Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra)

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1 Ausgbe Einführung in ds Rechnen mit Zhlen (elementre Algebr) Algebr ist ein Teilgebiet der Mthemtik und beschäftigt sich mit der Verknüpfung von Zhlen durch Rechenopertionen 1. Rechenregeln der ntürlichen Zhlen 2. Primzhlen, Teilbrkeit ntürlicher Zhlen, g.g.t., k.g.v. 3. Rechenregeln der gnzen Zhlen 4. Rechnen mit der Zhl Null 5. Bruchrechnung 6. Dreistz, Prozentrechnung, Zinsrechnung 7. Rechenregeln der reellen Zhlen (Potenzen, Wurzeln, Logrithmen)

2 1. Rechenregeln der ntürlichen Zhlen 1.1. Zhlenbegriff und Zhlenbereich der ntürlichen Zhlen Ds Ziffernsystem uf der Grundlge der Zhl 10 ht eine besonders große Verbreitung gefunden, vermutlich durch ds primitive Abzählen von Schen unter Verwendung der 10 Finger. Es gibt zehn Ziffern, lle nderen Zhlen sind us diesen zehn Ziffern zusmmengesetzt. Zhlensymbol = Ziffer deutsches Zhlwort Zhlensymbol = Ziffer deutsches Zhlwort 0 null 5 fünf 1 eins 6 sechs 2 zwei 7 sieben 3 drei 8 cht 4 vier 9 neun Die Angbe von mehreren Ziffern ist ein Zhlensymbol, kurz Zhl gennnt. Die unmittelbr ufeinnder folgenden Ziffern hben den Stellenwert 10:1. Bei großen Zhlen wird von rechts nch links zur besseren Lesbrkeit nch jeder dritten Stelle ein kleiner Zwischenrum gelssen. Punkte oder Komms zur besseren Lesbrkeit sind nicht erlubt Jede ntürliche Zhl ht einen Nchfolger, welcher ebenflls eine ntürliche Zhl ist. Für die Zhl sieben ist die Zhl cht der Nchfolger. Jede ntürliche Zhl (ußer die Zhl null) ht einen Vorgänger, welcher ebenflls eine ntürliche Zhl ist. Die Zhl sieben ist der Vorgänger der Zhl cht. Wird die Zhl null ls ntürliche Zhl betrchtet, so ht diese ls einzige ntürliche Zhl keinen Vorgänger und ist dmit die kleinste ntürliche Zhl. Die Menge der ntürlichen Zhlen ist unendlich groß Addition Erster Summnd plus zweiter Summnd gleich Summe Zwei Äpfel liegen d. Drei Äpfel werden dzugetn. Mn erhält fünf Äpfel. In der Mthemtik wird ds wie folgt geschrieben: = 5. Liegen nun drei Äpfel d und werden zwei Äpfel dzu getn, erhält mn ebenflls fünf Äpfel. Mthemtische Schreibweise: = 5. Vertuscht mn den ersten mit dem zweiten Summnden, erhält mn in der Rechenufgbe ds gleiche Ergebnis. Ds bedeutet: Kommuttionsgesetz (Vertuschungsgesetz) für die Addition + b = b + Summnden sind vertuschbr = 5 und = 5

3 1.3. Subtrktion Minuend minus Subtrhend gleich Differenz Für ds Rechnen mit ntürlichen Zhlen muss der Minuend stets größer oder gleich groß wie der Subtrhend sein. Als Folge dieser Einschränkung können Minuend und Subtrhend nicht getuscht werden, um die gleiche Differenz zu erhlten. Acht Äpfel liegen d. Es werden zwei Äpfel entfernt. Es liegen noch sechs Äpfel d. Mthemtische Formulierung: 8-2 = 6. Es liegen zwei Äpfel d. Knn mn jetzt cht Äpfel wegnehmen? Mit ntürlichen Zhlen ist diese Aufgbe nicht lösbr, denn die Ntur knn keine Schulden mchen und sich Äpfel usleihen Multipliktion erster Fktor ml zweiter Fktor gleich Produkt Jeder von drei Schülern soll 2 Äpfel bekommen. Ich benötigte sechs Äpfel. Mthemtisch ließe sich ds wie folgt formulieren: = 6. Bei zwnzig Schülern wird die Aufgbe etws lng und umständlich. D lle Schüler die gleiche Anzhl Äpfel bekommen sollen, knn mn ds zusmmenfssen: 3. 2 = 6 Sollen zwei Schüler jeweils drei Äpfel bekommen, brucht mn ebenflls sechs Äpfel: 2. 3 = 6. Bei Multipliktionen können die Fktoren getuscht werden. Kommuttionsgesetz (Vertuschungsgesetz) für die Multipliktion. b = b. Fktoren sind vertuschbr = 6 und 3. 2 = Division Dividend durch Divisor gleich Quotient Zwölf Äpfel sollen gleichmäßig uf vier Schüler ufgeteilt werden. Jeder Schüler erhält drei Äpfel. Mthemtische Formulierung: 12 : 4 = 3. Für ds Rechnen mit ntürlichen Zhlen muss der Dividend ein Vielfches des Divisors oder gleich groß wie der Divisor sein, sonst wäre die Aufgbe im Bereich der ntürlichen Zhlen nicht lösbr. Oft gibt mn uch den nicht verwendeten Rest n. 14 Äpfel sollen uf vier Schüler gleichmäßig verteilt werden. Jeder Schüler erhält drei Äpfel. Zwei Äpfel bleiben übrig. Mthemtisch wird wie folgt formuliert: 14 : 4 = 3 Rest 2

4 2. Primzhlen, Teilbrkeit ntürlicher Zhlen, g.g.t., k.g.v. Jede ntürliche Zhl (ußer null und eins) ist durch eins und durch sich selbst teilbr. Diese Teiler heißen trivile Teiler. Ist eine ntürliche Zhl durch ndere ntürliche Zhlen teilbr und ergibt die Division wiederum eine ntürliche Zhl, so nennt mn diese echte Teiler. Echte Teiler können nur us Primzhlen oder us Primzhlen und zusmmengesetzten Zhlen (s.u.) bestehen. 8 trivile Teiler: 1 und 8 echte Teiler: 2 und 4 Teilbrkeit von Zhlen bechte uch Teilbrkeitsregeln (siehe Formelsmmlung Mthe) Zhlen, welche keine echten Teiler besitzen, nennt mn Primzhlen. Primzhlen sind nur durch 1 und durch sich selbst teilbr. Die Zhl 1 zählt nicht zu den Primzhlen. Schem zur Ermittlung der Primzhlen Vor 2200 Jhren wendete der griechische Gelehrte ERATOSTHENES folgendes Schem zur Ermittlung der Primzhlen n: (Beispiel) Eine Liste mit der Folge der ntürlichen Zhlen b zwei. 1. Die erste Zhl ist die zwei. Alle Vielfchen von zwei werden gestrichen: 4; 6; 8; 10; Die nächste Zhl ist die drei. Alle Vielfchen von drei werden gestrichen: 6; 9; 12; 15; Die nächste Zhl ist die fünf.(die vier wurde bereits gestrichen.) Alle Vielfchen von fünf werden gestrichen (flls nicht bereits geschehen): 10; 15; 20; 25; 30; Die nächste Zhl ist die sieben. (Die Zhl sechs wurde bereits gestrichen.) Alle Vielfchen von sieben werden gestrichen, soweit nicht bereits geschehen: 14; 21; 28; 35; Die nächste Zhl ist Zhl elf. (Die Zhlen cht, neun, zehn wurden bereits gestrichen) Alle Vielfchen von elf... usw. Die Zhlen, welche "durch ds Sieb fllen" und übrig bleiben, nennt mn Primzhlen. Diese Methode ist ls "ds Sieb des ERATHOSTHENES" in der Mthemtik weit beknnt. Für die Zhlen bis 100 ergeben sich folgende Primzhlen: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97 Die Primzhlen sind zwr eine Teilmenge der ntürlichen Zhlen, ber die Menge der Primzhlen ist ebenflls unendlich groß. Zusmmengesetzte Zhlen sind ls Produkt us mindestens zwei Primzhlen ufzufssen. Zerlegung einer Zhl in Primfktoren Mn beginnt mit der kleinsten möglichen Primzhl und trennt diese Schritt für Schritt b, bis keine zusmmengesetzte Zhl mehr vorhnden ist = = = = = = = =

5 Größter gemeinsmer Teiler (g.g.t.) Der g.g.t. ist ds Produkt us den Primfktoren, die in llen Zhlen gemeinsm vorkommen. Diese gemeinsm vorkommenden Primfktoren werden einml zum Anstz gebrcht. 36 = = = = 126 g.g.t. = = 18 Die nicht benötigten Primfktoren geben n, wie oft der g.g.t. in der betreffenden Zhl enthlten ist. Um den g.g.t. zweier großer Zhlen zu ermitteln, benutzt mn den EUKLIDischen Algorithmus: Mn dividiert die größere Zhl durch die kleinere Zhl. Nun wird die kleinere Zhl durch den soeben erhltenen Rest dividiert. Der ursprüngliche Resr wird durch den soeben erhltenen Rest dividiert. Diese Rechnung wird fortgesetzt, bis die Division restlos ufgeht. Der letzte Divisor ist der g.g.t. der beiden Zhlen. g.g.t. der Zhlen 768 und : 768 = 1 Rest : 592 = 1 Rest : 176 = 3 Rest : 64 = 2 Rest : 48 = 1 Rest : 16 = 3 Der g.g.t. von 768 und 1360 lutet 16. Kleinstes gemeinsmes Vielfches (k.g.v.) Ds k.g.v. ist ds Produkt us llen vorhnden Primfktoren. Die Primfktoren, welche in mehreren Zhlen gleichzeitig enthlten sind, kommen nur einml ls Fktor zur Anwendung. 36 = = = = 252 k.g.v. = = 252 Die "gedchten Fktoren in den Lücken" geben n, wie oft die betreffende Zhl im k.g.v. enthlten ist.

6 3. Rechenregeln der gnzen Zhlen Der Zhlenbereich der gnzen Zhlen besteht us den negtiven gnzen Zhlen, der Zhl Null und den positiven gnzen Zhlen, welche ls ntürliche Zhlen bereits beknnt sind. Die Menge der gnzen Zhlen ist unendlich groß. Positive gnze Zhlen hben ein + ls Vorzeichen. Beim Rechnen knn ds + weggelssen werden, die positiven gnzen Zhlen können wie ntürliche Zhlen behndelt werden. Die negtiven gnzen Zhlen hben ein - ls Vorzeichen, dieses drf niemls weggelssen werden. Um die Vorzeichen + und - von den Rechenopertionen Addition und Subtrktion unterscheiden zu können, dürfen Klmmern verwendet werden. (+7) + (-4) = (+3) Zu jeder positiven oder negtiven Zhl gibt es eine weitere Zhl, welche sich nur durch ds Vorzeichen unterscheidet. Die beiden Zhlen bezeichnet mn ls entgegengesetzte Zhlen. Der (bsolute) Betrg einer gnzen positiven Zhl ist die Zhl selbst. Der (bsolute) Betrg einer gnzen negtiven Zhl ist die entgegengesetzte Zhl. Somit hben entgegengesetzte Zhlen den gleichen Betrg. Sonderfll: 0 = 0 Beispiele: +7 = +7 = 7 sprich: Betrg von +7 gleich 7-4 = +4 = 4 sprich: Betrg von -4 gleich 4 Vorzeichenregeln Addition nur positiver gnzer Zhlen Addition nur negtiver gnzer Zhlen Addition positiver und negtiver Zhlen Subtrktion positiver und negtiver Zhlen (die Zhlen werden subtrhiert, in dem mn die jeweils entgegengesetzte Zhl ddiert) Multipliktion positiver und negtiver gnzer Zhlen (+) + (+b) = +(+b) (-) + (-b) = -(+b) wenn >b dnn gilt: (+) + (-b) = +(-b) wenn <b dnn gilt: (+) + (-b) = -(b-) (+) - (-b) = (+) + (+b) (+) - (+b) = (+) + (-b) (+) (+b) = +( b) (-) (-b) = +( b) (+) (-b) = -( b) (-) (+b) = -( b) Division positiver und negtiver gnzer (+) : (+b) = +( : b) Zhlen * (-) : (-b) = +( : b) (+) : (-b) = -( : b) (-) : (+b) = -( : b) * Hinweise: Ds Ergebnis der Division ist nur dnn eine gnze Zhl, wenn ein Vielfches von b ist. Ebenso drf b nicht null sein.

7 4. Rechnen mit der Zhl Null Addition und Subtrktion + 0 = 0 + = - 0 = 0 - = - Sonderfll: = = 0 Multipliktion 0 = 0 0 = 0 Sonderfll: 0 0 = 0 Division 0 : = 0 drf nicht 0 sein : 0 ist nicht definiert und uch nicht usführbr

8 5. Bruchrechnung Ein in der Form geschriebenes Pr ntürlicher Zhlen und b wird (gemeiner) b Bruch gennnt. b drf nicht null sein. Bruch Zähler Nenner Zähler < Nenner Zähler > Nenner Zähler = 1 echter Bruch unechter Bruch Stmmbruch Erweitern, Kürzen von Brüchen Mn erweitert einen Bruch, indem mn Zähler und Nenner mit der gleichen ntürlichen Zhl (ußer null) multipliziert. Ein Bruch knn immer erweitert werden. Mn kürzt einen Bruch, indem mn Zähler und Nenner durch einen gemeinsmen Teiler dividiert. Ds Kürzen durch eins verändert den Bruch nicht. Ds Kürzen durch null ist definiert. Gleichnmige Brüche Gleichnmige Brüche besitzen den gleichen Nenner, Brüche mit verschiedenen Nennern sind ungleichnmig. Durch zweckmäßige Erweiterung können Brüche gleichnmig gemcht werden. Ds k.g.v. der Nenner mehrerer Brüche wird Huptnenner gennnt. Reziproke (Kehrwert) eines Bruches Ds Reziproke des Bruches b lutet: b.

9 Addition von Brüchen Brüche werden ddiert, indem mn bei gleichnmigen Brüchen nur die Zähler ddiert. Ungleichnmige Brüche müssen vor der Addition erst gleichnmig gemcht werden. b c b = c b b drf nicht null sein = 5 7 b c d = d b d b c d b c = b d b d b und d dürfen nicht null sein = = Multipliktion von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem mn jeweils die Zähler und die Nenner der Brüche multipliziert. b c d = c b d Beispiel : = 6 35 Subtrktion von Brüchen Brüche werden subtrhiert, indem mn bei gleichnmigen Brüchen nur die Zähler subtrhiert. Ungleichnmige Brüche müssen vor der Subtrktion erst gleichnmig gemcht werden. b c b = c b b drf nicht null sein muss gleich oder größer ls c sein = 2 7 b c d = d b d b c d b c = b d b d b und d dürfen nicht null sein = = 1 35 Division von Brüchen Brüche werden dividiert, indem mn den Dividenden mit dem Reziproken (Kehrwert) des Divisors multipliziert. Die Division durch null ist nicht erlubt. b : c d = b d c b und c und d dürfen nicht null sein 2 5 : 3 7 = = 14 15

10 6. Dreistz, Prozentrechnung, Zinsrechnung 6.1. Dreistz Mit einem Dreistz bestimmt mn us drei beknnten Größen eine vierte unbeknnte Größe, wenn die Größen proportionl sind. Dbei wird von mehreren Einheiten uf den Wert einer Einheit geschlossen, dnn wird wieder der neue Wert einer Mehrheit ermittelt. direkter Dreistz indirekter Dreistz doppelter Dreistz (erweiterter Dreistz) Größen direkt proportionl Größen indirekt proportionl us fünf beknnten Größen wird eine sechste Größe ermittelt direkter Dreistz 5 kg Krtoffeln kosten 2,00. Wieviel kosten 3 kg Krtoffeln? 1 kg Krtoffeln kosten 2 5 kg =0,40 3 kg Krtoffeln kosten 3 0,40 = 1,20. indirekter Dreistz Für ein Buwerk benötigen 10 Arbeiter 20 Tge, wie lnge benötigen 16 Arbeiter? 10 Arbeiter 20 Tge = 1 Arbeiter 200 Tge 200 Tge : 16 Arbeiter = 12,5 Tge doppelter Dreistz 5 Mschinen produzieren in 10 Tgen 200 Teile, wieviele Mschinen produzieren in 2 Tgen 160 Teile? 200 : 10 : 5 = 160 : 2 : x x = 20 Mschinen

11 6.2. Prozentrechnung Mit Hilfe der Prozentrechnung lssen sich Verhältnisse sehr einfch vergleichen. Der Begriff Prozent stmmt us dem Lteinischen: pro centum und heißt wörtlich: für Hundert, frei übersetzt bedeutet ds: Hundertstel. 1 Prozent einer Zhl ist 1 Hundertstel dieser Zhl. Für Prozent wird häufig ds Symbol % verwendet. P p = G 100 P Prozentwert p Prozentstz in % G Grundwert Berechnung des Grundwertes G = P 100 p Berechnung des Prozentstzes Berechnung des Prozentwertes p = P 100 G P = G p 100 Beispiel 1: Wieviel sind 3 % von 200? Berechnung des Prozentwertes: P = G p 100 = % 100% = 6 Beispiel 2: 6 sind 3 % von welchem Grundwert? Berechnung des Grundwertes: G = P 100 p = 6 100% 3 % = 200 Beispiel 3: Wieviel % sind 6 von 200? Berechnung des Prozentstzes: p = P 100 G = % = 3 % Zinsrechnung Zinsen sind Vergütungen für ds Bereitstellen von Geldnlgen über bestimmte Zeiträume. Zinsen = Geldbetrg Zinsstz % 100 % Der Zinsstz wird oft für den Zeitrum von einem Jhr ngegeben. Wieviel Zinsen erhält mn, wenn ein Kpitl von 600 mit einem Jhreszinstz von 4 % für die Duer von 10 Monten verzinst wird? Zinsen = % 100 % 10Monte 12Monte = 20

12 7. Rechenregeln der reellen Zhlen (Potenzen, Wurzeln, Logrithmen) 7.1. Potenzrechnung, Potenzieren (Potenzgesetze siehe Formelsmmlung) Unter einer Potenz b (sprich: hoch b) versteht mn ein Produkt us gleichen Fktoren mit der Anzhl b. b Potenz b = c Bsis (Grundzhl) b Exponent (Hochzhl) c Potenzwert 2 3 = = 8 Bei positiver Bsis ist der Potenzwert immer positiv. Bei negtiver Bsis ist der Potenzwert bei gerden Exponenten positiv. Bei negtiver Bsis ist der Potenzwert bei ungerden Exponenten negtiv. Alle Qudrte sind positiv. Addition und Subtrktion von Potenzen ist nur bei gleicher Bsis und gleichen Exponenten möglich. Multipliktion und Division von Potenzen ist möglich, bei gleicher Bsis oder bei gleichen Exponenten. Potenzieren von Potenzen erfolgt durch Multipliktion der Exponenten, unter Beibehltung der Bsis (+) 2n = + 2n (+) 2n+1 = + 2n+1 (-) 2n = + 2n (-) 2n+1 = - 2n+1 (+)² = (-)² = +² m ² + n ² = (m+n) ² m n = m+n m : n = m-n = m b m = ( b) m m : b m = 2 b ( m ) n = m n (gerder Exponent) (ungerder Exponent) (gerder Exponent) (ungerder Exponent) 1 n m Sonderfälle: 1 = 0 = 1

13 7.2. Wurzelrechnung, Rdizieren (Wurzelgesetze siehe Formelsmmlung) b = c Der Ausdruck vor dem Gleichheitszeichen wird ls Wurzel bezeichnet. Es ist die -te Wurzel us b. Wurzelexponent b Rdiknd (drf nicht negtiv sein) c Wurzelwert Ds Rdizieren knn ls eine Umkehrrechenrt des Potenzierens ngesehen werden = 6 weil: 6 2 = 36 Bei Qudrtwurzeln bzw. bei der 2-ten Wurzel us..., knn der Wurzelexponent 2 weggelssen werden. 2 b = b = 2 3 Bechte: weil: b = b 2 3 = = = = 2 weil: 2 4 = 16 Wurzeln ls Potenzen mit gebrochenem Exponenten x = 1 x x y = y x

14 7.3. Logrithmieren Ds Logrithmieren knn ls Gegenopertion zum Potenzieren ngesehen werden. log b = c Der Ausdruck vor dem Gleichheitszeichen wird ls Logrithmus bezeichnet. Bsis b Logrithmnd, oder uch: Numerus c Logrithmuswert log 6 36 = 2 weil: 6 2 = 36 Die Logrithmuswerte können ls die Exponenten der dzugehörigen Potenzen ufgefsst werden. Beispiele log 2 16 = 4 weil: 2 4 = 16 log 6 36 = 2 weil: 6 2 = 36 dekdische Logrithmen = Logrithmen der Bsis 10 Bechte: log 10 = lg lg 1000 = 3 weil: 10 3 = 1000 Die Logritmuswerte, welche zu den Logrithmnden von 1 bis kleiner 10 gehören, heißen Mntissen. lg 1 = lg 9, = 0,... Die Gnzzhlen der Logritmuswerte heißen Kennzhlen. lg lg 99, = 1,... weil: 10 1 = 10 lg lg 999, = 2,... weil: 10 2 = 100 lg lg 9999, = 3,... weil: 10 3 = 1000 lg lg , = 4,... weil: 10 4 = Die Kennzhlen für Logrithmnden zwischen 0 und 1 luten: lg 0,1... lg 0, = 0, weil: 10-1 = 0,1 lg 0,01... lg 0, = 0, weil: 10-2 = 0,01 lg 0, lg 0, = 0, weil: 10-3 = 0,001 ntürliche Logrithmen = Logrithmen der Bsis e (Eulersche Zhl) Bechte: log e = ln (ln = logrithmus nturlis)