Die Formelsammlung: Meine Mathematische Werkzeugkiste Formel, Skizze Formel, Skizze Beispiel(e)

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1 1. Rechenvorteile, Rechengesetze Summnd 12 plus Summnd 4 ist gleich dem Wert der Summe: 46. Minuend 10 minus Subtrhend 7 ist gleich dem Wert der Differenz: Dividend 10 geteilt durch Divisor 4 ist gleich der Wert des Quotienten: 2,5 Fktor 20 ml Fktor,5 ist gleich der Wert des Produkts: 70 +z +b = +b +z z b = b z (z+)+b= z+(+b) (z ) b = z ( b) (x + y) = x + y oder uch: (x+y+z)=x+y+z x + z = (x + z) und sogr uch: x+y-z= (x+y-z) Alle Summnden ddieren bestimmt den WERT einer Summe. Vom Minuenden den Subtrhenden bziehen bestimmt den WERT einer Differenz. Beide Zhlen dividieren bestimmt den WERT des Quotienten. Alle Fktoren multiplizieren bestimmt den WERT eines Produkts. Summnden können bei ihrer Berechnung beliebig vertuscht werden. Dies ist die Tuscherlubnis beim Addieren und der Fchusdruck lutet KOMMUTATIV- GESETZ für Summen. Fktoren können bei ihrer Berechnung beliebig vertuscht werden. Dies ist die Tuscherlubnis beim Multiplizieren oder uch ds KOMMUTATIVGESETZ bei Produkten. Summnden können bei ihrer Berechnung beliebig vorgezogen werden. Dies ist die Vorzieherlubnis beim Addieren und der Fchusdruck lutet ASSOZIATIV- GESETZ für Summen. Bestimmte Fktoren können bei ihrer Berechnung beliebig vorgezogen werden. Dies ist die Vorzieherlubnis beim Multiplizieren oder uch ds ASSOZIATIVGE- SETZ bei Produkten. Ein Produkt, bei dem ein Fktor eine Zhl oder Vrible ist und der ndere Fktor eine Summe (x+y) ist, drf wie folgt 'usgepckt' geschrieben werden: Der Fktor wird mit jedem Summnden in der Klmmer multipliziert. Dieses 'Auspcken' heißt AUSMULTIPLI- ZIEREN. Eine Summe, deren Summnden die Produkte der Form x und y ufweisen dürfen uch 'eingepckt' geschrieben werden: Der Fktor wird jeweils vor die Klmmer geschrieben und in der Klmmer bleibt die Summe x+y. Dieses in Klmmern 'Pcken' heißt AUSKLAMMERN = = 10 : 4 = 2,5 20,5 = 70, ,8 =,2 + 0, = = , 2 = 5 2 4, = 10 4, = 4 (1,56+2,2) + 0,8 = 1,56 + (2,2+ 0,8) = 1,56 + = 4,56 (,2 2,5) 4 =,2 (2,5 4) =,2 10 = 2 4,1 (10 + 2) = 4, ,1 2 = ,2 = 49,2 oder: 1,5 (20+2+0,01) =1,5 20+1,5 2+1,5 0,01=,15,6 5, +,6 4,7 =,6 (5,+4,7) oder: 9,9 1,1+9,9,1-9,9 2,2 = 9,9(1,1+,1-2,2) = 9,9 2 Nme: Mthemtische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 1

2 2. Brüche b x y = x b y b + x y = y b y + b x b y b : x y = b y x = y b x Zähler ml Zähler und Nenner ml Nenner berechnet ds PRODUKT (die Multipliktion) von zwei Brüchen. Beide Nenner zunächst gleichnmig mchen, die neuen Zähler ddieren, doch den gleichnmigen Nenner übernehmen berechnet die SUMME (die Addition) von zwei Brüchen. Vom zweiten Bruch den Kehrwert bilden, nun ber diesen neuen zweiten Bruch mit dem ersten Bruch multiplizieren berechnet die DIVISION (den Quotienten) von zwei Brüchen = = = = = : 5 2 = =16 15 = Qudrtwurzeln b z= b z +2 + =(1+2+) =6 x=z mit z ²=x x=z mit z ³=x x ² z=x z Mehrere Rdiknden innerhlb eines Wurzelzeichens multipliziert ist die geschickte Umformung eines PRO- DUKTS von Wurzeln. Gleiche Wurzeln, die sich in ihrer Häufigkeit unterscheiden dürfen, knn mn durch Ausklmmern geschickter schreiben. Gleiche Wurzeln drf stets mn so ZUSAMMENFASSEN. Gesucht ist diejenige positive Zhl z, die qudriert (z²) genu den Rdiknden innerhlb der Wurzel ergibt. Diesen Vorgng nennt mn WURZELZIEHEN (oder Rdizieren). Gesucht ist diejenige positive Zhl z, die dreiml mit sich selbst multipliziert (z³) den Rdiknden innerhlb der Wurzel ergibt. Diesen Vorgng nennt mn ds Ziehen DER DRITTEN WURZEL (Kubikwurzel). Findet mn in der Produktform des Rdiknden einer Qudrtwurzel eine Qudrtzhl oder eine qudrierte Vrible, so knn mn diese vor die Wurzel ziehen. Diesen Vorgng nennt mn TEILWEISE WURZELZIEHEN = = = = =4 6=6 49 x ²=7 x 64=4 8 x ³=2 x 75 x ² y= 25 x ² y =5 x y 4. Mittelwerte Summe derwerte m= Anzhl der Werte Alle Zhlen ddieren (ihre Summe) und durch ihre Anzhl dividieren bestimmt den MITTELWERT m. m= = =4 Nme: Mthemtische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 2

3 5. Flächeninhlte von Figuren A = m h oder A = ½ (+c) h A = h A = ½ g h u = +b+c A = b A = ² Der Mittelwert m (Länge der Mittelprllele m) der beiden prllelen Seiten und c, multipliziert mit der Höhe h bestimmt den FLÄCHENINHALT A eines Trpezes. Die Länge einer Seite ml zugehörige Höhe h bestimmt den FLÄCHENINHALT A eines Prllelogrmms. Die hlbe Länge der Grundseite g ml der zugehörigen Höhe h bestimmt den FLÄCHENINHALT A eines Dreiecks. Die Länge der drei Seiten, b, c ddiert bestimmt den UMFANG u eines Dreiecks. Die Länge ml Breite b ergibt den FLÄCHENINHALT A eines Rechtecks. Ds Qudrt der beiden gleich lngen Seiten: ergibt den FLÄCHENINHALT A eines Qudrts. A= ½ (4+6) 7 cm² = 5cm² A = 4 4,5 cm² = 18 cm² A = ½ 7 8 cm² = 28 cm² u = (2++4)cm= 9cm A = 4,5 cm² = 14 cm² A = 1,5² cm² = 2,25 cm² 6. Binomische Formeln (+b)(x+y) = x+y+bx+by (+z)²=²+2z+z² Ds Produkt zweier Summen (+b)(x+y) lässt sich nch dem Prinzip 'jeden Summnd vom 1.Fktor ml jeden Summnd vom 2. Fktor' in eine SUMME umformen. Der Flächeninhlt eines Qudrts mit Seitenlänge, dessen beide Seiten mn um z verlängert, knn uch in Summenform ls ² plus dem verdoppelten Produkt von und z und plus z² schreiben. Dies ist die 1. BINOMISCHE Formel. (5+x)(+z) = 15+5z+x+xz (4-)(7-) = ² = ² (4+x)² = 4² x +x² = x + x² (-z)² = ² 2z+z² Der Flächeninhlt eines Qudrts mit Seitenlänge, dessen beide Seiten mn um z verkürzt, knn mn uch in Summenform ls ² minus dem verdoppelten Produkt von und z und plus z² schreiben. Dieses verkleinerte Qudrt ist die Anschuung für die 2. BINOMISCHE Formel. (5 y)² = 5² 2 5 y +²y² = 25 0y + 9y² (+z)(-z) = ² z² Der Flächeninhlt eines Qudrts mit Seitenlänge, dessen eine Seiten mn um z verkürzt und die ndere um z verlängert, knn uch dditiv ls ² minus z² geschrieben werden. Der Flächeninhlt des sich jetzt ergebenden Rechtecks ergibt sich us de. BINOMISCHE Formel. (7 x)(7+x) = 7² ²x² = 49 9x² Nme: Mthemtische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite

4 7. Prozent und Zinsrechnung W = G p% q = 1 + p% Der Grundwert ml dem Prozentstz bestimmt den PROZENTWERT W. Die Zhl 1 plus dem Prozentstz bestimmt den VERÄNDERUNGSFAKTOR q für den vermehrten Grundwert G+. W = 75 10% = 7,50 q=1+5%=1,05 q = 1 p% Die Zhl 1 minus dem Prozentstz bestimmt den VERÄNDERUNGS FAKTOR q für den verminderten q=1-7%= 0,9 Grundwert G.. Z = K p% Ds Kpitl multipliziert mit dem Zinsstz bestimmt den Betrg der ZINSEN Z für ds gnze Jhr. Z = % Z = : 100 Z = 240 =K 0 q 1 q 2 q q n = K 0 q n u = 4 G + = G q G = G q Z = K p% t/60 Ds Anfngskpitl, multipliziert mit den verschiedenen Wchstumsfktoren ergibt ds ENDKAPITAL Kn beim Zuwchsspren. Ds Anfngskpitl, multipliziert mit dem mit hoch n potenzierten Wchstumsfktor (n ist die Anzhl der Jhre), ergibt ds ENDKAPITAL Kn und dies ist die Zinseszinsformel. Die gesmte Länge der 4 gleich lngen Seiten ergibt den UMFANG u eines (einer) Qudrts (Rute). Ein Grundwert ml seinem Veränderungsfktor bestimmt den VERMEHRTEN oder verminderten Grundwert G+ bzw. G. Ds Kpitl multipliziert mit dem Zinsstz multipliziert mit dem Bruch des Zeitfktors (Tgnzhl / 60) bestimmt die TAGESZINSEN Z. = 80 1,0125 1,05 1,2 = 102,06 = ,05 8 = 1477,46 u = 4 cm = 12 cm G + = 100 1,1 = 110 G = 100 0,9 = 90 Z = 720 2% 40/60 Z = 1,60 8. Kreisflächen A = π r² u = π d u = 2 π r Die Kreiszhl multipliziert mit dem qudrierten Rdius, ergibt den FLÄCHENINHALT A eines Kreises. Die Kreiszhl ml dem Durchmesser ergibt den UMFANG u eines Kreises. A=π 4² cm²= π 16 cm² A,14 16 cm²= 50,24 cm² u = π 4 cm u,14 4 cm = 12,56 cm Nme: Mthemtische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 4

5 9. Volumen und Oberfläche von Körpern V = ³ oder V = O = 6 ² V = b c Länge, Breite und Höhe dieses Körpers sind gleich groß, dher bestimmt mn us der Seitenlänge hoch drei (dreiml die Seitenlänge multiplizieren) ds VO- LUMEN V eines Würfels. Ds 6-fche der qudrierten Kntenlänge: bestimmt die OBERFLÄCHE O eines Würfels. Länge ml Breite b ml Höhe c bestimmt ds VO- LUMEN V eines Quders. V = cm³ V = 11 cm³ O = 6 4² cm² = 96 cm² V = 4 2,5,5 cm³ = 5 cm³ O=2( b+ c+b c) Die Summe ller drei Einzelprodukte der drei Seitenlängen, b und c (lso: b+c+bc), ds lles nochml verdoppelt bestimmt die OBERFLÄCHE O eines Quders. V= π r² h Die Kreiszhl multipliziert mit dem qudrierten Rdius, multipliziert mit der Höhe ergibt ds VO- LUMEN V eines Zylinders. O= 2π r² +2π r h Die Grundfläche und Deckfläche dieses Körpers ist kreisförmig. Die verdoppelte Kreiszhl multipliziert mit dem qudrierten Rdius bestimmt beider Flächeninhlt. Addiert mn noch die Mntelfläche ls verdoppelte Kreiszhl multipliziert mit dem Rdius r und der Körperhöhe h erhält mn die OBERFLÄCHE O eines Zylinders. V= ⅓ π r² h Die gedrittelte Kreiszhl multipliziert mit dem qudrierten Rdius, multipliziert mit der Höhe ergibt ds VOLUMEN V eines Kegels. O= π r² +π r s Die Grundfläche dieses Körpers ist kreisförmig. Die Kreiszhl, multipliziert mit dem qudrierten Rdius ist der Flächeninhlt der Grundfläche. Addiert mn noch die Mntelfläche durch Kreiszhl multipliziert mit dem Rdius r und der Seitenlinie s erhält mn die OBERFLÄCHE O eines Kegels. V= 4/ π r³ Die mit dem Bruch 4/ multiplizierte Kreiszhl:, dreiml multipliziert mit dem Rdius (bzw. Rdius hoch drei: ) ergibt ds VOLUMEN V einer Kugel. V= 4 π r² Die 4fche Kreiszhl, multipliziert mit dem qudrierten Rdius ergibt die OBERFLÄCHE O einer Kugel. V= ⅓ ² h Bei diesem Körper ist die Grundfläche qudrtisch. Der dritte Teil der qudrierten Seitenlänge: ⅓ multipliziert mit der Höhe ergibt ds VOLUMEN V einer qudrtischen Pyrmide. O= ² +2 h s Die Grundfläche dieses Körpers ist qudrtisch. Die qudrierte Seitenlänge ddiert mit der mit ver- VIERfchten Fläche einer einzelnen Dreieckseite (hlbe Grundseite ml Höhe hs), lso ergibt die OBERFLÄCHE O einer qudrtischen Pyrmide. O = 2 ( )cm² O = 52 cm² V = π 4² 10 cm³ = 160 π cm³ V 160,14 cm³ = 502,4 cm³ O = 2π,5² cm² + 2π,5 10 cm² O = 24,5π cm² +70π cm² O = 94,5π cm² O 94,5,14 cm² = 296,7 cm² V = ⅓ π ² 10 cm³ = ⅓ π 90 cm³ V 0,14 cm³ = 94,2 cm³ O = π 6² cm² + π 6 10 cm² = 6π cm² + 60π cm² = 96π cm² O 96,14 cm² = 01,44 cm² V = 4/ π ³ cm³ = 4/ π 27 cm³ V 4,14 9 cm³ = 11,04 cm³ V = 4π 5² cm²= 100 π cm² V 4,14 25 cm² = 14 cm² V = ⅓ 5² 12 cm³ V = ⅓ cm³ V = 100 cm³ O = 5² cm² cm² O = 25 cm² cm³ O = 125 cm³ Nme: Mthemtische Formeln in Textform und in Beispielen (Kreutzer) Seite 5