Analysis I. Jörg Eschmeier. Universität des Saarlandes. Wintersemester 2018/19

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1 Anlysis I Jörg Eschmeier Universität des Srlndes Wintersemester 208/9

2 Inhltsverzeichnis Induktion 3 2 Körperxiome 8 3 Anordnungsxiome 3 4 Konvergenz von Folgen 9 5 Vollständigkeit 27 6 Unendliche Reihen 33 7 Die Exponentilreihe 4 8 Punktmengen 43 9 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 49 0 Eigenschften stetiger Funktionen 54 Logrithmus und llgemeine Potenzen 58 2 Komplexe Zhlen 64 3 Die trigonometrischen Funktionen 68 4 Differentilrechnung 74 5 Lokle Extrem und Mittelwertsätze 8 6 Ds Riemnn-Integrl 85 7 Differentil- und Integrlrechnung 94

3 8 Uneigentliche Integrle 02 9 Funktionenfolgen Tylorreihen 0

4 Induktion Wir bezeichnen mit Z = {..., 2,, 0,, 2,...}, { } p Q = ; p, q Z und q 0 q die Mengen der ntürlichen, gnzen, rtionlen Zhlen und mit R die Menge der reellen Zhlen. Sind A, B beliebige Mengen, so schreiben wir x A A B A B A B für x ist ein Element von A, für jedes x A gehört uch zu B, = {x; x A oder x B}, = {x; x A und x B}. Ist A B, so nennt mn B \ A = {x B x / A} ds Komplememt von A in B. Ist A X gegeben ls Teilmenge einer fest vorgegebenen Menge X, die us dem Zusmmenhng herus klr ist, so schreibt mn A c = {x X; x / A} für ds Komplement von A in X. Eine Abbildung (Funktion) f : A B, x f(x) ist eine Vorschrift, die jedem Element x A einer Menge A ein Element f(x) B einer Menge B zuordnet. Mn nennt f injektiv, flls us f(x) = f(y) folgt, dss x = y ist, surjektiv, flls zu jedem y B ein x A existiert mit f(x) = y, bijektiv, flls f injektiv und surjektiv ist. Ist f : A B bijektiv, so schreibt mn f : B A für die Funktion mit f(f (y)) = y für lle y B (Umkehrfunktion). Ist f : A B eine Abbildung und sind M A, N B Teilmengen, so nennt mn die Menge f(m) = {f(x); x M} 3

5 ds Bild von M unter f und die Menge ds Urbild von N unter f. f (N) = {x A; f(x) N} Sind f : A B, g : B C Abbildungen, so nennt mn die Abbildung die Komposition von g und f. g f : A C, x g(f(x)). Wir setzen vorus, dss die Menge N der ntürlichen Zhlen ds folgende Axiom erfüllt: Peno-Axiom: Ist n 0 N und ist M N eine Teilmenge mit (i) n 0 M, (ii) us n M und n n 0 folgt, dss n + M, so gilt {n N; n n 0 } M. Auf diesem Axiom beruht die Gültigkeit des Induktionsprinzips: Sei n 0 N. Möchte mn zeigen, dss für lle n N mit n n 0 eine Aussge E(n) gilt, genügt es zu zeigen: (i) E(n 0 ) ist richtig, (ii) ist n n 0 und gilt die Aussge E(n), so gilt uch die Aussge E(n + ). Beispiel: Wir wollen durch Induktion zeigen, dss die Formel für lle n N gilt n = n(n + ) 2 Beweis. Induktionsnfng n = 0: Offensichtlich gilt die Formel für n = 0. Induktionsschritt n n +, n 0: Induktionsvorussetzung : Sei n = Induktionsschluss : n + (n + ) = Es gilt n(n + ) (n + ) = n(n + ) 2 schon gezeigt. (n + )(n + 2). 2

6 Summen und Produktzeichen: Sind m, n Z mit m n und sind m,..., n R, so definieren wir n j = m + m n, j=m n j = m m+... n. j=m Für m,..., n, b m,..., b n R, c R, k Z gilt: (i) ( n ) ( j=m n ) j + j=m b j = n j=m ( j + b j ), ) ( n (ii) c j=m j = n j=m (c j), (iii) n k j=m k j+k = n j=m j. Die Eigenschften (i) und (iii) gelten entsprechend uch für Produkte. Für n < m definiert mn: n j = 0, j=m n j =. j=m Wir erinnern n die Definition der Binomilkoeffizienten. Definition.. Für n N definiert mn n n! = k k= (n Fkultät). Gemäß der oben erklärten Konvention über rückläufige Produkte ist 0! =. Stz.2. Sei {x,..., x n } eine n-elementige Menge. Dnn ist n! gleich der Anzhl der Möglichkeiten, die n Elemente x,..., x n uf n Plätze zu verteilen. Beweis. (Induktion nch n) Induktionsnfng n = : Für n = gibt es offensichtlich =! Möglichkeiten, ein Element x uf einen Pltz zu verteilen. Induktionsschritt n n +, n : Induktionsvorussetzung: Wir setzen vorus, dss die Aussge für n gezeigt ist. Induktionsschluss: Sei {x,..., x n+ } eine (n + )-elementige Menge. Auf Pltz knn mn setzen x oder x 2 oder... x n+. Zu jeder dieser n + Möglichkeiten gibt es nch Induktionsvorussetzung n! Möglichkeiten, die übrigen n Elemente uf die restlichen n Plätze zu verteilen. Insgesmt gibt es lso (n+)n! = (n+)! Möglichkeiten. 5

7 Definition.3. Für n, k N setzt mn ( ) n k n j + n(n )... (n k + ) = = k j k! j= Aus der Definition folgt: (Binomilkoeffizienten). (i) Für k > n ist ( n k) = 0, denn es ist n k + 0 n. (ii) Für 0 k n gilt: ( ) n k = n! k!(n k)!. (iii) Insbesondere ist ( n 0) = = ( n n) für lle n N. Lemm.4. Für k n gilt: ( ) ( ) ( ) n n n = +. k k k Beweis. Für k = n gilt ( ) ( n n = = + 0 = n ) ( n + n ) n. Für k n ist ( ) ( ) n n + k k = = (n )! (k )!(n k)! + (n )! k!(n k)! k(n )! + (n k)(n )! k!(n k)! Stz.5. Für n N mit n und k {,..., n} ist = n! k!(n k)! = ( n ) k = Anzhl der k-elementigen Teilmengen von {,..., n}. ( ) n. k Beweis. (Induktion) (IA) n = : Für n = und k = ht die einelementige Menge {} genu eine einelementige Teilmenge und es gilt uch ( ) =. (IS) n n +, n : Wir setzen vorus, dss die Behuptung für eine Zhl n gezeigt ist. Sei k {,..., n + }. Für k = ist ( ) n+ = n + gleich der Anzhl der -elementigen Teilmengen von {,..., n + }. Für k = n + ist ( n+) = gleich der Anzhl der (n + )-elementigen Teilmengen von {,..., n + }. Für k = 2,..., n folgt mit der Induktionsvorussetzung und Lemm.4 Anzhl der k-elementigen Teilmengen von {,..., n + } = Anzhl der k-elementigen Teilmengen A {,..., n + } mit n + A = + Anzhl der k-elementigen Teilmengen A {,..., n + } mit n + / A ( ) ( ) ( ) n n n + + =. k k k Diese Beobchtung beendet den Beweis. 6

8 Als Folgerung erhält mn insbesondere, dss ( n k) N ist für lle n, k N. Stz.6 (Binomiltheorem). Für x, y R und n N gilt: Beweis. (Induktion) (IA) n = 0: Es ist (x + y) 0 = = ( 0 0) x 0 y 0 0. (IS) n n +, n 0: (x + y) n = Sei die Behuptung gezeigt für n. Dnn gilt: n ( ) n x k y n k. k n ( ) n (x + y) n+ = (x + y)(x + y) n = (x + y) x k y n k k n ( ) n n ( ) n = x k+ y n k + x k y n+ k k k n+ ( ) n n ( ) n = x k y n+ k + x k y n+ k k k k= n (( ) ( )) n n = x n+ + + x k y n+ k + y n+ k k k= n+ ( ) n + = x k y n+ k. k Dbei hben wir im letzten Schritt Lemm.4 benutzt. Stz.7 (Geometrische Summen). Für x R \ {} und n N gilt: Beweis. (Induktion) (IA) n = 0: Für n = 0 ist n xk = x 0 = = x0+ x. (IS) n n +, n 0: Sei die Behuptung gezeigt für n. Dnn gilt n+ x k = n n x k = xn+ x. x k + x n+ = xn+ x + xn+ = xn+ + x n+ x n+2 = xn+2 x x. Diese Beobchtung beendet den induktiven Beweis. 7

9 2 Körperxiome Definition 2.. Eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + : K K K, (x, y) x + y (Addition) : K K K, (x, y) x y (Multipliktion) heißt Körper, flls (K) K mindestens zwei Elemente ht, (K2) für lle x, y, z K gilt: (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz) (Assositivgesetze), x + y = y + x, xy = yx (Kommuttivgesetze), x(y + z) = xy + xz, (Distributivgesetz), (K3) es Elemente 0, K gibt so, dss für lle x K gilt: x + 0 = x, x = x, für lle x K existiert ein x K mit x + x = 0, für lle x K = K \ {0} existiert ein x K mit xx =. Die Elemente 0, in (K3) nennt mn neutrle Elemente, die Elemente x, x inverse Elemente bezüglich der Addition und Multipliktion. Bemerkung 2.2. () Die Elemente 0, in (K3) sind eindeutig bestimmt. (b) Zu jedem x K gibt es genu ein x K mit x + x = 0. (c) Zu jedem x K gibt es genu ein x K mit xx =. (d) Für lle x, y, z K gilt (x + y)z = xz + yz. Beweis. () Ist uch 0 K ein Element mit x + 0 = x für lle x K, so gilt: 0 = = = 0. Genuso folgt die Eindeutigkeit des Einselementes. (b) Sind x, x, x K mit x + x = 0 = x + x, so folgt x = x + 0 = x + (x + x ) = (x + x) + x = (x + x ) + x = 0 + x = x + 0 = x. (c) Die Eindeutigkeit des multipliktiven Inversen folgt nlog zu (b). (d) Für x, y, z K gilt: (x + y)z = z(x + y) = zx + zy = xz + yz. 8

10 Für x, y K, z K schreibt mn Stz 2.3. Sei K ein Körper. x für ds Element x K mit x + x = 0, x y sttt x + ( y), z für ds Element z K mit zz =, x z sttt xz. () Für, b K ht die Gleichung + x = b genu eine Lösung x, nämlich x = b. (b) Für 0 und b K ht die Gleichung x = b genu eine Lösung x, nämlich x = b. (c) Für, b K ist b = 0 genu dnn, wenn = 0 oder b = 0 ist. (d) Es gilt 0 = 0, 0 und =. Für x, y K, z, w K gilt: (e) ( x) = x, (z ) = z, (f) (x + y) = x y, (zw) = w z = z w, (g) ( x)y = (xy), ( x)( y) = xy. Beweis. () Seien, b K. Wegen + (b ) = + (b + ( )) = + (( ) + b) = ( + ( )) + b = 0 + b = b + 0 = b ht die Gleichung + x = b eine Lösung. Ist x K eine Lösung, so gilt: x = (( ) + ) + x = ( ) + ( + x) = ( ) + b = b + ( ) = b. (b) Teil (b) folgt genuso wie der Beweis von (), indem mn die Addition durch die Multipliktion und durch ersetzt. (c) Seien, b K. Zu zeigen ist: (i) Ist = 0 oder b = 0, so ist b = 0. (ii) Ist b = 0, so ist = 0 oder b = 0. Zum Beweis von (i) bechte, dss us 0b + 0 = 0b = (0 + 0)b = 0b + 0b mit dem Eindeutigkeitsteil von () die Identität 0 = 0b folgt. Entsprechend erhält mn, dss 0 = 0 gilt. Zum Beweis von (ii) bechte, dss us b = 0 und 0 folgt b = ( )b = (b) = 0 = 0. 9

11 (d) Aus = 0 folgt, dss 0 = 0 ist. Wäre = 0, so wäre x = x = x 0 = 0 für lle x K und K würde im Widerspruch zum Körperxiom (K) nur us dem Nullelement bestehen. Wegen = ist =. (e) Wegen ( x) + x = x + ( x) = 0 ist ( x) = x. Genuso folgt us (z )z = z(z ) =, dss (z ) = z ist. (f) Wegen (x + y) + ( x y) = (x + y) + ( y x) = x + (y + ( y x)) = x + ((y + ( y)) x) = x + (0 x) = x x = 0 ist (x + y) = x y. Die entsprechende Aussge für die Multipliktion folgt genu so us zw(w z ) = z(w(w z )) = z((ww )z ) = z(z ) =. (g) Die beiden Behuptungen folgen us (xy) + ( x)y = (x x)y = 0y = 0, ( x)( y) = (x( y)) = (( y)x) = ( (yx)) = yx = xy. Definition 2.4. Für p, q Z mit p q und p,..., q K definiert mn q i = (... ((( p + p+ ) + p+2 ) + p+3 )...) + q, i=p q i = (... ((( p p+ ) p+2 ) p+3 )...) q. i=p Durch wiederholte Anwendung der Gesetze knn mn induktiv nch der Länge der Summen (Produkte) die Gültigkeit der in (K2) verlngten Eigenschften uf beliebig lnge, endliche Summen (Produkte) verllgemeinern. Allgemeines Assozitivgesetz: Alle möglichen Beklmmerungen von führen zum selben Ergebnis. p q und p... q Allgemeines Kommuttivgesetz: Ist {i p,..., i q } = {p,..., q}, so gilt: ip iq = p q und ip... iq = p... q. Allgemeines Distributivgesetz: Für,..., n, b,..., b m K gilt: ( n ) ( m n m m n ) i b j = i b j = i b j. i= j= i= Beweise findet mn etw in Kpitel I des Buches Differentil- und Integrlrechnung I von Gruert und Lieb. j= j= i= 0

12 Definition 2.5. Sei K ein Körper und seien x K, n N mit n > 0. Mn definiert x 0 =, x n = x... x (n-ml), x n = (x ) n für x 0 und entsprechend 0 N x = 0 K, nx = x x (n-ml), ( n)x = n( x). Stz 2.6 (Potenzgesetze). Für, b K und n, m N gilt: (i) n b n = (b) n, (ii) n m = n+m, (iii) ( n ) m = nm. Für, b K gelten dieselben Aussgen für lle n, m Z. Beweis. (i) Für n N folgt die Behuptung durch Induktion. (IA) n = 0: Es ist 0 b 0 = = = (b) 0. (IS) n n +, n 0: Ist die Behuptung für n gezeigt, so folgt n+ b n+ = ( n ) (b n b) = ( n b n )b = (b) n (b) = (b) n+. Seien, b K und n N, n > 0. Der Rest von (i) folgt us n b n = ( ) n (b ) n = ( b ) n = ((b) ) n = (b) n. (ii) Für n = 0 oder m = 0 gilt die Aussge offensichtlich. Für n, m > 0 folgt die Behuptung us dem llgemeinen Assozitivgesetz. Sei 0 und seien n, m > 0. Dnn gilt m n = ( ) m ( ) n = ( ) m+n = m+( n). Für m n gilt Für m > n ist m n = ( ) m m n m = ( ) m n m = m+n. m n = ( ) m n ( ) n n = ( ) m n ( ) n = m+n. Den letzten übrig bleibenden Fll erhält mn mit dem Kommuttivgesetz (iii) Folgt durch ähnliche Fllunterscheidungen. m n = n m = n+m = m n.

13 Beispiele 2.7. () Wir setzen vorus, dss (Q, +, ) und (R, +, ) Körper sind. Mn knn Z us N, Q us Z und R us Q so konstruieren, dss die Körperxiome erfüllt sind. Dies wird in späteren Vorlesungen klr werden. (2) Mn knn leicht nchprüfen, dss K = {0, } mit den Verknüpfungen = + = 0, 0 + = + 0 =, ein Körper ist. 0 0 = 0 = 0 = 0, = 2

14 3 Anordnungsxiome Für uns ist R ein Körper, in dem gewisse Elemente ls positiv usgezeichnet sind (geschrieben: > 0) und so, dss die folgenden Anordnungsxiome gelten: (A0) Für jedes R gilt genu einer der drei Fälle > 0, = 0, > 0. (A02) Für, b R mit > 0 und b > 0 gilt uch + b > 0 und b > 0. Ein solcher Körper heißt ngeordneter Körper. Definition 3.. Für, b R schreiben wir > b (oder b < ), b (oder b ), flls b > 0 ist, flls b > 0 oder b = 0 ist. Wir nennen die Elemente us R + = {x R; x > 0} die positiven Zhlen in R und die Elemente us R + = {x R; x 0} die nicht-negtiven reellen Zhlen. Folgerung 3.2. Für, b, c R gilt: (i) Für, b 0 ist uch + b 0 und b 0. Ist zusätzlich > 0 oder b > 0, so gilt uch + b > 0. (ii) Es ist (Reflexivität). (iii) Ist b und b, so ist = b (Antisymmetrie). (iv) Ist b und b c, so ist c (Trnsitivität). Gilt in der Vorussetzung zusätzlich mindestens einml >, so folgt uch > c. (v) Ist 0, so ist 2 > 0. Insbesondere ist = 2 > 0. Beweis. (i) Die Vorussetzung 0 und b 0 bedeutet, dss genu einer der vier Fälle > 0 und b > 0 oder > 0 und b = 0 oder = 0 und b > 0 oder = 0 und b = 0 vorliegt. In den ersten drei Fällen ist + b > 0, im letzten Fll ist + b = 0. Für die Multipliktion rgumentiert mn entsprechend. 3

15 (ii) Teil (ii) ist klr, d = 0 ist. (iii) Aus b und b folgt b 0 und ( b) = b 0. Wegen des ersten Anordnungsxioms (A0) muss b = 0 sein. (iv) Aus b und b c folgt mit Teil (i), dss c = ( b) + (b c) 0 ist. Auch der Zustz folgt us Teil (i). (v) Ist 0, so ist nch (A0) > 0 oder > 0 und dher 2 = ( ) 2 > 0 nch dem zweiten Anordnungsxiom (A02). Stz 3.3. Für, b, c R gilt: (i) Ist b, so ist uch + c b + c. (ii) Ist b und c 0, so ist c bc. Ist b und c 0, so ist c bc. Alles bleibt richtig, wenn mn überll durch > und durch < ersetzt. Beweis. (i) Für, b R mit b gilt ( + c) (b + c) = b 0, lso + c b + c. (ii) Für, b R mit b und c 0 ist c bc = ( b)c 0, lso c bc. Aus b und c 0 folgt, dss bc c = (b )c = ( b)( c) 0, lso bc c. Den Zustz beweist mn gnz genuso. Stz 3.4. Seien,..., n, b,..., b n R. () Gilt i b i für lle i =,..., n so ist n n i b i. i= i= Hier gilt <, wenn ußerdem i < b i ist für mindestens ein i. (b) Gilt 0 i b i für lle i =,..., n, so ist n n i b i. i= i= Hier gilt <, wenn ußerdem lle b i > 0 sind und i < b i ist für mindestens ein i. Beweis. Wir beweisen beide Teile durch Induktion nch n. Für n = sind die Aussgen in () und (b) offensichtlich richtig. Ist Teil () für Summen der Länge n gezeigt und sind,..., n, b,..., b n R gegeben mit i b i für i =,..., n, so folgt mit der Induktionsvorussetzung und Stz 3.3 ( n ) i + n ( n ) b i + n ( n i= i= i= ) b i + b n. Gilt ußerdem i < b i für ein i {,..., n } oder n < b n, so ist die erste oder zweite Ungleichung strikt. 4

16 Ist Teil (b) für Produkte der Länge n gezeigt und gilt 0 i b i für i =,..., n, so folgt mit der Induktionsvorussetzung und Stz 3.3 ( n ) i n i= ( n i= b i ) n ( n i= b i ) b n. Sind ußerdem lle b i > 0, so drf mn zum Beweis des Zustzes nnehmen, dss uch lle i > 0 sind. Gilt dnn i < b i für i {,..., n } oder n < b n, so ist die erste oder zweite Ungleichung zwischen den Produkten strikt. Folgerung 3.5. Aus Teil (b) von Stz 3.4 folgt direkt, dss für jede Zhl n N = N \ {0} die Funktion f : R + R, f(x) = x n streng monoton wächst (ds heißt für 0 x < y ist f(x) < f(y)). Stz 3.6. Für, b R gilt: () Ist > 0, so ist uch > 0. (b) Ist 0 < < b, so ist b <. (c) Es ist > 0. Beweis. In Folgerung 3.2 hben wir bereits begründet, dss > 0 ist. Sei > 0. Die Annhme 0 führt zu dem Widerspruch, dss = 0 = 0 gelten müßte. Ist 0 < < b, so folgt b = (b ) b > 0. Hierfür hben wir Teil () und ds zweite Anordnungsxiom benutzt. Definition 3.7 (Absolutbetrg). Für R nennt mn die Zhl, flls 0 =, flls < 0 den Betrg von. Mn sieht direkt, dss immer 0, = und, gilt. Stz 3.8. Für, c R gilt c c genu dnn, wenn c ist. Beweis. Gilt c und c, so ist c und c, lso uch c. Gilt umgekehrt c, so ist c und = c, lso c c. Die wichtigsten Eigenschften des Absolutbetrges fssen wir im nächsten Stz zusmmen. 5

17 Stz 3.9. Für, b R gilt: (i) 0 und = 0 ist äquivlent zu = 0. (ii) b = b. (iii) b + b + b (Dreiecksungleichung). Beweis. Der Teil (i) gilt offensichtlich. Zum Beweis von (ii) unterscheide mn die drei Fälle b > 0, b = 0, b < 0 und bechte, dss b {±b} ist. In (iii) beweisen wir zunächst die zweite Ungleichung. Nch Stz 3.8 gilt: und b b b. Mit Stz 3.4() folgt hierus, dss ( + b ) + b + b ist. Mit Stz 3.8 folgt die Gültigkeit der zweiten Ungleichung. Aus den beiden Ungleichungen = ( + b) + ( b) + b + b = + b + b, b = ( + b) + ( ) + b + folgt + b b + b, lso mit Stz 3.8 die erste Ungleichung. Definition 3.0 (Intervlle). Für, b R nennt mn die Mengen [, b] = {x R; x b}, ], b] = {x R; < x b}, [, b[= {x R; x < b}, ], b[ = {x R; < x < b} die bgeschlossenen, hlboffenen, offenen Intervlle von bis b. Mn schreibt uch (, b], [, b), (, b) sttt ], b], [, b[, ], b[. Stz 3. (Bernoullische Ungleichung). Für x R mit x gilt ( + x) n + nx für lle n N. Beweis. Wir benutzen Induktion nch n. Für n = 0 ist ( + x) 0 = = + 0x. Ist für ein n N gezeigt, dss die Ungleichung für lle x R, x, gilt, so folgt für jede solche Zhl x ( + x) ( + x) n ( + x) ( + nx) = + (n + )x + nx 2 + (n + )x. Dmit ist die Behuptung gezeigt. 6

18 Wir möchten ls nächstes zeigen, dss für x R + der Ausdruck ( + x) n beliebig groß wird, ds heißt für jedes K > 0 ein n N mit ( + x) n > K existiert. Wegen der Bernoullischen Ungleichung (Stz 3.) genügt es, dss nx > K ist. Findet mn zu x, K > 0 immer ein solches n? Es gibt ttsächlich ngeordnete Körper, in denen positive Elemente x > 0, K > 0 existieren so, dss für kein n N nx > K ist. Wir bruchen ein weiteres Axiom. Archimedisches Axiom: Die reellen Zhlen bilden einen ngeordneten Körper so, dss für lle x R + und y R ein n N existiert mit nx > y. Stz 3.2. Sei R R mit R >. Dnn gibt es zu jedem K R + ein n N mit R n > K. Beweis. Für R > ist x = R > 0 und nch dem Archimedischen Axiom gibt es zu jeder vorgegebenen Zhl K > 0 ein n N mit nx > K. Mit der Bernoullischen Ungleichung (Stz 3.) erhält mn die Abschätzung R n = ( + x) n + nx > K. Dmit ist die Behuptung gezeigt. Korollr 3.3. Sei 0 < r <. Dnn gibt es zu jedem ɛ > 0 ein n N mit r n < ɛ. Beweis. Ist 0 < r <, so ist R = r >. Also gibt es zu jedem ɛ > 0 ein n N mit Rn > ɛ. Mit Stz 3.6 folgt, dss gilt. r n = ( ) n = R R n < ɛ Definition 3.4. Sei M R und sei R eine reelle Zhl. Mn nennt (i) ds Mximum von M (geschrieben = mx M), flls M ist und x für lle x M gilt, (ii) ds Minimum von M (geschrieben = min M), flls M ist und x für lle x M gilt. 7

19 Bemerkung. () Endliche Mengen M R besitzen ein Mximum und Minimum. Dies folgt us dem Anordnungsxiom (A0) mit Induktion nch der Zhl der Elemente von M. (b) Unendliche Mengen M R bruchen weder ein Mximum noch ein Minimum zu hben. Beispiele sind Z oder ]0, [ (Bechte, dss für x ]0, [ gilt 0 < x 2 < x < x+ 2 < ). Stz 3.5. Für x R besitzt die Menge M = {m Z; m x} ein Mximum. Wir schreiben [x] = mx M. Beweis. Nch dem Archimedischen Axiom gibt es Zhlen p, q N mit q = q > x und p = p > x, lso mit p < x < q. Die Menge M = {m Z; p m x} [ p, q] Z ist endlich und nicht leer. Also existiert µ = mx M und offensichtlich gilt uch µ = mx M. Bemerkung. Für x R gilt x < [x] x. Dbei gilt die erste Ungleichung, d sonst [x] + x folgen würde. Korollr 3.6. Jedes Intervll positiver Länge enthält unendlich viele rtionle Zhlen. Beweis. Seien, b R mit < b. D für n N gilt n ] + k k + (b ), + (b )[ ], b[, n n wobei die Intervlle links prweise disjunkt sind, genügt es zu zeigen, dss ], b[ mindestens eine rtionle Zhl enthält. D b > 0 ist, gibt es nch dem Archimedischen Axiom ein q N mit q(b ) >. Dnn gibt es ein p Z mit p ]q, qb (p = [qb] ht diese Eigenschft). Wegen < p q < b ist die gewünschte rtionle Zhl in ], b[ gefunden. 8

20 4 Konvergenz von Folgen Definition 4.. Sei M eine Menge. Ist n 0 Z und für jedes n Z mit n n 0 ein n M gegeben, so nennt mn die Abbildung {n Z; n n 0 } M, n n eine Folge in M. Abkürzend schreibt mn für eine solche Abbildung uch ( n ) n n0 oder ( n0, n0+, n0+2...). Einfche Beispiele von Folgen sind (i) die konstnten Folgen n = für lle n N, (ii) die hrmonische Folge n = n für n, (iii) geometrische Folgen n = r n für n N mit beliebigen festen r R. Definition 4.2 (Konvergenz). Sei ( n ) n N eine Folge in R und sei R. Mn sgt, die Folge ( n ) n N konvergiert gegen (geschrieben: lim n n = oder ( n ) (n ) ), flls für jede Zhl ɛ > 0 ein n 0 N existiert mit n < ɛ für lle n N mit n n 0. Mn sgt, dss die Folge ( n ) n N divergiert, flls ( n ) n N gegen keine reelle Zhl konvergiert. Entsprechend definiert mn die Konvergenz von Folgen ( n ) n n0. Beispiele 4.3. () Ist ( n ) n N eine konstnte Folge mit n = für lle n, so gilt lim n n =. Denn für jedes ɛ > 0 gilt n = 0 < ɛ für lle n 0. Also knn mn n 0 = 0 wählen für jedes ɛ > 0. (2) Für die hrmonische Folge gilt lim n n = 0. Denn zu ɛ > 0 gibt es nch dem Archimedischen Axiom ein n 0 N mit n 0 > ɛ. Für lle n n 0 gilt dnn n 0 = n n 0 < ɛ. (3) Sei c R \ {0} und n = ( ) n c für lle n N. Die so definierte Folge ( n ) n N divergiert. Wir beweisen diese Aussge durch Widerspruch. Wäre lim n n = für eine reelle Zhl, so würde es zu ɛ = c > 0 ein n 0 N geben mit n < ɛ für lle n n 0. Für n n 0 würde folgen, dss 2 c = n n+ = ( n ) + ( n+ ) n + n+ < 2ɛ = 2 c. Dieser Widerspruch zeigt, dss ( n ) n N divergiert. (4) Für die durch n = n2 + n 2 +2 (n N) definierte Folge gilt lim n n =. Denn für n ist n = n 2 + n = n < n 2 n, und nch (2) gibt es zu ɛ > 0 ein n 0 N mit n 0 < ɛ. Für n n 0 folgt dnn n n n 0 < ɛ. 9

21 (5) Sei c R mit c <. Dnn ist lim n c n = 0. Denn ist ɛ > 0, so gibt es nch Korollr 3.3 ein n 0 N mit c n0 < ɛ und für lle n n 0 folgt c n = c n = c n n0 c n0 c n0 < ɛ. Stz 4.4 (Eindeutigkeit des Grenzwertes). Ist ( n ) n N eine Folge in R und konvergiert ( n ) n N gegen R und gegen b R, so ist = b. Beweis. Sei ɛ > 0. Nch Definition der Konvergenz gibt es zu ɛ 2 > 0 Indizes n, n 2 N mit n < ɛ 2 für lle n n und n b < ɛ 2 für lle n n 2. Für n = mx(n, n 2 ) gilt dnn b = ( n ) + ( n b) n + n b < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Also ist b < ɛ für jedes ɛ > 0. Dies impliziert, dss = b ist. Definition 4.5. Sei ( n ) n N eine Folge in R. Mn nennt die Folge ( n ) n N nch oben (bzw. nch unten) beschränkt, flls ein A R existiert mit n A für lle n N (bzw. n A für lle n N). In diesem Fll nennt mn A eine obere (bzw. untere) Schrnke für ( n ) n N. Die Folge ( n ) n N heißt beschränkt, wenn sie nch oben und unten beschränkt ist. Bemerkung. Eine Folge ( n ) n N in R ist beschränkt genu dnn, wenn die Folge ( n ) n N der Absolutbeträge beschränkt ist. Dies sieht mn folgendermßen. Ist ( n ) n N beschränkt, so gibt es A, B R mit A n B für lle n. Für M = mx( A, B ) gilt dnn M A A n B B M und dmit n M für lle n N (Stz 3.8). Ist umgekehrt ( n ) n N beschränkt, so gibt es ein A R mit n A für lle n N. Mit Stz 3.8 folgt, dss A n A ist für lle n N. Stz 4.6. Jede konvergente Folge ( n ) n N in R ist beschränkt. Beweis. Sei lim n n =. Dnn gibt es zu ɛ = ein n 0 N mit n < für lle n > n 0. Für n > n 0 gilt dnn Setzt mn M = mx{ +, 0,..., n0 }, so ist n = ( n ) + n + < +. n M für lle n N. 20

22 Die Umkehrung von Stz 4.6 ist ntürlich flsch. Die Folge (( ) n ) n N ist beschränkt, ber nch Teil (3) von Beispiel 4.3 divergent. Stz 4.7 (Grenzwertsätze). Seien ( n ) n N, (b n ) n N Folgen in R und seien, b, λ R reelle Zhlen so, dss ist. Dnn gilt: () lim n ( n + b n ) = + b, (b) lim n ( n b n ) = b, (c) lim n (λ n ) = λ. lim n =, n lim b n = b n (d) Ist b 0, so gibt es ein n 0 N mit b n 0 für lle n n 0. Für jedes solche n 0 gilt ( n (n ) b n ) n n0 b. Beweis. () Sei ɛ > 0. Dnn existieren zu ɛ 2 > 0 Indizes n, n 2 N mit n < ɛ 2 für n n, b n b < ɛ 2 für n n 2. Für lle n n 0 = mx(n, n 2 ) gilt ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) n + b n b < ɛ. (b) Für lle n N folgt mit Stz 3.9, dss n b n b = ( n )b n + (b n b) n b n + b n b. Nch Stz 4.6 existiert eine reelle Zhl M > mit b n M für lle n N. Sei jetzt ɛ > 0 beliebig. Dnn gibt es n, n 2 N so, dss gilt. Dnn folgt für lle n n 0 = mx(n, n 2 ) n < ɛ 2M für n n und b n b < ɛ 2M für n n 2 n b n b n b n + b n b M( n + b n b ) < ɛ. (c) Teil (c) folgt, indem mn in Teil (b) die Folge (b n ) n N ls die konstnte Folge b n = λ (n N) wählt. (d) Sei b = lim n b n 0. Dnn gibt es zu ɛ = b 2 > 0 ein N N mit b n b < ɛ für lle n N. Mit der Dreiecksungleichung us Stz 3.9 erhält mn b n = b + (b n b) b b n b > b b 2 = b 2 > 0 2

23 für n N. Sei n 0 N irgendein Index mit b n 0 für lle n n 0 und sei N N wie oben gewählt. Wir zeigen zunächst, dss ( b n ) n n0 gegen b konvergiert. Zum Beweis bechte mn zuerst, dss b n b = b b n b n b b b 2 n b 2 für lle n mx(n 0, N) gilt. Ist ɛ > 0 beliebig, so gibt es ein n ɛ N mit n ɛ mx(n 0, N) und b n b < b 2 2 ɛ für lle n n ɛ. Für diese n gilt dnn b n b b b 2 n b 2 < ɛ. Also gilt lim n b n = b. Mit Teil (b) folgt, dss uch ( ) ( ) n (n ) = n b n n n 0 b n n n 0 b = b gilt. Beispiel 4.8. Nch den Grenzwertsätzen (Stz 4.7) gilt n 4 + 2n 2 + 2n 4 + 3n 3 + = + 2 n 2 + n n + n 4 (n ) = 2. Mn bechte dbei, dss nch Teil (2) von Beispiel 4.3 und Stz 4.7(b) ( ) (n ) n k 0 für jedes k N gilt. Bemerkung. n Seien x, R und ɛ > 0. Als einfche Folgerung us Stz 3.8 erhält mn, dss x < ɛ ist genu dnn, wenn ɛ < x < + ɛ gilt. Stz 4.9 (Vergleichskriterium). Seien ( n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N Folgen in R so, dss (i) lim n n = x = lim n b n ist und (ii) ein N N existiert mit n c n b n für lle n N. Dnn gilt uch lim n c n = x. Beweis. Sei ɛ > 0 beliebig. Dnn gibt es n, n 2 N mit n x < ɛ für n n und b n x < ɛ für n n 2. 22

24 Für lle n n 0 = mx(n, n 2, N) gilt dnn nch der obigen Bemerkung x ɛ < n c n b n < x + ɛ. Dieselbe Bemerkung zeigt, ds für n n 0 uch c n x < ɛ ist. Stz 4.0. Seien ( n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen in R mit Grenzwerten = lim n n, b = lim n b n. Gibt es ein N N mit so ist uch b. n b n für lle n N, Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis. Wäre > b, so gäbe es zu der positiven Zhl ɛ = b 2 > 0 ein n 0 N mit n 0 N, so dss für lle n n 0 gilt. Mn erhält den Widerspruch n0 n < ɛ und b n b < ɛ > ɛ = + b 2 = b + ɛ > b n0. Also wr die Annhme, dss > b ist flsch und die Behuptung ist bewiesen. Bemerkung () In der Sitution von Stz 4.0 knn mn us n < b n für lle n N nicht schließen, dss < b ist. Ist zum Beispiel n = 0 für lle n N, so ist zwr n < n für lle n, ber lim n n = 0 = lim n n. (b) Konvergiert ( n ) n N gegen R und ist n b (bzw. n b) für lle n N, so ist uch b (bzw. b). Dies folgt us Stz 4.0, indem mn eine der beiden Folgen ls eine konstnte Folge wählt. Definition 4. (Häufungspunkte und Teilfolgen). Seien ( n ) n N, (b n ) n N Folgen in R. () Eine reelle Zhl R heißt Häufungspunkt der Folge ( n ) n N, wenn für jede positive reelle Zhl ɛ > 0 unendlich viele Indizes n N existieren mit n < ɛ. (b) Die Folge (b n ) n N heißt Teilfolge der Folge ( n ) n N, flls eine streng monoton wchsende Folge (k n ) n N in N existiert mit b n = kn für lle n N. Mn schreibt Teilfolgen einer Folge ( n ) n N meistens in der Form ( kn ) n N mit einer Folge (k n ) n N wie oben. 23

25 Auf dem Penoxiom für N beruht uch die Möglichkeit, Folgen rekursiv zu definieren. Rekursive Definition: Sei M eine Menge und sei n 0 Z. Um eine Folge ( n ) n n0 in M zu definieren, genügt es (i) n0 M zu definieren und (ii) für n n 0 zu sgen, wie n+ M definiert wird, wenn mn n0,..., n schon definiert ht. Beispiel 4.2. Die Folge ( n ) n N = (( ) n ) n N besitzt + und ls Häufungspunkte und ht die konvergenten Teilfolgen ( 2n ) n N = (,,...) Dies ist kein Zufll, wie der nächste Stz zeigt. n n, ( 2n+ ) n N = (,,...). Stz 4.3. Sei ( n ) n N eine Folge in R und sei R. Die Zhl ist Häufungspunkt der Folge ( n ) n N genu dnn, wenn eine Teilfolge ( kn ) n N von ( n ) n N existiert mit lim n kn =. Beweis. Sei Häufungspunkt der Folge ( n ) n N. Dnn gibt es zu ɛ = ein k 0 N mit k0 <. Sind k 0 < k <... < k n in N gewählt mit dnn gibt es zu ɛ = n+2 ein k n+ > k n mit ki < i + für i = 0,..., n, kn+ < n + 2. Rekursiv erhält mn eine Teilfolge ( kn ) n N von ( n ) n N mit lim n kn =. Sei umgekehrt ( kn ) n N eine Teilfolge von ( n ) n N mit lim n kn =. Zu jedem ɛ > 0 gibt es dnn ein n ɛ N mit kn < ɛ für lle n n ɛ. Also ist Häufungspunkt von ( n ) n N. Stz 4.4. Sei ( n ) n N eine Folge in R. Ist ( n ) n N konvergent, so ist ( n ) n N beschränkt und besitzt genu einen Häufungspunkt. Beweis. Sei lim n n =. Nch Stz 4.6 ist ( n ) n N beschränkt. Um zu zeigen, dss ( n ) n N genu einen Häufungspunkt besitzt, genügt es nch Stz 4.3 zu zeigen, dss jede Teilfolge von ( n ) n N gegen konvergiert. Sei ( kn ) n N eine solche Teilfolge und sei ɛ > 0. Dnn gibt es ein n 0 N mit n < ɛ für lle n n 0. D (k n ) n N streng monoton wächst, ist k n n für lle n N. Dies folgt durch eine einfche Induktion. Also ist uch kn < ɛ für n n 0. Zum Abschluss dieses Abschnittes wollen wir Reihen oder unendliche Summen definieren. 24

26 Beispiel 4.5. Sei x R mit x <. Nch Stz.7 ist n x k = xn+ x für lle n N. Mit den Grenzwertsätzen (Stz 4.7) folgt lim n n x k x n+ = lim = n x x. Definition 4.6. Sei ( k ) k N eine Folge in R und sei c R. () Für n N heißt s n = n die n-te Prtilsumme der Folge ( k ) k N. Mn nennt die Folge k k = (s n ) n N die unendliche Reihe oder Summe der Folge ( k ) k N. (b) Mn nennt die Reihe k konvergent mit Wert c und schreibt k = c, wenn die Prtilsummenfolge ( n k) n N gegen c konvergiert. (c) Die Reihe k heißt divergent, wenn die Folge ( n k) n N divergiert. Beispiele 4.7. () Es ist k= k(k+) =. Denn die Folge konvergiert gegen. n k= k(k + ) = n k= (2) Für x R mit x < gilt nch Beispiel 4.5 ( k ) = k + x k = x n k= n+ k k = n + k=2 (Geometrische Reihe). (3) Die Reihe ( )k divergiert, denn die Prtilsummenfolge ( n ) ( ) k = (, 0,, 0,...) n N ht nch Stz 4.3 zwei verschiedene Häufungspunkte und ist deshlb nch Stz 4.4 divergent. 25

27 Stz 4.8. Seien k, b k konvergente Reihen und sei c R. Dnn konvergieren die Reihen ( k + b k ), (c k) und für die Reihenwerte gilt: ( ) ( ) ( k + b k ) = k + b k, (c k ) = c k. Beweis. Wenn die Reihen k, b k gegen bzw. b konvergieren, dnn folgt mit den Grenzwertsätzen (Stz 4.7), dss Also gelten die Behuptungen. ( n n ) ( n ) n ( k + b k ) = k + b k + b, ( n n ) n (c k ) = c k c. Die Folge (n) n N konvergiert nicht, d sie nicht beschränkt ist. Aber zu jeder Zhl R > 0 gibt es ein n 0 N mit n > R für lle n n 0. Im Sinne der folgenden Definition konvergiert die Folge (n) n N lso uneigentlich gegen. Definition 4.9 (Uneigentliche Konvergenz oder bestimmte Divergenz). Sei ( n ) n N eine Folge in R. Mn sgt, dss () die Folge ( n ) n N lim n n = oder ( n ) lle n n 0, (b) die Folge ( n ) n N lim n n = oder ( n ) lle n n 0. uneigentlich konvergiert (oder bestimmt divergiert) gegen + (geschrieben: n ), flls für jedes R R + ein n 0 N existiert mit n > R für uneigentlich konvergiert (oder bestimmt divergiert) gegen (geschrieben: n ), flls für jedes R R + ein n 0 N existiert mit n < R für Offensichtlich gilt lim n n = genu dnn, wenn lim n ( n ) = ist. Stz Sei ( n ) n N eine Folge in R. () Ist lim n n =, so gibt es ein N N mit n 0 für lle n N. Für jedes solche N gilt lim n n N n = 0. (b) Gilt lim n n = 0 und gibt es ein N N mit n > 0 für lle n N, so ist limn n N n =. Beweis. () Sei lim n n =. Offensichtlich gibt es ein N N mit n 0 für lle n N. Zu ɛ > 0 gibt es ein n 0 N mit n > ɛ für lle n n 0. Dnn ist n = n < ɛ für lle n n 0 nch Stz 3.6. (b) Erfüllt ( n ) n N die Bedingungen von Teil (b), so gibt es zu jedem R > 0 ein n 0 N mit n 0 N und n = n < R für lle n n 0. Dnn gilt n > R für lle n n 0. 26

28 5 Vollständigkeit Mit der üblichen Ordnung ist der Körper Q der rtionlen Zhlen ein rchimedisch ngeordneter Körper. Aber in Q ht die Gleichung x 2 = 2 keine Lösung. Denn sonst gäbe es ntürliche Zhlen p, q N, die nicht beide gerde sind, mit ( p q )2 = 2. Wegen p 2 = 2q 2 wäre p 2 und dmit uch p gerde. Also gäbe es ein n N mit 2q 2 = p 2 = 4n. Dnn wären ber uch q 2 und q gerde. Also wären doch p und q beide gerde im Widerspruch zur Whl von p und q. Also reichen die bisherigen Axiome nicht us, um die Existenz von Qudrtwurzeln zu begründen. Wir benötigen eine weitere Eigenschft der reellen Zhlen. Definition 5.. Eine Folge ( n ) n N in R heißt Cuchy-Folge, flls für jedes ɛ > 0 eine ntürliche Zhl n 0 N existiert so, dss n m < ɛ ist für lle n, m n 0. Stz 5.2. Jede konvergente Folge ( n ) n N in R ist eine Cuchy-Folge. Beweis. Sei ( n ) n N eine konvergente Folge in R mit Limes und sei ɛ > 0. Dnn gibt es ein n 0 N mit n < ɛ 2 für lle n n 0. Für n, m n 0 gilt dnn n m n + m < ɛ. Bemerkung 5.3. In Q gibt es Cuchy-Folgen, die in Q keinen Grenzwert besitzen. Um dies zu begründen, zeigen wir zunächst, dss für jede vorgegebene positive reelle Zhl R + die rekursiv definierte Folge ( n ) n N mit 0 =, n+ = 2 eine Cuchy-Folge ist. Mn bechte zunächst, dss n+ n = ( n n + 2 n für lle n gilt. Wegen ( ) + n n n (n N) ) = 2 ( n n ) ( ) n n 0 < n n = 2 ( ) = 2 n + n + 2 n n < 2 gilt n+ n = 2 n n n n 2 n n... ( ) n 0 2 für lle n. Für beliebige n > m erhält mn mit der Dreiecksungleichung n n n m = ( i+ i ) n ( ) i i+ i 0 2 i=m i=m i=m ( ) m n m ( ) i ( ) m = i=0 27

29 D ( 2) m eine Nullfolge ist (Beispiel 4.3(5)), folgt hierus, dss die Folge (n ) n N eine Cuchy-Folge ist. Eine einfche Überlegung zeigt, dss der Grenzwert x der Folge ( n ) n N, wenn er existiert, die Gleichung x 2 = lösen muss. D lle n > 0 sind, folgt zunächst, dss x = lim n n 0 ist. Die Annhme, dss x = 0 ist, würde mit Stz 4.20(b) zu dem Widerspruch x = lim n+ = lim n n 2 ( ) + n = n führen. Also ist notwendigerweise x > 0. Mit den Grenzwertsätzen (Stz 4.7) folgt dnn, dss ( ) x = lim n+ = lim + n = ( ) n n 2 n 2 x + x oder äquivlent, dss x 2 = ist. Für = 2 ist ( n ) n N lso eine Cuchy-Folge in Q, die keinen Grenzwert in Q hben knn. Bemerkung 5.4. Mn knn zeigen, dss zu jeder Menge M, uf der ein vernünftiger Abstndsbegriff erklärt ist, eine Menge M M existiert so, dss (i) der Abstndsbegriff sich fortsetzen lässt uf M, (ii) in M jede Cuchy-Folge konvergiert und (iii) jeder Punkt in M Grenzwert einer Folge in M ist. Wendet mn diese Konstruktion uf Q mit dem durch d(x, y) = x y definierten Abstnd n, so erhält mn R. Dieser Weg ist zu lng für uns. Für uns ist R ein rchimedisch ngeordneter Körper, der ds folgende Axiom erfüllt. Vollständigkeitsxiom: Jede Cuchy-Folge in R ist konvergent. Stz 5.5. Für R + besitzt die Gleichung x 2 = genu eine Lösung in R + (Wie üblich schreibt mn für die eindeutige Lösung dieser Gleichung in R+ ). Beweis. Sei > 0. Aus der Vollständigkeit von R folgt, dss die in Bemerkung 5.3 konstruierte Cuchy- Folge ( n ) n N einen Limes x in R besitzt. Wir hben gesehen, dss x R + liegt und die Gleichung x 2 = löst. D für 0 x < y nch Folgerung 3.5 uch x 2 < y 2 gilt, knn diese Gleichung höchstens eine Lösung in R + hben. Auf der Vollständigkeit von R beruht uch die Gültigkeit des Intervllschchtelungsprinzips. 28

30 Stz 5.6 (Intervllschchtelungsprinzip). Seien I k = [ k, b k ] R (k N) bgeschlossene Intervlle mit k b k und (i) I k+ I k für lle k N, (ii) lim k (b k k ) = 0. Dnn gilt es eine reelle Zhl x R mit {x} = I k und lim k k = x = lim k b k. Beweis. Für x, y R mit x y gibt es ein k N mit b k k < x y. Dnn können ber x und y nicht beide in dem Intervll I k liegen. Dieses Argument zeigt, dss I k höchstens eine reelle Zhl enthält. Um zu zeigen, dss der Durchschnitt nicht leer ist, überlegen wir uns zunächst, dss die Folge ( k ) k N der linken Rndpunkte eine Cuchy-Folge ist. Sei dzu ɛ > 0. Dnn gibt es ein k 0 N mit b k0 k0 < ɛ. D für p, q k 0 die Zhlen p, q beide in dem Intervll I k0 liegen, gilt für diese Indizes p und q p q b k0 k0 < ɛ. Also ist ( k ) k N eine Cuchy-Folge in R. D R vollständig ist, existiert der Grenzwert x = lim k k R. Mit den Grenzwertsätzen (Stz 4.7) folgt, dss uch lim b k = lim ( k + (b k k )) = x + 0 = x k k ist. D die Folge ( k ) k N monoton wächst und die Folge (b k ) k N monoton fällt, erhält mn mit Stz 4.0, dss für lle k N die Ungleichungen gelten. Also ist x I k. k lim n n k n = x = lim n n k b n b k Korollr 5.7 (Stz von Bolzno-Weierstrß). Jede beschränkte Folge (c n ) n N in R ht mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. Ist (c n ) n N eine beschränkte Folge in R, so gibt es A, B R mit A c n B für lle n N. Wir wählen rekursiv Intervlle I j = [ j, b j ] R so, dss für lle j N (i) {n N; c n I j } unendlich ist, (ii) I j I j gilt mit I = R, (iii) L(I j ) = b j j = ( 2 )j L(I 0 ) gilt. 29

31 Setze dzu 0 = A, b 0 = B und I 0 = [ 0, b 0 ]. Seien I j = [ j, b j ] (j = 0,..., k) gewählt so, dss die Bedingungen (i)-(iii) erfüllt sind für j = 0,..., k. Flls M k = {n N; c n [ k, k+b k 2 ]} unendlich ist, setze mn Flls M k endlich ist, definiere mn k+ = k, b k+ = k + b k, I k+ = [ k+, b k+ ]. 2 k+ = k + b k, b k+ = b k, I k+ = [ k+, b k+ ]. 2 In beiden Fällen gelten dnn die Bedingungen (i)-(iii) für j = 0,..., k +. Nch dem Intervllschchtelungsprinzip (Stz 5.5) gibt es eine reelle Zhl x, mit {x} = j N I j. Wir zeigen, dss x ein Häufungspunkt der Folge (c n ) n N ist. Ist ɛ > 0, so gibt es ein n 0 N mit L(I n0 ) < ɛ. Wegen x I n0 ist x ɛ < n0 b n0 < x + ɛ. Nch Konstruktion gibt es unendlich viele n N mit c n I n0 Häufungspunkt der Folge (c n ) n N. ]x ɛ, x + ɛ[. Definitionsgemäß ist x Korollr 5.8. Eine Folge ( n ) n N in R ist konvergent dnn und nur dnn, wenn sie beschränkt ist und genu einen Häufungspunkt besitzt. In diesem Fll konvergiert sie gegen diesen Häufungspunkt. Beweis. Wir hben bereits gesehen (Stz 4.4), dss die ngegebene Bedingung notwendig für die Konvergenz der Folge ( n ) n N ist. Sei umgekehrt ( n ) n N eine beschränkte Folge in R mit einem einzigen Häufungspunkt R. Wir nehmen n, dss ( n ) n N nicht gegen konvergiert. Dnn gibt es ein ɛ > 0 so, dss zu jedem n 0 N eine ntürliche Zhl n n 0 existiert mit n ɛ. Rekursiv könnte mn eine Teilfolge ( kn ) n N von ( n ) n N definieren mit kn ɛ für lle n N. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß (Stz 5.6) hätte die beschränkte Folge ( kn ) n N einen Häufungspunkt b R. Dnn wäre ber b uch ein Häufungspunkt der Folge ( n ) n N, der ber offensichtlich verschieden von sein müsste. Dieser Widerspruch zeigt, dss die Folge ( n ) n N gegen konvergiert. Definition 5.9. Eine Folge ( n ) n N in R heißt (i) (streng) monoton wchsend, flls n n+ ( n < n+ ) für lle n N ist, (ii) (streng) monoton fllend, flls n+ n ( n+ < n ) für lle n N ist. 30

32 Stz 5.0. Jede beschränkte und monoton wchsende (oder monoton fllende) Folge in R ist konvergent. Beweis. Sei ( n ) n N beschränkt und monoton wchsend. Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß (Stz 5.6) und Stz 4.3 ht ( n ) n N eine konvergente Teilfolge ( kn ) n N. Sei = lim n kn und sei ɛ > 0. Dnn gibt es ein N N mit kn < ɛ. Für lle n k N folgt mit Stz 4.0, dss kn n kn lim m m n km =. Also ist n < ɛ für lle n k N. D ɛ > 0 beliebig wr, hben wir gezeigt, dss lim n n = gilt. Ist ( n ) n N beschränkt und monoton fllend, so ist ( n ) n N beschränkt und monoton wchsend, lso konvergent. Dnn ist ber uch ( n ) n N konvergent. Ist ( n ) n N beschränkt und monoton wchsend (bzw. fllend), so folgt ls Anwendung von Stz 4.0, dss k lim n n (bzw. k lim n n ) für lle k N gilt. Zum Abschluss dieses Abschnittes zeigen wir, wie mn unendliche Reihen benutzen knn, um jede reelle Zhl ls Dezimlzhl oder llgemeiner ls b-dischen Bruch drzustellen. Sei b N, b 2. Ein b-discher Bruch ist definitionsgemäß eine Reihe der Form ± n= k n b n mit k N und n {0,..., b } für n k. Für festgelegtes b schreibt mn uch ± k k+... 0, = ± n= k Stz 5.. Jeder b-dische Bruch konvergiert gegen eine reelle Zhl. n b n. Beweis. Seien n {0,..., b } für n k beliebige Ziffern. Die Prtilsummenfolge ( N ) (s N ) N k = n b n ist monoton wchsend und wegen n= k N k N N ( ) n n b n b b b b beschränkt. Dbei hben wir benutzt, dss wir den Grenzwert der geometrischen Reihe zu b (0, 2 ) kennen (Beispiel 4.7(2)). Also folgt die Behuptung mit Stz 5.9. Wir zeigen umgekehrt, dss sich jede reelle Zhl ls b-discher Bruch drstellen lässt. Stz 5.2. Ist x R, so gibt es ein k N und Ziffern n {0,..., b } für n k so, dss x die Drstellung x = ± n= k nb n besitzt. 3

33 Beweis. Sei x R +. Es genügt, die Existenz der gesuchten Drstellung von x für diesen Fll zu begründen. Mit Stz 3.2 und einem Argument ähnlich dem us dem Beweis von Stz 3.5 folgt, dss k = min{n N; x < b n+ } eine wohldefinierte ntürliche Zhl ist. Definitionsgemäß gilt x [ 0, b k+[ = b j=0 [ jb k, (j + )b k[. Wir definieren rekursiv eine Folge ( n ) n k in {0,..., b } so, dss die Folge n s n = ν b ν ν= k (n k) die Ungleichungen ( ) s n x < s n + b n für lle n k erfüllt. Wähle dzu k {0,..., b } mit k b k x < ( k + )b k. Sind k,..., N {0,..., b } gewählt so, dss die Ungleichungen ( ) für n = k,..., N gelten, so gibt es genu ein N+ {0,..., b } mit s N + N+ b (N+) x < s N + ( N+ + )b (N+). Für die so gewählte Zhl N+ gilt ( ) uch für n = N +. Nch Konstruktion ist Also ist x = lim n s n = ν= k νb ν. x s n b n n 0. In der Drstellung x = ± n= k nb n sind die Ziffern n {0,..., b } im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. So ist etw (b )b n = b = b = b n= n b n mit = und n = 0 für lle n >. Wir kommen in 8 uf dieses Problem zurück (siehe Lemm 8.2). 32

34 6 Unendliche Reihen Wir erinnern n die Definition der Konvergenz unendlicher Reihen us 4 und ergänzen die Definition um einen neuen Konvergenzbegriff. Definition 6.. Sei ( k ) k N eine Folge in R. () Mn nennt die Zhlen s n = n k (n N) die Prtilsummen der Folge ( k ) k N und definiert k = (s n ) n N. (b) Ist c R, so schreibt mn k = c, flls ( n k ) n c. (c) Die Reihe k heißt bsolut konvergent, flls die Reihe k konvergiert (vergleiche Definition 4.6). Eine Reihe in R konvergiert genu dnn, wenn ihre Prtilsummenfolge eine Cuchy-Folge bildet. Dmit erhält mn ds folgende nützliche Kriterium für die Konvergenz von Reihen. Stz 6.2 (Cuchy-Kriterium). Sei ( k ) k N eine Folge in R. Dnn konvergiert die Reihe k dnn und nur dnn, wenn für lle ɛ > 0 ein Index n 0 N existiert mit q < ɛ für lle q p n 0. k=p k Beweis. Sei die Reihe k konvergent und sei ɛ > 0. Nch Stz 5.2 ist die Prtilsummenfolge (s n ) n N = ( n k) n N eine Cuchy-Folge. Dher gibt es ein n 0 N so, dss s q s p < ɛ ist für lle q, p n 0. Dnn ist q für lle q p n 0 +. k=p k = s q s p < ɛ Sei umgekehrt ds im Stz ngegebene Kriterium erfüllt. D R vollständig ist, genügt es zu zeigen, dss die Prtilsummen s n = n k (n N) eine Cuchy-Folge in R bilden. Sei lso ɛ > 0. Nch Vorussetzung gibt es ein n 0 N mit q < ɛ für lle q p n 0. Dnn ist k=p k s q s p = für lle p, q n 0. Also ist (s n ) n N eine Cuchy-Folge. mx(p,q) k=min(p,q)+ Stz 6.3. Ist k konvergent, so ist lim k k = 0. k < ɛ 33

35 Beweis. Zu ɛ > 0 gibt es nch dem Cuchy-Kriterium us Stz 6.2 ein n 0 N mit q k < ɛ für lle q p n 0. k=p Dnn ist n = n k=n k < ɛ für lle n n 0. Also ist ( n ) n N eine Nullfolge. Die Umkehrung von Stz 6.3 gilt nicht, wie ds folgende Beispiel zeigt. Beispiel 6.4 (Hrmonische Reihe). Es gilt lim n n = 0, ber die hrmonische Reihe n= n divergiert. Zur Begründung bechte mn, dss für lle n N die Abschätzung 2n k=n+ k 2n k=n+ gilt. Also ist ds Cuchy-Kriterium us Stz 6.2 verletzt. 2n = n 2n = 2 Stz 6.5. Ist k bsolut konvergent, so konvergiert die Reihe k und für die Reihenwerte gilt k k. Beweis. Sei k bsolut konvergent und sei ɛ > 0. Nch dem Cuchy-Kriterium (Stz 6.2) ngewendet uf die Reihe k gibt es ein n 0 N so, dss für lle q p n 0 gilt. Dnn ist ber uch q k=p q k < ɛ k=p k q k < ɛ k=p für lle q p n 0. Mit dem Cuchy-Kriterium für die Reihe k erhält mn die Konvergenz dieser Reihe. Zum Beweis der behupteten Ungleichungen bechte mn, dss für jede konvergente Folge (x k ) k N in R mit lim k x k = x die Folge ( x k ) k N wegen gegen x konvergiert. Wegen x k x x k x n k k 0 n k (k N) erhält mn dher mit Stz 4.0, dss n k = lim n k lim gilt. n n k = k 34

36 Bemerkung 6.6. () Es gibt konvergente Reihen, die nicht bsolut konvergieren. So wissen wir etw nch Beispiel 6.4, dss die hrmonische Reihe k= k divergiert. In Stz 6. werden wir zeigen, dss die Reihe ( ) k k= k konvergiert. (b) Eine Reihe k konvergiert genu dnn bsolut, wenn die Folge ( n k ) n N beschränkt ist. D diese Folge monoton wächst, folgt dies direkt us Stz 5.9. Stz 6.7 (Mjorntenkriterium). Seien ( k ) k N, (b k ) k N Folgen in R so, dss k 0 N und c R + existieren mit b k c k für lle k k 0. Dnn impliziert die Konvergenz der Reihe k die bsolute Konvergenz der Reihe b k. Beweis. Die Behuptung folgt direkt us dem Cuchy-Kriterium (Stz 6.2). Denn us der Konvergenz der Reihe k folgt, dss mn für jedes ɛ > 0 ein n 0 N mit n 0 k 0 wählen knn so, dss für lle q p n 0 gilt. q b k c k=p q k < ɛ Mn bechte, dss in der Sitution von Stz 6.7 utomtisch k 0 für lle k k 0 gilt und dss die bsolute Konvergenz der Reihe b k ntürlich uch ihre Konvergenz impliziert. k=p Beispiel 6.8. Für k N, k 2, konvergiert die Reihe n= Beweis. Für lle n gilt Nch Beispiel 4.7() ist n= (Stz 6.7). n k. n k n 2 = 2 2n 2 2 n 2 + n = 2 n(n + ). 2 n(n+) Stz 6.9 (Quotientenkriterium). Sei ( k ) k N eine Folge in R. () Gibt es eine Konstnte c mit 0 c < und einen Index k 0 N mit = 2. Also folgt die Behuptung us dem Mjorntenkriterium k+ c k für lle k k 0, so ist die Reihe k bsolut konvergent. (b) Gibt es ein N N mit k 0 für lle k N und so, dss der Limes lim k+ k [0, ) k k N existiert, so konvergiert die Reihe k bsolut. 35

37 Beweis. () Aus der Vorussetzung von Teil () folgt, dss für lle k > k 0 gilt k c k c 2 k 2... c k k0 k0 = c k (c k0 k0 ). D die Reihe ck nch Beispiel 4.7(2) konvergiert, folgt mit dem Mjorntenkriterium (Stz 6.7) die bsolute Konvergenz der Reihe k. (b) Sind die Vorussetzungen von Teil (b) erfüllt, so wähle mn ein q R mit lim k+ k < q < k k N und bechte, dss für die so gewählte Zhl q ein k 0 N existiert mit k+ k q oder äquivlent k+ q k für lle k k 0. Also folgt Teil (b) direkt us Teil (). Bemerkung 6.0. () Aus k+ k < für lle k N knn mn nicht schließen, dss die Reihe k konvergiert. Dies zeigt etw die Folge k = k ber die Reihe k= k (k ). Offensichtlich ist k+ = k < für lle k, k k + divergiert nch Beispiel 6.4. (b) Mit dem Quotientenkriterium knn mn die Konvergenz der Reihen n= n k denn ( ) / k ( n (n + ) k n k = = n + + n (c) Gibt es ein R > und ein N N mit n 0 und erfüllt, wenn lim n n+ n wegen n+ n ) k (n ) k =. (k 2) nicht zeigen, > R für lle n N (dies ist zum Beispiel > ist), dnn divergiert die Reihe n. Denn in diesem Fll ist ( n ) n N N+n R N+(n )... R n N (n ) keine Nullfolge und nch Stz 6.3 ist n nicht konvergent. (d) (Wurzelkriterium) Existiert n L = lim n n und ist L <, so konvergiert die Reihe n bsolut. Ist L >, so divergiert die Reihe n. Dies sieht mn so. Ist L < q <, so ist n < q n für genügend große n und us dem Mjorntenkriterium folgt die bsolute Konvergenz von n. Im Flle L > ist uch n > für genügend große n und die Divergenz von n folgt us Stz 6.3. Ein nützliches Kriterium, mit dem mn mnchml die Konvergenz nicht bsolut konvergenter Reihen zeigen knn, ist ds sogennnte Leibniz-Kriterium. 36

38 Stz 6. (Leibnizkriterium). Sei ( n ) n N eine monoton fllende Folge in R mit Dnn konvergiert die Reihe ( )n n. Beweis. Sei s n = n ( )k k. Wegen lim n = 0. n s 2(n+) = s 2n ( 2n+ 2n+2 ) s 2n, s 2(n+)+ = s 2n+ + ( 2n+2 2n+3 ) s 2n+ ist die Folge (s 2n ) n N monoton fllend und die Folge (s 2n+ ) n N monoton wchsend. Die Abschätzung s 2n = s 2n+ + (s 2n s 2n+ ) = s 2n+ + 2n+ s zeigt, dss (s 2n ) n N nch unten beschränkt ist. Nch Stz 5.9 existiert der Limes s = lim n s 2n R. Dnn gilt ber uch (n ) s 2n+ = s 2n 2n+ s 0 = s und ein einfches Argument zeigt, dss uch die gnze Prtilsummenfolge (s n ) n N = (s 0, s, s 2, s 3,...) gegen s konvergiert. Beispiele 6.2. () D ( n ) n eine monoton fllende Nullfolge ist, konvergiert nch dem Leibnizkriterium die Reihe n= ( )n n. Nch Beispiel 6.4 ist diese Reihe nicht bsolut konvergent. (b) Für x R \ {0} gilt x n+ /x n (n + )! n! = x (n ) 0. n + Nch dem Quotientenkriterium (Stz 6.9) ist die Reihe xn n! bsolut konvergent für lle x R. Bei endlichen Summen reeller Zhlen kommt es nicht uf die Reihenfolge der Summnden n. Es ist dher nheliegend zu frgen, ob für jede konvergente Reihe k reeller Zhlen und jede bijektive Abbildung ϕ : N N uch die umgeordnete Reihe ϕ(k) konvergiert und denselben Reihenwert besitzt. Beispiel 6.3. Es gibt eine nicht konvergente Umordnung der Reihe n= ( ) n n. Um dies zu begründen, bechte mn, dss wegen der Divergenz der hrmonischen Reihe für jedes N N uch die Folge ( n ) k=n 2k n N = ( n ) 2 k=n k bestimmt gegen + divergiert. Dher knn mn rekursiv eine streng n N monoton wchsende Folge (n k ) k N in N definieren mit n 0 = 0 und 2(n i + ) + 2(n i + 2) > 2 2n i+ 37

39 für lle i N. Dnn stellt ber die Reihe ( + 2(n 0 + ) n eine Umordnung der Reihe ( ) n n= n ) ( (n + ) ) n 2 dr mit unbeschränkten Prtilsummen. Für bsolut konvergente Reihen können solche Probleme nicht uftreten. Stz 6.4. Ist n bsolut konvergent und ist ϕ : N N bijektiv, so konvergiert uch die Reihe ϕ(n) bsolut und für die Reihenwerte gilt ϕ(n) = n. Beweis. Für n N sei n(ϕ) = mx{ϕ(0),..., ϕ(n)}. Die Abschätzung n(ϕ) n ϕ(k) k k < zeigt, dss die umgeordnete Reihe ϕ(k) bsolut konvergiert. Sei s = k und sei ɛ > 0 beliebig. Dnn gibt es ein n 0 N so, dss ( n ) k s < ɛ 2 und k=n k < ɛ 2 für lle n n 0 gilt. Sei N = mx{ϕ (0),..., ϕ (n 0 )}. Dnn folgt für lle n N ( n ) ( ϕ(k) s = n0 ) n ( n0 ) k s + k s + Also ht uch die Reihe ϕ(k) den Wert s. ϕ(k)>n 0 k k=n 0+ k < ɛ. Zum Abschluss dieses Abschnittes beweisen wir noch eine nützliche Formel für ds Produkt zweier bsolut konvergenter Reihen. Stz 6.5. Seien n, b n bsolut konvergente Reihen. Setzt mn für n N c n = n k b n k, so konvergiert uch die Reihe c n bsolut und für die Reihenwerte gilt ( ) ( ) c n = n b n. Beweis. Wir bezeichnen mit A = n, B = b n die Werte der beiden gegebenen Reihen und definieren s n = n c k, ( n ) ( n ) t n = k b k 38

40 für n N. Nch den Grenzwertsätzen (4.7) ist AB = lim n t n. Um die Konvergenz der Reihe c n und die behuptete Beziehung zwischen den Reihenwerten zu beweisen, genügt es zu zeigen, dss lim (t n s n ) = 0 n gilt. Um zu sehen, dss (t n s n ) n N eine Nullfolge ist, bechte mn zunächst, dss ( n n ) t n = j b k = j b k j=0 (j,k) I n ist mit I n = {(j, k) N 2 ; 0 j n und 0 k n} und dss n k s n = j b k j = j b k j=0 (j,k) J n gilt mit J n = {(j, k) N 2 ; j + k n}. Also ist t n s n = (j,k) n j b k mit n = {(j, k) {0,..., n} 2 ; j + k > n}. D die durch ( n ) ( n ) r n = k b k definierte Folge (r n ) n N konvergiert, gibt es zu jedem gegebenen ɛ > 0 ein n 0 N mit r n r n0 < ɛ für lle n n 0. Es ist r n r n0 = (j,k) Γ n j b k, wobei die Indexmenge Γ n = {(j, k) {0,..., n} 2 ; j > n 0 oder k > n 0 } für n 2n 0 offensichtlich die weiter oben definierte Indexmenge n enthält. Für n 2n 0 erhlten wir lso t n s n (j,k) n j b k (j,k) Γ n j b k = r n r n0 < ɛ. Dmit ist gezeigt, dss (t n s n ) n N eine Nullfolge ist. Also konvergiert c n und ht den behupteten Reihenwert. Indem mn den gerde bewiesenen Teil von Stz 6.5 nwendet uf die Reihen n, sieht mn, dss uch die Reihe ( n ) k b n k konvergiert. D für lle n N gilt n c n = k b n k n k b n k, konvergiert die Reihe c n nch dem Mjorntenkriterium (Stz 6.7) bsolut. 39 b n,