen Höhe. Dreieck = g h Im krtesischen Koordintensstem ist der Flächeninhlt uch dem hlben etrg der Determinnte, die durch die ufspnnenden Vektoren und b gebildet wird. x bx Dreieck = b eispiel: Im Dreieck C beträgt die Länge der Seite = 8 cm und der Flächeninhlt = 6cm. erechne die Länge der zugehörigen Höhe h. = h ; 6cm 6cm = 8cm h h = = 9cm 8cm Trpez: c h Der Flächeninhlt eines Trpezes ist gleich dem hlben Produkt us der Summe der prllelen Grundlinien und der Höhe. Trpez = ( + c) h eispiel: Die Grundlinien im Trpez CD sind 7cm und cm lng. erechne den Flächeninhlt bei einer Höhe von 8,cm. = (7cm + cm) 8,cm = 6,7cm Drchenviereck: Rute e f Der Flächeninhlt eines Drchenvierecks oder einer Rute ist gleich dem hlben Produkt us den Längen ihrer Digonlen. = e f ufgbe: ) erechne den Flächeninhlt des Prllelogrmms CD mit g = 7 cm, h = cm. b) erechne den Flächeninhlt des Prllelogrmms CD mit ( ), (6 0), C( 7). erechne die Koordinte des Punktes D. c) erechne den Flächeninhlt des Dreiecks C mit ( ), (6 0), C( 7). d) In einem Drchenviereck mit = cm ist eine Digonle dreiml so lng wie die ndere. erechne die Längen der beiden Digonlen.

8 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9I/7 M 9.7 bbildung durch zentrische Streckung bbildungsvorschrift ei einer zentrischen Streckung mit Streckungszentrum Z und Streckungsfktor k 0 wird jedem Punkt P ein ildpunkt P so zugeordnet, dss gilt: P ZP und ZP' = k ZP bbildungseigenschften Ds Streckungszentrum ist der einzige Fixpunkt. Die zentrische Streckung ist gerden- und winkeltreu. Die zentrische Streckung ist verhältnis- und kreistreu. Ur- und ildgerde verlufen prllel. Vierstreckensätze Z' Z' = = Z Z ' ' Z Z Multipliktion eines Vektors mit einer Zhl x k k = k = k Z(x );k x' x Z Z Z x x Z bbildungsgleichung P(x ) P'(x' ' ) = k ' Z Z x Ähnlichkeitssätze Dreiecke sind ähnlich, wenn sie - im Verhältnis der Längen der drei Seiten übereinstimmen. (sss) - im Verhältnis der Längen von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. (sws) - im Verhältnis der Längen von zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. (ssw g ) - in zwei Winkeln übereinstimmen. (ww) Z;k ufgben: ) C ' ' C' mit ( ), ( ), C(0 6), ( ), C (x C 0) Zeichne die beiden Dreiecke, berechne k und die Koordinten von C, Z,. b) eschreibe dem Dreieck C von ufgbe ) ein Qudrt DEFG ein mit [DE] [], F [C], G [C]. c) erechne die Schwerpunktkoordinten vom Dreieck C us ufgbe ). Z( );k= d) p : = x x + p'. erechne die Gleichung von p. e) = 8cm; E = cm; FG =, cm; F F = 9cm; CG =, cm; C = xcm; D = cm; G = zcm; F CG D erechne x,, z. G E f) Welche der folgenden Dreiecke sind ähnlich? C C C C C C 6 6 C 6 = 6 cm = 7 cm α = 0 = cm ß = 0 6 =,cm b = 8 cm b = cm ß = 90 b = 7 cm γ = 0 c 6 = cm c = 9 cm γ = 70 c = 8 cm ß 6 = 70

9 Grundwissen Mthemtik 9I/8 M 9.8 Flächensätze m rechtwinkligen Dreieck rechtwinkliges Dreieck Hpotenuse: Die Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Ktheten: Die Dreiecksseiten, die den rechten Winkel bilden. Hpotenusen- Die Teilstrecken, in die der Fußpunkt der Höhe bschnitte die Hpotenuse teilt. Höhenstz C h q p h = q p In einem rechtwinkligen Dreieck ist ds Rechteck us den Hpotenusenbschnitten flächengleich zu dem Qudrt über der Dreieckshöhe. Kthetensätze b C 90 c q b = c q = c p In einem rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt über einer Kthete flächengleich zu dem Rechteck, ds us dem n dieser Kthete nliegenden Hpotenusenbschnitt und der Hpotenuse selbst entsteht. Stz von Pthgors C b c + b = c In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhlte der Kthetenqudrte gleich dem Flächeninhlt des Hpotenusenqudrtes. wichtigeformeln Digonle im Qudrt: d = Höhe im gleichseitigen Dreieck: h = etrg eines Vektors v : v = v x + v Entfernung zweier Punkte: = ( x x ) + ( ) ufgben: ) Ds Dreieck C ist rechtwinklig bei C mit = cm, b = 7cm (h = cm, b = 6cm). Zeichne ds Dreieck und berechne c, q, p, h (, c, q, p) b) Zeichne ds Viereck CD mit = cm, D = cm, C = 9cm, α = δ = 90. erechne die Längen CD und D und den Flächeninhlt vom Viereck. c) Gegeben ist ds Dreieck C mit ( ), ( 0), C(6 ). Überprüfe rechnerisch, ob ds Dreieck gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig ist. erechne den Umfng. d) Gegeben sind die Punkte ( ) und n (x 0,x + ). erechne n (x), min. Für welchen x-wert wird die Strecke [ n ] 0 cm lng?

10 Grundwissen Mthemtik 9I/L Lösungen 9I/ ) IL = {(( )}; Die beiden Gerden schneiden sich in S( ). b) IL = {( 0, 0,)}; Die beiden Gerden schneiden sich in S( 0, 0,). c) {(x ) x+=7,}; Die beiden Gerden sind identisch. d) IL = ; Die beiden Gerden sind zueinnder prllel. 9I/. ) 8b b = ; = b ; 8 b² = b 9² b) ( b b c + b³ ) b = 0b 0 bc ; ( + 7 ): = ² c) = ; = ; = ( ) ; = ( + ) ³ + = + 9I/ ) S( ) b) p : = x 9x + 6 c) f : = x + 9 ; D = {x x, } ; W = { ³ } d) S(b b); g T : = x 9I/.) L = { 6; } b) L = c) L = { ; }. =. x 6x + 7 = x + 0,7 x x + 6, = 0 D = 6, = 0 Tngente. Die Digonlen sind, cm und 7 cm lng. 9I/.) S ( ); S ( ) b) p und p schneiden sich nicht. c) p und g berühren sich in ( ). = 0,7. Es gibt keinen Wert für, so dss g Tngente wäre.

11 9I/6 ) = cm b) = 7 cm ; D( 9) c) =, cm d) e = 6 cm; f = 8 cm 9I/7 ) k = 0,; C (6 0); Z( ); (7,,) b) 6 C c) x = ; = 0; z = 0, d) C ~ C (sss) C ~ C (ww) C ~ 6 6 C 6 (sws) I/8 ) c = 8,6 cm; p =,9 cm; q =,7 cm; h =,07 cm (q =,7 cm; p =,8 cm; c = 8,0 cm; =,7 cm) b) CD = 8,6cm; D = 6,0cm D C c) = 9cm =,9cm; C = 9cm =,9cm; C = 8cm = 7,6cm Ds Dreieck C ist gleichschenklig und rechtwinklig. Umfng u = 8,9cm d) (x) =,x x + 8cm; =,0cm für x =, min = 0 cm für x = 7 oder x = 9,9