Inhalt. Info zum Buch

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Inhalt. Info zum Buch"

Transkript

1

2 4 Inhlt Info zum Buch A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Potenzen mit gnzzhligen Exponenten 6 Normdrstellung von Zhlen 8 Polynomdivision 9 4 Wurzelterme 5 Der Zusmmenhng zwischen Potenzen und Wurzeln B Rechnen mit Logrithmen Logrithmen 5 Die Logrithmusgesetze 6 C D Terme und Gleichungen Potenzgleichungen 9 Wurzelgleichungen 0 Exponentilgleichungen 4 Logrithmische Gleichungen 5 Funktionen Potenzfunktionen mit ntürlichen Exponenten 7 Exponentilfunktionen Logrithmusfunktionen 4 E Wchstum und Zerfll Allgemeines über Wchstums- und Zerfllsvorgänge 7 Linere Wchstums- und Zerfllsprozesse 7 Exponentielle Wchstums- und Zerfllsprozesse 9 4 Begrenztes Wchstum 4 5 Logistisches Wchstum 45 6 Weitere Modelle für Wchstumsvorgänge 47 F Kreis- und Körperberechnung Kreise und Kreisteile 50 Quder, Prism, Zylinder 5 Pyrmide und Kegel 54 4 Die Kugel 57

3 Inhltsverzeichnis 5 G Whrscheinlichkeiten Grundbegriffe der Whrscheinlichkeitsrechnung 60 Whrscheinlichkeitsverteilungen 6 Urnenmodelle und Anzhlen 64 4 Bumdigrmme und Pfdregeln 67 5 Zusmmengesetzte Ereignisse 7 H Test-Arbeiten Proberbeit 76 Proberbeit 78 Proberbeit 80 Lösungen Lösungen zu Kpitel A 8 Lösungen zu Kpitel B 89 Lösungen zu Kpitel C 9 Lösungen zu Kpitel D 99 Lösungen zu Kpitel E 05 Lösungen zu Kpitel F Lösungen zu Kpitel G 0 Lösungen zu Kpitel H 9

4 6 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Potenzen mit gnzzhligen Exponenten () n (für r;n n) heißt n-te Potenz von. n-fktoren Wissen () () 0 (für 0) (4) n (für 0) n n Bsis Exponent Für, b r; 0; b 0 und m, n z gelten die Potenzgesetze: gleiche Bsen (P) m n m n (P) m n n gleiche Exponenten (P) n b n ( b) n (P4) b n n ( ) n m b Potenz einer Potenz (P5) ( m ) n m n Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W Vereinfche mithilfe der Potenzgesetze und berechne. ) () () b) (4) 0,5 c) ( ) ( ) 4 ( 9 4) d) ( ) 5 ( 4 ) 5 W Wende die Potenzgesetze n (, b, x, y 0). ) x 4 x 5 x b) (y 4 ) :y 5 c) ( b ) W Vereinfche so weit wie möglich (, x 0). ) (5x 5 5x 4 ) : (5x ) b) ( 4 ) Binomische Formeln: ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b W4 Multipliziere us und vereinfche (u, x 0). ) (x y 4 ) b) ( x 4 x ) c) (u v) (u v) Musterufgbe Vereinfche die folgenden Terme so weit wie möglich. Der Nenner sei jeweils ungleich Null xy (4z 9) ) b) 7 ( 6 8 ) ( xyz xy) x

5 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln ) 7 ( 6 8) 4 4 ( 6 4) ( ) 4 ( ) ( ) Lösungen xy b) ( 4z 9) ( xyz xy) x x y( (z) ) x xy ( z y (z ) (z ) ) x xy (z ) x x y (z ) (z ) y (z ) (z ) x y. Vereinfche so weit wie möglich (, b, c 0). ) 5 ( ( 9b bc) c) b) c) 4 ( 7b) (9 b) Prüfungsufgben. Schreibe ls Produkt (n n). ) x 4 8x 6 b) x n x n x n c) x n 4x n c) 9x n 6x n x n. Vereinfche (x 0). Der Nenner sei jeweils ungleich Null. ) x n x n b) xm 4 xn xn xm x m 4 4 c) x n x n 4. Vereinfche (, b, x, y 0). Alle Nenner seien ungleich Null. ) b (b) ( b ) b) ( x y ( y x) ) : x y ( xy) c) d) b b b Bei dem Produkt x y mit x 0 und y 0 werde der Fktor x um 0 % reduziert.um wie viel Prozent muss der Fktor y erhöht werden, dmit der Wert des Produktes gleich bleibt? 6. Die Abbildung zeigt eine Folge von Qudrten. Die Seitenmitten jedes Qudrtes dienen ls Eckpunkte des nächst kleineren Qudrtes. Ds größte Qudrt ht die Seitenlänge 64 cm. ) Gib die Seitenlänge des 4-ten, 5-ten, n-ten Qudrtes n. b) Welches Qudrt ht einen Flächeninhlt von cm? 40 96

6 8 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Normdrstellung von Zhlen Wissen Bei der Normdrstellung (uch wissenschftliche Nottion gennnt) wird eine Zhl ls Produkt geschrieben. Dbei ist der erste Fktor eine Zhl mit genu einer (von Null verschiedenen) Ziffer vor dem Komm; der zweite Fktor ist eine Zehnerpotenz. Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! 0, Nullen Exponent 4 W5 W6 W7 W8 Schreibe ls Potenz der Zhl 0 (Zehnerpotenz). ) b) c) 0,00 d) 0,000 0 Schreibe in der Form z 0, wobei z 9 gelten soll. ) b) 0, c) 4 0,05 d) Gib in Normdrstellung n. ) 500 b) 0,000 5 c) d) Berechne im Kopf. Gib ds Ergebnis in Normdrstellung n. ) 0,0 b) 0,5 c), Musterufgbe Lösungen Die mittlere Entfernung e Erde Sonne beträgt c km. Die Lichtgeschwindigkeit c beträgt im Vkuum c. 0 8 m/s. ) Gib die Entfernung e in der Einheit m in Normdrstellung n. b) Wie lnge benötigt ds Sonnenlicht bis zur Erde? c) Die Strecke, die ds Licht ungehindert innerhlb eines Jhres zurücklegt, wird ein Lichtjhr (Lj) gennnt. Vergleiche diese Strecke mit der Entfernung Erde Sonne. ) e km,5 0 8 km,5 0 m b) Aus c e t folgt t e c. e, 5 0 t m 5 0 s 500 s 8 min 0 s. c 08 m s Ds Sonnenlicht benötigt etw 8 Minuten bis zur Erde. c) Lj s 0 8 m/s 9, m. Lj e 9, , 5 0 mm Ein Lichtjhr entspricht c. dem fchen der Entfernung Erde Sonne.

7 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 9 7. Berechne und gib ds Ergebnis in Normdrstellung n. ) 0, b) (0 ) 5 c) ( 0 ) d) 5, ,04 0 e) 0, , 09 8, 0 0, (4 0 ) 8. Die USA umfssen eine Fläche von ungefähr 9, h. 995 lebten c. 6 Millionen Menschen in den USA. Berechne die zugehörige Einwohnerdichte in Einwohner je km. 9. Die Erde ht eine ungefähre Msse von 5,98 0 t und ein Volumen von etw,08 0 km. Die Sonnenmsse beträgt c., kg, ihr Volumen etw,4 0 7 m. ) Wie viele Erdkugeln ergäben zusmmen die Msse der Sonne, wie viele Erdkugeln ds Volumen der Sonne? b) Vergleiche die mittleren Dichten von Erde und Sonne. 0. Die Stoffmenge mol besteht us c. 6,0 0 Atomen bzw. Molekülen. Ein Silbertom wiegt etw,79 0 g. ) Wie viele g Silber ergeben mol? b) Ein Würfel us Silber, der eine Kntenlänge von cm ht, wiegt c. 0,5 g. Wie viele Silber-Atome enthält solch ein Würfel? Welches Volumen (in m ) steht jedem Silber-Atom drin zur Verfügung? Prüfungsufgben Eingbe von 0 4 m Tschenrechner: EE 4 Vor- Symbol Potenz silbe Gig G 0 9 Meg M 0 6 Kilo k 0 Hekto h 0 Dek d 0 Dezi d 0 Zenti c 0 Milli m 0 Mikro µ 0 6 Nno n 0 9 Polynomdivision Terme der Form n x n n x n x x 0 mit n, n,,, 0 r, n 0 heißen Polynome n-ten Grdes. Wird ein Polynom durch ein nderes dividiert,so spricht mn von einer Polynomdivision. D mn nicht durch Null dividieren drf, sind lle Belegungen von x uszuschließen, für die ds Divisor- Polynom Null würde.geht eine Polynomdivision ohne Rest uf,so knn mn ds Ausgngspolynom ls Produkt us dem Divisor- Polynom und dem Ergebnis-Polynom drstellen. Wissen Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W9 Für welche Belegungen der Vriblen x nehmen die folgenden Polynome den Wert Null n? ) x 9 b) x c) x d) x 8x 6 e) 5x f) x 8 g) x 4 5x 4 h) 0,x 0, x

8 0 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln W0 Multipliziere us und ordne nch bsteigenden Potenzen. ) (x x 4) ( x) b) (0,5x 0,4x ) (x 5x) c) ( b b 4b ) ( b b ) Musterufgbe Führe eine Polynomdivision durch und gib etwige Einschränkungen n. ) (x x 8x ) : (x ) b) 4 6 c) (x 5 x 4x ) : (x ) Lösungen Alle Belegungen, für welche der Divisor Null wird, müssen usgeschlossen werden. ) (x x 8x ) : (x ) x x (für x 0,5) (x x ) 4x 8x D der Divisor (x ) für die (4x x) Belegung x 0,5 zu Null wird, 6x muss x 0,5 gefordert werden. (6x ) 0 b) Wir schreiben den Bruchterm in eine Divisionsufgbe um und ordnen dbei nch bsteigenden Potenzen. ( 6 4) : ( ) (für ) ( ) 6 ( 4) 4 ( 4) 0 c) (x 5 x 4x ) : (x ) x 4 x x (x 5 x ) x x 4x Rest (x x 4x) x (für x ;x ) (x ) 4 In Fll c) hndelt es sich um eine Polynomdivision mit Rest.

9 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. Führe die Polynomdivision durch. Gib die Einschränkungen n. ) (x 8x 4x 5) : (x ) b) 4x 7x 6 4x x c) (u u u ) : (u ) d) ( 4 ) : ( ) e) (0,6,4 x x 0,4) : (0,5 ) f) x x. ) Dividiere (x 4x 4x 6) : (x 4) für x 4. b) Zerlege den Term x 4x 4x 6 in Linerfktoren.. Führe die Polynomdivision durch. Ordne die Glieder zuvor in geeigneter Weise. ) (5x x 0 x ) : (5 x ) b) (5x 5x 0 4x ) : (5x 4) Prüfungsufgben Ein Linerfktor ist ein Fktor der Form (x Zhl). 4. Führe die Polynomdivision durch. ) ( b ) : ( b) b) ( 4 b 4 ) : ( b) 5. Berechne den fehlenden Fktor durch eine Polynomdivision. ) x 4 x 5x 0 ( ) (x ) b) x 5 x x (x ) ( ) c) b b ( ) ( b) 6. Prüfe, ob mn gnz oder teilweise kürzen knn. ) x x 5x 6 für x ; x ( x ) (x ) u b) 4u u 70 für u 5; u ; u (u u 0) (u ) 4 Wurzelterme Es seien r, 0 und n n,n.dnn ist n diejenige nicht negtive Zhl,deren n-te Potenz ergibt.mn nennt diese Zhl die n-te Wurzel us. Sttt schreibt mn meist nur. Es gelten folgende Wurzelgesetze (, b 0; n, m n;n,m ): (W) n n n n b b (W) n b n b (b 0) n (W) ( ) m n m m (W4) n n m m n Wurzelexponent n Wissen Rdiknd

10 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln = heißt uch Qudrtwurzel us, heißt uch Kubikwurzel us. Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W Ziehe teilweise die Wurzel (u 0). u ) 8 b) 54 c) 50 u d) e) 5 00 f) 0, W Vereinfche mithilfe der Wurzelgesetze und berechne. ) , 5 d) e) 0, b) c) 8 Für 0 gilt n n ( n ) n W Fsse so weit zusmmen wie möglich (x 0). ) 4x 9 4 x c) ( 4 6 4) ( ) b) x x x 4 Musterufgbe Lösungen Vereinfche die gegebenen Terme (x, y 0). ) 4 75 b) 4(x + y) x +4x y + y c) x y y x y x y x y x y (für x y) ) b) 4(x + y) x +4x y + y 4(x + y) (x + y) 4(x + y) (x + y) 4(x + y) (x + y) 8(x + y) 8 (x + y) (x y) c) Zunächst bringen wir lle Summnden uf den Nenner x y. Dzu erweitern wir den mittleren Summnden mit x y und den hinteren Summnden mit x y. x y y x x y y x y x y x y y x y (x y) x y x y x y (x y) x y x y x y y x y (x y) x y (x y ) x y x x (x y) y y x x y y y x y y x y y y y x y x y y x y

11 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 7. Vereinfche die folgenden Terme. ) 4 6 b) Prüfungsufgben 8. Vereinfche so weit wie möglich (, b, c > 0). ) (b 4 ) b) 8c 5 c 8c 5 c 9. Berechne mithilfe des Näherungswertes,44 folgende Ausdrücke näherungsweise (ohne Hilfe des Tschenrechners). ) 8 b) c) 8 d) ( 4 ) ( 4 ) 0. Mche den Nenner rtionl und vereinfche (, b > 0; b). 6 b ) b) c) b b d) b b ( + ). Bestimme die Definitionsmenge D des Terms und gib nschließend durch Vereinfchen einen äquivlenten Term n. ) x 9 x b) (x ) c) x x x Nichtrtionle Nenner knn mn häufig durch Qudrieren, Potenzieren, Anwenden der. binomischen Formel rtionl mchen. 5 Der Zusmmenhng zwischen Potenzen und Wurzeln Potenzen können beliebige rtionle Exponenten ufweisen. Wissen Dbei gilt: m n = n m für m z,n n,n und r, > 0. Die Potenzgesetze (P) bis (P5) sowie die Wurzelgesetze (W) bis (W4) gelten weiterhin. Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W4 Schreibe ls Wurzel (p, q > 0). ) b) 6 c) 5 0,75 d) p, e) q 5 W5 Schreibe ls Potenz. ) 5 b) 5 c) d) 5 5 e) 4

12 4 A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Musterufgbe Lösungen Vereinfche die folgenden Terme (x > 0). ) 5 x x x b) +x 5 c) ( x ) 4 x x x x ) 5 x 5 x x 5 x x x 0 x 5 x ( + x b) ) x +x 5 x ( x ) x x 6 x x 4 x ( x ) x x ( + x ) x 6 c) ( x ) 4 ( 6 x ) 4 ( ) 4 ( x )4 x x x Prüfungsufgben Vereinfche die folgenden Terme (, b > 0, n n).. ) 6 7 b) 4 c) ( ) 6. ) 0, ( 5) ( ) b) n 6 n : n 4 4 c) ( 0,5 ) 4. ) 4 b b ( b ) b) ( ) 4 () 5 c) ( ) 5 5. Für welche Werte von x ist der Term definiert? ) x b) (x ) ( x) c) ( x ) x 6. ) Vereinfche mittels Polynomdivision: ( ) : ( ). b) Mche den Nenner rtionl:. Nutze dzu die Ergebnisse von Aufgbenteil ).

13 5 B Rechnen mit Logrithmen Logrithmen Unter dem Logrithmus von zur Bsis b (, b > 0) versteht mn diejenige Zhl x, für die b x = gilt. Mn schreibt x = log b. Sind und b (, b > 0) beknnt, so knn mn us der Gleichung b x = den Wert von x durch Logrithmieren gewinnen. Der Logrithmus einer Zhl zur Bsis 0 wird der Zehnerlogrithmus von gennnt und ls lg (oder log ) geschrieben. log b Bsis Wissen Numerus Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! W Gib jeweils den Exponenten x n. ) x b) x = c) 4 x 4 d) 5x 5 e) x 8 f) x g) 4x 6 h) x = Bestimme im Kopf. W ) log 8 b) log c) log 4 6 d) log 5 (5) e) log 8 W ) lg 0 b) lg c) lg 0,0 d) lg 0,0 e) lg 5 0 W4 Gib n, welches Vorzeichen der Wert des Logrithmus ht. ) log, b) log 0,5 c) log 0,5 0, d) lg 0,9 y - y = log x 4 6 x y = log x Bestimme x durch Anwendung der Definition des Logrithmus. ) x log 6 b) log 5 x 0,5 c) log x 4 d) log 5 x ) x log 6 ist nch der Definition des Logrithmus gleichbedeutend mit x 6. Es ist: 6 (6) ( 4 ) 4. Somit ist x 4. Ein Vergleich der Exponenten zeigt schließlich: x 4. b) log 5 x 0,5 x 5 0,5 5 5,6 c) log x 4 x 4 mit x > 0 x 4 d) log 5 ist diejenige Zhl y, für die y 5 gilt. Demzufolge gilt: log 5 y 5, lso x 5.. Musterufgbe Lösungen zu c) x = 4 ist ls Lösung nicht zulässig.

14 6 B Rechnen mit Logrithmen Prüfungsufgben log b = c b c = für, b r + ; b.. Schreibe die Logrithmen- in eine Exponentilgleichung um. ) log 4 0,5 x b) log x 8 c) log 7 x 5 d) lg 0, x Bestimme x.. ) log x = 8 b) log x 64 = c) log 5 0, = x. ) log x 5 = b) log x = 0,5 c) log 7 x = 0 4. ) log 7 x = b) log 5 5 = x c) log x = 5. ) lg 0 8 = x b) lg 0, = x c) lg x = 6 6. ) lg 0 = x b) lg x = 0, c) lg (00) = x 7. ) lg (lg x) = b) log (log x) = c) log 4 x = 4 8. Berechne: ) lg 0 8 lg 0 8 b) log 8 log 8 7 Die Logrithmengesetze Wissen Für ds Rechnen mit Logrithmen (, b, c, u, v r + ;b,c ) gelten die folgenden Logrithmengesetze: (L) log b (u v) = log b u + log b v (L) log b u v = log b u log b v (L) log b u r = r log b u (r r) logc (L4) log b = (b, c ) l og b c Alles klr? Hier knnst du dich gleich testen! Vereinfche mithilfe der Logrithmengesetze (b, u r + ;b ). Für lle b r + ; b gilt: log b = 0, denn b 0 =. W5 ) lg 4 + lg 5 b) log 48 log c) log 8 4 W6 ) log b u + log b u b) log b u log b u c) log b u W7 ) log b b) log b c) logb u u d) lg 0 u W8 ) log b b log b b) log b u + log b u c) log b b

15 B Rechnen mit Logrithmen 7 Vereinfche so weit wie möglich (, b > 0; b ). ) log 5 log 5 + log 9 b) lg 0 log l og 0 c) log b (b) log b b + log b d) log 4 8 log 6 e) log b (b 9) log b (b + ) log b (b ) + log b b (b > ) ) log 5 log 5 + log 9 = log 5 + log 5 = log + log = log + log = + ( ) = Musterufgbe Lösungen b) lg 0 log = lg 0 + lg log l og 0 l og 0 = + lg log = + lg log 0 = + lg lg = l og 0 c) log b (b) log b b + log b = log b b log b b + (log b log b ) = log b + log b b log b b + log b log b = log b b log b b + log b = + 0 =. log b = 0 für b 0, b. d) log 4 8 = x 4 x = 8 ( ) x = x = x =,5 log 6 = y 6 x = 4y = 5 4y = 5 y =,5 log 4 8 log 6 =,5,5 = 0,5 e) log b (b 9) log b (b + ) log b (b ) + log b b = log b [(b + )(b )] [log b (b + ) + log b (b )] + log b b = log b [(b + )(b )] log b [(b + )(b )] + log b b (b + )(b ) = b 9 = log b b = 9. Vereinfche so weit wie möglich (, b > 0; ). ) log log 6 log log 4 Prüfungsufgben b) log + log b log 9b c) lg 0, + lg + lg lg d) log ( b) + log b + 4 log b l lg g e) log 4 + log 4 lg 5 lg 4

16 8 B Rechnen mit Logrithmen Logrithmen zu einer positiven Bsis b (b ) können mithilfe einer speziellen Form des Gesetzes (L4) berechnet werden: lg log b = l g b 0. Gib für folgende Logrithmen einen uf drei Dezimlen gerundeten Näherungswert n. ) log 5 b) log 5 7 c) log 0,5 9 d) log π. Berechne mithilfe des Näherungswertes log 9,70 die folgenden Logrithmen näherungsweise (ohne Hilfe des TR). ) log 9 b) log 8 c) log d) log,5. Es sei beknnt, dss log b =.Vereinfche dmit den folgenden Ausdruck (, b > 0; b ) so weit wie möglich: log b b + log b logb (b ) b b + log b. b. Vereinfche so weit wie möglich (x > ). ) lg (x + 6x + 8) lg (x + 4x) + lg + lg x x + b) lg (0,x 5,5x) + lg x lg (x + 5) 5x 4. Berechne: (lg 00) lg lg 00 + (lg ) Monotoniegesetz für Zehnerlogrithmen Für lle u, v 0 gilt: Ist lg u lg v, so gilt uch u v und umgekehrt. 5. Zeige: lg b = b lg für, b > Weise ohne Tschenrechner nch, dss log log < Zeige ohne Tschenrechner: log 4 log 0 <. 8. Zeige durch Logrithmieren, dss > Wie viele Stellen hben die folgenden Zhlen? ) 0 b) 8 5 c) 5 (55 )

17 Lösungen zu Kpitel H zu Proberbeit Seite 78 Aufgbe ) 4 n 4 (n ) 4 4 n n n n n 4 n n n 4 ( n n ) n 4 ( n n n n ) n 4 4 n n b) ( ) 9 8 c) 4 x x x 4 4 x x x 6 4 x 4 x 0 4 x 4 x 0 ( x ) 4 x 0 x ( x 4 ) 0 x 4 x L {} x wird niemls 0, sondern ist für lle x r stets positiv. Aufgbe ) Oberfläche einer Hlbkugel mit Rdius r sowie Mntelfläche eines Zylinders mit Rdius r und Höhe r A 4πr πr r 6πr 94π cm 94 cm Die verchromte Innenwnd des Bechers ht eine Fläche von etw 9, dm. b) Volumen des Kegelstumpfes: V S π (r) 6r πr r π r 7πr Bechervolumen: s r r V B 4 πr πr r 8 πr Isolierschum: V Iso V S V B πr 4,67 dm Es wurden zirk 4,7 dm Isolierschum benötigt. s r r c) Mntel des Kegelstumpfes: M S π (r) s π r s π (r) 40 r π r 0 r 0 πr Fläche des Blechs: A G M S π(r) 0 πr A (4 0) πr 0,8 dm Die Hülle smt Boden besteht us etw dm Blech. 40 = 4 0 = 0

18 Lösungen zu Kpitel H d) V Wsser 4 πr πr 0,r πr 0,94 dm 0,94 l 5 In dem Becher befinden sich ungefähr 0,9 Liter Wsser. e) Volumen der Eiswürfel: V Eis 7 (,0 cm) 89 cm Eisvolumen unter Wsser: V 0,9 V Eis 70, cm Der Wsserspiegel im Sektkühler steigt durch die Eiswürfel in dem Mße n, wie er durch ds Hinzugießen von x V 70, cm Wsser nsteigen würde. V entspricht dem Volumen eines Zylinders mit Rdius r und Höhe x, wobei x zugleich die Höhenzunhme des Wsserspiegels ist: V πr V x x π r, cm neue Höhe des Wsserspiegels:,r, cm 9,5 cm Ds Wsser steht nun etw 9,5 cm hoch über dem Boden. Aufgbe ) Lichtintensität in % in t Metern Tiefe: I(t) 00 0,89 t Druck in kp in t Metern Tiefe: D(t) 0 t 00 b) I(t*) 00 0,89 t* lg 0,5 50 t* 5,95 l g 0,89 Gute Aufnhmen sind bis in c. 6 m Wssertiefe möglich. c) D(t**) 0 t** t** 5 Kunstlicht-Aufnhmen sind bis in 5 m Tiefe möglich. 0,6 = 0,6 d) Lichtintensität in % in t Metern Tiefe: L(t) 00 t mit 0 < < L() , 6 L(t*) 00 ( 0, 6) t* 00 0,6 50 lg 0,5 t* 4, l g 0,6 In dem See sind gute Aufnhmen bis in c. 4, m Tiefe möglich. t *

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:

Mehr

a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert

a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert 8. Potenzen 8. Einführung in Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Neen den klssischen Grundrechenopertionen git es weitere Opertionen, welche Beziehungen zwischen Zhlen schffen: Potenzieren Rdizieren Wurzelziehen)

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

Lösung Arbeitsblatt Potenzen / Wurzeln / Logarithmen

Lösung Arbeitsblatt Potenzen / Wurzeln / Logarithmen Fchhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Nturwissenschft Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Dozent: - Klsse: Brückenkurs 0 Büro: - Semester:

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg

Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise

Mehr

Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen

Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen Kntonle Fchschft Mthemtik Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Repetition Logrithmen D) Logrithmusgleichungen 4 E) Aufgben mit Musterlösungen 5 A)

Mehr

Grundwissen Klasse 10

Grundwissen Klasse 10 Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen

Mehr

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b

Mehr

Kleine Algebra-Formelsammlung

Kleine Algebra-Formelsammlung Immnuel-Knt-Gymnsium Heiligenhus Gierhrt Kleine Alger-Formelsmmlung Mittelstufe (is Klsse 0) Drgestellt sin ie wichtigsten Fkten un Gesetze, woei iverse Ausnhmeregeln wie z.b. s Verot er Division urch

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

RESULTATE UND LÖSUNGEN

RESULTATE UND LÖSUNGEN TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

Grundwissen l Klasse 5

Grundwissen l Klasse 5 Grundwissen l Klsse 5 1 Zhlenmengen und Punktmengen {1; 2; 3; 4; 5; 6;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen. 0 {0; 1; 2; 3; 4; 5;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen mit Null. M {; ; C;... } Die Menge der

Mehr

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl.

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl. 1. 1. 2. Strecke B B Gerde Eine gerde, von zwei Punkten begrenzte Linie heißt Strecke. Eine gerde Linie, die nicht begrenzt ist, heißt Gerde. D.h. eine Gerde ht keine Endpunkte! 2. 3. 3. g Strhl Eine gerde

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Grundwissen Mathematik 9

Grundwissen Mathematik 9 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA . Semester ARBEITSBLATT -6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen hben deckungsgleiche (kongruente), prllele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenknten sind lle gleich lng und zueinnder

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponential- und Logarithmusfunktion Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;

Mehr

Stereometrie: Übersicht

Stereometrie: Übersicht Stereometrie: Übersicht Stereometrie ist die Lehre der dreidimensionlen Körper. Wir werden uns nun mit einigen von ihnen beschäftigen.. Prismen Ein Prism besteht us einer Grund und Deckfläche die gleich

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

2. Flächenberechnungen

2. Flächenberechnungen Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.

Mehr

Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a)

Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a) Rechnen mit Termen 1. Berechne ds Volumen und die Oberfläche. 2. 3 3 7 2 4b 3. 5 4 8 b 4. Löse die Klmmern uf und fsse zusmmen: ) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7(1 b)+5b(2 ) c) 4b( 3b) 4b( 2 3) 5. Löse die Gleichungen:

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Mathematik Brückenkurs

Mathematik Brückenkurs Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...

Mehr

Tag der Mathematik 2016

Tag der Mathematik 2016 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt

Mehr

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen

Mehr

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth Algebr 7: Zusmmenfssen gleichrtiger Terne: ) 5x 7x 3 3x + 5x +8 b) 3u 9v [(3u 8w) (u + 9v)] c) Distributivgesetz: ) -0,4c (,5 3 c 0, c 3 ) b) 7u 5 3u (u 3) 5 (u 4u + ) Ausmultiplizieren von Klmmern: )

Mehr

Logarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:

Logarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus: 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl,

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 9

Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Grundwissen Jhrgngsstufe 9 GM 9. Qudrtwurzeln und die Menge der reellen Zhlen QUADRATWURZELN Unter der Qudrtwurzel us einer Zhl (kurz: Wurzel us, Schreibweise ) versteht mn diejenige nichtnegtive Zhl,

Mehr

Grundwissen 9. Klasse G8

Grundwissen 9. Klasse G8 Leibniz-Gymnsium Altdorf Grundwissen 9. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen I) Reelle Zhlen Für eine nichtnegtive Zhl heißt diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt ergibt, Qudrtwurzel

Mehr

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik

Mehr

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen 2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. In acht Leveln zum Meister! Exponentialgleichungen lösen. Kerstin Langer, Kiel VORANSICHT

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. In acht Leveln zum Meister! Exponentialgleichungen lösen. Kerstin Langer, Kiel VORANSICHT Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen In cht Leveln zum Meister! Eponentilgleichungen lösen Kerstin Lnger, Kiel Klsse: Duer: Inhlt: Ihr Plus: 0 (G8) 5 Stunden Eponentilgleichungen

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3 2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................

Mehr

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen Definitionen Wir gehen von der Gleichung c und dem Beispiel 8 2 us: nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Allgemein: "Unter versteht mn die -te Potenz zur Bsis " " ist hoch " Beispiel: 2 8 Vorgng:

Mehr

Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen

Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe Allgemeine Termumformungen Kommuttivgesetz: Bei reinen Produkten oder Summen ist die Reihenfolge egl x y z = z y x = x z y =.. x+y+z = z+y+x = x+z+y =.. Ausklmmern:

Mehr

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 Them NATÜRLICHE ZAHLEN Zählen und Ordnen Ntürliche Zhlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet Stefn ist beim 100m-Luf ls 2. ins Ziel gekommen. Große Zhlen und Zehnerpotenzen

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

für beliebige Mengen A, B, C

für beliebige Mengen A, B, C 1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze)

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt

Mehr

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra)

Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra) Ausgbe 2008-05 Einführung in ds Rechnen mit Zhlen (elementre Algebr) Algebr ist ein Teilgebiet der Mthemtik und beschäftigt sich mit der Verknüpfung von Zhlen durch Rechenopertionen 1. Rechenregeln der

Mehr

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Abschlussprüfung Mathematik

Abschlussprüfung Mathematik Abschlussprüfung 0 Mthemtik 5. Mi 0, Klssen F08 und F08b Nme: Klsse: Hinweise: Zur Lösung der Aufgben stehen drei volle Stunden zur Verfügung. Als Hilfsmittel sind ein nicht lgebrfähiger und nicht grphikfähiger

Mehr

Abschlussprüfungen 2009 Mathematik schriftlich

Abschlussprüfungen 2009 Mathematik schriftlich Fchmittelschule FMS Mthemtik schriftlich Klssen: F, Fb, Fc, Fd (Mh, Fr, Mo, Me) Prüfungsduer: h Erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner, Fundmentum Jede Aufgbe gibt 10 Punkte. Aufgbe 1: Rum Der unten drgestellte

Mehr

Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:

Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel: 16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmturitätsschule Berufsmturitätsprüfung 2012 Mthemtik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tbellensmmlung ohne gelöste Beispiele,

Mehr

2 P a) Temperaturabnahme um 9 C b) Temperaturabnahme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6

2 P a) Temperaturabnahme um 9 C b) Temperaturabnahme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6 Gnze Zhlen 1 35 Ausgngstempertur +6 C... ) Temperturbnhme um 9 C b) Temperturbnhme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6 36 Ausgngstempertur 4 C... ) Temperturzunhme um 10 C b) Temperturzunhme um 21 C (

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Potenzen. mit negativen ganzzahligen Exponenten. Vereinfache und fasse zusammen: 3. ( ) m m. a b c 2 a. 3b b 2 b. a c c. y 4 y. 64a b 9.

Potenzen. mit negativen ganzzahligen Exponenten. Vereinfache und fasse zusammen: 3. ( ) m m. a b c 2 a. 3b b 2 b. a c c. y 4 y. 64a b 9. Gymnsium Potenzen mit negtiven gnzzhligen Eponenten Vereinfche und fsse zusmmen: 8. ( ) :( ) =. 7k k+ 8 : = 6 0. ( ) m m ( ) m =. ( b) = b. ( ) ( bc) m b c : m = b c 6. k+ k b b b = k+ k b b 7. ( ) ( b)

Mehr

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).

Mehr

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken

Mehr

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben.

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben. ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN MULTIPLIZIEREN Grundlgen der Mthemtik Lösen Sie die nchfolgenden grundlegenden Aufgben. Beweisen Sie durch Ausrechnung, dss b ) b ist! ( Wichtige mthemtische Regeln: 0 = 0 = 0

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest

Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest Studienkolleg ei den Universitäten des Freisttes Bern Üungsufgen zur Vorereitung uf den Mthemtiktest . Polnomdivision:. Dividieren Sie! ) ( 6 + 8 ):( + ) = Lös.: = ) ( 9 7 0 + 8 + 9):(6 + +) = Lös.: =

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:

Mehr

Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Geometrie. 26. Juni Inhaltsverzeichnis. 1 Zweidimensionale Geometrie 2. 2 Dreidimensionale Geometrie 6

Geometrie. 26. Juni Inhaltsverzeichnis. 1 Zweidimensionale Geometrie 2. 2 Dreidimensionale Geometrie 6 Geometrie 6. Juni 017 Inltsverzeicnis 1 Zweidimensionle Geometrie Dreidimensionle Geometrie 6 1 1 Zweidimensionle Geometrie In diesem Kpitel wollen wir uns mit einigen einfcen geometriscen Formen bescäftigen

Mehr

BMT Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien. Name: Note: Klasse: Punkte: / 21

BMT Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien. Name: Note: Klasse: Punkte: / 21 BMT8 010 A Byerischer Mthemtik-Test für die Jhrgngsstufe 8 der Gymnsien Nme: Note: Klsse: Punkte: 1 Aufgbe 1 Berechne und gib ds Ergebnis in der Einheit t n. 5,4t 360kg b Berechne und gib ds Ergebnis in

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität Reelle Funktion Kpitel 6 Funktionen Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen

Mehr

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl

Mehr

Satz des Pythagoras. c 2. a 2. b 2

Satz des Pythagoras. c 2. a 2. b 2 Stz des Pythgors 01 c b Hypotenusenqudrt = Summe der beiden Kthetenqudrte ² = c² b² = c² b² ² + b² = c² b² = c² ² b= c² ² c² = ² + b² c= ² + b² 0 Der Stz des Pythgors und seine rechnerische Anwendung Beispiel:

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche...

1.6 Bruchterme. 1 Theorie Lernziele Repetition Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I Doppelbrüche... .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Theorie. Lernziele............................................ Repetition............................................3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I.......................

Mehr

VORSCHAU. zur Vollversion. Inhalt. Seite. Vorwort 5. Zahlenarten 6 10 Zahlenarten. Grundrechenarten 7-11

VORSCHAU. zur Vollversion. Inhalt. Seite. Vorwort 5. Zahlenarten 6 10 Zahlenarten. Grundrechenarten 7-11 Inhlt Seite Vorwort 5 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Zhlenrten 6 10 Zhlenrten Grundrechenrten 7-11 Die vier Grundrechenrten Übungskiste C Übungskiste D Punktrechnung und Strichrechnungen Positive und negtive Zhlen

Mehr

Definition: Eine Folge, bei welcher der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich gross ist, heisst geometrische Folge (GF).

Definition: Eine Folge, bei welcher der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich gross ist, heisst geometrische Folge (GF). 7. Geometrische Folgen (exponentielles Wchstum) Beispiele: 2, 6, 8, 54, 62,... = 6= 2 8 8, -4, 2, -,,,... =, ds Vorzeichen wechselt b (lternierende Folge), -,, -,... = Definition: Eine Folge, bei welcher

Mehr

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K

360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

Lösungsblatt zur Testklausur Festkörperphysik WS2010/11

Lösungsblatt zur Testklausur Festkörperphysik WS2010/11 Lösungsbltt zur Testklusur Festkörperphysik WS/ Aufgbe : ) Wie groß sind die Energien der drei niedrigsten Zustände in einem zweidimensionlen und einem dreidimensionlen Kstenpotentil? (Kntenlängen jeweils

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die

Mehr

Logarithmen und Logarithmengesetze

Logarithmen und Logarithmengesetze R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.. Logrithmen und Logrithmengesetze Wir betrhten die Gleihung 5 = 5 Auf der linken Seite steht eine Potenz mit der Bsis 5 und dem Eponenten. Auf der rehten Seite

Mehr