Analysis I. Heinrich Freistühler

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1 Anlysis I Heinrich Freistühler

2 Inhltsverzeichnis 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen Aussgen Mengen Aussgeformen und Quntoren Potenzmengen und krtesische Produkte Reltionen Funktionen Zhlbereiche der Anlysis Die ntürlichen Zhlen Die reellen Zhlen N, Z und Q ls Teilmengen von R Konstruktion von Z, Q us N Der Körper C der komplexen Zhlen Betrg, Abstnd und Intervlle Einige Gleichungen und Ungleichungen; Potenzen und Wurzeln Folgen und Reihen Folgen (erster Teil) Konstruktion von R us Q Folgen (zweiter Teil) Reihen Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen in einer Vriblen Offene, bgeschlossene und kompkte Teilmengen von R Begriff und einfche Eigenschften stetiger Funktionen Zwischenwert- und Fixpunktsätze Stetige Funktionen uf kompkten Mengen Grenzwerte von Funktionen Differentition reeller Funktionen in einer Vriblen Begriff der Ableitung Differentitionsregeln Der Mittelwertstz der Differentilrechnung Die Regel von de l Hospitl Integrtion reeller Funktionen in einer Vriblen Integrtion stetiger Funktionen

3 Inhltsverzeichnis 6.2 Stmmfunktionen, Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Integrtion nicht notwendigerweise stetiger Funktionen Sinus, Cosinus, Exponentil, Logrithmus und Co Snek Preview: Gewöhnliche Differentilgleichungen Exponentilfunktion und Logritmus Sinus und Cosinus Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus Kompositionen und Umkehrfunkionen von sin, cos, sinh, cosh Teile der Drstellung folgen den empfehlenswerten Büchern R. Denk, R. Rcke: Kompendium der Anlysis, Teil I, H. Heuser: Lehrbuch der Anlysis, Teil I. 3

4 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen 1.1 Aussgen Eine Aussge ist etws, ds entweder whr (w) oder flsch (f) ist. ( Tertium non dtur. ) Definition Seien A und B Aussgen. Dnn definiert mn A B ( A oder B ): die Aussge, dss von A, B mindestens eine whr ist (Adjunktion), A B ( A und B ): die Aussge, dss A, B beide whr sind (Konjunktion), A = B ( A impliziert B ): die Aussge, dss B us A folgt (Impliktion), A B ( A äquivlent B ): die Aussge, dss B us A und A us B folgt (Äquivlenz), A ( nicht-a ): ds Gegenteil von A (Negtion) durch folgende Whrheitstbellen: A A w f f w A B A B A B A = B A B w w w w w w w f w f f f f w w f w f f f f f w w Stz (Grundregeln für Adjunktion und Konjunktion) Für beliebige Aussgen A, B, C gilt: (i) A A A, A A A (Idempotenz) (ii) A B B A, A B B A (Kommuttivität) (iii) (iv) A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Beweis. mit Whrheitstbellen ( Übung) Stz (Regeln von de Morgn) Für beliebige Aussgen A, B gilt: (i) (A B) ( A) ( B) (ii) (A B) ( A) ( B) Beweis. mit Whrheitstbellen ( Übung) (Assozitivität) (Distributivität) 4

5 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen Stz (Chrkterisierung der Impliktion) (i) (A = B) (( A) B) (ii) (A = B) (( B) = ( A)) Beweis. mit Whrheitstbellen ( Übung) Bemerkung. Aussge (ii) us (1.1.4) ergibt ds (wichtige!) Schem des Beweises durch Kontrposition: Um A impliziert B zu zeigen, knn mn genusogut nicht-b impliziert nicht-a beweisen. 1.2 Mengen Eine Menge ist die Zusmmenfssung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten zu einem Gnzen. Schreibe x M bzw. x / M, flls x zu M bzw. nicht zu M gehört. Definition Seien M, N, U Mengen. Dnn definiert mn M N ( M vereinigt N ) := {x : x M x N} (Vereinigungsmenge) M N ( M geschnitten N ) := {x : x M x N} (Schnittmenge) M N ( M Teilmenge N ) : die Aussge, dss lle x M uch x N erfüllen (x M = x N) (Enthltensein) M = N ( M identisch N ) : M N N M (Gleichheit) U \ M ( U ohne M ) := {x : x U x / M} (Differenzmenge) Flls M U und klr ist, welches U gemeint ist, schreibt mn oft uch: M c := U \ M (Komplement von M bzgl. U) Bemerkungen. (i) schließt = ls Möglichkeit mit ein (ii) Weitere Schreibweisen: und bedeuten dsselbe wie (iii) Weitere Schreibweise: M N heißt M N M N Stz (Grundregeln für Vereinigung und Durchschnitt) Für beliebige Mengen M, N, O gilt: (i) M M = M, M M = M (Idempotenz) (ii) M N = N M, M N = N M (Kommuttivität) (iii) M (N O) = (M N) O, M (N O) = (M N) O (Assozitivität) (iv) M (N O) = (M N) (M O), M (N O) = (M N) (M O) Stz (Regeln von de Morgn) Für beliebige Mengen U und M, N U gilt: (i) (M N) c = M c N c (ii) (M N) c = M c N c (Distributivität) 5

6 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen (wobei c ds Komplement bzgl. U bedeute) 1.3 Aussgeformen und Quntoren Eine Aussgeform bzgl. einer Grundmenge U ist etws von der Form A(x), ds durch Einsetzen eines beliebigen x U zu einer Aussge wird. Beispiel. U := Menge ller Menschen, A(x) : x studiert in Konstnz. Definition (i) A(x) heißt: A(x) ist whr für lle x U (ii) x U x U A(x) heißt: A(x) ist whr für (mindestens) ein x U Bemerkung. bzw. wird uch ls Allquntor bzw. Existenzquntor bezeichnet Beispiel. ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε) ε>0 δ>0 x I Stz (Regeln von de Morgn) (i) ( A(x)) ( A(x)) x U (ii) ( x U Schreibweise: x U A(x)) ( A(x)) x U (i) Mnchml schreibt mn uch 1 für es gibt genu ein (ii) Mn schreibt oft sttt, sttt und! sttt 1. Bemerkung. Die Angbe einer Menge durch Aussonderung benutzt Aussgeformen, z.b. M := {x U : A(x)} 1.4 Potenzmengen und krtesische Produkte Definition Zu jeder Menge M heißt die Menge P(M) := {T : T M} ller ihrer Teilmengen die Potenzmenge von M. Definition (i) Zu zwei beliebigen Mengen M, N heißt die Menge M N := {(m, n) : m M, n N} deren krtesisches Produkt. Die Elemente heißen geordnete Pre. 6

7 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen (ii) Zu mehreren Mengen M 1, M 2,..., M n heißt M 1 M 2... M n := {(m 1, m 2,..., m n ) : m 1 M 1, m 2 M 2,..., m n M n } deren krtesisches Produkt. Die Elemente heißen n-tupel. 1.5 Reltionen Definition (i) Sei X eine Menge und R eine Teilmenge von X X. Dnn heißt R eine Reltion uf X. (ii) Sttt (x, y) R schreibe kurz x y. Definition (Äquivlenzreltion) Eine Reltion uf einer Menge X heißt Äquivlenzreltion, genu dnn wenn für lle x, y, z X gilt: () x x (Reflexivität) (b) x y y x (Symmetrie) (c) (x y y z) = x z (Trnsitivität) Definition (Teilordnung, Ordnung, Wohlordnung) (i) Eine Reltion ( vor ) uf einer Menge X heißt Teilordnung uf X, genu dnn wenn für lle x, y, z X gilt: () x x (Reflexivität) (b) (x y y x) = (x = y) (c) (x y y z) = (x z) (Antisymmetrie) (Trnsitivität) (ii) Eine Teilordnung uf einer Menge X heißt (vollständige) Ordnung, genu dnn wenn x y y x x,y M (iii) Ist eine Teilordnung uf einer Menge X und T X, so heißt ein Element x T erstes (kleinstes) Element von T, wenn x y. Ist eine Ordnung uf einer Menge X, so heißt Wohlordnung (bzw. X durch wohlgeordnet), genu dnn wenn jede nichtleere Teilmenge von X ein erstes Element besitzt. Beispiel. (Äquivlenzreltion) X = Menge ller Teilnehmer dieser Vorlesung. x y : Der Nchnme von x beginnt mit demselben Buchstben wie der von y. y T Beispiele. (Teilordnung, Ordnung, Wohlordnung) (i) Sei M eine Menge mit mindestens zwei Elementen. Dnn ist eine Teilordnung uf P(M). (ii) Auf X = {, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} ist eine Ordnung, sogr eine Wohlordnung. 7

8 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen 1.6 Funktionen Definition Seien X, Y Mengen. Eine Teilmenge G f X Y heißt Grph einer Funktion oder Abbildung f von X nch Y : 1 (x, y) G f. Schreibweise: f : X Y x f(x) x X y Y X heißt Definitionsbereich (Definitionsmenge), Y heißt Zielbereich von f. Für A X heißt f(a) := {y Y : x A mit y = f(x)} Bild von A. Ds Bild f(x) von gnz X heißt Wertebereich (Wertemenge) von f. Für B Y heißt Urbild von B. f 1 (B) := {x X : f(x) B} Stz Seien f eine Abbildung von X nch Y und A 1, A 2, A X, B 1, B 2, B Y. Dnn gelten: (i) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) (ii) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (iii) f(x \ A) f(x) \ f(a) (iv) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (v) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (vi) f 1 (Y \ B) = X \ f 1 (B). Definition (i) Für jede Menge X ist id X : X X, x x, die identische Abbildung oder Identität von X. (ii) Sei A X. Zu jeder Abbildung f : X Y heißt die durch f A : A Y x f(x) definierte Abbildung f A die Restriktion von f uf A. Umgekehrt heißt für eine Abbildung g : A Y jede ndere Abbildung h : X Y mit der Eigenschft eine Fortsetzung von g nch X. h A = g 8

9 1 Aussgen, Mengen, Reltionen und Funktionen (iii) Ist f : X Y bijektiv, so ist die Abbildung g : Y Y y g(y) := x mit {x} = f 1 ({y}) wohldefiniert und wird mit f 1 und ls Umkehrbbildung bezeichnet. (iv) f : X Y heißt injektiv, flls ((f(x 1 ) = f(x 2 )) = (x 1 = x 2 )) x 1,x 2 X f heißt surjektiv oder Abbildung uf Y, flls f(x) = Y f heißt bijektiv, flls f injektiv und surjektiv ist. (v) Für f : X Y und g : W Z mit f(x) W heißt h := g f : X Z x g(f(x)) Verkettung (Verknüpfung, Komposition) von f und g Beispiel. Ist f : X Y bijektiv, so sind f 1 f = id X und f f 1 = id Y. 9

10 2 Zhlbereiche der Anlysis 2.1 Die ntürlichen Zhlen Axiome (Chrkterisierung der ntürlichen Zhlen nch Peno) Es gibt eine Menge N, eine Zhl 1 N und eine Abbildung N : N N, so dss gilt: (i) N ist injektiv (ii) 1 / R(N ) (iii) Flls M N und 1 M und n N (n M = N (n) M) dnn ist M = N. Bemerkungen. N heißt Nchfolgerbbildung. (i) bedeutet: Keine zwei Zhlen hben denselben Nchfolger. (ii) heißt: 1 ist kein Nchfolger. Ds Schem in (iii) heißt Induktionsprinzip. Definition (Addition und Multipliktion) (i) Die Summe n + m zweier ntürlicher Zhlen n, m wird rekursiv definiert durch n + 1 = N (n) und n + N (k) = N (n + k) (ii) Ds Produkt n m zweier ntürlicher Zhlen n, m wird rekursiv definiert durch n 1 = n und n N (k) = n k + n Stz (Rechenregeln) Für beliebige m, n, k N gilt: (i) (m + n) + k = m + (n + k) (ii) m + n = n + m (iii) (m n) k = m (n k) (iv) m n = n m (v) m (n + k) = m n + m k Beweis. ( Übung) (Assozitivgesetz der Addition) (Kommuttivgesetz der Addition) (Assozitivgesetz der Multipliktion) (Kommuttivgesetz der Multipliktion) (Distributivgesetz) Definition (i) Definiere uf N eine Reltion < durch: n < m (oder m > n) : k N : m = n + k (ii) Definiere uf N eine Reltion durch: n m (oder m n) : m < n oder m = n Stz Die Reltion ist eine Ordnung uf N mit kleinstem Element 1. Stz (Wohlordnungsstz) Durch ist N wohlgeordnet. 10

11 2 Zhlbereiche der Anlysis Beweis. Sei M N. Angenommen M besitzt kein kleinstes Element. Sei B := {n N : n m}. Dnn gilt: m M (i) 1 B (weil M N) (ii) (n B = n + 1 B) (d M kein kleinstes Element besitzt und deshlb n N n / M) Also ist B = N, mithin M =. Stz (Prinzip der vollständigen Induktion) Sei n 0 N und für lle n n 0 seien A(n) Aussgen mit (i) A(n 0 ) ist whr (Induktionsnfng) (ii) (A(n) = A(n + 1)) (Induktionsschritt) n n 0 Dnn gilt: A(n). n n 0 Beweis. Sei S := {m N : m n 0 A(m) flsch}. Angenommen S. Sei m 0 ds kleinste Element von S. Dnn ist m 0 > n 0 wegen (i), A(m 0 ) flsch, m 0 1 n 0 und A(m 0 1) whr (d m 0 1 / S). Widerspruch zu (ii). Bemerkung Die Menge N ist bis uf Isomorphie (= Umbenennung) eindeutig bestimmt. (Siehe Anlysis, S. Lng.) 2.2 Die reellen Zhlen Axiome (Chrkterisierung der reellen Zhlen) Es gibt eine Menge R, uf dieser zwei Verknüpfungen + und und eine Ordnung,, so dss gelten: (i) R ist ein Körper. (ii) Die Ordnung ist mit den Verknüpfungen komptibel: Für beliebige, b R mit b gelten + c b + c für jedes c R, c b c für jedes c 0 (iii) R ist vollständig: Jede nch unten [bzw. oben] beschränkte Menge S R ht eine größte untere [kleinste obere] Schrnke. Hierbei hben wir in (iii) folgende Begriffsbildung schon benutzt: Definition (Größte untere [kleinste obere] Schrnke) Sei S R. 11

12 2 Zhlbereiche der Anlysis (i) S heißt nch unten [oben] beschränkt : solches heißt untere [obere] Schrnke von S. R x S x [ R x S (ii) S heißt beschränkt : S ist von unten und von oben beschränkt. x]. Jedes (iii) c R heißt größte untere Schrnke [kleinste obere Schrnke] von S, kurz c = inf S [c = sup S] : Flls untere Schrnke von S, so ist c [Flls obere Schrnke von S, so ist c]. (iv) Flls c = inf S S, so schreibt mn uch c = min S (Minimum von S). Flls c = sup S S, so schreibt mn uch c = mx S (Mximum von S). In (i) hben wir die us der Algebr beknnte Definition eines Körpers benutzt. Definition (Gruppe und Körper) (i) Eine Gruppe (G, ) ist eine Menge G mit einer Abbildung (Verknüpfung) : (x, y) G G x y G mit den Eigenschften () : (x y) z = x (y z) (Assozitivität) (b) (c) x,y,z G n G x G x G y G : n x = x (Existenz eines neutrlen Elements) : y x = n (Existenz eines inversen Elements) (ii) Eine Gruppe G heißt belsch oder kommuttiv, flls x,y G : x y = y x. (iii) Sei K eine Menge, uf der zwei Verknüpfungen erklärt sind, : (x, y) K K x y K und : (x, y) K K x y K.(K,, ) heißt Körper, flls (K, ) und (K \ {0}, ) belsche Gruppen sind und ds Distributivgesetz gilt: x (y x) = (x y) (x z) x,y,z G Bemerkung (i) Axiom (iii) in heißt Vollständigkeitsxiom. (ii) Mn sgt kurz: R ist ein vollständiger geordneter Körper. (iii) Bis uf Isomorphie (= Umbenennung) gibt es genu einen vollständigen geordneten Körper. (Siehe etw Anlysis, S. Lng) Stz (Einige Grundttschen in Körpern) In R (bzw. jedem Körper (K, +, )) gelten: (i) Zu jedem R ist ds dditiv inverse Element eindeutig bestimmt. (ii) Zu jedem R\{0} ist ds multipliktiv inverse Element 1 eindeutig bestimmt. (iii) ( ) = (iv) ( 1 ) 1 = (v) + b = + c = b = c (vi) ( b = c 0) = b = c 12

13 2 Zhlbereiche der Anlysis (vii) 0 = 0 und ( 1) = (viii) Die Gleichung + x = b besitzt genu eine Lösung in R, nämlich x := b + ( ). (ix) Sei 0. Die Gleichung x = b besitzt genu eine Lösung in R, nämlich x = b 1. Definition (Einige Schreibweisen) (i) < b : ( b b) positiv : > 0; R + = { R : positiv} negtiv : < 0; R = { R : negtiv} (ii) b := + ( b); b := b 1 + b + c := + (b + c) = ( + b) + c b c := (b c) = ( b) c b = b; 2 = Stz (Einige Rechenregeln für Addition und Multipliktion) (i) Vorzeichenregeln: ( )b = ( b) = (b); ( )( b) = b (ii) Annullierungsregel: b = 0 ( = 0 b = 0) (iii) Regeln der Bruchrechnung: Beweis. zu (i): ( )b = (( 1))b = ( 1)(b) = (b) ( b) = (( 1)b) = ( 1)(b) = (b) ( )( b) = ( )( 1)b = ( 1)( )b = b Beweis zu (ii), (iii) ( Übung) b ± c d = d ± b c (b 0 d 0) b d b c d = c (b 0 d 0) b d = d (b 0 c 0 d 0) b c Stz (Einige Rechenregeln für Ungleichungen) (i) Für beliebige, b R mit < b gelten: (ii) ( Rüberbringen ) () < b b > 0 (b) < 0 > 0 b c d + c < b + c für jedes c R, c < b c für jedes c > 0, c > b c für jedes c < 0. 13

14 2 Zhlbereiche der Anlysis (c) > 0 < 0 (d) < b b < (iii) (Addieren von Ungleichungen) ( < b c < d) = ( + c < b + d) (iv) b > 0 = (( > 0 b > 0) ( < 0 b < 0)) b < 0 = (( > 0 b < 0) ( < 0 b > 0)) (v) 0 = 2 > 0 (vi) (Multiplizieren von Ungleichungen) (0 < < b 0 < c < d) = c < b d (vii) (p 1 < p 2 q > 0) = p 1 q < p 2 q (0 < q 1 < q 2 p > 0) = p q 2 < p q 1 (viii) < b = < +b 2 < b Beweis. ( Übung) Stz Die Gleichung x = 0 ht keine Lösung x R. Beweis. Sonst wäre x 2 = 1 < 0 im Widerspruch zu (v) in Stz Stz Zwischen zwei reellen Zhlen liegt stets eine dritte, von beiden verschiedene, reelle Zhl. Beweis. siehe (viii) in Stz N, Z und Q ls Teilmengen von R Definition (i) 1 M Eine Menge M R heißt induktiv : (ii) ( M = + 1 M) Stz Die Durchschnittsmenge N ller induktiven Teilmengen von R mit der Nchfolgerbbildung N : N N, + 1 ht die in den Penoschen Axiomen geforderten Eigenschften (i), (ii), (iii). Beweis. (i) N ist injektiv uf N: Für, b N gilt: N () = N (b) + 1 = b + 1 = b. (ii) 1 / R(N ): 1 ist ds kleinste Element von N, weil X = {x R : x 1} induktiv und deshlb N X. Dher knn es kein N mit N () = 1 geben. (iii) Flls M N und 1 M und (n M = N (n) M) dnn ist N = N: n N Ist direkte Folge der Induktivität von N. R 14

15 2 Zhlbereiche der Anlysis Definition N = Durchschnittsmenge ller induktiven Teilmengen von R. Bemerkung. (i) Hiermit hben wir gezeigt, dss mn uf ds erste der beiden Axiomensysteme (für N) und (für R) verzichten knn, weil es us dem nderen folgt. (ii) Dss es uch umgekehrt geht, lso Verzicht uf unter Beibehltung von 2.1.1, werden wir demnächst sehen. Definition N 0 := N {0}. Definition (Die gnzen und die rtionlen Zhlen) Z := {x R : x N 0 ( x) N 0 }, Q := {x R : x = p q }. p Z q N Stz (Z, +) ist eine belsche Gruppe; (Q, +, ) ist ein Körper. Beweis. durch einfches Überprüfen nch Definition Stz (Stz des Archimedes) Die Menge N ist nch oben unbeschränkt. Kurz: x R n N : n > x. Beweis. Angenommen N wäre nch oben beschränkt. Betrchte := sup N. Dnn gäbe es ein n N mit n > 1 (d sonst uch 1 eine obere Schrnke von N, mithin nicht Supremum wäre). Dmit ist wiederum n + 1 >, lso ist nicht einml überhupt obere Schrnke. Widerspruch! Stz (Stz des Eudoxos) Zu jedem positiven ε R gibt es ein n N, so dss 1 n < ε. Beweis. Nch Stz knn 1 ε mit n > 1 ε. keine obere Schrnke von N sein. Also gibt es ein n N Stz Sei x eine reelle Zhl. Dnn gibt es zu jedem ε > 0 eine rtionle Zhl r, so dss x ε < r < x + ε. Beweis. Nch Stz gibt es ein n N mit 1 n < ε. Drus folgt, dss eine der Zhlen r k := k n, k Z, echt zwischen x ε und x + ε liegt. Stz Q ist eine echte Teilmenge von R. Definition Zhlen x R \ Q heißen irrtionl. Beweis. (von Stz ) Wir zeigen, dss z. B. 2 eine irrtionle Zhl ist: (i) x 2 2 und x Q 15

16 (ii) x R x 2 = 2. 2 Zhlbereiche der Anlysis Zu (i): Sei x = p q und der Bruch schon vollständig gekürzt, d.h. es gebe keine n N\{1}, p, q Z mit p = n p, q = n q. Wir benutzen jetzt die Ttsche, dss für jedes r Z gilt: r gerde r 2 gerde. (Wrum ist ds eine Ttsche?) Aus x 2 = 2 folgt p 2 = 2 q 2. Also ist p gerde und es gibt ein m Z, so dss p = 2 m. Also ist q 2 = 2 m 2, folglich uch q gerde. Dies ist ein Widerspruch zu der Annhme, dss p q schon vollständig gekürzt wr. Zu (ii): Die Menge S := {y R : y > 0 y 2 = 2} ist nch oben beschränkt (z.b. durch die Zhl 2, denn für jedes y 2 gilt y 2 > 2, lso y / S.) Setze x := sup S. Angenommen x 2 < 2. Nch dem Stz des Eudoxos folgt, dss (x + 1 n )2 = x x n + 1 n 2 < 2, flls nur n N hinreichend groß gewählt wird. Also x+ 1 n S und x nicht obere Schrnke von S. Widerspruch. Angenommen x 2 > 2. Nch Eudoxos ist jetzt (x 1 n )2 = x 2 2 x n + 1 n 2 > 2, flls n N hinreichend groß. Also 2 > 2 für lle > x 1 n, lso x 1 n obere Schrnke von S, somit x selbst nicht kleinste obere Schrnke von S. Widerspruch. D lso weder x 2 < 2 noch x 2 > 2, ist x 2 = Konstruktion von Z, Q us N Ausgehend von dem Axiomensystem 2.2.1, ht mn R. In 2.3 hben wir gesehen, wie mn in R ohne Rückgriff uf die Penoxiome die Menge N der ntürlichen Zhlen identifizieren knn (die dnn die Peno-Forderungen ls Folgerungen erfüllt) und dnn uch die Mengen Z und Q durch Abschluss von N bzgl. der Subtrktion bzw. der Subtrktion und Division. Es gibt jedoch einen umgekehrten Weg, bei dem mn, usgehend nur von den Peno- Axiomen und ohne jede Verwendung der Axiome durch geschicktes Hinzu- Konstruieren von N nch Z, von Z nch Q und schließlich von Q nch R ufsteigen knn. In diesem 2.4 zeigen wir die Aufstiege von N nch Z und von Z nch Q; der Aufstieg von Q nch R wird erst in Kpitel 3 bewältigt. Konstruktion von Z: Auf N N definiere die Äquivlenzreltion durch: (m, n) (k, l) : m + l = n + k 16

17 2 Zhlbereiche der Anlysis Betrchte die Menge Z ller Äquivlenzklssen und setze [(m, n)] := {(k, l) : (m, n) (k, l)} [(m 1, n 1 )] [(m 2, n 2 )] := [(m 1 + m 2, n 1 + n 2 )] ( ) Stz Durch ( ) ist uf Z die Verknüpfung wohldefiniert. (Z, ) ist eine belsche Gruppe. Beweis. (i) Zu zeigen ist, dss ( ) überhupt konsistent ist! Ds Problem ist, dss die Objekte [(m 1, n 1 )], [(m 2, n 2 )], [(m 1 + m 2, n 1 + n 2 )] sich in ihrer Formulierung uf einzelne Vertreter der Klssen beziehen, nämlich (m 1, n 1 ), (m 2, n 2 ), (m 1 +m 2, n 1 +n 2 ). Ws pssiert ber, wenn mn ndere nimmt? Setzung ( ) tugt nur dnn ls Definition von, wenn sie vertreterunbhängig ist. Wir müssen lso Folgendes zeigen: Bei vier Pren (m 1, n 1 ), (m 2, n 2 ), (k 1, l 1 ), (k 2, l 2 ) N N gilt: ( ) Flls (m 1, n 1 ) (k 1, l 1 ) und (m 2, n 2 ) (k 2, l 2 ), so ist (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) (k 1 + k 2, l 1 + l 2 ). Betrchten wir lso vier Pre mit (m 1, n 1 ) (k 1, l 1 ) und (m 2, n 2 ) (k 2, l 2 ). Wir berechnen (m 1 + m 2 ) + (l 1 + l 2 ) = (m 1 + l 1 ) + (m 2 + l 2 ) = (n 1 + k 1 ) + (n 2 + k 2 ) = (n 1 + n 2 ) + (k 1 + k 2 ), lso ist ttsächlich (m 1 + m 2, n 1 + n 2 ) (k 1 + k 2, l 1 + l 2 ) und dmit ( ) gezeigt. (ii) (Z, ) Gruppe: Assozitivität, Kommuttivität und Distributivität rechnet mn leicht nch. Neutrles Element ist [(k, k)] mit einem beliebigen k N)], denn: [(m, n)] [(k, k)] = [(m + k, n + k)] = [(m, n)] (weil (m + k, n + k) (m, n)). Inverses Element zu [(m, n)] ist [(n, m)], denn: [(m, n)] [(n, m)] = [(n + m, n + m)] (Dies ist neutrles Element.) Stz (Z, ) ist isomorph zu (Z, +) us 2.2 Beweis. Der Äquivlenzklsse [(m, n)] entspricht in R die Zhl m n, der Verknüpfung entspricht die Addition +. Insbesondere entsprechen [(m, n)] [(n, m)] [(m, n)] [(n, m)] [(k, k)] m n n m

18 2 Zhlbereiche der Anlysis Ws wr die Idee? Drücke Differenzieren n m (ws mn im Fll m > n in N gr nicht bilden knn), einfch durch Nennung des Minuenden und des Subtrhenten us, lso sttt 5 7 einfch (5, 7). Dmit hinterher 5 7 = 6 8 = , müssen die Pre (5, 7), (6, 8), (999, 1001) dsselbe bedeuten, (5, 7) (6, 8) (999, 1001), kurz (m, n) (k, l), wenn m + l = n + k. Konstruktion von Q: Auf Z N definiere die Äquivlenzreltion durch (p, m) (q, m) : pn = qm Auf der Menge Q ller Äquivlenzklssen definiere eine Verknüpfung durch und eine Verknüpfung durch [(p, m)] [(q, n)] := [(pn + qm, mn)] [(p, m)] [(q, n)] := [(pq, mn)] Stz Die Verknüpfungen und sind wohldefiniert. (Q,, ) ist ein Körper. Stz (Q,, ) ist isomorph zu (Q, +, ) us 2.2 Beweis. von und ( Übung) 2.5 Der Körper C der komplexen Zhlen Ähnlich wie wir in 2.4 Z us N und Q us Z erbut hben, knn mn, llerdings ohne Äquivlenzklssenbildung, uch von R us noch weiter ufsteigen. Dzu definiert mn uf R 2 := R R, die Verknüpfungen und durch Stz (R 2,, ) ist ein Körper. (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) := (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) := (x 1 y 1 x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Beweis. Assozitivitäts-, Kommuttivitäts- und Distributivitätsgesetz sind leicht nchzurechnen. Bei der Addition ist ds neutrle Element ds Pr (0, 0), ds Inverse zu (x 1, x 2 ) ist ( x 1, x 2 ). Bei der Multipliktion ist ds neutrle Element ds Pr (1, 0), ds Inverse zu (x 1, x 2 ) (0, 0) ist ( x 1 x 2 1 +x2 2, x 2 x 2 1 +x2 2 Definition (Komplexe Zhlen) Sttt (R 2,, ) schreibt mn (C, +, ). ). 18

19 2 Zhlbereiche der Anlysis Stz (C, +, ) ist eine Erweiterung von (R, +, ). Dbei entspricht R der Teilmenge R {0} R 2 (R ist isomorph zu R {0}). Beweis. R {0} ist bzgl. der C-Addition und der C-Multipliktion bgeschlossen und diese stimmmen mit der R-Addition und der R-Multipliktion überein: (x 1, 0) (y 1, 0) = (x 1 + y 1, 0) (x 1, 0) (y 1, 0) = (x 1 y 1, 0) Definition Für x = (x 1, x 2 ) C heißen Re x := x 1 Relteil von x Im x := x 2 Imginärteil von x x := (x 1, x 2 ) konjugiert komplexe Zhl zu x x := x x2 2 Länge von x Stz (Definition: imginäre Einheit) Die Zhl i ht die Eigenschft i 2 = 1. Beweis. i i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Stz Für x C : x = x, x 2 1 = xx, x y = x y, 2 (x + x) = (Re x, 0), 1 2i (x x) = (Im x, 0) Definition Für die Elemente von C schreiben wir sttt (x 1, x 2 ) immer x 1 + ix 2. Bemerkungen. (i) Die Ordnung knn nicht von R uf C hochgezogen werden. Auf C gibt es keine Ordung! (ii) Mn könnte versucht sein, uf C 2 = C C Verknüpfungen und zu definieren, um so einen Körper (C 2,, ) zu erzeugen. Ds ist nicht möglich! (iii) Durch die Setzung (z, w) ( z, w) := (z + z, w + w) (z, w) ( z, w) := (z z w w, zw + w z) (bechte die Konjugtionen hinten!) erhält mn immerhin noch den sog. Schiefkörper der Quternionen (Hmilton, 1843), uf dem die Multipliktion nicht kommuttiv ist. (iv) Viel weiter kommt mn, wenn mn uf die Multipliktion gnz verzichtet und R (oder C) nur ls dditive Gruppe usbut. Die Räume R n := R... R = {(x 1, x 2,..., x n ) : x j R, j = 1,..., n} und C n := C... C = {(z 1, z 2,..., z n ) : z j C, j = 1,..., n} spielen in der Anlysis eine bsolute Huptrolle! Allerdings erst b dem 2. Semester... 19

20 2 Zhlbereiche der Anlysis 2.6 Betrg, Abstnd und Intervlle Wir kehren nch R zurück. Definition (Absolutbetrg) Für x R sei x := mx{x, x} = Stz Der Betrg in R erfüllt: (B1) x 0, wobei x = 0 x = 0 (B2) x + y x + y (B3) xy = x y Beweis. ( Übung) { x, x 0 x, x 0 (Definitheit) (Dreiecksungleichung) (Multipliktivität) Stz Der Betrg in R erfüllt uch (i) b = b flls b 0 (ii) b min{ b, + b } Definition (Abstnd) Zu zwei Zhlen x, y R heißt die Größe x y ihr Abstnd. Stz Der Abstnd erfüllt die Dreiecksungleichung: x y x z + z y für lle x, y, z R Stz Für jedes x 0 R und ε > 0 gilt: x x 0 < ε x 0 ε < x < x 0 + ε Beweis. Beide Aussgen sind äquivlent zu x x 0 < ε x 0 x < ε Definition Nichtleere Mengen der Formen [, b] := {x R : x b} [, ) := {x R : x} (, ] := {x R : x } heißen bgeschlossene Intervlle, nichtleere Mengen der Formen (, b) := {x R : < x < b} (, ) := {x R : < x} (, ) := {x R : x < } heißen offene Intervlle, nichtleere Mengen der Formen heißen hlboffene Intervlle [, b) := {x R : x < b} (, b] := {x R : < x b} 20

21 2 Zhlbereiche der Anlysis Stz Beschränkte bgeschlossene Intervlle [, b] und beschränkte offene Intervlle (, b), < b, sind mit ihrem Mittelpunkt m = 1 2 ( + b) und Rdius r = 1 2 (b ) drstellbr ls [, b] = {x R : x m r} (, b) = {x R : x m < r} 2.7 Einige Gleichungen und Ungleichungen; Potenzen und Wurzeln Definition/Stz Zu p N sei x p definiert ls Für x, y > 0 und p N gilt Beweis. Vollständige Induktion mit x p := x... x mit p Fktoren x < y x p < y p A(p) : (x < y x p < y p ) Induktionsnfng: A(1) ist trivilerweise whr. Induktionsbehuptung: Sei p 1 beliebig und A(p) whr. Induktionsschritt: Flls 0 < x < y, so lso 0 < x p < y p und durch Multipliktion der beiden Ungleichungen folgt x p+1 < y p+1. Flls 0 < y x, so 0 < y p x p und y p+1 x p+1. Also uch A(p + 1) whr. Definition (Fkultäten und Binomilkoeffizient) Für n N setze n! := 1... n, 0! := 1 ( ) α α(α 1) (α k + 1) Für α R und k N setze := ; k 1 2 k ( ) n Bemerkung. Für n, k N, n k gilt: = n! k k!(n k)! Stz (Binomischer Stz) ( + b) n = n ( n k k=0 = k + ) n k b k ( n 1 ) n 1 b Beweis. ( Übung), mit vollständiger Induktion ( ) n b n 1 + b n n 1 ( ) α :=

22 2 Zhlbereiche der Anlysis Stz n k=1 x n k y k 1 = xn y n, (x y) x y Beweis. ( Übung), mit vollständiger Induktion Stz (geometrische Summenformel) n k=0 Stz (Einige Potenzsummen) q k = 1 qn+1, (q 1) 1 q n k = n = k=1 n k 2 = n 2 = k=1 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 n k 3 = n 3 = n2 (n + 1) 2 k=1 Stz (Bernoullische Ungleichung) (i) Für jedes n 2 und lle von 0 verschiedenen x > 1 ist (ii) Für jedes n N und lle x 1 ist (1 + x) n > 1 + nx (1 + x) n 1 + nx Beweis. (i) A(2): (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x. whr! Sei n 2, A(n) whr, lso (1 + x) n > 1 + nx, x 0 Multipliktion mit (1 + x) ergibt: lso A(n+1) (1 + x) n+1 > (1 + x)(1 + nx) 4 = 1 + nx + x + nx 2 > 1 + (n + 1)x Definition/Stz (Wurzeln) Ist 0 und p N, so besitzt die Gleichung x p = genu eine Lösung x 0. Diese wird mit 1 p oder p bezeichnet und p-te Wurzel us gennnt. 22

23 2 Zhlbereiche der Anlysis Beweis. S := {y R : y 0 y p < } ist nicht leer. D für y S wegen Bernoulli y p < < 1 + p < (1 + ) p gilt, ist (1 + ) p obere Schrnke von S, lso S nch oben beschränkt. Definiere ξ := sup S. Beweis. von Stz (unter Berufung uf Stz des Eudoxos (2.3.8) NOCH EIN- ZUFÜGEN Definition/Stz (i) Für > 0 und r = p q (p, q N) setze r = q p, r = 1 q p (ii) Für, b > 0 gilt < b r < b r, flls r > 0 < b r > b r, flls r < 0 (iii) Für > 0 und r < s gilt: r < s > 1 r > s < 1 Beweis. (ii) us Stz (iii) us (ii) Stz Seien p 1,..., p n > 0 ( Gewichte ), 1,..., n R. Dnn gilt: min{ 1,..., n } p p n n p p }{{ n } gewichtetes Mittel mx{ 1,..., n } Stz (Ungleichung zwischen dem rithmetischen und geometrischen Mittel) n 1 n }{{} geometrisches Mittel n }{{ n } rithmetisches Mittel ( 1,..., n 0) Beweis. Wir beweisen die Ungleichung durch Induktion in der äquivlenten Form ( ) n n 1 n n Um Triviles zu vermeiden, nehmen wir 1,... n > 0 n. Der Induktionsnfng (n = 1) versteht sich von selbst. Angenommen, die Ungleichung gelte für je n positive Zhlen. Sind uns nun n + 1 Zhlen 1,..., n+1 > 0 vorgelegt, so dürfen wir o.b.d.a. n+1 1,..., n nnehmen. Nch Stz ist dnn α := n n n+1, lso x := n+1 α (n + 1)α 0 23

24 2 Zhlbereiche der Anlysis Die Bernoullische Ungleichung (Stz 2.7.7) liefert nun: ( ) n+1 n+1 = (1 + x) n (n + 1)x = n+1 (n + 1)α α Mit der Induktionsvorussetzung α n 1 n folgt drus ( n+1 n + 1 ) n+1 α n+1 n+1 α = αn n+1 1 n n+1 24

25 3 Folgen und Reihen 3.1 Folgen (erster Teil) Definition 3.1. Eine Folge von Elementen einer Menge M ist eine Abbildung von N nch M : n n. Ist M = R, so sprechen wir von einer Zhlenfolge. Schreibweisen: ( n ) n N, ( n ) n oder ( n ). In diesem Kpitel betrchten wir usschließlich Zhlenfolgen. Definition 3.2. Eine Folge ( n ) heißt Cuchy-Folge : : n m < ε. n,m n 0 ε>0 n 0 N Definition 3.3. Eine Zhl heißt Grenzwert der Folge ( n ) : : n < ε. ε>0 n 0 N n n 0 n Schreibweisen: n, = lim n n = lim n n. Beispiel 3.4. Die Folge n = 1 n ist Cuchy-Folge und ht den Grenzwert 0. Die Folge b n = ( 1) n ist keine Cuchy-Folge und ht keinen Grenzwert. Definition 3.5. Eine Folge ( n ) heißt konvergent : ( n ) besitzt einen Grenzwert. Eine Folge mit Grenzwert Null heißt Nullfolge. Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Stz 3.6. Eine konvergente Folge besitzt genu einen Grenzwert. Beweis. Seien und Grenzwerte von ( n ) n N. Dnn ist für beliebiges ε > 0 : = n + n n + n < ε, für n mx{n 0 (, ε 2 ), n 0(, ε 2 )}. Stz 3.7. Eine Cuchy-Folge ( n ) ist beschränkt, d.h. : n c. Stz 3.8. Eine konvergente Folge ist eine Cuchy-Folge. c 0 n N Definition 3.9. (i) Eine Folge ( n ) heißt monoton wchsend [fllend] : : n n+1 [ n n+1 ]. n (ii) Eine Folge ( n ) heißt streng monoton wchsend [fllend] : : n < n+1 [ n > n+1 ]. n Stz Sei ( n ) eine monoton [ wchsende [fllende] ] und beschränkte Folge. Dnn n n gilt: n sup{ 1, 2,...} n inf{ 1, 2,...}. 25

26 3 Folgen und Reihen Beweis. Wir beweisen die Aussge nur für eine monoton wchsende beschränkte Folge ( n ). Sei := sup{ 1, 2,...} (Ds Supremum existiert, d die Folge beschränkt ist). Dnn gilt: : ε < n0 (Definition von ). D ( n ) monoton ist, folgt hierus: ε>0 n 0 : ε < n und somit uch n < ε. n n 0 ε>0 n 0 Stz In R konvergiert jede Cuchy-Folge. Beweis. Sei ( n ) eine Cuchy-Folge. Insbesondere ist ( n ) beschränkt nch Stz (3.7), d.h. : K n K. Sei c n := inf{ n, n+1,...}; (c n ) ist beschränkt durch K K R + 0 n und monoton wchsend, lso gilt: c n c := sup{c 1, c 2,...}. Wir zeigen: n c. Es gelten: 1. : c n c < ε 3, ε>0 n 0 n n 0 2. : n m < ε 3 und ε>0 n 1 n,m n 1 3. : c n k(n) < ε 3 (dies folgt us der Definition des Infimums). ε>0 n k(n) n Hierus folgt für lle n n 2 := mx(n 0, n 1 ) : n c n k(n) + k(n) c n + c n c < ε. Beispiel Für p > 0 gilt: n := n p 1. Beweis. 1. Der Fll p = 1 ist klr. 2. Sei p > 0. Dnn ist n p = 1 + h n mit h n > 0. Die Behuptung folgt nun mit der Bernoullischen Ungleichung: Wegen p = (1 + h n ) n 1 + n h n gilt 0 < h n < p 1 n Sei p < 1. Dnn ist (siehe 2.) 1 p = (1 + h n) n 1 + n h n mit h n > 0 und 0 < h n < 1 p 1 n 0. Es gelten folgende Grenzwertsätze: Stz Seien ( n ) und (b n ) zwei Zhlenfolgen mit n und b n b. Dnn gilt: (i) n + b n + b (ii) n b n b (iii) Flls b 0 und c n := (iv) n { n bn für b n 0 0 für b n = 0 Mn betrchtet häufig Teilfolgen von Folgen: 26

27 3 Folgen und Reihen Definition Sei ( n ) n eine Folge reller und (n k ) k eine streng monoton wchsende Folge ntürlicher Zhlen. Dnn heißt k nk eine Teilfolge von ( n ) n. Schreibweise: ( nk ) k N oder ( nk ) k oder ( nk ). Hilfsstz Es gelten die folgenden Aussgen: (i) ( n ) konvergiert = Jede Teilfolge ( nk ) k konvergiert. (ii) n n = nk k für jede Teilfolge ( nk ) (iii) ( n ) konvergiert, und es gibt eine Teilfolge ( nk ) mit nk k n = n 3.2 Konstruktion von R us Q Dieses Unterkpitel schließt den in 2.4 begonnenen Aufstieg von N über Z und Q nch R b, durch den sich lle Zhlbereiche N, Z, Q, R, C llein uf den Peno-Axiomen gründen lssen. Der im Folgende beschriebene Aufstieg von Q nch R verwendet selbstverständlich nur diejenigen Fkten us 3.1, die wir llein in Q genuso gefunden hätten, lso ohne die Existenz von R schon voruszusetzen. Er besteht drin, ein Modell R des Axiomensystems herzustellen. Als Elemente dieses Modells verwenden wir Äquivlenzklssen von Cuchy-Folgen ( n ) mit n Q. Wir definieren zunächst diese Äquivlenzklssen. Definition (i) Seien ( n ) und (b n ) zwei Cuchy-Folgen rtionler Zhlen. Wir sgen ( n ) (b n ) (d.h. ( n ) und (b n ) sind äquivlent) genu dnn wenn ( n b n ) Nullfolge ist. Schreibweise: α := [( n )] := {(b n ) (b n ) ist Cuchy-Folge in Q und ( n ) (b n )} (ii) Es bezeichne R die Menge der Äquivlenzklssen. (iii) Die Opertionen +, us Q übertrgen sich, d.h. für α, β R, α = [( n )], β = [(b n )], seien α + β := [( n + b n )] und α β = [( n b n )]. Hilfsstz (R, +, ) bildet einen Körper. Beweis. ( siehe Übung) Wir können wie folgt eine Ordnung uf R erklären: Ist ( n ) keine Nullfolge, so existieren ein n 0 N und p Q, p > 0, so dss für lle m n 0 gilt: n > p oder n < p. Im ersten Fll sgen wir: [( n )] R +, im zweiten Fll: [( n )] R. Wir erhlten somit die disjunkte Zerlegung R = R {0} R +, wobei wir bkürzend 0 für [(0)] schreiben. Für α, β R sei dnn α > β, flls α β R + usw. Auch der Absolutbetrg lässt sich übertrgen. Sei für α = [( n )] : α := [( n )]. Dnn gilt: 27

28 3 Folgen und Reihen Hilfsstz Für α, β R gilt: (i) α R + 0 := R+ {0} und α R + α 0 (ii) α β = α β (iii) α + β α + β Q lässt sich vermöge der injektiven Abbildung f : Q R, q f(q) := [(q)] := [(q n )] mit q n := q (n N) in R einbetten, wobei f die lgebrischen Opertionen + und, die Ordnung und den Abstnd erhält. Wir identifizieren lso Q mit {[(q)] : q Q} R (um Verwechslung zu vermeiden schreiben wir von nun n (q n ) n sttt (q n ) für eine Cuchy-Folge rtionler Zhlen mit nicht-konstnten Gliedern q n Q. Anlog zu obiger Definition von Cuchy- Folgen nennt mn eine Folge (α n ) n, α n R, Cuchy-Folge genu dnn, wenn gilt: : α m α n < [(ε)] m,n n 0 ε>0 n 0 N Ebenso definiert mn den Grenzwert einer Folge (α n ) n, α n R Hilfsstz Elemente us R lssen sich in folgendem Sinn durch Elemente us Q pproximieren: : α [(q)] < [(ε)] α R ε>0 q Q Beweis. Seien α = [( n )] R und q j := j Q für j N. Dnn existiert für jedes ε > 0 ein j 0 (ε) N, so dss für lle j j 0 (ε) gilt: α [(q j )] = [( n j ) n ] = [( n j ) n ] < [(ε)] Stz R ist folgenvollständig, d.h. jede Cuchy-Folge in R besitzt einen Grenzwert in R. Beweis. Sei (α n ) n eine Cuchy-Folge in R, etw α n = [( nj ) j ] mit nj Q. Zu n N, wähle j = j(n) N so groß, dss [( )] 1 α n [(q n )] < für q n := n nj(n) ist. Nun ist (q n ) n eine Cuchy-Folge in Q, d für beliebiges ε > 0 gilt: q n q m = q n nk + nk mk + mk q m q n nk + nk mk + mk q m 1 n + nk mk + 1 m < ε für m, n, k genügend groß, 28

29 3 Folgen und Reihen und somit ist α := [(q n ) n ] R α ist der gesucht Grenzwert von (α n ) n, denn für n n 1 (ε) α α n α [(q n )] + [(q n )] α n α [(q n )] + Stz 3.20 impliziert leicht (ber wrum?): [( )] 1 < [(ε)] n Stz R ist vollständig, d.h. jede nch oben beschränkte Teilmenge von R besitzt eine kleinste obere Schrnke in R. Dmit ist R ls Menge erknnt, die der xiomtischen Chrkterisierung von R genügt, lso der Aufstieg von Q nch R geschfft. Wir notieren nur noch kurz: Stz Jede reelle Zhl 0 besitzt eine Dezimldrstellung = n 0, z 1 z 2 z 3... mit n 0 N {0}, z j {0,..., 9} für j N, so dss = lim n n mit n := n 0 + n j=1 z j 10 j. Die Zhl wird ls geschrieben. = n 0, z 1 z 2 z 3... Beweis. ( siehe Übung) 3.3 Folgen (zweiter Teil) Wir setzen die in 3.1 begonnene llgemeine Theorie der Folgen durch einige weitere Begriffe, Aussgen und Beispiele fort. Stz Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beispiel Die Eulersche Zhl ist definiert ls ( e := lim n ( = sup 1 + n n) 1 n N n diese Definition ist OK, weil die Folge ( n) n monoton wchsend und nch oben beschränkt ist. ) n 29

30 3 Folgen und Reihen Stz Jede Folge ( n ) n enthält eine monotone Teilfolge. Stz Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge. Stz (Prinzip der Intervllschchtelung.) Eine Folge I n = ( n, b n ), n N von Intervllen heißt Intervllschchtelung, flls I n+1 I n, n N und lim n (b n n ) = 0. Jede Untervllschchtelung erfsst eine wohlbestimmte Zhl, d. h., es gibt genu ein c R mit c I n für lle n N. Es ist c = lim n n = lim n b n. Definition R heißt Häufungswert (=Häufungspunkt) der Folge ( n ) : : n < ε ε>0 n 0 N n n 0 : : Es liegen unendlich viele Folgenglieder in ( ε, + ε) ε>0 Stz Eine Zhl ist ein Häufungswert einer Folge, genu dnn wenn sie Grenzwert einer Teilfolge derselben ist. Stz Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungswert. Beweis. Jede beschränkte Folge ht nch Stz (3.26) eine konvergente Teilfolge. Deren Grenzwert ist nch Stz (3.29) Häufungswert der ursprünglichen Folge. Stz (Definition) Jede beschränkte Folge ( n ) besitzt einen größten und einen kleinsten Häufungswert. Der erste wird Limes superior von ( n ) gennnt, der zweite Limes inferior. Schreibweise: lim sup n n bzw. lim sup n n. Beweis. Betrchte eine beschränkte Folge ( n ) n im Intervll [, b] mit n [, b] für lle n N und die Menge H ller Häufungswerte von ( n ) n. Es reicht zu zeigen, dss inf H H und sup H H. Sei α = inf H. Dnn gibt es zu jedem ε > 0 ein β H mit Betrchte die Intervlle α β < α + ε U ε (α) = (α ε, α + ε) U δ (β) = (β δ, β + δ) Welchen Wert δ > 0 uch immer nnimmt, so liegen in U δ (β) unendlich viele Glieder der Folge ( n ) n, d β H. Wählt mn insbesondere δ so, dss dnn ist β + δ < α + ε U δ (β) U ε (α) lso liegen uch in U ε (α) unendlich viele Glieder der Folge ( n ) n. Also ist α ebenflls Häufungswert mit α = inf H H. Dss uch sup H H, zeigt mn nlog. 30

31 3 Folgen und Reihen Stz Eine Folge ( n ) n konvergiert genu dnn, wenn sie beschränkt ist und nur einen Häufungspunkt besitzt. In diesem Fll ist lim n = lim inf n = lim sup n n n Beweis. = : Sei ( n ) n konvergent. Dnn ist die Folge beschränkt. Ist g ihr Grenzwert, so gilt für jedes ε > 0: Außerhlb des Intervlles (g ε, g + ε) liegen nur endlich viele Folgenglieder, lso kein Häufungspunkt. Dher ist g der einzige Häufungspunkt. = : Sei ( n) n beschränkt und besitze nur einen Häufungspunkt h. Sei [, b] ein Intervll in dem lle n liegen. Angenommen, es gäbe ein ε > 0, so dss unendlich viele Folgenglieder in M = [, b] \ (h ε, h + ε) liegen. Dnn knn mn us diesen eine Teilfolge ( nk ) k bilden, die gnz in M liegt. Diese ht einen Häufungspunkt h M. Es gilt h h, somit gibt es zwei verschiedene Häufungspunkte. Widerspruch! Dher gilt doch: Zu jedem ε > 0 liegen nur endlich viele Folgenglieder ußerhlb des Intervlles (h ε, h + ε). Definition (i) Eine Folge ( n ) divergiert gegen + bzw. gegen, kurz n + bzw. n, wenn : n > G bzw. : n < G n>n 0 n>n 0 G R n 0 N n G R n 0 N Mn schreibt dnn uch lim n n = + bzw. lim n n = und spricht von uneigentlichem Grenzwert (jedoch nicht von Konvergenz). Jede Folge mit lim n = + oder lim n = heißt bestimmt divergent. (ii) Mn schreibt lim sup n n lim inf n n = sup n = +, flls ( n ) n nicht nch oben beschränkt n N = inf n =, flls ( n ) n nicht nch unten beschränkt n N und spricht von uneigentlichen Häufungswerten bzw. uneigentlichem Supremum, Infimum, Limes superior und Limes inferior. 3.4 Reihen Definition Seien 1, 2,... R. (i) j=1 j (oder uch j=k j für k Z) oder j j oder j heißt (unendliche) Reihe mit den Summnden j. (ii) s n := n = n j=1 j heißt n-te Prtilsumme. (iii) j heißt konvergent genu dnn, wenn die Folge (s n ) konvergent ist. In diesem Fll heißt s := lim n s n Summe der Reihe j und wir schreiben: s = j=1 j. 31

32 3 Folgen und Reihen (iv) j heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Stz j konvergiert = ( j ) ist Nullfolge. Beweis. D s n+1 s n = n+1, knn (s n ) n nur dnn Cuchy-Folge sein, wenn n 0. Die Umkehrung dieses Stzes gilt jedoch nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: ( ) Beispiel j ist eine Nullfolge, die hrmonische Reihe j=1 1 j divergiert jedoch. Beweis. s 2n s n = 2n j=n+1 1 j n 1 2n = 1 2, lso ist (s n) n keine Cuchy-Folge. Beispiel Die geometrische Reihe j=0 qj konvergiert für q < 1 und divergiert für q 1. Beweis. Für q 1 ist s n = 1 qn+1 1 q. Für q < 1 ergibt sich somit j=0 q j = 1 1 q Für q 1 ist q j keine Nullfolge, ws die Divergenz der Reihe impliziert. Definition Die Reihe j heißt bsolut konvergent, wenn j konvergiert. Stz Wenn eine Reihe j bsolut konvergent ist, so ist sie uch konvergent. Beweis. Für n > m ist s n s m = n j=m+1 j n j=m+1 j < ε für n, m n 0 (ε) Die Umkehrung gilt jedoch nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel Die Reihe j ist sie konvergent. ( 1) j j konvergiert nicht bsolut, ber nch folgendem Stz Stz (Leibniz-Kriterium) Eine lternierende Reihe j (d.h. mit Summnden wechselnden Vorzeichens) konvergiert, wenn ( j ) j eine monoton fllende Nullfolge ist. Beweis. Sei o.b.d.a. 2j 0 und 2j 1 0 für j N. Dnn ist die Folge (s 2m ) m monoton fllend und nch unten beschränkt, denn: s 2m+2 = s 2m +( 2m+1 + 2m+2 ) s 2m, d 2m+1 0 und 2m+1 2m+2, und für lle m N ist s 2m s 1. Anlog zeigt mn: (s 2m 1 ) m ist monoton steigend und nch oben beschränkt. Die beiden Teilfolgen konvergieren lso nch Stz Sie hben denselben Grenzwert, s gennnt, d s 2m s 2m 1 = 2m 0 für m. Dies bedeutet Konvergenz der Folge (s n ) n gegen den Grenzwert s. 32

33 3 Folgen und Reihen Definition Seien n und b n Reihen mit nichtnegtiven Gliedern und es gelte: 0 n b n für lle n N. Dnn heißt n Minornte zu b n, und b n heißt Mjornte zu n. Stz (Mjornten-/ Minorntenkriterium) Eine Folge, die eine konvergente Mjornte ht, konvergiert. Eine Folge, die eine divergente Minornte ht, divergiert. Stz (Quotientenkriterium) Es gelte n 0 für lle n N und Dnn konvergiert n bsolut. q (0,1) k N n k : n+1 n q Beweis. Für n k, und m N ist n+m q m n. Somit ht j=0 k+j die konvergente Mjornte k j=0 qj. Stz (Wurzelkriterium) Es gelte: Dnn konvergiert n bsolut. q (0,1) k N n k : n n q Beweis. Für n k gilt n q n. Also ht j=k j die konvergente Mjornte j=k qj. Diese Kriterien sind hinreichend, ber nicht notwendig. 33

34 4 Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen in einer Vriblen 4.1 Offene, bgeschlossene und kompkte Teilmengen von R Definition Zu x R und ε > 0 heißt ε-umgebung von x. U ε (x) := {y R : y x < ε} Definition Eine Teilmenge G von R heißt offen, wenn jedes x G eine ε- Umgebung U ε (x) besitzt, die in G enthlten ist: U ε (x) G. Beispiel. R,, (, b), (, ), (, ) sind offen. Stz Der Durchschnitt endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen sind offen. Beweis. Seien G 1,..., G n R offen und x G := n j=1 G j. Dnn existiert zu jedem j {1,..., n} ein ε j > 0 mit U ε (x) G j. Mit ist ε := min{ε 1,..., ε n } U ε (x) G. Sei G eine beliebige Menge offener Teilmengen von R und x G G G. Dnn gibt es ein G G mit x G und dzu ein ε > 0 mit U ε (x) G. Es folgt U ε (x) G G G. Beispiel. Während die Intervlle ( 1 n, 1 n ) offen sind, ist n N ( 1 n, 1 n ) = {0} nicht offen Definition (reltive Offenheit) Eine Teilmenge G R heißt reltiv-offen bzgl. einer gegebenen Teilmenge X von R, oder kurz: X-offen, wenn es zu jedem x G ein ε > 0 gibt so dss U ε (x) X G. 34

35 4 Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen in einer Vriblen Stz Der Durchschnitt endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler X- offenen Menge sind wieder X-offen. Definition Eine Teilmenge A R heißt bgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder Folge ( n ) n mit Gliedern in A wieder zu A gehört Stz A R ist genu dnn bgeschlossen, wenn ds Komplement R \ A offen ist. Beweis. Sei A bgeschlossen und x R \ A beliebig. Würde jede ε-umgebung von x Punkte us A enthlten, so gäbe es eine Folge (x n ) n mit lso mit x n U 1 (x) A n x n x Dnn wäre x A. Also enthält nicht jede ε-umgebung von x Punkte us A, d.h. es existiert ε > 0 mit U ε (x) R \ A Also ist R \ A offen. Sei umgekehrt R \ A offen. Ist nun (x n ) irgendeine konvergente Folge in A, so knn ihr Grenzwert x nicht in R \ A liegen, d es sonst eine Umgebung gäbe mit U ε (x) R \ A x n / U ε (x) n N Korollr Der Durchschnitt beliebig vieler und die Vereinigung endlich vieler bgeschlossener Mengen sind wieder bgeschlossen. Beispiel. Während die Intervlle [ 1+ 1 n, 1 1 n ] bgeschlossen sind, ist ihre Vereinigung n N [ n, 1 1 n ] = ( 1, 1) nicht bgeschlossen. Definition Eine Teilmenge K R heißt kompkt, wenn jede Folge us K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert wieder zu K gehört. Stz Eine Teilmenge K R ist genu dnn kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. Beweis. bgeschlossen und beschränkt = kompkt : Sei (x n ) beliebige Folge in K. K beschränkt konvergente Teilfolge (x nk ) k. K bgeschlossen lim k x nk K kompkt = bgeschlossen und beschränkt : K beschränkt, d es sonst eine Folge (x n ) n mit x n n gäbe; diese enthielte keine konvergente Teilfolge. Sei (x n ) Folge in K mit x n x. K kompkt Eine Teilfolge konvergiert gegen ein Element von K. Dieses knn ber nur identisch mit x sein. Also x K. Mithin K bgschlossen. Korollr Ein Intervll ist genu dnn kompkt, wenn es von der Form [, b] ist. Beweis. Stz(4.1.10) 35

36 4 Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen in einer Vriblen 4.2 Begriff und einfche Eigenschften stetiger Funktionen Definition Eine Funktion f : X R, X R, heißt stetig n einer Stelle ξ X, wenn für jede Folge (x n ) n us X gilt: Flls lim n x n = ξ, so lim n f(x n ) = f(ξ). Stz (i) f : X R sei stetig in ξ X und es sei f(ξ) >. Dnn gibt es eine δ-umgebung U von ξ, so dss für lle x U weiterhin f(x) >. (ii) Dsselbe mit < nsttt >. Beweis. Zu (i): Sonst gäbe es zu jedem n N ein x n U 1 (ξ) X mit f(x n ). Dnn n wäre lim n x n = ξ und f(ξ) = lim n f(x n ). Widerspruch. Zu (ii): nlog. Stz Sind die Funktionen f und g uf X definiert und in ξ stetig, so sind uch die (ebenflls uf X erklärten) Funktionen f +g, f g, fg in ξ stetig. Ist ußerdem g(ξ) 0, so ist uch die (uf {x X : g(x) 0} erklärte) Funktion f/g in ξ stetig. Beispiel/Definition (i) Polynome: n X = R, p(x) = k x k k=0 (Flls n 0, so heißt n der Grd des Polynoms) (ii) Rtionle Funktionen: r(x) = p(x) q(x) p, q Polynome, X = {x R : q(x) 0} Stz Flls f g exisitiert, g in ξ und f in g(ξ) stetig sind, so ist uch f g in ξ stetig. Stz Sind die Funktionen f und g uf X erklärt und in ξ stetig, so sind uch die (ebenflls uf X erklärten) Funktionen f, mx(f, g), min(f, g) in ξ stetig. Stz (ε δ Chrkterisierung der Stetigkeit) Die uf X definierte Funktion f ist genu dnn in ξ X stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt, so dss ( x ξ < δ = f(x) f(ξ) < ε). x X Oder gleichbedeutend: f ist genu dnn in ξ stetig, wenn zu jeder ε Umgebung V von f(ξ) eine δ Umgebung U von ξ existiert, so dss f(u X) V 36

37 4 Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen in einer Vriblen Beweis. Angenommen, die obige ε δ Bedingung ist erfüllt. Sei ε > 0 beliebig und δ = δ(ε) us dieser Bedingung. Für jede Folge (x n ) mit x n ξ gibt es dnn ein n 0 = n 0 (δ) mit Es folgt Also ist x n ξ < δ für lle n n 0 f(x n ) f(ξ) < ε für lle n n 0 lim f(x n) = f(ξ) n d.h. f ist stetig in ξ. Nun ngenommen die ε δ Umgebung ist nicht erfüllt. Dnn gibt es ein ε 0 > 0, so dss zu jedem δ > 0 ein x(δ) X existiert mit x(δ) ξ < δ, f(x(δ)) f(ξ) ε 0. Insbesondere gibt es zu jedem n N ein x n mit x n ξ < 1 n und f(x n ) f(ξ) ε 0. D x n ξ, f(x n ) f(ξ), ist f unstetig in ξ. Stetigkeit knn noch konziser usgedrückt werden, wenn mn den Begriff der offenen Menge verwendet: Stz Die Funktion f : X R ist genu dnn stetig in jedem Punkt von X, wenn ds Urbild jeder offenen Menge G X offen ist. f 1 (G) = {x X : f(x) G} 37

38 4 Stetigkeit und Grenzwerte reeller Funktionen in einer Vriblen Beweis. = Sei f überll stetig und G R eine beliebige offene Menge. Flls die Urbildmenge f 1 (G) leer ist, so ist sie trivilerweise offen. Ansonsten betrchte ein beliebiges ξ f 1 (G). Es ist f(ξ) G und d G offen ist, gibt es eine ε Umgebung V von f(ξ) mit V G. Nch Stz (4.2.7) existiert dnn eine δ Umgebung U von ξ mit f(u X) V. Dies impliziert U X f 1 (G), mithin, d ξ beliebig wr, die X Offenheit von f 1 (G). = Es gelte, dss ds Urbild f 1 (G) jeder offenen Menge G R X offen ist. Sei ξ ein beliebiger Punkt us X und V eine beliebige ε Umgebung von f(ξ). D V offen ist, ist f 1 (V ) X offen. Also besitzt ξ eine δ Umgebung U mit U X f 1 (V ). Dies impliziert f(u X) V lso nch Stz (4.2.7) Stetigkeit von f in ξ. D ξ beliebig wr, ist f überll stetig. 4.3 Zwischenwert- und Fixpunktsätze Stz (Nullstellenstz von Bolzno) Ist die Funktion f uf dem Intervll stetig und ist f() < 0, f(b) > 0 [oder ber f() > 0, f(b) < 0], so ht f mindestens eine Nullstelle in (, b). Beweis. Es sei f() < 0 < f(b). Die Menge M = {x [, b] : f(x) 0} ist nichtleer und beschränkt. Also existiert ξ := sup M [, b] und dzu eine Folge (x n ) n in M mit x n ξ. Die Stetigkeit von f impliziert f(ξ) 0. Wäre f(ξ) < 0, so könnte ξ wegen Stz (4.2.2) nicht obere Schrnke von M sein. Also ist f(ξ) = 0. Dss ξ / {, b}, ist offensichtlich. Stz (Zwischenwertstz von Bolzno) Eine stetige Funktion f : [, b] R nimmt jeden Wert zwischen f() und f(b) n. Beweis. Flls f() = f(b), so ist ds trivil. Sei nun f() < f(b) und η ein beliebiger Wert us (f(), f(b)). Die Funktion g : [, b] R x f(x) η ht nch Stz (4.3.1) eine Nullstelle in (, b); d.h. es gibt ein ξ (, b) mit f(ξ) η = 0 Flls ber f() > f(b) und η ein beliebiger Wert us (f(b), f()) ist, rgumentiert mn genuso. Stz (Fixpunktstz für kompkte Intervlle) Jede stetige Selbstbbildung f : [, b] [, b] eines kompkten Intervlls ht mindestens einen Fixpunkt. 38