Analysis I. Inhaltsverzeichnis. Martin Brokate. 1 Aussagen, Mengen, Abbildungen 1. 2 Das Prinzip der vollständigen Induktion 14

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1 Anlysis I Mrtin Brokte Inhltsverzeichnis Aussgen, Mengen, Abbildungen 2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion 4 3 Die reellen Zhlen 8 4 Folgen 29 5 Die komplexen Zhlen 40 6 Reihen 44 7 Unendliche Mengen 55 8 Stetige Funktionen 59 9 Monotone Funktionen, Umkehrfunktionen 65 0 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen 68 Trigonometrische Funktionen 7 2 Differenzierbrkeit 75 3 Gleichmäßige Konvergenz, normierte Räume 87 4 Ds Integrl 9 Vorlesungsskript, WS 999/2000 Zentrum Mthemtik, TU München 0

2 Aussgen, Mengen, Abbildungen Whre und flsche Aussgen. Die Mthemtik befßt sich mit Aussgen, von denen mn wissen will, ob sie whr oder flsch sind. Ziel der Mthemtik ist es, whre Aussgen über vermutete Zusmmenhänge zu mchen. Eine Aussge ist etws, ws entweder whr oder flsch ist. Je nchdem, ws zutrifft, ordnen wir ihr den Whrheitswert W oder F zu. Beispiel: 4 ist größer ls 3. (Whrheitswert W.) Es gibt eine größte ntürliche Zhl. (Whrheitswert F.) Mengen. Die Gegenstände, Begriffe und Objekte, mit denen in der Mthemtik hntiert wird, existieren im Denken. Sie können unmittelbre Entsprechungen im Alltgsbereich hben (etw die Zhl 2), ber uch sehr weit von sinnlichen Erfhrungen entfernt sein. Über ds Verhältnis von Mthemtik und Relität läßt sich viel sgen und kontrovers diskutieren. Ds wollen wir hier nicht tun. Mthemtische Objekte, wie immer mn sie uch interpretieren will, werden seit gerumer Zeit in der Sprche der Mengenlehre formuliert. G. Cntor ht im Jhre 895 den Begriff einer Menge so definiert: Unter einer Menge verstehen wir eine Zusmmenfssung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten (welche Elemente der Menge heißen) zu einem Gnzen. Ist M eine Menge, so schreiben wir flls x Element von M ist, ndernflls x M ( x ist Element von M ), x / M ( x ist nicht Element von M ). Eine Menge läßt sich z.b. ddurch ngeben, dß mn ihre Elemente einzeln ufschreibt. Beispiel: {, 3, 5, 7}. Es knn ber sein, dß mn ds nicht will oder knn (z.b. weil die Menge unendlich viele Elemente ht), etw bei N = {, 2, 3, 4,...}, (.) Z = {0,,, 2, 2, 3, 3,...}. (.2) Mit den Punkten unterstellt mn, dß es klr ist, wie es weitergeht. Eine ndere Möglichkeit, neue Mengen zu erhlten, ist die Bildung von Teilmengen bereits beknnter Mengen. Eine Menge N heißt Teilmenge einer Menge M, geschrieben N M,

3 wenn jedes Element von N uch Element von M ist. Mn knn Teilmengen ddurch ngeben, dß mn eine definierende Eigenschft formuliert. Beispiel: G = {n : n N, es gibt ein m N mit n = 2m} (.3) definiert die Menge der gerden Zhlen ls Teilmenge von N. Eine solche Beschreibung ht die Form N = {x : x M, A(x) ist whr} (.4) wobei A(x) eine Aussge ist, die die Vrible x enthält. Zwei Mengen M und N heißen gleich, geschrieben M = N, wenn sowohl N M ls uch M N gelten, ds heißt, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Beispiel: {, 3, 5, 7} = {, 5, 7, 3} = {, 3, 5,, 7, 5}. Bei einer so expliziten Auflistung wird mn normlerweise kein Element doppelt ngeben. Bei der Beschreibung der rtionlen Zhlen durch Q = { p q : p, q Z, q 0} (.5) tuchen ber lle rtionlen Zhlen mehrfch (und zwr unendlich oft) uf; es wäre sehr unzweckmäßig, würde mn nur solche Beschreibungen von Mengen zulssen, in denen jedes Element genu einml uftucht. Sind M und N Mengen, so definieren wir M N = {x : x M oder x N} (Vereinigung), M N = {x : x M und x N} (Durchschnitt oder Schnitt). Der Begriff des Durchschnitts zweier Mengen legt nhe, die leere Menge, welche kein Element enthält, ebenflls ls Menge zuzulssen. Ddurch erreicht mn, dß der Durchschnitt zweier Mengen immer eine Menge ist. Zwei Mengen M und N heißen disjunkt, wenn M N =, ds heißt, wenn M und N kein gemeinsmes Element hben. Die leere Menge spielt unter den Mengen eine ähnlich zentrle Rolle wie die Null bei den Zhlen. Ist M Menge und N M, so definieren wir ds Komplement von N in M durch M \ N = {x : x M und x / N}. Sätze und Beweise. Verknüpfung von Aussgen. Ein mthemtischer Stz enthält Vorussetzungen und Behuptungen. Er ist whr, wenn die Behuptungen whr sind, flls die Vorussetzungen whr sind. Beispiel eines Stzes: Vorussetzung: n ist eine durch 6 teilbre ntürliche Zhl. Behuptung: n ist durch 3 teilbr. 2

4 Dieser Stz ist whr, d jede Zhl, die durch 6 teilbr ist, uch durch 3 teilbr ist. Noch ein Beispiel: Vorussetzung: wie eben Behuptung: n ist durch 5 teilbr. Dieser Stz ist flsch, d es eine Zhl gibt, die durch 6, ber nicht durch 5 teilbr ist. (Es gibt sogr unendlich viele solcher Zhlen, ebenso gibt es unendlich viele Zhlen, die sowohl durch 6 ls uch durch 5 teilbr sind; dieser Schverhlt ist ber unerheblich für die Frge, ob der Stz whr ist.) Ein Beweis besteht drin, durch schrittweises logisches Schließen von den Vorussetzungen zu den Behuptungen zu gelngen. Für den ersten der beiden oben ngeführten Sätze knn ds so ussehen: Sei n N eine beliebige durch 6 teilbre Zhl. Es gibt dnn ein m N mit n = 6m. D 6m = 3 2m ist, ist n = 3 2m, lso ist n durch 3 teilbr. Beim Hntieren mit Aussgen wird eine Reihe von logischen Verknüpfungen verwendet. Der Whrheitswert der durch die Verknüpfung erzeugten Aussge ist durch den Whrheitswert der beteiligten Aussgen eindeutig festgelegt. Mn knn dies in Form einer sogennnten Whrheitstfel ufschreiben. Für uns sind folgende Verknüpfungen wesentlich:. Negtion einer Aussge A ( nicht A, A): A W F A F W 2. Konjunktion zweier Aussgen A und B ( A und B, A B): A B A B W W W W F F F W F F F F A und B ist genu dnn whr, wenn sowohl A ls uch B whr sind. 3. Adjunktion zweier Aussgen A und B ( A oder B, A B): A B A B W W W W F W F W W F F F A oder B ist genu dnn whr, wenn mindestens eine der beiden Aussgen whr ist. Oder bedeutet in der Mthemtik immer ds einschließende oder. Meint mn entweder oder, ber nicht beides, so muß mn ds explizit sgen. 4. Impliktion ( Aus A folgt B, A impliziert B, A B): 3

5 A B A B W W W W F F F W W F F W Beispiel: Die Aussge Für lle Zhlen n N gilt: Aus n < 3 folgt n < 5 will mn ls whr nsehen. Ds erklärt die Zeilen,3 und 4 in der Tbelle (setze n = 2, 4, 6). Mn bechte: Ist A flsch, so ist A B whr, egl ob B whr oder flsch ist. Aus einer flschen Aussge läßt sich lso lles folgern! Zur Nottion: Sttt A B schreibt mn uch B A. Mthemtische Sätze sind Aussgen der Form A B. A heißt die Vorussetzung, B die Folgerung der Aussge A B. Ist A B whr, so sgt mn uch: A ist hinreichende Bedingung für B, B ist notwendige Bedingung für A. 5. Äquivlenz ( A gilt genu dnn, wenn B gilt, A und B sind äquivlent, A B): A B A B W W W W F F F W F F F W Durch Aufstellen der Whrheitstfeln sieht mn: A B ist whr genu dnn, wenn A B und B A whr sind, oder: Es gilt nämlich: (A B) ((A B) (B A)). (.6) A B A B A B B A (A B) (B A) (.6) W W W W W W W W F F F W F W F W F W F F W F F W W W W W Die Aussge (.6) ist whr, egl welche Whrheitswerte A und B hben. Eine solche Aussge nennt mn Tutologie. Regeln für ds äquivlente Umformen verknüpfter Aussgen hben die Form von Tutologien. Neben (.6) ist ein weiteres Beispiel ( (A B)) (( A) ( B)) (.7) In Worten: Die Negtion von A und B erhält mn, indem mn A und B einzeln negiert und die negierten Aussgen nschließend mit oder verknüpft. Beispiel: Die Negtion von ist n N ist gerde und durch 7 teilbr 4

6 n N ist ungerde oder nicht durch 7 teilbr, ber nicht n N ist ungerde und nicht durch 7 teilbr. Dß (.7) ttsächlich eine Tutologie ist, prüft mn wie für (.6) nch, indem mn die zugehörigen Whrheitstfeln vergleicht. Quntoren. Sie liefern weitere Busteine zur Formulierung mthemtischer Aussgen. Es hndelt sich dbei um den Existenzquntor ( es gibt ) und den Allquntor Beispiel: Die Aussge ( für lle ). es gibt eine ntürliche Zhl, die größer ist ls 000 ist whr. Mn knn sie uch schreiben ls n N mit n > 000 oder noch kürzer ls n N: n > 000. und gehen bei Negtion ineinnder über. Die Negtion der eben formulierten Aussge ist Für lle n N gilt n 000, n N: n 000. Eine mehr umgngssprchliche Formulierung wäre: Alle ntürlichen Zhlen sind kleiner oder gleich 000. Zwei Beispiele für eine flsche Bildung der Negtion sind es gibt ein n N mit n 000, lle ntürlichen Zhlen sind größer ls 000. Mit es gibt ist in der Mthemtik immer gemeint es gibt mindestens ein. Will mn usdrücken, dß es uch nicht mehr ls eins geben knn, sgt mn es gibt genu ein, Symbol. Aussgen können mehrere Quntoren enthlten. Beispiel: n N p N: p > n und p Primzhl 5

7 In Worten: Für jede ntürliche Zhl n gibt es eine ntürliche Zhl p, welche größer ls n und Primzhl ist. Die Negtion dieser Aussge ist n N p N: p n oder p ist nicht Primzhl, oder es gibt eine ntürliche Zhl n, so dß für lle ntürlichen Zhlen p gilt, dß p kleiner ls n oder gleich n oder dss p nicht Primzhl ist. Mn könnte die ursprüngliche Aussge uch so schreiben: n N p > n: p ist Primzhl. Allerdings muß dnn zwischen Schreiber und Leser (oder Sprecher und Zuhörer) klr sein, dß für p nur ntürliche Zhlen in Frge kommen. Entsprechend läßt sich die Negtion schreiben ls n N p > n: p ist nicht Primzhl. Die Reihenfolge der Quntoren ist wesentlich. Die Aussge p N n N: p > n und p Primzhl ist eine ndere (im Gegenstz zur ursprünglichen Aussge flsche) Aussge. Noch ein Beispiel: In jeder deutschen Stdt gibt es einen Bürger, der ein Hus besitzt ist eine (wohl whre) Aussge, während es gibt einen Bürger, der in jeder deutschen Stdt ein Hus besitzt eine ndere (vermutlich flsche) Aussge ist. Rechenregeln für Mengen. Indexmengen. Seien M, N, P Mengen. Dnn gilt: Aus M N und N P folgt M P. (Beweis: Ist x M, so ist x N wegen M N und weiter x P wegen N P.) Hierus folgt: Ist M = N und N = P, so ist M = P. Für die Vereinigung gilt ds Assozitivgesetz Beweis: Es gilt (M N) P = M (N P ). (.8) x (M N) P x M N oder x P (x M oder x N) oder x P x M oder (x N oder x P ) x M oder x N P x M (N P ). (.9) Beim Übergng von der zweiten zur dritten Zeile wurde eine Tutologie benutzt, nämlich ds Assozitivgesetz für die logische Verknüpfung oder. (Dieses wird wie gehbt durch 6

8 Vergleich der Whrheitstfeln bewiesen.) Anlog zeigt mn ds Assozitivgesetz für den Durchschnitt (M N) P = M (N P ). Mn knn dher die Klmmern weglssen und einfch M N P, M N P schreiben. Weiter gelten die Kommuttivgesetze M N = N M, M N = N M. Sei nun I eine Menge, sei für jedes i I eine Menge M i gegeben. In diesem Kontext heißt i der Index von M i und I eine Indexmenge. Wir definieren M i = {x : es gibt ein i I mit x M i }, (.0) Beispiel: Sei für n N Dnn ist i I M i = {x : für lle i I gilt x M i }. (.) i I M n = { p n : p Z}. M n = Q. n N Wichtigster Spezilfll ist I = {,..., n} = {i : i N, i n}. Dnn schreibt mn sttt uch i I M i n M i. i= Die in (.0) und (.) eingeführten Begriffe der Vereinigung bzw. des Durchschnitts bezüglich einer Indexmenge stimmen im Fll I = {, 2} mit den nfngs definierten Begriffen der Vereinigung bzw. des Durchschnitts zweier Mengen überein (Beweis weggelssen.) Als weitere Rechenregeln gelten die Distributivgesetze M (N P ) = (M N) (M P ), M (N P ) = (M N) (M P ). Für Vereinigung bzw. Durchschnitt bezüglich Indexmengen hben sie die Form N i I M i = i I N M i, N i I M i = i I N M i. Eine Vereinigung M N zweier Mengen heißt disjunkt, wenn M und N disjunkt sind, lso M N =. Eine Vereinigung i I M i heißt disjunkt, wenn lle beteiligten Mengen prweise disjunkt sind, ds heißt wenn M i M j = für lle i, j I mit i j. 7

9 Mengen von Mengen. Die Elemente einer Menge können ohne weiteres selbst wieder Mengen sein. Beispiel: {{, 2}, {, 3}, {, 4}} = {{, n} : n N, 2 n 4} ist eine Menge mit drei Elementen, die selbst zweielementige Mengen sind. Anderes Beispiel: { } ist nicht etw die leere Menge, sondern die Menge, welche ls einziges Element die leere Menge enthält. Ist M eine Menge, so heißt die Menge P(M) ller Teilmengen von M, P(M) = {N : N M} (.2) die Potenzmenge von M. Wir verbreden, dß M gilt für jede Menge M, lso P(M). (Die Negtion von x gilt x M liefert die Aussge x mit x / M, welche wir ls flsch nsehen wollen.) Die Potenzmengenbildung läßt sich wiederholen: So sind uch P(P(M)), P(P(P(M))),... Mengen. Beispiel: Ist n N, so ist und {n, n + } N, lso {n, n + } P(N), {{n, n + } : n N} P(N), lso {{n, n + } : n N} P(P(N)). In der Definition von Cntor wird unterstellt, dß sich für jede Menge M und jedes mthemtische Objekt x eindeutig sgen läßt, ob x Element von M ist oder nicht, dß lso x M eine Aussge ist, die entweder whr oder flsch ist. Es ht sich ber sehr bld herusgestellt, dß der schrnkenlose Umgng mit dem Mengenbegriff dmit nicht verträglich ist. So ist es z.b. zunächst nicht usgeschlossen, dß eine Menge sich selbst ls Element enthält (obwohl ds zugegebenermßen etws merkwürdig klingt). Drus ht B. Russell ds folgende Beispiel konstruiert: Wir nennen eine Menge M norml, flls sie sich nicht selbst ls Element enthält, lso flls M / M gilt. Sei nun M = {M : M ist eine normle Menge}. Frge: Ist M norml? Flls j, so gilt M / M nch Definition des Begriffs norml, ber ndererseits M M nch Definition von M. Flls nein, so gilt M M nch Definition des Begriffs nicht norml, ber ndererseits M / M nch Definition von M. 8

10 Der Versuch, solche sogennnte Antinomien (es gibt noch mehr dvon) in den Griff zu kriegen, führt zu schwierigen Grundlgenproblemen der Mthemtik und ht in der Tt zu Beginn des 20. Jhrhunderts eine Grundlgenkrise der Mthemtik usgelöst. Wir werden uns ber mit diesen Problemen nicht weiter beschäftigen. Geordnete Pre. Ds Produkt zweier Mengen. Bilden wir eine Menge {x, y} us zwei Elementen x und y, so ist durch den Mengenbegriff keine Reihenfolge von x und y festgelegt, es gilt {x, y} = {y, x}. Will mn nun ein Pr us x und y bilden und dbei x ls erstes und y ls zweites Element uszeichnen, so spricht mn von einem geordneten Pr, geschrieben (x, y). Es ist dnn verbredungsgemäß (x, y) = (u, v) genu dnn, wenn x = u und y = v ist, lso insbesondere (x, y) (y, x) wenn x y. Seien nun M und N zwei Mengen. Wir definieren ds Produkt (oder die Produktmenge) M N durch M N = {(x, y) : x M, y N}, (.3) lso ls Menge ller geordneten Pre, für die die erste Komponente ein Element von M und die zweite Komponente ein Element von N ist. Die Mengen M und N heißen die Fktoren von M N. Stellt mn sich R ls die reelle Zhlengerde vor, so knn mn sich R R ls die (zweidimensionle) Ebene vorstellen, und drin Z Z ls ds Gitter der Punkte mit gnzzhligen Koordinten. (Die mit diesem Beispiel verbundene Vorstellung eines rechten Winkels zwischen den Fktoren gehört ber nicht zur llgemeinen Definition (.3)!) Wenn mn will, knn mn den Begriff des geordneten Pres uf den Mengenbegriff zurückführen, indem mn setzt (x, y) = {{x}, {x, y}}. Reltionen. Abbildungen. Funktionen. Sind M, N Mengen, so heißt jede Teilmenge R von M N eine Reltion. Sttt (x, y) R schreiben wir uch xry. Beispiel: Die Digonle R = {(x, x) : x M} definiert die Gleichheitsreltion in M M, es gilt offensichtlich xry genu dnn, wenn x = y. Sei nun R M N eine Reltion mit der Eigenschft Zu jedem x M gibt es genu ein y N mit xry. (.4) In diesem Fll spricht mn dvon, dß durch R eine Abbildung f von M nch N definiert wird, und schreibt f : M N. Ist x M, so bezeichnet mn ds gemäß (.4) eindeutig bestimmte y N mit f(x) und nennt f(x) ds Bild von x unter f, oder uch den Wert von f n der Stelle x. Beispiele: Durch f(n) = n + wird eine Abbildung f : N N definiert, ebenso durch f(n) = n 2. Hingegen wird durch f(n) = n keine Abbildung f : N N (d f() = 0 / N), wohl ber eine Abbildung f : N Z definiert. Chrkteristisch für diese Beispiele ist, dß sich eine ziemlich einfch formulierbre und uszuführende Vorschrift formulieren läßt, wie mn ds Bild f(x) us x erhält. Ds muß ber nicht so sein. So ist etw die Vorschrift f(n) = Anzhl der Ziffern (im Dezimlsystem) des größten Primfktors von n 9

11 einfch formulierbr und liefert eine wohldefinierte Abbildung f : N N, ber den Wert f(n) zu berechnen ist für große n nicht so einfch. Drüber hinus sieht mn leicht, dß die meisten Abbildungen f : N N sich nicht durch eine einfche Vorschrift usdrücken lssen. So ist die Anzhl der Abbildungen, deren Vorschrift sich eindeutig uf 00 Seiten niederlegen läßt, endlich (wenn mn unterstellt, dß mn nur eine gewisse endliche Anzhl verschiedener Zeichen zur Beschreibung verwendet und jede Seite nur eine gewisse endliche Anzhl von Zeichen fßt), ber es gibt unendlich viele verschiedene Abbildungen f : N N. Auch wenn Abbildungen wie geschehen forml uf Reltionen, lso Teilmengen von Produktmengen zurückgeführt werden, so ist es doch in vielen Fällen m zweckmäßigsten, eine Abbildung f : M N durch Angbe einer Abbildungsvorschrift x f(x) festzulegen. Ihre definierende Reltion R läßt sich zurückgewinnen durch die Drstellung R = {(x, f(x)) : x M}. Mn bezeichnet R uch ls den Grph von f. Im Zusmmenhng mit dem Abbildungsbegriff führt mn eine Reihe von weiteren Bezeichnungen ein. Sei f : M N eine Abbildung. M heißt der Definitionsbereich von f. Die durch f(m) = {f(x) : x M} definierte Teilmenge f(m) von N heißt ds Bild von M unter f. Ist M 0 M, so setzen wir f(m 0 ) = {f(x) : x M 0 }. Offensichtlich gilt f( ) =. Ist M 0 M, so wird durch f 0 (x) = f(x) für x M 0 eine Abbildung f 0 : M 0 N definiert. f 0 heißt die Restriktion von f uf M 0, geschrieben uch f M 0. Ist N 0 N, so definieren wir f (N 0 ) = {x : x M, f(x) N 0 } und bezeichnen f (N 0 ) ls die Urbildmenge von N 0 unter der Abbildung f. Im Spezilfll einer einpunktigen Menge N 0 = {y}, y N, schreiben wir uch f (y) = {x : x M, f(x) = y}, und nennen jedes x f (y) ein Urbild von y. Offensichtlich gilt f ( ) =. 0

12 Beispiele: Ist M Menge, so heißt die durch id M (x) = x definierte Abbildung id M : M M die Identität uf M oder die identische Abbildung von M nch M. Ihre Restriktion uf eine Teilmenge M 0 von M ist dnn die Identität uf M 0. Durch f(x) = x wird eine Abbildung f : Z Z definiert. Es gilt f(z) = N 0 = N {0}, f N ist die Identität uf N, f (N) = Z \ {0}, f (0) = {0}, f () = {, }, f ( ) =. Ist M eine Menge und M 0 M, so wird durch f(n) = N M 0 eine Abbildung f : P(M) P(M) definiert, welche im Flle M 0 = M die Identität uf P(M) ist. Ist M eine Menge, so wird durch f(x) = {x} eine Abbildung f : M P(M) definiert. Ds Bild f(m) von M unter f besteht dnn us llen einelementigen Teilmengen von M. Sttt des Begriffs Abbildung verwendet mn uch die Begriffe Funktion, Opertor oder Funktionl. Ihre formle Bedeutung ist identisch (es hndelt sich um Reltionen mit der Eigenschft (.4)); dß und wnn diese lterntiven Begriffe verwendet werden, hängt huptsächlich mit der historischen Entwicklung der einzelnen Teildisziplinen der Mthemtik zusmmen. In dieser Vorlesung werden wir huptsächlich den Begriff Funktion verwenden. Für Bild- und Urbildmengen gelten ebenflls eine Reihe von Rechenregeln. Sei f : M N eine Abbildung. Sind A, B M, so gilt Sind C, D N, so gilt f(a B) = f(a) f(b), f(a B) f(a) f(b). f (C D) = f (C) f (D), f (C D) = f (C) f (D). Wir beweisen f(a B) = f(a) f(b). Es gilt f(a) f(b) = {y : y f(a) oder y f(b)} Eine Abbildung f : M N heißt = {y : ( x A mit y = f(x)) oder ( x B mit y = f(x))} = {y : x A B mit y = f(x)} = f(a B). (.5) surjektiv, wenn f(m) = N. Äquivlent dzu ist: Für lle y N gibt es ein x M mit f(x) = y. injektiv, wenn jedes y N höchstens ein Urbild ht. Äquivlent dzu ist: Sind x, x 2 M beliebig mit x x 2, so muß uch f(x ) f(x 2 ) gelten. Ebenflls äquivlent ist: Sind x, x 2 M beliebig mit f(x ) = f(x 2 ), so muß x = x 2 gelten. bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.

13 Beispiele: Die durch f(n) = n + definierte Abbildung f : N N ist injektiv, ber nicht surjektiv ( ht kein Urbild). Die durch dieselbe Vorschrift definierte Abbildung f : Z Z ist bijektiv. Die durch f(n) = n 2 definierte Abbildung f : N N ist injektiv, ber nicht surjektiv; die durch dieselbe Vorschrift definierte Abbildung f : Z Z ist weder injektiv noch surjektiv. Ist f : M N bijektiv, so ht jedes y N genu ein Urbild x M. Durch f (y) = dsjenige x M, für welches f(x) = y wird in diesem Fll lso eine Abbildung f : N M definiert, welche die Umkehrbbildung von f heißt. Die Abbildung f ist ebenflls bijektiv. Beispiel: Ist f : Z Z, f(n) = n +, so ist f (n) = n. Zwei Abbildungen f, f 2 : M N heißen gleich, wenn f (x) = f 2 (x) gilt für lle x M. Sind f : M N und g : N P Abbildungen, so wird durch (g f)(x) = g(f(x)) eine Abbildung g f : M P definiert, welche die Komposition von f und g heißt. (Mn bechte: Zuerst wird f, dnn g usgeführt.) Sind f und g injektiv, so ist uch g f injektiv. Dsselbe gilt, wenn mn injektiv durch surjektiv oder bijektiv ersetzt. Ist M = P, so sind sowohl g f : M M ls uch f g : N N definiert; flls ußerdem M = N, können sie gleich sein, müssen es ber nicht. Beispiel: f, g : N N, f(n) = n 2, g(n) = n + 2, dnn ist (g f)(n) = n und (f g)(n) = (n + 2) 2 = n 2 + 4n + 4. Ist f : M N bijektiv und f : N M die Umkehrbbildung, so gilt f f = id M, f f = id N. Direkte Beweise und Widerspruchsbeweise. Ein Beweis der Whrheit des Stzes (oder kürzer: ein Beweis des Stzes ) A B knn ddurch geführt werden, dß mn eine Kette von whren Impliktionen A C, C C 2,..., C n C n, C n B findet. So etws nennt mn einen direkten Beweis. Äquivlent dzu (siehe Übungsufgbe) ist der Beweis der Aussge B A durch Auffinden einer Kette von whren Impliktionen B D, D D 2,..., D m D m, D m A. 2

14 Ein solches Vorgehen nennt mn Kontrposition. Eine dritte Vrinte ist der sogennnte Widerspruchsbeweis. Dieser läuft druf hinus, zu zeigen, dß A und B nicht gleichzeitig whr sein können. Zu diesem Zweck zeigt mn zwei Ketten von whren Impliktionen, n deren Anfng die Aussge A B und n deren Enden eine weitere Aussge C bzw. deren Gegenteil C steht, Mn ht dnn gezeigt, dß die Aussge A ( B) E... E k C, A ( B) F... F l C. A ( B) C ( C) whr ist. D ber C ( C) immer flsch ist (egl ws C ist), muß die Aussge A ( B) flsch sein, lso muß deren Negtion (A ( B)) = ( A) B whr sein. D die Aussgen ( A) B und A B äquivlent sind, ist der Stz A B dmit bewiesen. Beispiel: Der Beweis von Euklid für den Stz 2 ist irrtionl. (.6) Hier fällt zunächst uf, dß keine Vorussetzung explizit gennnt ist. Implizit wird ber unterstellt, dß die üblichen Rechenregeln für Q gelten; sie übernehmen die Rolle der Vorussetzung A. Die Aussge (.6) entspricht der Behuptung B. Der Beweis geht so: Sei 2 rtionl (es gelte lso B). Dnn gibt es Zhlen p, q N mit 2 = p/q. Nch Auskürzen des Bruchs erhlten wir Zhlen r, s N mit 2 = r/s, und für diese Zhlen gilt r und s sind teilerfremd. (Aussge C) Es folgt 2s 2 = r 2, lso ist 2 ein Teiler von r 2 und dmit uch von r, lso gibt es ein t N mit r = 2t. Es folgt weiter 2s 2 = 4t 2, lso s 2 = 2t 2, lso ist 2 uch ein Teiler von s und dmit gilt r und s sind nicht teilerfremd. (Aussge C) Wir hben einen Widerspruch hergestellt. Also ist wie oben beschrieben der behuptete Stz (.6) whr. 3

15 2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion So wie wir sie uns vorstellen, sind die ntürlichen Zhlen N eine Menge mit einem Anfng N. (2.) Der Zählprozeß wird beschrieben durch eine Funktion S : N N, gennnt Nchfolgerfunktion, mit den Eigenschften / S(N). (2.2) S : N N ist injektiv. (2.3) Ist M N und gilt M, S(M) M, so ist M = N. (2.4) Zur Interprettion: Eigenschft (2.2) drückt us, dß der Anfng ist. Mn knn us (2.2) (2.4) schließen, dss durch sukzessive Nchfolgerbildung immer neue Zhlen erzeugt werden und dss ddurch ußerdem lle Zhlen erfsst werden. Axiom 2. Es existieren eine Menge N mit einem Element N sowie eine Funktion S : N N, so dß die Eigenschften (2.2) (2.4) erfüllt sind. Wir kehren zur gewohnten Schreibweise zurück, indem wir setzen 2 = S(), 3 = S(2), 4 = S(3),... (2.5) Die Zhl n ist lso diejenige Zhl, die entsteht, wenn wir die Abbildung S n = S S }{{} n ml uf nwenden, n = S n (). Mn könnte die Elemente von N uch nders bezeichnen; dvon bgesehen ist ber N durch die Eigenschften (2.2) (2.4) eindeutig festgelegt. Eine mthemtische Formulierung dieses Schverhlts ist der folgende Stz. Stz 2.2 Vorussetzung: N, N sind zwei Mengen mit Elementen N, N. S : N N und S : N N sind Funktionen. Für (N,, S) und (N,, S ) gelten (2.2) (2.4). Behuptung: Es gibt genu eine bijektive Abbildung ϕ : N N mit ϕ() = und Diesen Stz wollen wir nicht beweisen. S (ϕ(n)) = ϕ(s(n)), für lle n N. (2.6) Mn knn die rithmetischen Opertionen uf die Bildung von Nchfolgern zurückführen, etw für die Addition: Für n N definieren wir für n, k N n + = S(n), (2.7) n + S(k) = S(n + k). (2.8) Mn knn dnn die nderen rithmetischen Opertionen definieren und unter Zuhilfenhme von (2.2) - (2.4) die üblichen Rechenregeln (Assozitivgesetz usw.) beweisen. 4

16 Ds wollen wir hier ebenflls nicht tun. Wir wollen ber ein dbei wesentlich benötigtes Beweisprinzip erläutern. Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Vollständige Induktion ist eine Methode, um Aussgen zu beweisen, die sich uf lle ntürlichen Zhlen beziehen. Ds geht folgendermßen: Sei A(n) eine Aussge, die n N ls Vrible enthält.. Mn findet ein n 0 N und beweist, dß A(n 0 ) whr ist. ( Induktionsvernkerung.) 2. Mn beweist, dß us der Gültigkeit von A(n) uch die Gültigkeit von A(n + ) folgt. ( Induktionsschritt ) Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion besgt: Ht mn diese beiden Schritte erfolgreich usgeführt, so ht mn dmit bewiesen A(n) gilt für lle n N mit n n 0. Die Richtigkeit dieses Beweisprinzips folgt us der Eigenschft (2.4): Stz 2.3 Sei n 0 N, sei für jedes n N mit n n 0 eine Aussge A(n) gegeben. Die Aussge A(n 0 ) sei whr, und für jedes n N mit n n 0 sei die Aussge A(n) A(n+) whr. Dnn ist A(n) whr für lle n n 0. Beweis: Wir betrchten zunächst den Spezilfll n 0 =. Sei M = {n : n N, A(n) ist whr}. (2.9) Dnn ht M die Eigenschft (2.4), lso gilt M = N. Zum Beweis des llgemeinen Flls betrchten wir die Aussge A (n) = A(n + n 0 ). Dnn sind A () und die Impliktion A (n) A (n + ) whr für lle n N. Nch dem eben Bewiesenen folgt, dß A (n) whr ist für lle n N, ds ist ber gerde die Behuptung. Wir wenden ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion n. Zunächst zur Nottion: Sind m, n N mit m n, so schreiben wir n k = m + m n, k=m n k = m m+ n, (2.0) k=m und verbreden die Konvention n k = 0, k=m n k =, flls m > n. (2.) k=m Stz 2.4 Für lle n N gilt n k = k= n(n + ) 2. (2.2) 5

17 Beweis: Durch vollständige Induktion. Die Formel (2.2) entspricht der Behuptung A(n). Wir setzen n 0 =. Induktionsnfng: Es ist k = = k= ( + ) 2, lso ist A() whr. Wir führen den Induktionsschritt us: Sei A(n) whr, es gelte lso Dnn gilt n k = k= n(n + ) 2. n+ k = k= n k + (n + ) = k= n(n + ) 2 + n + = (n + 2)(n + ) 2, (2.3) lso ist A(n + ) whr. (Beim mittleren Gleichheitszeichen wurde verwendet, dß A(n) gilt.) Die xiomtische Methode. Ist + = 2 und wenn j, wrum? In der Mthemtik ht sich seit einiger Zeit die sogennnte xiomtische Methode weltweit durchgesetzt. Dbei geht mn folgendermßen vor. Gewisse Grundussgen werden einfch für whr erklärt, indem mn sie ls Axiome bezeichnet. Die Whrheit weiterer Aussgen wird ddurch festgestellt, dß mn sie us den Axiomen und us schon ls whr erknnten Aussgen beweist. Die Whrheit im Sinne der Mthemtik eines mthemtischen Stzes ist dher immer zu verstehen ls bezogen uf ein explizit zu nennendes (oder implizit gemeintes) Axiomensystem. Der mthemtische Whrheitsbegriff ist lso zunächst vollkommen reltiv, d jeder Mthemtiker die Freiheit ht, beliebige Axiomensysteme ls Ausgngspunkt festzulegen. Es ist in der Tt so, dß je nch Gegenstnd unterschiedliche Axiomensysteme sinnvoll sind; diese bruchen durchus nicht miteinnder vereinbr zu sein. Auf der nderen Seite gibt es mthemtische Strukturen, etw Zhlbereiche wie N, Z, Q und R, den Begriff des Vektorrums, den Begriff des metrischen Rums oder den Begriff eines Grphen (= Gebilde mit Ecken und Knten), die, mit einer fest umrissenen Bedeutung versehen, eine zentrle Rolle in der Mthemtik spielen. Auch solche Begriffe werden xiomtisch formuliert oder uf Axiome zurückgeführt. Dies knn uf verschiedene Weise geschehen. So knn mn nstelle von Axiom 2. sehr wohl uch ndere Axiomensysteme formulieren ls Grundlge für N und ht ds uch getn. Die Frge, welches Axiomensystem nch welchen Kriterien uch immer mn bevorzugen sollte, ist für mnche Mthemtiker mehr, für ndere weniger interessnt; im Flle von N etw ist sie sicher zweitrngig, verglichen mit der Wichtigkeit von N ls Objekt und Werkzeug mthemtischer Untersuchungen. Beispielsweise knn mn N uf den Mengenbegriff zurückführen, indem mn die Zhlen folgendermßen ls Mengen definiert (nch J. von Neumnn) mit der Nchfolgerfunktion 0 =, = { }, 2 = {, { }},... (2.4) S(n) = n {n}. (2.5) Axiom 2. wird dnn zu einem Stz, der mit Hilfe von Axiomen und Sätzen der Mengenlehre (u.. dem Axiom, dß eine unendliche Menge existiert) bewiesen wird. Die Definition 6

18 (2.5) ist insofern ufschlußreich, ls der gnze Reichtum der Phänomene der Zhlenwelt us einem einzigen mthemtischen Objekt konstruiert wird, und es sich bei diesem Objekt uch noch um die leere Menge hndelt. Andererseits: Verwendet mn 2. für die Untersuchung der Eigenschften von N, lso für den Beweis von Sätzen, die von ntürlichen Zhlen hndeln, so ist es in der Regel völlig gleichgültig, ob mn 2. ls Axiom oder ls Folgerung us Axiomen der Mengenlehre betrchtet. 7

19 3 Die reellen Zhlen Setzt mn die Existenz von N mit den Eigenschften us Axiom 2. vorus, so lssen sich drus sukzessive die gnzen Zhlen Z, die rtionlen Zhlen Q und die reellen Zhlen R herleiten. Dieser Konstruktionsprozeß ist einerseits teilweise gnz interessnt, und mn knn ihn dzu benutzen, einige grundlegende mthemtische Schverhlte kennenzulernen; ndererseits ist er ber uch recht lngwierig und für ds Verständnis der modernen Anlysis nicht so wesentlich, wir behndeln ihn dher nicht im Detil. Die Alterntive ist, die reellen Zhlen xiomtisch ls Menge mit gewissen Eigenschften einzuführen. Dieses Vorgehen geht uf Dvid Hilbert zurück. Die xiomtisch verlngten Eigenschften von R zerfllen in drei Gruppen. Die erste Gruppe enthält die sogennnten Körpereigenschften: Es gibt eine Addition + : R R R und eine Multipliktion : R R R, so dß (R, +, ) ein kommuttiver Körper ist, ds heißt: () Für die Addition gilt ds Assozitivgesetz ds Kommuttivgesetz es gibt eine Zhl 0 R mit (x + y) + z = x + (y + z), für lle x, y, z R, (3.) x + y = y + x, für lle x, y R, (3.2) x + 0 = x, für lle x R, (3.3) und zu jedem x R existiert genu ein Element von R, bezeichnet mit ( x), mit (ds dditiv inverse Element). (2) Für die Multipliktion gilt ds Assozitivgesetz ds Kommuttivgesetz es gibt eine Zhl R mit 0 und x + ( x) = 0, für lle x R, (3.4) (x y) z = x (y z), für lle x, y, z R, (3.5) x y = y x, für lle x, y R, (3.6) x = x, für lle x R, (3.7) und zu jedem x R mit x 0 existiert genu ein Element in R, bezeichnet mit x, mit x x =, für lle x R, (3.8) (ds multipliktiv inverse Element). 8

20 (3) Es gilt ds Distributivgesetz x (y + z) = x y + x z, für lle x, y, z R. (3.9) Die zweite Gruppe bezieht sich uf die Ordnungseigenschften von R. Es gibt eine Teilmenge P von R (die positiven Zhlen ) mit den Eigenschften (4) Für jedes x R ist genu eine der folgenden drei Aussgen whr: (5) Aus x, y P folgt x + y P und x y P. Wir definieren uf R R vier Reltionen, indem wir setzen x P, x = 0, x P. (3.0) x > y genu dnn, wenn x y P, (3.) x y genu dnn, wenn x > y oder x = y, (3.2) x < y genu dnn, wenn y x P, (3.3) x y genu dnn, wenn x < y oder x = y. (3.4) Die bisher formulierten Eigenschften treffen uch uf Q zu. Um die Existenz der irrtionlen Zhlen zu erzwingen, bruchen wir noch eine weitere Eigenschft. Definition 3. (Obere und untere Schrnke, Supremum und Infimum) Sei M R. Ein x R heißt obere Schrnke für M, wenn y x für lle y M, untere Schrnke für M, wenn y x für lle y M. M heißt nch oben (unten) beschränkt, flls es eine obere (untere) Schrnke für M gibt. Ein z R heißt Supremum von M, wenn z eine obere Schrnke für M ist mit z y für lle oberen Schrnken y von M, Infimum von M, wenn z eine untere Schrnke für M ist mit z y für lle unteren Schrnken y von M. Die noch fehlende Eigenschft von R ist: Jede nichtleere nch oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum. (3.5) Diese Eigenschft wird uch ls Supremumsxiom bezeichnet. Axiom 3.2 Es existieren eine Menge R, eine Addition + : R R R, eine Multipliktion : R R R, eine Teilmenge P R und Elemente 0, R mit den Eigenschften () bis (5) sowie (3.5). 9

21 Die reellen Zhlen werden durch die in 3.2 gennnten Eigenschften eindeutig chrkterisiert. In Anlogie zu Stz 2.2 knn mn einen entsprechenden mthemtischen Stz formulieren und beweisen, wir wollen ds ber nicht tun. Ebensowenig wollen wir beweisen, dß die reellen Zhlen, +, + +,... dsselbe sind wie die ntürlichen Zhlen N, d.h. eine Menge N R bilden, welche die in Axiom 2. verlngten Eigenschften ht (siehe dzu ber eine Übungsufgbe). Folgerungen us den Körpereigenschften. Wir verwenden Subtrktion und Division, indem wir definieren x y = x + ( y), x, y R, Aus den Axiomen folgen unmittelbr die Rechenregeln x y = xy, x, y R mit y 0. (3.6) ( x) = x, x 0 = 0, ( x)y = (xy), (x + y) = x y, x, y R, (3.7) (x ) = x, (xy) = x y, x, y R \ {0}, (3.8) xy = 0 x = 0 oder y = 0. (3.9) Für lle, b R ist x = b die eindeutige Lösung der Gleichung + x = b, für lle, b R mit 0 ist x = b/ die eindeutige Lösung der Gleichung x = b. Aus dem Assozitivgesetz folgt (wie schon im vorigen Kpitel bemerkt) die Unbhängigkeit von der Klmmerung bei endlichen Summen und Produkten und dmit die Wohldefiniertheit von n n x k, x k, x k R für m k n. (3.20) k=m k=m Aus dem Kommuttivgesetz folgt die Unbhängigkeit von der Reihenfolge bei endlichen Summen und Produkten. Dies wird formlisiert über den Begriff der Permuttion. Eine Permuttion der Zhlen {,..., n} ist eine bijektive Abbildung σ : {,..., n} {,..., n}; sie beschreibt eine Umordnung der Reihenfolge. Mn knn eine Permuttion in der Form (i,..., i n ) mit i k = σ(k) ufschreiben. Es gilt dnn n x k = k= n x ik, k= n n x k = x ik, x k R, k n. (3.2) k= k= Aus (3.2) folgt ls Spezilfll die Vertuschbrkeit der Summenzeichen bei Doppelsummen und -produkten, n m x ij = i= j= m n x ij, j= i= n m m n x ij = x ij, (3.22) i= j= j= i= für lle x ij R mit i n, j m. Ds Distributivgesetz für endliche Summen lutet ( n ) ( m ) n m x i y j = x i y j. (3.23) i= j= i= j= 20

22 Die Formeln (3.20) (3.23) werden mit vollständiger Induktion bewiesen. Wir definieren die gnzzhligen Potenzen durch x 0 =, x n = x } x {{ x}, x R, n N, (3.24) n ml x n = (x ) n, x R mit x 0, n N. (3.25) Aus den Eigenschften der Multipliktion folgt für lle x, y R und n, m Z (bei negtiven Exponenten wird ntürlich x 0 bzw. y 0 verlngt) Ferner wird n Fkultät definiert durch x n x m = x n+m, (x n ) m = x nm, x n y n = (xy) n. (3.26) 0! =, n! = n k, n N. (3.27) k= Definition 3.3 (Binomilkoeffizient) Für k, n N {0} definieren wir den Binomilkoeffizienten ( ) n k n j + n(n ) (n k + ) = =. (3.28) k j 2 k j= Offensichtlich gilt ( ) n = 0 flls k > n, k ( ) n = k ( ) n! n k!(n k)! =, 0 k n. (3.29) n k Lemm 3.4 Für lle n, k N mit k n gilt ( ) ( ) ( ) n n n = +. (3.30) k k k Beweis: Für k = n wird (3.30) zu = + 0. Für k n gilt ( ) ( ) n n (n )! + = k k (k )!(n k)! + (n )! k!(n k)! k(n )! + (n k)(n )! = = k!(n k)! Stz 3.5 Für lle x, y R und lle n N gilt = (x + y) n = n! k!(n k)! ( ) n. (3.3) k n k=0 2 ( ) n x k y n k. (3.32) k

23 Beweis: Mit vollständiger Induktion über n. Für n = 0 gilt für lle x, y R 0 k=0 ( ) 0 x k y 0 k = = (x + y) 0. (3.33) k Die Behuptung sei richtig für n N {0}. Wir zeigen ihre Richtigkeit für n +. Seien x, y R beliebig, dnn gilt (x + y) n+ = (x + y)(x + y) n = (x + y) = n k=0 n = x n+ + = = ( ) n x k+ y n k + k k=0 ( ) n + x n+ + n + n+ ( n + k=0 k n k=0 ( n k n k=0 ( ) n x k+ y n k + k n [( n k ( ) n x k y n k k ) x k y n k+ n ( n k k= ) + ( n k ) x k y n k+ + y n+ )] x k y n k+ + ( n + ) y n+ 0 k= ) x k y n+ k. (3.34) Folgerungen us den Ordnungseigenschften. Es gilt offensichtlich x x für lle x R. Lemm 3.6 Seien x, y R. Dnn gilt x > 0 und y 0 x + y > 0, (3.35) x 0 und y 0 x + y 0. (3.36) Beweis: Flls y > 0, folgt (3.35) direkt us Eigenschft (5), flls y = 0, so gilt x + y = x > 0. Flls x = y = 0, so ist uch x + y = 0. Lemm 3.7 Seien x, x, y, y R. Dnn gilt x < y und x y x + x < y + y, (3.37) x y und x y x + x y + y. (3.38) Beweis: Folgt us Lemm 3.6, ngewendet uf y x und y x. Lemm 3.8 Seien x, y R. Dnn gilt x y und y x x = y. (3.39) 22

24 Beweis: Aus x y folgt x y 0, lso x y P oder y x P. Dmit hben wir die Kontrposition von (3.39) bewiesen, nämlich Lemm 3.9 Seien x, y, z R. Dnn gilt x y x < y oder y < x. (3.40) x < y und y < z x < z, (3.4) x y und y < z x < z, (3.42) x < y und y z x < z, (3.43) x y und y z x z. (3.44) Beweis: Aus x < y und y < z folgt y x P und z y P, lso uch z x = (z y) + (y x) P, und dmit x < z. Die nderen Aussgen ergeben sich us Betrchtung der Fälle x = y bzw. y = z. Definition 3.0 Sei M eine Menge. Eine Reltion R uf M (d.h. R M M) heißt Ordnungsreltion, wenn gilt (i) xrx für lle x M (Reflexivität), (ii) us xry und yrx folgt x = y (Antisymmetrie), (iii) us xry und yrz folgt xrz (Trnsitivität). Die oben bewiesenen Eigenschften zeigen, dß und Ordnungsreltionen uf R definieren. Für gilt ußerdem: Sind x, y R, so gilt x y oder y x. Diese Eigenschft wird von einer Ordnungsreltion gemäß Definition 3.0 nicht verlngt, es knn lso für gewisse x, y M sehr wohl sein, dß weder xry noch yrx gilt. In den beiden folgenden Beispielen ist ds so. Beispiel 3.. Sei M Menge. Durch wird eine Ordnungsreltion uf P(M) definiert. 2. Sei M Menge. Sind f, g : M R Funktionen, so definieren wir f g f(x) g(x) für lle x M. (3.45) Durch (3.45) wird eine Ordnungsreltion uf der Menge Abb(M; R) ller Abbildungen von M nch R definiert. 23

25 Lemm 3.2 Seien x, y R. Dnn gilt (i) Aus x 0 und y 0 folgt xy 0. (ii) Es ist xy > 0 genu dnn, wenn (x > 0 und y > 0) oder (x < 0 und y < 0). Beweis: Zu (i): Sind x > 0 und y > 0, so folgt xy > 0 nch Eigenschft (5). Ist x = 0 oder y = 0, so ist uch xy = 0. Lemm 3.3 Seien x, y, z R. Dnn gilt x < y und z > 0 xz < yz, (3.46) x y und z 0 xz yz, (3.47) x < y und z < 0 xz > yz, (3.48) x y und z 0 xz yz. (3.49) Beweis: Nur die erste Ungleichung. Aus x < y folgt 0 < y x, lso 0 < (y x)z = yz xz, lso xz < yz. Lemm 3.4 Es gilt x 2 0 für lle x R. Beweis: Aus Lemm 3.2 folgt: Ist x 0, so ist x 2 = x x 0; ist x < 0, so ist x > 0 und x 2 = ( x) ( x) > 0. Folgerung 3.5 Es ist > 0. Beweis: = 2 0, und us 0 folgt > 0. Lemm 3.6 Für lle x R gilt: Aus x > 0 folgt x > 0, us x < 0 folgt x < 0. Beweis: Sei x > 0. Dnn ist (x ) 2 > 0, lso x = x (x ) 2 > 0. Der ndere Fll wird nlog bewiesen. Lemm 3.7 Für lle x, y R gilt: Aus 0 < x < y folgt x > y. Beweis: Es ist 0 < xy, lso uch 0 < (xy) = y x. Es folgt weiter y = x(x y ) < y(x y ) = x. 24

26 Definition 3.8 (Betrg, Mximum und Minimum zweier Zhlen) Ist x R, so heißt { x, x 0 x = x, x < 0 der Betrg von x. Sind x, y R, so definieren wir { x, x y mx{x, y} = min{x, y} = y, y > x, { x, x y y, y < x. (3.50) (3.5) Es gilt offensichtlich min{x, y} x mx{x, y}, min{x, y} y mx{x, y}, x, y R, (3.52) Lemm 3.9 Für lle x, y R gilt x = mx{x, x} = x, x R. (3.53) x 0, x = 0 x = 0, (3.54) xy = x y, (3.55) x + y x + y. (3.56) Beweis: Zu (3.54): Aus der Definition folgt x 0 und 0 = 0. Ist x 0, so ist x = mx{x, x} > 0. Zu (3.55): Mn unterscheidet die verschiedenen Fälle im Vorzeichen von x und y. Ist etw x 0 und y 0, so ist xy 0 und nlog für die nderen Fälle. Zu (3.56): Es gilt xy = (xy) = x( y) = x y, x + y x + y, (x + y) = ( x) + ( y) x + y, lso x + y = mx{x + y, (x + y)} x + y. Aus (3.55) erhält mn wegen x = x y y = x y y die Regel x y = x, für lle x, y R mit y 0. (3.57) y 25

27 Stz 3.20 (Bernoullische Ungleichung) Es gilt für lle n N und lle x R mit x. ( + x) n + nx (3.58) Beweis: Sei x beliebig. Wir zeigen mit vollständiger Induktion, dß (3.58) für lle n N gilt. Für n = klr. Induktionsschritt n n + : ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) (richtig nch Induktionsvorussetzung und wegen x ) = + nx + x + nx 2 + (n + )x. Eigenschften von Supremum und Infimum. Wir erinnern n Definition 3. und n ds Supremumsxiom (3.5). Zur Vernschulichung der Begriffe in 3. betrchten wir die Menge M = { : n N} (3.59) n Es gilt: Jedes x R mit x ist obere Schrnke von M, ist Supremum von M, und M. Jedes x R mit x 0 ist untere Schrnke von M, 0 ist Infimum von M (Beweis weiter unten), ber 0 / M. Lemm 3.2 Sei M R mit M. Dnn ht M höchstens ein Supremum. Beweis: Sind z, z 2 Suprem von M, so gilt z z 2 (d z 2 obere Schrnke von M) und z 2 z (d z obere Schrnke von M), lso z = z 2. Es mcht dher Sinn, von dem Supremum von M zu sprechen, wir bezeichnen es mit Beispiel: Die Menge sup M. (3.60) M = {x : x R, x 2 2} ist nichtleer, nch oben beschränkt (z.b. ist 2 obere Schrnke), und ht dher ein eindeutig bestimmtes Supremum sup M R. (Diese reelle Zhl werden wir später ls 2 identifizieren.) Wir vereinbren sup M = +, flls M nicht nch oben beschränkt ist, (3.6) Dmit hben wir für lle M R sup =. (3.62) sup M R {, + }. (3.63) Wir setzen die uf R bereits definierte Ordnungsreltion fort uf R {, + }, indem wir setzen < x < +, für lle x R. (3.64) Mn prüft leicht nch, dß wir uf diese Weise ttsächlich eine Ordnungsreltion uf R {, + } erhlten. Es gilt 26

28 Lemm 3.22 Sind M, N R mit M N, so gilt sup M sup N. (3.65) Beweis: Flls sup N R, so ist sup N obere Schrnke für N und wegen M N uch obere Schrnke für M, lso gilt (3.65) nch Definition von sup M (flls M =, verwenden wir (3.62)). Flls sup N =, so ist N =, lso uch M =, lso uch sup M =. Flls sup N = +, ist (3.65) erfüllt, egl ws M ist. Auch ds Infimum einer Menge ist eindeutig bestimmt, flls es existiert, wie mn nlog zu Lemm 3.2 beweist. Wir bezeichnen es mit und vereinbren inf M, (3.66) inf M =, flls M nicht nch unten beschränkt ist, (3.67) inf = +. (3.68) Ist M R und R, so definieren wir die Menge M R durch M = {x : x M}. (3.69) Für = schreiben wir uch M sttt ( )M. Wir vereinbren weiter Stz 3.23 Sei M R. Dnn gilt (+ ) =, ( ) = +. (3.70) inf M = sup( M). (3.7) Beweis: Ist M =, so steht uf beiden Seiten +. Sei nun M. Wir behupten, dß für x R gilt: x ist untere Schrnke von M x ist obere Schrnke von M. (3.72) In der Tt gilt x y y M x y y M x z z M. Wegen (3.72) ist M nch unten beschränkt genu dnn wenn M nch oben beschränkt ist. Flls M nicht nch unten beschränkt ist, steht lso uf beiden Seiten von (3.7). Ist M nch unten beschränkt, so ht M nch Supremumsxiom ein Supremum sup M R, und wegen (3.72) ist sup( M) eine untere Schrnke von M. Ist x eine beliebige untere Schrnke von M, so gilt wegen (3.72) uch sup( M) x, lso uch sup( M) x, und dmit folgt (3.7) wegen der Eindeutigkeit des Infimums. Stz 3.24 N R ist nicht nch oben beschränkt, d.h. für lle x R gibt es ein n N mit n > x. 27

29 Beweis: Wir nehmen n, dß N nch oben beschränkt ist. Dnn ht N nch Supremumsxiom ein Supremum s = sup N R. Wegen s < s ist s keine obere Schrnke von N, lso gibt es ein n N mit s < n. Es folgt weiter s < n + N, lso ist uch s keine obere Schrnke. Widerspruch. Folgerung 3.25 Für lle ε R mit ε > 0 gibt es ein n N mit 0 < n < ε. (3.73) Beweis: Wende Stz 3.24 n mit x = ε. Aus Folgerung 3.25 können wir schließen, dß inf{ n : n N} = 0. Folgerung 3.26 Für lle x, y R mit x > 0 gibt es ein n N mit nx > y. ( R ist rchimedisch ngeordnet. ) Beweis: Flls y > 0, wähle n N mit n > y/x. Andernflls n =. Folgerung 3.27 Für lle x, y R mit x > gibt es ein n N mit x n > y. Beweis: Übungsufgbe. Definition 3.28 (Mximum, Minimum) Sei M R. Gilt sup M M, so heißt die Zhl sup M ds Mximum von M. Gilt inf M M, so heißt die Zhl inf M ds Minimum von M. Ist M R nichtleer und endlich (d.h. es gibt ein n N und x,..., x n R mit M = {x,..., x n }), so ht M ein Minimum und ein Mximum. (Beweis mit vollständiger Induktion, hier nicht usgeführt.) 28

30 4 Folgen Definition 4. (Folge) Sei M Menge. Eine Abbildung von N nch M heißt Folge in M. Eine Folge in R heißt uch reelle Folge oder reelle Zhlenfolge. Beispiel: f : N R, f(n) = /n definiert die Folge, 2, 3, 4,... In der Anlysis wird eine Folge in der Regel nicht in der Form ufgeschrieben, sondern mit f : N M, (x n ) n N (4.) oder so ähnlich bezeichnet. Mit (4.) ist diejenige Folge gemeint, die durch die Abbildung f : N M mit f(n) = x n definiert wird. Ds Element x n M heißt dnn ds n-te Glied der Folge (x n ) n N. Mnchml ist es zweckmäßig, dß die Numerierung der Folgenglieder nicht bei nfängt, sondern bei irgendeinem n 0 Z. Wir schreiben dnn (x n ) n n0 (4.2) und meinen dmit die Abbildung f : N M, N = {n : n Z, n n 0 }. Weitere Beispiele für Folgen sind: x n = c n N, c R fest, (konstnte Folge) (4.3) x n = n 2 n N, (4.4) x n = x n n N, x R fest. (4.5) Definition 4.2 (Grenzwert einer Folge) Sei (x n ) n N eine reelle Folge. Ein R heißt Grenzwert (oder Limes) von (x n ) n N, flls es zu jedem ε > 0 ein n 0 N gibt mit x n < ε für lle n N mit n n 0. (4.6) Flls (x n ) n N einen Grenzwert ht, so sgt mn uch: (x n ) konvergiert gegen oder (x n ) ist konvergent. Flls (x n ) n N keinen Grenzwert ht, so sgt mn: (x n ) divergiert oder (x n ) ist divergent. Beispiel 4.3. Die konstnte Folge x n = c konvergiert gegen c: Es gilt x n c = 0 für lle n N, wir können dher für jedes ε > 0 die Zhl n 0 = wählen, und (4.6) ist erfüllt. 29

31 2. Die Folge x n = /n konvergiert gegen 0: Zu ε > 0 wählen wir n 0 N so, dß n 0 > ε. Es gilt dnn für lle n n 0 n 0 = n < ε, n 0 dmit erfüllt 0 die in Definition 4.2 verlngte Bedingung. 3. Die Folge x n = ( ) n divergiert: Sei R ein Grenzwert der Folge. Für ε = finden wir dher gemäß Definition ein n 0 N mit x n < für lle n n 0. Dnn gilt 2 = x n0 + x n0 x n0 + + x n0 < + = 2, ein Widerspruch. Also knn es ein solches nicht geben. Stz 4.4 Jede reelle Folge (x n ) n N ht höchstens einen Grenzwert. Beweis: Seien und b Grenzwerte von (x n ) mit b. Wir definieren Dnn ist ε > 0. Wähle n, n 2 N mit ε = b 2. x n < ε, für lle n n, (4.7) x n b < ε, für lle n n 2. (4.8) Dies ist möglich, d und b Grenzwerte sind. Für ein beliebiges n mx{n, n 2 } folgt nun b x n + x n b < ε + ε = b. Wir hben einen Widerspruch erhlten. Also knn b nicht richtig sein. Stz 4.4 mcht es sinnvoll, von dem Grenzwert einer Folge zu sprechen. Ist eine Folge (x n ) konvergent, so bezeichnet lim x n (4.9) n ihren Grenzwert. Konvergiert (x n ) gegen, so gilt lso Wir schreiben uch = lim n x n. (4.0) x n. Die Gleichung (4.0) beinhltet zwei Aussgen: Erstens, der Grenzwert von (x n ) existiert, und zweitens, er ist gleich. 30

32 Definition 4.5 (Beschränkte Menge, beschränkte Folge) Eine Menge M R heißt beschränkt, wenn M nch oben und nch unten beschränkt ist. Eine Folge (x n ) n N heißt beschränkt, wenn die Menge {x n : n N} beschränkt ist. Lemm 4.6 Eine Teilmenge M von R ist beschränkt genu dnn, wenn es ein C > 0 gibt mit x C für lle x M. Beweis: Es gilt x C für lle x M genu dnn, wenn C obere und C untere Schrnke für M ist. Stz 4.7 Jede konvergente reelle Folge ist beschränkt. Beweis: Sei (x n ) reelle Folge mit x n. Wähle ein n 0 mit x n < für lle n n 0. Setze C = mx{ x,..., x n0, + }, dnn gilt x n C für lle n N. Eine beschränkte Folge brucht nicht konvergent zu sein, wie mn m Beispiel x n = ( ) n sieht. Stz 4.8 Seien (x n ) n N, (y n ) n N reelle Folgen mit x n, y n b. Dnn ist uch die Folge (x n + y n ) n N konvergent, und es gilt Beweis: Sei ε > 0 beliebig. Wir wählen n N mit lim (x n + y n ) = + b. (4.) n x n < ε 2, für lle n n, sowie n 2 N mit y n b < ε 2, für lle n n 2. Dnn gilt für lle n mx{n, n 2 } (x n + y n ) ( + b) x n + y n b < ε 2 + ε 2 = ε. Die Aussge von Stz 4.8 läßt sich uch ls Rechenregel lim (x n + y n ) = lim x n + lim y n (4.2) n n n schreiben. Sie ist llerdings nur nwendbr, wenn beide Grenzwerte uf der rechten Seite existieren. Beispiel: ( n + lim = lim + ) = lim + lim n n n n n n n = + 0 =. 3

33 Stz 4.9 Seien (x n ) n N, (y n ) n N reelle Folgen mit x n, y n b. Dnn ist uch die Folge (x n y n ) n N konvergent, und es gilt Beweis: Zunächst gilt für lle n N lim (x ny n ) = b. (4.3) n x n y n b = x n (y n b) + b(x n ) x n y n b + b x n. (4.4) Wir wählen C so, dß C b und C x n für lle n N (möglich wegen Stz 4.7). Sei nun ε > 0 beliebig. Wir wählen n N mit x n < ε 2C, für lle n n, sowie n 2 N mit y n b < ε 2C, für lle n n 2. Dnn gilt für lle n mx{n, n 2 } x n y n b C y n b + C x n < C ε 2C + C ε 2C = ε. Aus Stz 4.9 folgt: Ist c R und (x n ) reelle Folge mit x n, so gilt cx n c. Stz 4.0 Sei (x n ) n N reelle Folge mit x n, 0. Dnn gibt es ein n 0 N mit x n 0 für lle n n 0, und es gilt Beweis: Wir wählen n 0 so, dß Dnn gilt für lle n n 0 lim n x n =. (4.5) x n < 2, für lle n n 0. x n x n > 2 = 2 > 0. (4.6) Sei nun ε > 0 beliebig. Wir wählen n N mit x n < ε 2 2, für lle n n. Dnn gilt für lle n mx{n 0, n } wegen (4.6) x n = x n x n 2 x n < 2 ε = ε.

34 Folgerung 4. Seien (x n ) n N, (y n ) n N reelle Folgen mit x n, y n b, es gelte b 0. Dnn ist uch die Folge (x n /y n ) n N konvergent, und es gilt Beweis: Aus Stz 4.9 und Stz 4.0 folgt x n lim = n y n b. (4.7) x n = x n y n y n b = b. Die vorstehenden Sätze lssen sich zur Berechnung von Grenzwerten lgebrischer Ausdrücke verwenden, z.b. gilt für lle k N lim n k n = k lim n i= n = 0k = 0, und 8n 3 4n n 3 + 4n = 8 4 n + 8 n n Stz 4.2 Seien (x n ) n N, (y n ) n N reelle Folgen mit x n, y n b, es gelte x n y n für lle n N. Dnn ist b. Beweis: Wir nehmen n, dß > b. Wir wählen n 0 so, dß gilt für lle n n 0. Dnn ist x n < b 2, y n b < b 2 y n x n = (y n b) + (b ) + ( x n ) < b + (b ) + b 2 2 = 0, im Widerspruch zur Vorussetzung x n y n. Definition 4.3 (Monoton wchsende Folge) Sei (x n ) n N eine reelle Folge. (x n ) heißt monoton wchsend, wenn x n x n+ gilt für lle n N. (x n ) heißt streng monoton wchsend, wenn x n < x n+ gilt für lle n N. (x n ) heißt (streng) monoton fllend, wenn ( x n ) (streng) monoton wchsend ist. (x n ) heißt (streng) monoton, wenn x n (streng) monoton wchsend oder (streng) monoton fllend ist. Zur Nottion: Sttt schreiben wir uch sup{x n : n N} sup x n. n N 33

35 Stz 4.4 Jede beschränkte monoton wchsende reelle Folge (x n ) n N ist konvergent, und es gilt lim x n = sup x n. (4.8) n Jede beschränkte monoton fllende reelle Folge (x n ) n N ist konvergent, und es gilt n N lim x n = inf x n. (4.9) n n N Beweis: Sei = sup n N x n. Sei ε > 0. Gemäß Übungsufgbe können wir ein n 0 N finden mit ε < x n0. D (x n ) monoton wchsend ist, gilt für lle n n 0 ε < x n0 x n, lso folgt x n und dmit (4.8). Zum Beweis von (4.9) wenden wir (4.8) uf die Folge ( x n ) n und erhlten lim ( x n) = sup( x n ) = inf n n N n N x n worus (4.9) folgt. Beispiel 4.5 Wir können die Qudrtwurzel einer positiven Zhl ls Limes einer monoton fllenden Itertion uf folgende Weise erhlten. Sei b > 0. Wir betrchten die durch x n+ = ( x n + b ), x = b, (4.20) 2 x n definierte reelle Folge. Es gilt x n > 0 für lle n N (Beweis mit Induktion), und x 2 n b = ( x n + b ) 2 b = (x 2n + 2b + b2 4 x n 4 = ) (x 2n 2b + b2 = ( x n b ) , lso x 2 n b für lle n N, und weiter x n x n+ = x n 2 x 2 n x n x 2 n ( x n + b ) = (x 2 n b) 0 x n 2x n ) b für lle n N, lso ist (x n ) b dem zweiten Folgenglied x 2 monoton fllend. Nch Stz 4.4 konvergiert (x n ) gegen = inf x n. Aus Stz 4.2 folgt 0 und 2 b > 0, lso > 0. Gehen wir uf beiden Seiten von (4.20) zum Grenzwert über, so folgt = lim x n+ = lim n n 2 ( x n + b x n 34 ) = 2 ( + b ).