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2 4 Inhlt Info zum Buch A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Potenzen mit gnzzhligen Exponenten 6 Normdrstellung von Zhlen 8 Polynomdivision 9 4 Wurzelterme 5 Der Zusmmenhng zwischen Potenzen und Wurzeln B Rechnen mit Logrithmen Logrithmen 5 Die Logrithmusgesetze 6 C D Terme und Gleichungen Potenzgleichungen 9 Wurzelgleichungen 0 Exponentilgleichungen 4 Logrithmische Gleichungen 5 Funktionen Potenzfunktionen mit ntürlichen Exponenten 7 Exponentilfunktionen Logrithmusfunktionen 4 E Wchstum und Zerfll Allgemeines über Wchstums- und Zerfllsvorgänge 7 Linere Wchstums- und Zerfllsprozesse 7 Exponentielle Wchstums- und Zerfllsprozesse 9 4 Begrenztes Wchstum 4 5 Logistisches Wchstum 45 6 Weitere Modelle für Wchstumsvorgänge 47 F Kreis- und Körperberechnung Kreise und Kreisteile 50 Quder, Prism, Zylinder 5 Pyrmide und Kegel 54 4 Die Kugel 57

3 Inhltsverzeichnis 5 G Whrscheinlichkeiten Grundbegriffe der Whrscheinlichkeitsrechnung 60 Whrscheinlichkeitsverteilungen 6 Urnenmodelle und Anzhlen 64 4 Bumdigrmme und Pfdregeln 67 5 Zusmmengesetzte Ereignisse 7 H Test-Arbeiten Proberbeit 76 Proberbeit 78 Proberbeit 80 Lösungen Lösungen zu Kpitel A 8 Lösungen zu Kpitel B 89 Lösungen zu Kpitel C 9 Lösungen zu Kpitel D 99 Lösungen zu Kpitel E 05 Lösungen zu Kpitel F Lösungen zu Kpitel G 0 Lösungen zu Kpitel H 9

4 6 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Potenzen mit gnzzhligen Exponenten () n (für r;n n) heißt n-te Potenz von. n-fktoren Wissen () () 0 (für 0) (4) n (für 0) n n Bsis Exponent Für, b r; 0; b 0 und m, n z gelten die Potenzgesetze: gleiche Bsen (P) m n m n (P) m n n gleiche Exponenten (P) n b n ( b) n (P4) b n n ( ) n m b Potenz einer Potenz (P5) ( m ) n m n Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W Vereinfche mithilfe der Potenzgesetze und berechne. ) () () b) (4) 0,5 c) ( ) ( ) 4 ( 9 4) d) ( ) 5 ( 4 ) 5 W Wende die Potenzgesetze n (, b, x, y 0). ) x 4 x 5 x b) (y 4 ) :y 5 c) ( b ) W Vereinfche so weit wie möglich (, x 0). ) (5x 5 5x 4 ) : (5x ) b) ( 4 ) Binomische Formeln: ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b W4 Multipliziere us und vereinfche (u, x 0). ) (x y 4 ) b) ( x 4 x ) c) (u v) (u v) Musterufgbe Vereinfche die folgenden Terme so weit wie möglich. Der Nenner sei jeweils ungleich Null xy (4z 9) ) b) 7 ( 6 8 ) ( xyz xy) x

5 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln ) 7 ( 6 8) 4 4 ( 6 4) ( ) 4 ( ) ( ) Lösungen xy b) ( 4z 9) ( xyz xy) x x y( (z) ) x xy ( z y (z ) (z ) ) x xy (z ) x x y (z ) (z ) y (z ) (z ) x y. Vereinfche so weit wie möglich (, b, c 0). ) 5 ( ( 9b bc) c) b) c) 4 ( 7b) (9 b) Prüfungsufgben. Schreibe ls Produkt (n n). ) x 4 8x 6 b) x n x n x n c) x n 4x n c) 9x n 6x n x n. Vereinfche (x 0). Der Nenner sei jeweils ungleich Null. ) x n x n b) xm 4 xn xn xm x m 4 4 c) x n x n 4. Vereinfche (, b, x, y 0). Alle Nenner seien ungleich Null. ) b (b) ( b ) b) ( x y ( y x) ) : x y ( xy) c) d) b b b Bei dem Produkt x y mit x 0 und y 0 werde der Fktor x um 0 % reduziert.um wie viel Prozent muss der Fktor y erhöht werden, dmit der Wert des Produktes gleich bleibt? 6. Die Abbildung zeigt eine Folge von Qudrten. Die Seitenmitten jedes Qudrtes dienen ls Eckpunkte des nächst kleineren Qudrtes. Ds größte Qudrt ht die Seitenlänge 64 cm. ) Gib die Seitenlänge des 4-ten, 5-ten, n-ten Qudrtes n. b) Welches Qudrt ht einen Flächeninhlt von cm? 40 96

6 8 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Normdrstellung von Zhlen Wissen Bei der Normdrstellung (uch wissenschftliche Nottion gennnt) wird eine Zhl ls Produkt geschrieben. Dbei ist der erste Fktor eine Zhl mit genu einer (von Null verschiedenen) Ziffer vor dem Komm; der zweite Fktor ist eine Zehnerpotenz. Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! 0, Nullen Exponent 4 W5 W6 W7 W8 Schreibe ls Potenz der Zhl 0 (Zehnerpotenz). ) b) c) 0,00 d) 0,000 0 Schreibe in der Form z 0, wobei z 9 gelten soll. ) b) 0, c) 4 0,05 d) Gib in Normdrstellung n. ) 500 b) 0,000 5 c) d) Berechne im Kopf. Gib ds Ergebnis in Normdrstellung n. ) 0,0 b) 0,5 c), Musterufgbe Lösungen Die mittlere Entfernung e Erde Sonne beträgt c km. Die Lichtgeschwindigkeit c beträgt im Vkuum c. 0 8 m/s. ) Gib die Entfernung e in der Einheit m in Normdrstellung n. b) Wie lnge benötigt ds Sonnenlicht bis zur Erde? c) Die Strecke, die ds Licht ungehindert innerhlb eines Jhres zurücklegt, wird ein Lichtjhr (Lj) gennnt. Vergleiche diese Strecke mit der Entfernung Erde Sonne. ) e km,5 0 8 km,5 0 m b) Aus c e t folgt t e c. e, 5 0 t m 5 0 s 500 s 8 min 0 s. c 08 m s Ds Sonnenlicht benötigt etw 8 Minuten bis zur Erde. c) Lj s 0 8 m/s 9, m. Lj e 9, , 5 0 mm Ein Lichtjhr entspricht c. dem fchen der Entfernung Erde Sonne.

7 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 9 7. Berechne und gib ds Ergebnis in Normdrstellung n. ) 0, b) (0 ) 5 c) ( 0 ) d) 5, ,04 0 e) 0, , 09 8, 0 0, (4 0 ) 8. Die USA umfssen eine Fläche von ungefähr 9, h. 995 lebten c. 6 Millionen Menschen in den USA. Berechne die zugehörige Einwohnerdichte in Einwohner je km. 9. Die Erde ht eine ungefähre Msse von 5,98 0 t und ein Volumen von etw,08 0 km. Die Sonnenmsse beträgt c., kg, ihr Volumen etw,4 0 7 m. ) Wie viele Erdkugeln ergäben zusmmen die Msse der Sonne, wie viele Erdkugeln ds Volumen der Sonne? b) Vergleiche die mittleren Dichten von Erde und Sonne. 0. Die Stoffmenge mol besteht us c. 6,0 0 Atomen bzw. Molekülen. Ein Silbertom wiegt etw,79 0 g. ) Wie viele g Silber ergeben mol? b) Ein Würfel us Silber, der eine Kntenlänge von cm ht, wiegt c. 0,5 g. Wie viele Silber-Atome enthält solch ein Würfel? Welches Volumen (in m ) steht jedem Silber-Atom drin zur Verfügung? Prüfungsufgben Eingbe von 0 4 m Tschenrechner: EE 4 Vor- Symbol Potenz silbe Gig G 0 9 Meg M 0 6 Kilo k 0 Hekto h 0 Dek d 0 Dezi d 0 Zenti c 0 Milli m 0 Mikro µ 0 6 Nno n 0 9 Polynomdivision Terme der Form n x n n x n x x 0 mit n, n,,, 0 r, n 0 heißen Polynome n-ten Grdes. Wird ein Polynom durch ein nderes dividiert,so spricht mn von einer Polynomdivision. D mn nicht durch Null dividieren drf, sind lle Belegungen von x uszuschließen, für die ds Divisor- Polynom Null würde.geht eine Polynomdivision ohne Rest uf,so knn mn ds Ausgngspolynom ls Produkt us dem Divisor- Polynom und dem Ergebnis-Polynom drstellen. Wissen Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W9 Für welche Belegungen der Vriblen x nehmen die folgenden Polynome den Wert Null n? ) x 9 b) x c) x d) x 8x 6 e) 5x f) x 8 g) x 4 5x 4 h) 0,x 0, x

8 0 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln W0 Multipliziere us und ordne nch bsteigenden Potenzen. ) (x x 4) ( x) b) (0,5x 0,4x ) (x 5x) c) ( b b 4b ) ( b b ) Musterufgbe Führe eine Polynomdivision durch und gib etwige Einschränkungen n. ) (x x 8x ) : (x ) b) 4 6 c) (x 5 x 4x ) : (x ) Lösungen Alle Belegungen, für welche der Divisor Null wird, müssen usgeschlossen werden. ) (x x 8x ) : (x ) x x (für x 0,5) (x x ) 4x 8x D der Divisor (x ) für die (4x x) Belegung x 0,5 zu Null wird, 6x muss x 0,5 gefordert werden. (6x ) 0 b) Wir schreiben den Bruchterm in eine Divisionsufgbe um und ordnen dbei nch bsteigenden Potenzen. ( 6 4) : ( ) (für ) ( ) 6 ( 4) 4 ( 4) 0 c) (x 5 x 4x ) : (x ) x 4 x x (x 5 x ) x x 4x Rest (x x 4x) x (für x ;x ) (x ) 4 In Fll c) hndelt es sich um eine Polynomdivision mit Rest.

9 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. Führe die Polynomdivision durch. Gib die Einschränkungen n. ) (x 8x 4x 5) : (x ) b) 4x 7x 6 4x x c) (u u u ) : (u ) d) ( 4 ) : ( ) e) (0,6,4 x x 0,4) : (0,5 ) f) x x. ) Dividiere (x 4x 4x 6) : (x 4) für x 4. b) Zerlege den Term x 4x 4x 6 in Linerfktoren.. Führe die Polynomdivision durch. Ordne die Glieder zuvor in geeigneter Weise. ) (5x x 0 x ) : (5 x ) b) (5x 5x 0 4x ) : (5x 4) Prüfungsufgben Ein Linerfktor ist ein Fktor der Form (x Zhl). 4. Führe die Polynomdivision durch. ) ( b ) : ( b) b) ( 4 b 4 ) : ( b) 5. Berechne den fehlenden Fktor durch eine Polynomdivision. ) x 4 x 5x 0 ( ) (x ) b) x 5 x x (x ) ( ) c) b b ( ) ( b) 6. Prüfe, ob mn gnz oder teilweise kürzen knn. ) x x 5x 6 für x ; x ( x ) (x ) u b) 4u u 70 für u 5; u ; u (u u 0) (u ) 4 Wurzelterme Es seien r, 0 und n n,n.dnn ist n diejenige nicht negtive Zhl,deren n-te Potenz ergibt.mn nennt diese Zhl die n-te Wurzel us. Sttt schreibt mn meist nur. Es gelten folgende Wurzelgesetze (, b 0; n, m n;n,m ): (W) n n n n b b (W) n b n b (b 0) n (W) ( ) m n m m (W4) n n m m n Wurzelexponent n Wissen Rdiknd

10 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln = heißt uch Qudrtwurzel us, heißt uch Kubikwurzel us. Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W Ziehe teilweise die Wurzel (u 0). u ) 8 b) 54 c) 50 u d) e) 5 00 f) 0, W Vereinfche mithilfe der Wurzelgesetze und berechne. ) , 5 d) e) 0, b) c) 8 Für 0 gilt n n ( n ) n W Fsse so weit zusmmen wie möglich (x 0). ) 4x 9 4 x c) ( 4 6 4) ( ) b) x x x 4 Musterufgbe Lösungen Vereinfche die gegebenen Terme (x, y 0). ) 4 75 b) 4(x + y) x +4x y + y c) x y y x y x y x y x y (für x y) ) b) 4(x + y) x +4x y + y 4(x + y) (x + y) 4(x + y) (x + y) 4(x + y) (x + y) 8(x + y) 8 (x + y) (x y) c) Zunächst bringen wir lle Summnden uf den Nenner x y. Dzu erweitern wir den mittleren Summnden mit x y und den hinteren Summnden mit x y. x y y x x y y x y x y x y y x y (x y) x y x y x y (x y) x y x y x y y x y (x y) x y (x y ) x y x x (x y) y y x x y y y x y y x y y y y x y x y y x y

11 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 7. Vereinfche die folgenden Terme. ) 4 6 b) Prüfungsufgben 8. Vereinfche so weit wie möglich (, b, c > 0). ) (b 4 ) b) 8c 5 c 8c 5 c 9. Berechne mithilfe des Näherungswertes,44 folgende Ausdrücke näherungsweise (ohne Hilfe des Tschenrechners). ) 8 b) c) 8 d) ( 4 ) ( 4 ) 0. Mche den Nenner rtionl und vereinfche (, b > 0; b). 6 b ) b) c) b b d) b b ( + ). Bestimme die Definitionsmenge D des Terms und gib nschließend durch Vereinfchen einen äquivlenten Term n. ) x 9 x b) (x ) c) x x x Nichtrtionle Nenner knn mn häufig durch Qudrieren, Potenzieren, Anwenden der. binomischen Formel rtionl mchen. 5 Der Zusmmenhng zwischen Potenzen und Wurzeln Potenzen können beliebige rtionle Exponenten ufweisen. Wissen Dbei gilt: m n = n m für m z,n n,n und r, > 0. Die Potenzgesetze (P) bis (P5) sowie die Wurzelgesetze (W) bis (W4) gelten weiterhin. Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W4 Schreibe ls Wurzel (p, q > 0). ) b) 6 c) 5 0,75 d) p, e) q 5 W5 Schreibe ls Potenz. ) 5 b) 5 c) d) 5 5 e) 4

12 4 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Musterufgbe Lösungen Vereinfche die folgenden Terme (x > 0). ) 5 x x x b) +x 5 c) ( x ) 4 x x x x ) 5 x 5 x x 5 x x x 0 x 5 x ( + x b) ) x +x 5 x ( x ) x x 6 x x 4 x ( x ) x x ( + x ) x 6 c) ( x ) 4 ( 6 x ) 4 ( ) 4 ( x )4 x x x Prüfungsufgben Vereinfche die folgenden Terme (, b > 0, n n).. ) 6 7 b) 4 c) ( ) 6. ) 0, ( 5) ( ) b) n 6 n : n 4 4 c) ( 0,5 ) 4. ) 4 b b ( b ) b) ( ) 4 () 5 c) ( ) 5 5. Für welche Werte von x ist der Term definiert? ) x b) (x ) ( x) c) ( x ) x 6. ) Vereinfche mittels Polynomdivision: ( ) : ( ). b) Mche den Nenner rtionl:. Nutze dzu die Ergebnisse von Aufgbenteil ).

13 5 B Rechnen mit Logrithmen Logrithmen Unter dem Logrithmus von zur Bsis b (, b > 0) versteht mn diejenige Zhl x, für die b x = gilt. Mn schreibt x = log b. Sind und b (, b > 0) beknnt, so knn mn us der Gleichung b x = den Wert von x durch Logrithmieren gewinnen. Der Logrithmus einer Zhl zur Bsis 0 wird der Zehnerlogrithmus von gennnt und ls lg (oder log ) geschrieben. log b Bsis Wissen Numerus Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W Gib jeweils den Exponenten x n. ) x b) x = c) 4 x 4 d) 5x 5 e) x 8 f) x g) 4x 6 h) x = Bestimme im Kopf. W ) log 8 b) log c) log 4 6 d) log 5 (5) e) log 8 W ) lg 0 b) lg c) lg 0,0 d) lg 0,0 e) lg 5 0 W4 Gib n, welches Vorzeichen der Wert des Logrithmus ht. ) log, b) log 0,5 c) log 0,5 0, d) lg 0,9 y - y = log x 4 6 x y = log x Bestimme x durch Anwendung der Definition des Logrithmus. ) x log 6 b) log 5 x 0,5 c) log x 4 d) log 5 x ) x log 6 ist nch der Definition des Logrithmus gleichbedeutend mit x 6. Es ist: 6 (6) ( 4 ) 4. Somit ist x 4. Ein Vergleich der Exponenten zeigt schließlich: x 4. b) log 5 x 0,5 x 5 0,5 5 5,6 c) log x 4 x 4 mit x > 0 x 4 d) log 5 ist diejenige Zhl y, für die y 5 gilt. Demzufolge gilt: log 5 y 5, lso x 5.. Musterufgbe Lösungen zu c) x = 4 ist ls Lösung nicht zulässig.

14 6 B Rechnen mit Logrithmen Prüfungsufgben log b = c b c = für, b r + ; b.. Schreibe die Logrithmen- in eine Exponentilgleichung um. ) log 4 0,5 x b) log x 8 c) log 7 x 5 d) lg 0, x Bestimme x.. ) log x = 8 b) log x 64 = c) log 5 0, = x. ) log x 5 = b) log x = 0,5 c) log 7 x = 0 4. ) log 7 x = b) log 5 5 = x c) log x = 5. ) lg 0 8 = x b) lg 0, = x c) lg x = 6 6. ) lg 0 = x b) lg x = 0, c) lg (00) = x 7. ) lg (lg x) = b) log (log x) = c) log 4 x = 4 8. Berechne: ) lg 0 8 lg 0 8 b) log 8 log 8 7 Die Logrithmengesetze Wissen Für ds Rechnen mit Logrithmen (, b, c, u, v r + ;b,c ) gelten die folgenden Logrithmengesetze: (L) log b (u v) = log b u + log b v (L) log b u v = log b u log b v (L) log b u r = r log b u (r r) logc (L4) log b = (b, c ) l og b c Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! Vereinfche mithilfe der Logrithmengesetze (b, u r + ;b ). Für lle b r + ; b gilt: log b = 0, denn b 0 =. W5 ) lg 4 + lg 5 b) log 48 log c) log 8 4 W6 ) log b u + log b u b) log b u log b u c) log b u W7 ) log b b) log b c) logb u u d) lg 0 u W8 ) log b b log b b) log b u + log b u c) log b b

15 B Rechnen mit Logrithmen 7 Vereinfche so weit wie möglich (, b > 0; b ). ) log 5 log 5 + log 9 b) lg 0 log l og 0 c) log b (b) log b b + log b d) log 4 8 log 6 e) log b (b 9) log b (b + ) log b (b ) + log b b (b > ) ) log 5 log 5 + log 9 = log 5 + log 5 = log + log = log + log = + ( ) = Musterufgbe Lösungen b) lg 0 log = lg 0 + lg log l og 0 l og 0 = + lg log = + lg log 0 = + lg lg = l og 0 c) log b (b) log b b + log b = log b b log b b + (log b log b ) = log b + log b b log b b + log b log b = log b b log b b + log b = + 0 =. log b = 0 für b 0, b. d) log 4 8 = x 4 x = 8 ( ) x = x = x =,5 log 6 = y 6 x = 4y = 5 4y = 5 y =,5 log 4 8 log 6 =,5,5 = 0,5 e) log b (b 9) log b (b + ) log b (b ) + log b b = log b [(b + )(b )] [log b (b + ) + log b (b )] + log b b = log b [(b + )(b )] log b [(b + )(b )] + log b b (b + )(b ) = b 9 = log b b = 9. Vereinfche so weit wie möglich (, b > 0; ). ) log log 6 log log 4 Prüfungsufgben b) log + log b log 9b c) lg 0, + lg + lg lg d) log ( b) + log b + 4 log b l lg g e) log 4 + log 4 lg 5 lg 4

16 8 B Rechnen mit Logrithmen Logrithmen zu einer positiven Bsis b (b ) können mithilfe einer speziellen Form des Gesetzes (L4) berechnet werden: lg log b = l g b 0. Gib für folgende Logrithmen einen uf drei Dezimlen gerundeten Näherungswert n. ) log 5 b) log 5 7 c) log 0,5 9 d) log π. Berechne mithilfe des Näherungswertes log 9,70 die folgenden Logrithmen näherungsweise (ohne Hilfe des TR). ) log 9 b) log 8 c) log d) log,5. Es sei beknnt, dss log b =.Vereinfche dmit den folgenden Ausdruck (, b > 0; b ) so weit wie möglich: log b b + log b logb (b ) b b + log b. b. Vereinfche so weit wie möglich (x > ). ) lg (x + 6x + 8) lg (x + 4x) + lg + lg x x + b) lg (0,x 5,5x) + lg x lg (x + 5) 5x 4. Berechne: (lg 00) lg lg 00 + (lg ) Monotoniegesetz für Zehnerlogrithmen Für lle u, v 0 gilt: Ist lg u lg v, so gilt uch u v und umgekehrt. 5. Zeige: lg b = b lg für, b > Weise ohne Tschenrechner nch, dss log log < Zeige ohne Tschenrechner: log 4 log 0 <. 8. Zeige durch Logrithmieren, dss > Wie viele Stellen hben die folgenden Zhlen? ) 0 b) 8 5 c) 5 (55 )

17 Lösungen zu Kpitel H zu Proberbeit Seite 78 Aufgbe ) 4 n 4 (n ) 4 4 n n n n n 4 n n n 4 ( n n ) n 4 ( n n n n ) n 4 4 n n b) ( ) 9 8 c) 4 x x x 4 4 x x x 6 4 x 4 x 0 4 x 4 x 0 ( x ) 4 x 0 x ( x 4 ) 0 x 4 x L {} x wird niemls 0, sondern ist für lle x r stets positiv. Aufgbe ) Oberfläche einer Hlbkugel mit Rdius r sowie Mntelfläche eines Zylinders mit Rdius r und Höhe r A 4πr πr r 6πr 94π cm 94 cm Die verchromte Innenwnd des Bechers ht eine Fläche von etw 9, dm. b) Volumen des Kegelstumpfes: V S π (r) 6r πr r π r 7πr Bechervolumen: s r r V B 4 πr πr r 8 πr Isolierschum: V Iso V S V B πr 4,67 dm Es wurden zirk 4,7 dm Isolierschum benötigt. s r r c) Mntel des Kegelstumpfes: M S π (r) s π r s π (r) 40 r π r 0 r 0 πr Fläche des Blechs: A G M S π(r) 0 πr A (4 0) πr 0,8 dm Die Hülle smt Boden besteht us etw dm Blech. 40 = 4 0 = 0

18 Lösungen zu Kpitel H d) V Wsser 4 πr πr 0,r πr 0,94 dm 0,94 l 5 In dem Becher befinden sich ungefähr 0,9 Liter Wsser. e) Volumen der Eiswürfel: V Eis 7 (,0 cm) 89 cm Eisvolumen unter Wsser: V 0,9 V Eis 70, cm Der Wsserspiegel im Sektkühler steigt durch die Eiswürfel in dem Mße n, wie er durch ds Hinzugießen von x V 70, cm Wsser nsteigen würde. V entspricht dem Volumen eines Zylinders mit Rdius r und Höhe x, wobei x zugleich die Höhenzunhme des Wsserspiegels ist: V πr V x x π r, cm neue Höhe des Wsserspiegels:,r, cm 9,5 cm Ds Wsser steht nun etw 9,5 cm hoch über dem Boden. Aufgbe ) Lichtintensität in % in t Metern Tiefe: I(t) 00 0,89 t Druck in kp in t Metern Tiefe: D(t) 0 t 00 b) I(t*) 00 0,89 t* lg 0,5 50 t* 5,95 l g 0,89 Gute Aufnhmen sind bis in c. 6 m Wssertiefe möglich. c) D(t**) 0 t** t** 5 Kunstlicht-Aufnhmen sind bis in 5 m Tiefe möglich. 0,6 = 0,6 d) Lichtintensität in % in t Metern Tiefe: L(t) 00 t mit 0 < < L() , 6 L(t*) 00 ( 0, 6) t* 00 0,6 50 lg 0,5 t* 4, l g 0,6 In dem See sind gute Aufnhmen bis in c. 4, m Tiefe möglich. t *