Skriptum zur Analysis I. I. Logik und Mengenlehre. Karl Hermann Neeb. I.1 Quantoren und Aussagenlogik. SS 2006 TU Darmstadt

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1 I. Quntoren und Aussgenlogik Skriptum zur Anlysis I SS 2006 TU Drmstdt Krl Hermnn Neeb I. Logik und Mengenlehre Gegenstnd der Anlysis I ist die Menge R der reellen Zhlen und der Funktionen f: R R. Um mit diesen Begriffen systemtisch und präzise umgehen zu können, benötigen wir eine Sprche. Die Sprche der Mthemtik ist die Mengenlehre. Wie mn mit mthemtischen Schverhlten umgeht, lehrt uns die Logik. Sie spielt die Rolle der Grmmtik der Mthemtik. I. Quntoren und Aussgenlogik Die Logik hndelt von Aussgen, die nch gewissen Regeln us bestimmten Zeichen ufgebut werden. Wir betrchten eine Aussge ls wohlgeformt, wenn sich entscheiden lässt, ob sie whr oder flsch ist. Wohlgeformte Aussgen sind beispielsweise ) 0 ist eine gnze Zhl. 2) = 5. 3) + = 2 gilt für jede gnze Zhl. Keine wohlgeformte Aussge hingegen ist etw?! = x +. Vorsicht: Wir stellen uns hiermit uf einen niven Stndpunkt. Die Whrheit einer Aussge knn nämlich von gewissen Grundnnhmen bhängen, die mn Axiome nennt. Wenn im folgenden von Aussgen die Rede ist, sind dmit immer wohlgeformte Aussgen gemeint. Definition I... Seien p und q Aussgen. Wir bilden:

2 2 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 (i) Negtion: p (nicht p) ist genu dnn whr, wenn p flsch ist. (ii) Konjunktion: p q (p und q ) ist genu dnn whr, wenn p und q whr sind. (iii) Disjunktion: p q (p oder q ) ist genu dnn whr, wenn p oder q whr ist (dies ist kein usschließliches oder ). (iv) Impliktion: p q (p impliziert q ; us p folgt q ) ist definiert ls ( p) q. Die Whrheit dieser Aussge ist gleichbedeutend mit Wenn p whr ist, dnn ist uch q whr (Nchweis!) (v) Äquivlenz: p q (p ist äquivlent zu q ) genu dnn, wenn beide whr oder beide flsch sind. Die Whrheitswerte der oben definierten verknüpften Aussgen sind in der folgenden Whrheitstfel zusmmengefsst: p q p p q p q p q p q W W F W W W W W F F F W F F F W W F W W F F F W F F W W Die folgenden Merkregeln verifiziert mn direkt durch Aufstellen der jeweiligen Whrheitstfel. Merkregeln für den Umgng mit logischen Opertoren Bemerkung I..2. () Doppelte Verneinung bejht: ( p) p. Diese Aussge ist unbhängig von p whr. Solche Aussgen nennt mn llgemeingültig. (b) Negtion vertuscht und : (de Morgnsche Regeln): (p q) p q und (p q) p q. (c) Wir schreiben W bzw. F für die Aussge, die immer whr bzw. immer flsch ist. Dnn gilt für jede Aussge p: p F F, p F p und p W p, p W W. Dies sind lso 4 llgemeingültige Aussgen. (d) Logische Distributivgesetze: Für Aussgen p, q, r gelten: p (q r) (p q) (p r) und p (q r) (p q) (p r). Bemerkung I..3. () Direkter Schluss: (Regeln für logisches Schließen) (p (p q)) = q

3 I. Quntoren und Aussgenlogik 3 Ist p whr und impliziert p die Aussge q (d.h. folgt us der Whrheit von p die Whrheit der Aussge q ), so ist q whr. Die Allgemeingültigkeit dieser Aussge verifiziert mn direkt nhnd der Tbelle. Beispiel: Es ist sehr instruktiv, sich diesen Schluß n einem Beispiel klrzumchen: p: Es ist Montg. q : Es regnet heute. p q : Es regnet n jedem Montg. Die Schlussweise besgt lso: Wenn heute Montg ist und Wenn es jeden Montg regnet, dnn regnet es heute. (2) ( q (p q)) = p Im Beispiel: Wenn es heute nicht regnet und wenn es jeden Montg regnet, dnn ist heute nicht Montg. (3) Kontrposition: (p q) ( q p). Im Beispiel: Es regent jeden Montg Wenn es nicht regnet, ist es nicht Montg. (4) Schlussketten: In der Nottion logischer Schlüsse verwenden wir zwei Typen von Schlussketten: In einer Schlusskette des Typs p p 2... p n verstehen wir ds Zeichen ls ein Symbol, ds uns signlisiert, dss lle Aussgen p p 2, p 2 p 3 usw. whr sind. Mn sgt uch, dss die Aussgen durch Äquivlenzumformungen useinnder hervorgehen. Insbesondere gilt dnn p p n. Zum Beispiel folgt die Gültigkeit von (3) unter Verwendung der doppelten Verneinung (I..2()) us folgender Kette von Äquivlenzen: (p q) ( p) q q ( p) ( q p). Entsprechend verwenden wir ds Symbol. Typs p p 2... p n In einer Schlusskette des bedeutet es, dss lle Aussgen p p 2, p 2 p 3 usw. whr sind. Insbesondere gilt dies dnn für p p n. Bemerkung I..4. (Formle Struktur mthemtischer Sätze bzw. Beweise) Typischerweise hben mthemtische Sätze die Gestlt: p = q. In einem Beweis geht es lso um die Verifiktion einer solchen Aussge. Es gibt mehrere Möglichkeiten des Vorgehens:

4 4 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 () direkter Beweis: Mn nimmt n, die Vorussetzung p ist whr und schließt hierus, dss die Behuptung q whr ist (siehe I..(iv)). (2) Für den indirekten Beweis gibt es zwei Vrinten, die uf den Äquivlenzen (p q) ( q Def. p) (p q) beruhen. () Mn nimmt n, dss q flsch ist und leitet drus b, dss p flsch ist. (b) Die ndere Vrinte besteht drin nzunehmen, dss p whr ist und q flsch und drus einen Widerspruch herzuleiten. Hiermit ist die Whrheit der Aussge (p q) bewiesen und dmit p q. Die Menge der ntürlichen Zhlen sei mit N: = {, 2, 3,...} bezeichnet. ( := bedeutet hier definierte Gleichheit, oben wird lso die Menge N erst definert.) Wir betrchten ein erstes Beispiel für einen indirekten Beweis. Stz I..5. Qudrtzhl. Ist n eine durch 4 teilbre ntürliche Zhl, so ist n + 3 keine Beweis. (Indirekter Beweis) Wir nehmen n, n + 3 sei eine Qudrtzhl, d.h., es gibt eine ntürliche Zhl k mit n + 3 = k 2.. Fll: k ist gerde, d.h., es gibt eine ntürliche Zhl m mit k = 2m. Dnn ist k 2 = 4m 2 durch 4 teilbr und folglich n = k 2 3 nicht durch 4 teilbr. 2. Fll: k ist ungerde, d.h., es gibt eine ntürliche Zhl m mit k = 2m+. Dnn ist k 2 = 4m 2 + 4m +, d.h. k 2 ist durch 4 teilbr, lso n = k 2 3 = (k 2 ) 2 nicht. Definition I..6. (Quntoren) () Der Allquntor: Sei J eine Menge (vgl. hierzu den nächsten Abschnitt) und (p j ) j J eine Fmilie von Aussgen, d.h., für jedes j J ist p j eine Aussge. Dnn ist ( j J) p j die Aussge, die genu dnn whr ist, wenn p j für lle j J whr ist. Beispiele: () ( n N) n ist gerde ist flsch, d 3 nicht gerde ist. }{{} p n (b) ( n N) n n 2 ist whr. (2) Der Existenzquntor: Ist (p j ) j J eine Fmilie von Aussgen, so ist ( j J) p j

5 I.2 Mengenlehre 5 die Aussge, die genu dnn whr ist, wenn ein j 0 J so existiert, dss p j0 whr ist. Beispiele: () ( n N) n ist gerde ist whr. (b) ( n N) n ist Primzhl ist ebenflls whr. (3) Verschärfter Existenzquntor: Die Aussge (!j J) p j bedeutet: Es existiert genu ein j 0 J, so dss p j0 Beispiele: () (!n N) n ist gerde ist flsch. (b) (!n N) n 3 = 27 ist whr. whr ist. Bemerkung I..7. (Merkregeln für den Umgng mit Quntoren) () Die Entsprechungen der de Morgnschen Regeln für Quntoren sind ) (( j J) p j ) ( j J) p j und (( j J) p j ( j J) p j. (b) Mn drf Existenz- und Allquntor im llgemeinen nicht vertuschen: ( n N)( k N) n k }{{} W ( k N)( n N) n k. }{{} F I.2 Mengenlehre Dem Begriff der Menge stellen wir uns niv gegenüber, d.h., wir stellen uns uf den Stndpunkt, dss wir eine Menge kennen, wenn uns gesgt wird, welche Elemente sie enthält. Wie knn ds ussehen? Ist M eine Menge, so schreiben wir x M für die Aussge, die genu dnn whr ist, wenn x Element der Menge M ist, und x / M: (x M). Hierbei verwenden wir ds Symbol : für definierte Zeile wird die Bedeutung des Symbols definiert. Äquivlenz. Durch obige

6 6 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Definition I.2.. (Beschreibung von Mengen) () (Aufzählung der Elemente) Eine Menge knn durch Aufzählung ihrer Elemente beschrieben werden: M = {4, 6, }, N = {+,, 8}. N = {, 2, 3,...} Die Menge der ntürlichen Zhlen N 0 = {0,, 2, 3,...} Z = {0,,, 2, 2, 3, 3,...} Die Menge der gnzen Zhlen Bechte: {, 2, 3, 2} = {, 2, 3}. Eine ndere Möglichkeit besteht in der Beschreibung durch ndere Mengen: Q = { p q : p Z, q N} Die Menge der rtionlen Zhlen (2) (Aussonderung) Die Elemente einer Menge können durch eine Aussgeform spezifiziert werden: Zu jedem Element x einer Menge M sei uns eine Aussge p(x) gegeben. Wir nennen ds Symbol p(x) dnn eine Aussgeform und x die freie Vrible in p(x). Wir können hiermit die Menge N: = {x M: p(x)}: = {x M: p(x)ist whr} bilden. Sie enthält genu die Elemente x von M, für die die Aussge p(x) whr ist. Genu wie in Definition der Quntoren, knn mn (p(x)) x M uch ls eine Fmilie von Aussgen uffssen. Beispiele: ) Die Menge der gerden Zhlen G = {n N: ( m N) n = 2m} = {n N: n ist gerde} Hier ist p(n) die Aussge ( m N) n = 2m bzw. n ist gerde. b) Die Menge ller Primzhlen P = {n N: n ist Primzhl}. Hier ist p(n) die Aussge n ist Primzhl. Bemerkung I.2.2. Die Einschränkung x M in Definition I.2.(2) ist wesentlich, d sie unerlubte Konstruktionen wie die folgende usschließt: R: = {x: x / x} die sogennnte Russelsche Unmenge. Diese Definition führt zu einem Widerspruch (der Russelschen Antinomie ), wenn mn frgt, ob die Menge R selbst Element von R ist: Ist R R, so folgt us der definierenden Eigenschft der Menge R, dss R / R ist Widerspruch; und Bertrnd Russel ( ), englischer Mthemtiker, Logiker und Philosoph.

7 I.2 Mengenlehre 7 ist R / R, so gilt die definierende Eigenschft der Menge R für R, so dss R R gilt Widerspruch! Diese Art von Konstruktion weist uf Probleme hin, die mn erhält, wenn mn Mengen von Mengen betrchtet. Insbesondere gilt: Es gibt keine Menge ller Mengen! Definition I.2.3. () A B (A ist Teilmenge von B ) bedeutet x A x B. (2) A = B: ( (x A) (x B) ), d.h., zwei Mengen sind genu dnn gleich, wenn sie dieselben Elemente enthlten. Mn bechte A = B (A B) (B A). (3) Ø: Die leere Menge. Sie enthält keine Elemente; die Aussge x Ø ist immer flsch bzw. x Ø F. In der folgenden Definition stellen wir zusmmen, wie wir us Mengen neue Mengen konstruieren dürfen. dss hierbei Vorsicht geboten ist, zeigt die Russelsche Antinomie. Definition I.2.4. (Konstruktion neuer Mengen) Seien X und Y Mengen. (i) Ds Komplement von Y in X beschreiben wir durch Aussonderung: X \ Y : = {x X: x / Y } (ii) Die Vereinigung zweier Mengen X Y : = {x: x X x Y } lässt sich nicht durch Aussonderung beschreiben. (iii) Den Durchschnitt zweier Mengen beschreiben wir wieder durch Aussonderung: X Y : = {x X: x Y } = {x: x X x Y } (iv) Beliebige Durchschnitte und Vereinigungen: Menge von Mengen, so definieren wir A j : = {x: ( j J) x A j } j J Ist {A j : j J} eine Dnn ist x j J A j ( j J) x A j. Ist J = Ø, so ist diese Aussge immer flsch und dher j J A j = Ø. Anlog definieren wir für eine nichtleere (Index-)Menge J : A j : = {x: ( j J) x A j }. j J

8 8 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Für endliche Mengen J = {, 2, 3,..., n} schreibt mn uch n A j = A j = A A 2... A n j= j J bzw. n j= A j = j J A j = A A 2... A n. (v) Die Produktmenge: Für x X und y Y nennt mn eine geordnete Auflistung (x, y) ein Pr. Die Menge X Y : = {(x, y): x X y Y } heißt Produktmenge (krtesisches Produkt) von X und Y. Folgende Konstruktion ist etws llgemeiner. Sind A,..., A n Mengen und A,..., n A n, so heißt die geordnete Liste (, 2,..., n ) ein n-tupel (2-Tupel sind Pre; 3-Tupel werden Tripel gennnt). Mn definiert dnn A... A n : = {(,..., n ): A... n A n }. Für A = A 2 =... = A n schreibt mn uch A n : = A... A n = A... A. }{{} n Fktoren Beispiele: ) Z 3 : = {(n, m, k): n, m, k, Z} b) Die Mengen A: = {, } und B: = {, } liefern A B = {(, ), (, ), (, ), (, )}. (vi) Die Potenzmenge: Ist A eine Menge, so heißt P(A): = {B: B A} die Potenzmenge von A. Sie enthält lle Teilmengen von A. Beispiel: Für A = {0, } ist P(A) = {Ø, {0}, {}, {0, }}. Bechte: Für jede Menge A gilt Ø A.

9 I.3 Funktionen 9 I.3 Funktionen Seien X und Y Mengen. Eine nive Definition einer Funktion bzw. Abbildung f: X Y könnte beispielsweise so ussehen: Eine Funktion f: X Y ist eine Vorschrift, die jedem Element von X genu ein Element von Y zuordnet. Hierbei hben wir zuerst zu klären, ws mn unter einer Vorschrift versteht. Definition I.3.. Es seien X und Y Mengen. Eine Funktion (Abbildung) f ist ein Tripel (X, Y, Γ f ), bestehend us den Mengen X, Y und einer Teilmenge Γ f X Y, für die gilt: ( x X)(!y Y ) (x, y) Γ f. Bezeichnungen: ) Ist (x, y) Γ f, so heißt f(x) := y Funktionswert n der Stelle x; mn schreibt uch x f(x), womit suggeriert wird, dss dem Element x X ds Element f(x) us Y zugeordnet wird. 2) X heißt Definitionsbereich. 3) Y heißt Werte- oder Bildbereich. 4) Γ f heißt Grph der Funktion. Zwei Funktionen sind lso genu dnn gleich, wenn ihre Definitionsbereiche, Wertebereiche und Grphen übereinstimmen. 5) Mn schreibt f: X Y für Funktionen der Gestlt (X, Y, Γ f ), d.h. mit Definitionsbereich X und Bildbereich Y. 6) Die Menge f(x): = {y Y : ( x X) y = f(x)} heißt Bild von f. Für eine Teilmenge A X heißt f(a): = {y Y : ( x A) y = f(x)} ds Bild von A unter f. Für B Y heißt f (B): = {x X: f(x) B} ds Urbild von B. Für B = {y} Y schreiben wir kürzer f (y): = f ({y}). Beispiel I.3.2. Sei X = Y = Z. () f(x) = x ht den Grphen Γ f = {(x, y) Z 2 : y = x 2 + 5}. (b) f(x) = x + ht den Grphen Γ f = {(x, y): y = x + }. (c) Es gibt keine Funktion f: Z Z, deren Grph die Menge Γ = {(x, y) Z 2 : y 2 = x} ist (Skizze!). (d) Funktionen müssen nicht immer uf Zhlenmengen definiert sein; eine durchus sinnvolle Funktion ist etw: f: {Menschen} N 0, x Alter von x. Definition I.3.3. () Die identische Funktion uf der Menge X : id X = (X, X, Γ idx ),

10 0 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 wobei der Grph Γ idx = {(x, y) X X: x = y} die Digonle ist. Wir hben lso id X (x) = x für lle x X. (2) Die konstnte Abbildung uf y 0 Y ist durch f: X Y, f(x) = y 0 für lle x X definiert. Ihr Grph ist die Menge Γ f = {(x, y 0 ): x X}. (3) Eine Möglichkeit, us einer schon vorhndenen Abbildung eine neue zu gewinnen, ist die Restriktion oder Einschränkung einer Abbildung uf eine Teilmenge ihres Definitionsbereichs: Ist f: X Y eine Abbildung und A X, so wird durch f A : A Y, x f(x) die Einschränkung von f uf A definiert. Der Grph dieser Funktion ist Γ f A = Γ f (A Y ) = {(x, y) A Y : y = f(x)} Γ f. Bei einer Funktion f: X Y wird jedem x X genu ein f(x) Y zugeordnet. Für ein y Y knn es ber mehrere Urbilder geben. Mn unterscheidet dher mehrere Typen von Funktionen: Definition I.3.4. Eine Funktion f: X Y heißt () injektiv, wenn jedes y Y höchstens ein Urbild ht, d.h. ( x X)( x X) f(x) = f(x ) = x = x. (b) surjektiv, wenn jedes y Y mindestens ein Urbild ht, d.h. ( y Y )( x X) y = f(x), d.h. f(x) = Y. (c) bijektiv, wenn jedes y Y genu ein Urbild ht, d.h. wenn f injektiv und surjektiv ist. Die Surjektivität von f besgt, dss die Gleichung f(x) = y für jedes y Y lösbr ist, wohingegen die Injektivität die Eindeutigkeit der Lösung bedeutet (sofern sie existiert). Beispiel I.3.5. () Die Funktion ist injektiv, ber nicht surjektiv. (b) Die Funktion f: N N, n f: N N, n n + { n, flls n 2, flls n = ist surjektiv, ber nicht injektiv (denn f(2) = f() = ). (c) Die Funktion f: Z Z, n n 2 ist weder injektiv noch surjektiv.

11 I.3 Funktionen Umkehrfunktionen Sind X und Y zwei Mengen und ist R X Y, so setzen wir R : = {(y, x) Y X: (x, y) R}. Eine Teilmenge R X Y nennt mn eine Reltion (zwischen X und Y ). Für eine Funktion f: X Y sind die folgenden Aussgen äquiv- Stz I.3.6. lent: () f ist bijektiv. (2) (Γ f ) ist der Grph einer Funktion g: Y X, d.h., ( Y, X, (Γ f ) ) ist eine Funktion. Beweis. (Y, X, (Γ f ) ) ist genu dnn eine Funktion, wenn es zu jedem y Y genu ein x X mit (y, x) (Γ f ) gibt. Dies ist nch der Definition von (Γ f ) genu dnn der Fll, wenn es zu jedem y Y genu ein x X mit (x, y) Γ f gibt. Dies wiederum ist äquivlent zur Existenz genu eines x X mit y = f(x) für jedes y Y, ws heißt, dss f bijektiv ist. Definition I.3.7. Erfüllt f: X Y die Bedingungen von Stz I.3.6, so schreiben wir f : = (Y, X, (Γ f ) ) (bzw. f : Y X ) für die Funktion mit dem Grphen Γ f = (Γ f ). Sie heißt Umkehrfunktion von f. Für x X und y Y ist (x, y) Γ f äquivlent zu f(x) = y und f (y) = x. Insbesondere gilt f (f(x)) = x und f(f (y)) = y. Bechte: Für jede Funktion f: X Y und jede Teilmenge B Y ist die Urbildmenge f (B) immer definiert; ob f bijektiv ist oder nicht. In diesem Sinne verwenden wir ds Symbol f lso uch, wenn keine Umkehrfunktion zu f existiert. Beispiel I.3.8. Für die Funktion f: Q Q, f(x) = 3x+2 ist die Umkehrfunktion f gegeben durch f : Q Q, f (y) = y 2 3. Definition I.3.9. Sind f: X Y und g: Y Z Funktionen, so wird durch g f: X Z, x g(f(x)) eine Funktion definiert (Nchweis!). Sie heißt die Komposition (Verknüpfung) der Funktionen f und g.

12 2 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Bemerkung I.3.0. () Ist eine Funktion f: X Y bijektiv, so gilt f f = id Y und f f = id X. Ds folgt sofort us den beiden Formeln in Definition I.3.7. (b) Für ist und f: Q Q, x 3x + und g: Q Q, x x 2 g f: Q Q, x (3x + ) 2 = 9x 2 + 6x f g: Q Q, x 3(x 2 ) + = 3x 2 2. Insbesondere erkennt mn n diesem Beispiel, dss für zwei Funktionen f, g: Q Q im llgemeinen f g g f gilt. Aufgbe I.3.. () Sind f: X Y und g: Y Z injektive (surjektive) Abbildungen, so ist uch deren Komposition g f: X Z injektiv (surjektiv). (b) Ist f: X Ø eine Funktion, so ist X = Ø. (c) Für jede Menge Y ist f = (Ø, Y, Ø) eine Funktion. Ihr Grph Γ f ist die leere Menge. Mn bechte, dss uch die Menge Ø Y leer ist. Aufgbe I.3.2. Seien X und Y Mengen sowie f: X Y eine Funktion und f : P(Y ) P(X), A f (A) die Abbildung, die jeder Teilmenge von Y ihr Urbild in X zuordnet. Zeigen Sie: () f ist genu dnn injektiv, wenn f surjektiv ist. (2) f ist genu dnn surjektiv, wenn f injektiv ist. Aufgbe I.3.3. Zeige: Eine Funktion f: X Y ist genu dnn bijektiv, wenn eine Funktion g: Y X existiert, so dss f g = id Y und g f = id X. Aufgbe I.3.4. (Komposition von Funktionen ist ssozitiv) Zeige: Sind f: X Y, g: Y Z und h: Z U Funktionen, so gilt (h g) f = h (g f).

13 I.3 Funktionen 3 Mächtigkeit von Mengen Definition I.3.. () Eine Menge X heißt endlich, wenn sie leer ist oder eine surjektive Abbildung f: {, 2,..., n} X für ein n N existiert. Sie heißt bzählbr, wenn sie leer ist, oder es eine surjektive Abbildung f: N X gibt, d.h. wenn mn die Elemente von X bzählen knn: X = {f(), f(2),...} bzw. X = {x, x 2, x 3,...}. Wenn sie nicht bzählbr ist, so nennen wir sie überbzählbr. (b) Zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung F : X Y gibt. Zwei Mengen X und Y sind lso genu dnn gleichmächtig, wenn es möglich ist, jedem Element x X genu ein Element y Y derrt zuzuordnen, dss jedes Element von Y genu einem Element von x zugeordnet ist. Mn stellt sich vor, dss die beiden Mengen X und Y dnn gleichviele Elemente enthlten, wieviele es uch sein mögen. Bemerkung I.3.2. () Jede endliche Menge M ist gleichmächtig zu genu einer Menge der Gestlt {, 2,..., n}, n N 0. In diesem Fll schreiben wir M = n. Die Menge M ht n verschiedene Elemente (Nchweis!). (b) Ist X eine bzählbre Menge und f: X Y eine surjektive Funktion, so ist uch Y bzählbr. (Ist g: N X surjektiv, so ist f g: N Y surjektiv. (Nchweis!)) (c) Jede endliche Menge ist bzählbr (Nchweis!). (d) Jede unendliche bzählbre Menge ist gleichmächtig zu N. Hierzu muss mn zeigen, dss us der Existenz einer surjektiven Funktion f: N M die einer bijektiven Funktion g: N M folgt. Hierzu definiert mn h(n) := min{m N: {f(),..., f(m)} = n}. Dnn ist h(n) n für lle n N und mn knn zeigen, dss h: N N eine injektive Funktion ist, für die g := f h : N M bijektiv ist. (Detils ls Übung!) Stz I.3.3. Beweis. Die Mengen N und N N sind gleichmächtig. Wir definieren eine Abbildung f: N N N durch f(p, q) = (p + q )(p + q 2) 2 + p. Übung; hierbei ist eine Skizze hilf- Diese Abbildung ist bijektiv (Nchweis ls reich).

14 4 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Folgerung I.3.4. Jede bzählbre Vereinigung bzählbrer Mengen ist bzählbr, d.h. ist M = n N M n und sind lle Mengen M n bzählbr, so uch M. Beweis. Seien die Mengen M n für jedes n N bzählbr, d.h., wir können sie beschreiben ls M n = {x n,, x n,2,...}. Dnn existiert für die Menge n N M n = {x n,m : (n, m) N N} eine surjektive Abbildung N N n N M n, sie ist lso bzählbr (Bemerkung I.3.2(b)). Folgerung I.3.5. Die Menge Q der rtionlen Zhlen ist bzählbr. Beweis. D die Menge Z bzählbr ist, ist für jedes n N die Menge n Z := { p n : p Z} bzählbr. Wegen Q = n N n Z folgt die Abzählbrkeit von Q dher us Folgerung I.3.4. Stz I.3.6. (Cntor -Russel) Sei X eine Menge. Dnn existiert keine surjektive Funktion f: X P(X), insbesondere uch keine bijektive. Beweis. Sei f: X P(X) eine Funktion. Wir zeigen, dss f nicht surjektiv ist, indem wir zeigen, dss die Menge A: = {x X: x / f(x)} nicht in f(x) liegt. Wir führen einen indirekten Beweis; dzu nehmen wir n, dss A = f(y) für ein y X gilt.. Fll: y f(y). Dnn ist y A, lso y / f(y); Widerspruch! 2. Fll: y / f(y). Dnn ist y A = f(y); Widerspruch! Die Annhme ist lso flsch, d. h. es gilt A / f(x). Eine wichtige Folgerung us Stz I.3.6 ist, dss es keine größte Menge gibt, denn für jede Menge X ist die Potenzmenge P(X) echt größer. Folgerung I.3.7. ist nicht bzählbr. Die Menge P(N) ller Teilmengen der ntürlichen Zhlen Georg Cntor (845 98), deutscher Mth. in Hlle, Begründer der Mengenlehre; besuchte die Höhere Gewerbeschule in Drmstdt, studierte in Berlin.

15 I.4. Ds Prinzip der vollständigen Induktion 5 I.4. Ds Prinzip der vollständigen Induktion In diesem Abschnitt werden wir die ntürlichen Zhlen etws genuer betrchten. Hierbei werden wir ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion kennenlernen. Wir stellen uns hier uf den Stndpunkt, dss wir die ntürlichen Zhlen die gnzen Zhlen N = {, 2, 3,...} bzw. N 0 = {0,, 2, 3,...}, Z = {0, ±, ±2, ±3,...} und die rtionlen Zhlen (Brüche) { p } Q = q : p Z, q N kennen. Wir hben dmit folgende Inklusionen von Mengen: N Z Q. Am Anfng unserer Überlegungen steht ds: Wohlordnungsprinzip Jede nichtleere Teilmenge M N besitzt ein kleinstes Element. Wir werden dieses Prinzip ls ein Axiom über die Menge N der ntürlichen Zhlen betrchten. Mn sollte sich n dieser Stelle noch einml bewusst mchen, dss wir nicht xiomtisch präzisiert hben, ws die ntürlichen Zhlen sind, sondern von einer niven Vorstellung der Menge N mit ihren rithmetischen Opertionen usgehen. Präzisiert mn die Eigenschften von (N, +, ) xiomtisch (Peno-Axiome ), so ist ds Wohlordnungsprinzip letztendlich in die Axiomtik eingebut. Aus dem Wohlordnungsprinzip leiten wir sogleich eine wichtige Folgerung b: Stz I.4.. (Ds Prinzip der vollständigen Induktion) Sei (p n ) n N eine Fmilie von Aussgen. Gilt (A) p und (S) p n p n+ für lle n N, so gilt: ( n N) p n. Beweis. (Indirekter Beweis) Wir betrchten die Menge M := {n N: p n }. Ist M nicht leer, so besitzt M nch dem Wohlordnungsprinzip ein kleinstes Element m. Wegen (A) ist m. Dher ist m eine ntürliche Zhl mit m M, d.h., p m ist whr. Wegen (S) ist dnn uch p m whr; ein Widerspruch. Guiseppe Peno ( ), itlienischer Mthemtiker in Torino, formulierte 892 ds Penosche Axiomensystem für die ntürlichen Zhlen.

16 6 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Möchte mn für jede ntürliche Zhl n eine Aussge p n beweisen, so knn mn lso wie folgt vorgehen: Induktionsnfng (A) Zeige die Aussge p. Induktionsschritt (S) Zeige: ( n N) p n p n+, d.h., us der Induktionsnnhme p n wird die Aussge p n+ hergeleitet. Anschulich: p p 2 p 3 p 4... W W W W (Dominoprinzip!) Mn knn ds Induktionsprinzip uch verwenden, um mthemtische Objekte rekursiv zu definieren. Definition I.4.2. Ist n N und sind x,..., x n Q, so setzen wir x + x x n := (x + x x n ) + x n für n >. dss mn hiermit jede mögliche Anzhl von Summnden erfsst, folgt sofort us dem Induktionsprinzip. Weiter definiert mn und n x j := j= j {,2,...,n} 0 j= x j := j Ø (die leere Summe). Anlog definiert mn Mehrfchprodukte x j := x + x x n x j := 0 x x 2... x n := (x x 2... x n ) x n für n > und weiter Hier setzen wir n x j := x j := x x 2... x n. j= j {,2,...,n} 0 x j := x j := (ds leere Produkt). j= j Ø Speziell definieren wir für n N 0 die n-te Potenz von x durch x n := n x = x } {{ x }. n ml j= Ist x 0 und n Z, n < 0, so setzen wir x n := x n. Wir schuen uns jetzt n einigen Beispielen n, wie ds Induktionsprinzip für Beweise verwendet werden knn.

17 I.4. Ds Prinzip der vollständigen Induktion 7 Stz I.4.3. () Für lle n N gilt n k= k = n(n+) 2. (b) Für lle n, m N und q Q gilt q m q n = q n+m. (c) Für lle n, m N und q Q gilt (q m ) n = q nm. Beweis. () (A) (n = ) k= k = = (+) 2 ist richtig. (S) Es gelte n k= k = n(n+) 2. Dnn ist n+ k = k= n k= k + (n + ) = n(n+) 2 + n + = (n + )( n 2 + ) = (n + ) n+2 2. (b) (A) (n = ) q m q = q m+ folgt für lle m N us der Definition. (S) Es gelte q m q n = q m+(n ) für lle m N. Dnn ist q m q n = q m (q n q) = (q m q n )q = q m+(n ) q = q m+(n )+ = q m+n. (c) (A) (n = ) (q m ) = q m gilt trivilerweise. (S) Es gelte (q m ) n = q (n )m für lle m N. Dnn ist wegen (b) (q m ) n = (q m ) n q m = q (n )m q m = q (n )m+m = q nm. Mn bechte, dss der Induktionsnfng (A) sehr wesentlich ist, denn z.b. lässt sich für die Aussgen p n : n k= k = n (n + ) zeigen, dss p n p n+ für lle n N gilt. Der Induktionsschluss wie im Beweis von Stz I.4.3() lässt sich lso problemlos durchführen, obwohl keine der Aussgen p n whr ist. Mit der Formel us Stz I.4.3() verbindet sich eine berühmte Anekdote um Crl Friedrich Guß. Dieser bekm im Alter von sieben Jhren von seinem Lehrer die Aufgbe gestellt, lle Zhlen von bis 00 ufzusummieren. Crl Friedrich fing dies etws nders n ls seine Klssenkmerden, und zwr so: = = 0 50 = 5050 Dieser Anstz steckt uch implizit in der soeben bewiesenen Formel: 00 k= k = = Crl Friedrich Guß ( ), Mthemtiker und Physiker in Göttingen, leistete entscheidende Beiträge in vielen Bereichen der Mthemtik.

18 8 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Stz I.4.4. Seien M und N nichtleere Mengen mit n Elementen. Dnn existieren genu n! := 2 3 n (n-fkultät) bijektive Abbildungen von M nch N. Beweis. (Induktion nch n). (A) n = : Dnn gilt M = N = und es gibt genu eine Bijektion. (S) Sei M = {x,..., x n+ } und N = {y,..., y n+ }, wobei lle x j bzw. y k jeweils prweise verschieden seien. Ist f: M N eine Bijektion, so gibt es für f(x n+ ) genu n + Möglichkeiten. Ist f(x n+ ) gegeben, so ist die eingeschränkte Abbildung f {x,...,x n } N \ {f(x n+ )} eine Bijektion. Hierfür gibt es nch Induktionsnnhme n! Möglichkeiten, d {x,..., x n } = n und N \ {f(x n+ )} = n gilt. Insgesmt ergeben sich so (n + ) n! = (n + )! Möglichkeiten. Bemerkung I.4.5. () Eine Bijektion f : M M der Menge M uf sich nennt mn eine Permuttion. Es gibt lso n! Permuttionen einer n-elementigen Menge. (b) Für den Spezilfll M = {, 2,..., n} ist eine Bijektion f: M N eine Aufzählung der Menge N ls N = {f(),..., f(n)}. Es gibt nch Stz I.4.4 lso genu n! verschieden Anordnungen der Menge N. Konkret knn mn dies folgendermßen interpretieren: Ht mn eine Menge N von n Büchern, so gibt es n! Möglichkeiten, diese Bücher in einem Regl nebeneinnder ufzustellen. (c) Der Stz I.4.4 bleibt für M = N = Ø richtig, wenn wir setzen. 0! := Definition I.4.6. Für α Q und n N definieren wir die Binomilkoeffizienten ( ) ( ) α α(α ) (α n + ) α :=, :=. n n! 0 Ist α N 0, so ist denn α! n!(α n)! ( ) { α = n α! n!(α n)! für 0 n α 0 für n > α, α(α ) (α n + ) = n! α(α ) (α n + ) = n! (α n) 2 (α n) 2

19 I.4. Ds Prinzip der vollständigen Induktion 9 Stz I.4.7. n N gilt Beweis. (Additionstheorem für Binomilkoeffizienten) Für α Q und ( ) α = n ( ) α + n ( α n ). ( ) α + n ( ) α = n = = = = (α ) (α (n ) + ) (n )! (α ) (α n + ) (n )! (α ) (α n + ) (n )! (α ) (α n + ) (n )! α(α ) (α n + ) n! + (α ) (α n) n! (α ) (α n) + n! ( α n ) + n α n = ( ) α n Eine leicht eingängige Möglichkeit, sich kleine Werte der Binomilkoeffizienten schnell zu besorgen, stellt ds Psclsche Dreieck dr. In ihm ergeben sich die Einträge nch der gerde bewiesenen Formel ls Summe der digonl drüberstehenden: ( n 0) ( n ) ( n 2) Mn sieht, wie die Binomilkoeffizienten ngeordnet sind: ) ( n ) ( n k + ( n k) k

20 20 I. Logik und Mengenlehre 8. Mi 2006 Stz I.4.8. Eine Menge M mit m Elementen ht ( m n) Teilmengen mit n Elementen. Insbesondere ist ( m n) N0 für lle m, n N 0. Beweis. (Durch Induktion nch m). (A) Ist m = 0, so ist ( ) { m, flls n = 0; = n 0, sonst. Die Behuptung ist lso richtig, d M = Ø nur eine Teilmenge mit 0 Elementen ht. (S) Wir nehmen nun n, dss die Behuptung für Mengen mit m Elementen gilt (Induktionsnnhme). Sei jetzt M = m + und x 0 M. Dnn ist M = {x 0 } (M \ {x 0 }) und M \ {x 0 } = m. Für eine n-elementige Teilmenge N M gibt es zwei Fälle: () x 0 N. Dnn ist N (M \{x 0 }) eine (n )-elementige Teilmenge. Nch Induktionsnnhme gibt es hierfür ( m n ) Möglichkeiten. (2) x 0 / N. Dnn ist N M \ {x 0 }. Hierfür gibt es ( m n) Möglichkeiten. Insgesmt gibt es lso Möglichkeiten. ( ) m + n ( ) m = n ( ) m + Mn knn den gerde bewiesenen Schverhlt uch kombintorisch interpretieren: Mn betrchtet die verschiedenen Möglichkeiten, die Elemente einer Menge M = {x,..., x m } nzuordnen. Ds geht uf m! Weisen. Ist die Menge der ersten n Elemente N := {x,..., x n } festgelegt, so gibt es n!(m n)! Möglichkeiten der Anordnung. Insgesmt ergeben sich lso ( ) m = n m! n!(m n)! Möglichkeiten, n Elemente us M heruszunehmen, d jeweils n!(m n)! Anordnungen die gleiche Teilmenge liefern. n Stz I.4.9. (Binomischer Lehrstz) Für x, y Q und n N 0 gilt (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k Beweis. (durch vollständige Induktion nch m) (A) Für n = 0: (x + y) n =

21 I.4. Ds Prinzip der vollständigen Induktion 2 = 0 k=0 ( n k) x 0 y 0 ist whr. Für den Induktionsschluss (S) rechnen wir: (x + y) n+ = (x + y)(x + y) n ( n ( ) Ann. n = (x + y) )x k y n k k = n k=0 ( n k k=0 ) x k+ y n k + n k=0 ( ) n x k y n+ k k ( ) n n ( ) n = x n+ y 0 + x k+ y n k + n k k=0 n ( ) n n = x n+ + x k y n+ k + k k= k= n (( ) n = x n+ + + k k= ( ) n + n ( n + = x n+ y 0 + n + k k= n+ ( ) n + = x k y n+ k. k k=0 n ( n k ( n k k= ( )) n x k y n+ k + y n+ k ) x k y n+ k + ) x k y n+ k + ) x k y n+ k + y n+ ( n + 0 ) x 0 y n+ ( ) n x 0 y n+ 0 Auch hier knn mn eine kombintorische Interprettion finden. In der Summe (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y) (n Fktoren) = x n + x n y +... kommt der Term x k y n k genu ( ( n k) -ml vor, d es genu n k) Möglichkeiten gibt, us der n-elementigen Menge der Fktoren eine k -elementige uszuwählen. Aufgbe I.4.. Zeigen Sie: Für eine Selbstbbildung f: M M einer endlichen Menge M sind folgende Aussgen äquivlent: () f ist bijektiv. (2) f ist injektiv. (3) f ist surjektiv. Aufgbe I.4.2. Sei M eine k -elementige Menge und N eine n-elementige Menge. Zeigen Sie: () Es gibt k (n j) = n(n )(n 2) (n k + ) j=0 injektive Abbildungen f: M N. Ws pssiert für k > n? (2) Es gibt n k Abbildungen f: M N.

22 22 II. Die reellen Zhlen 8. Mi 2006 II. Die reellen Zhlen In diesem Kpitel wenden wir uns dem Huptgegenstnd der Anlysis, der Menge R der reellen Zhlen, zu. Wir stellen uns die reellen Zhlen ls eine kontinuierliche Zhlengerde vor, mit der wir messen und Geometrie treiben wollen. Die rtionlen Zhlen sind dfür nicht usreichend, denn mit ihnen lässt sich nicht einml die Digonle eines Einheitsqudrts messen, die beknntlich die Länge 2 besitzt, und diese Zhl ist irrtionl. Wir werden im Verluf der Vorlesung noch viele Gründe dfür kennenlernen, dss die reellen Zhlen einen minimlen Zhlbereich bilden, der den Anforderungen der Anlysis gerecht wird. Es gibt durchus größere Zhlbereiche, mit denen mn Anlysis treiben knn (Nonstndrd Anlysis), und ndere Zhlbereiche ( p-dische Zhlen), die zwr llen metrischen Anforderungen genügen, ber nicht zum Messen geeignet sind. Diese Zhlbereiche sind Gegenstnd der p-dischen Anlysis bzw. der Algebr. Ws sind die reellen Zhlen und welche Struktur trgen sie? Um dies zu verstehen, betrchten wir zunächst die beknnten Strukturen uf der Menge Q der rtionlen Zhlen. Die Menge Q der rtionlen Zhlen trägt mehrere Strukturen: () Die Addition: ( Q Q Q, b d), c d + bc bd (2) Die Multipliktion: Q Q Q, ( b, c d) c bd (3) Eine dritte Struktur ist durch die Ordnungsreltion < uf Q gegeben: b < c d bc d N (bechte: b, d N). Gegenstnd dieses Abschnitts sind diese drei Strukturen, ihre Eigenschften, und wie mn sie uf die reellen Zhlen übertrgen knn. Hierbei werden wir der xiomtischen Methode folgen, d.h., wir werden einzelne Eigenschften bzw. Rechenregeln ls Axiome formulieren, die in dem Bereich, den wir jeweils betrchten, gelten sollen. Dies führt uns zu vielen Strukturen, die in der Mthemtik eine zentrle Rolle spielen. Die reellen Zhlen smt der drei Strukturen

23 II. Axiome der Arithmetik 23 (Addition, Multipliktion und Ordnung) werden schließlich durch eine Liste von Axiomen, die sich uf diese Strukturen beziehen, (eindeutig) ls vollständig ngeordneter Körper chrkterisiert. II. Axiome der Arithmetik Axiome der Addition Wir betrchten zuerst die Axiome der Addition bzw. den Begriff der belschen Gruppe. Definition II... Ein Pr (G, ) us einer Menge G und einer Abbildung : G G G, (x, y) x y heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind: (A) Assozitivgesetz: ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z. (N) Neutrles Element:( e G)( x G) x e = e x = x. (I) Existenz eines Inversen: ( x G)( y G) x y = y x = e. Mn sgt dnn uch, dss die (binäre) Opertion uf G die Struktur einer Gruppe definiert. Gilt zusätzlich ds (K) Kommuttivgesetz: ( x, y G) x y = y x, so spricht mn von einer belschen Gruppe. In diesem Fll schreiben wir in der Regel + sttt für die Gruppenopertion und 0 sttt e für ds neutrle Element, ds mn dnn uch Nullelement nennt. Beispiel II..2. () Einfche Beispiele für belsche Gruppen sind (Z, +) und (Q, +). Wrum ist (N, +) keine belsche Gruppe? Welche Axiome sind verletzt? Ein weiteres Beispiel ist (Q, ), wobei Q := Q \ {0} ist. (b) Wir betrchten die zweielementige Menge F := {0, } mit der Addition modulo 2: := + := 0 und 0 + := + 0 :=. Dnn ist (F, +) eine belsche Gruppe. Aus den 4 Axiomen (A),(N),(I) und (K) einer belschen Gruppe lssen sich weitere Eigenschften bleiten, die wir uns nun nschuen. Mn knn sich überlegen, dss keines der 4 Axiome us den drei nderen folgt. In diesem Sinn bilden sie ein minimles System.

24 24 II. Die reellen Zhlen 8. Mi 2006 Bemerkung II..3. Sei (A, +) eine belsche Gruppe. Wir hlten einige Folgerungen us den Axiomen fest: () Eindeutigkeit des Nullelements: Sind 0 und 0 Nullelemente von A, so gilt 0 = = 0 und folglich 0 = 0. (2) Eindeutigkeit des Inversen: Sind y und y invers zu x, so gilt y (N) = y + 0 (I) = y + (x + y ) (A) = (y + x) + y (I) = 0 + y (N) = y. D ds Inverse des Elements x A eindeutig bestimmt ist, ist es sinnvoll, dieses Element mit x zu bezeichnen. Weiter definieren wir x y := x + ( y). (3) 0 = 0: Dies folgt wegen = 0 us (2). (4) Für lle x A gilt ( x) = x ufgrund der Symmetrie von (I). (5) Für lle x, y A gilt (x + y) = y x: (x + y) + ( y x) (A) = x + (y + ( y x)) (A) = x + ((y y) x) (I) = x + (0 x) (N) = x x (I) = 0. Aus (2) folgt somit y x = (x + y). (6) (Subtrktion bei Gleichungen) Es gilt x + = b x = b : (N) : Es gilt x = x + 0 (I) = x + ( ) (A) = (x + ) = b. (A) : Aus x = b folgt x + = (b ) + = b + ( + ) (I) = b + 0 (N) = b. Axiome der Multipliktion Definition II..4. Ist K eine Menge mit zwei Verknüpfungen (Abbildungen) K K K, (x, y) x + y und K K K, (x, y) x y, so heißt K bzw. ds Tripel (K, +, ) Körper, flls (K, +) eine belsche Gruppe ist und für die Multipliktion folgende Axiome gelten (MA) Assozitivgesetz: ( x, y, z K) x (y z) = (x y) z (MK) Kommuttivgesetz: ( x, y K) x y = y x (E) Einselement:( K) ( ( 0) ( x K) x = x = x ) (MI) Existenz eines Inversen: ( x K \ {0}) ( y K) x y = y x =. Weiter seien Addition und Multipliktion verbunden durch ds (D) Distributivgesetz: ( x, y, z K) x (y + z) = x y + x z. Mn lässt bei der Multipliktion us Bequemlichkeitsgründen üblicherweise den Punkt weg und schreibt xy nsttt x y.

25 II. Axiome der Arithmetik 25 Bemerkung II..5. Wir hlten wieder einige Folgerungen us den Körperxiomen fest: (7) Es gilt 0 x = 0 = x 0 für lle x K : x 0 (N) = x (0 + 0) (D) = x 0 + x 0 (6) = x 0 = x 0 x 0 = 0. (8) Wir schreiben K := K \ {0}. Dnn ist (K, ) eine belsche Gruppe: Zuerst müssen wir zeigen, dss die Multipliktion die Menge K K nch K bbildet. Sind x, y K und x bzw. y jeweils multipliktive Inverse von x bzw. y, so erhlten wir wie in (6) zunächst (xy)(y x ) (MA) = x ( y(y x ) ) (MA) = x ( (yy )x ) (MI) = x ( x ) (E) = xx (MI) =. Wegen (7) und 0 ist dher xy 0. Also ist die Multipliktionsbbildung : K K K, (x, y) x y definiert, d für x, y K ds Produkt xy wieder in K liegt. Die Axiome (MA), (MK) und (E) liefern Assozitivität, Kommuttivität und ds neutrle Element (Nullelement), ds in diesem Fll ds Element ist. Zur Existenz des Inversen: Ist x K und y K mit xy =, so ist y 0 wegen (7), d sonst = x y = x 0 = 0 gelten würde. Dmit ist y K, d.h., in K ist die Existenz eines Inversen gesichert. Aus () bis (6) folgt jetzt: (9) Eindeutigkeit des Einselements (wegen ()). (0) Eindeutigkeit des multipliktiven Inversen. Mn bezeichnet ds multipliktive Inverse von x 0 mit x oder x. Weiter definieren wir für y 0 x y := xy. () = (wegen (3)). (2) Für lle x 0 gilt (x ) = x (wegen (4)). (3) Für x, y K ist (xy) = y x : Ds hben wir schon unter (8) gezeigt. Es folgt ber uch mit (8) us (5). (4) Für 0 gilt x = b x = b : : Aus x = b folgt b = b = (x) (MA) = x( ) (MI) = x (E) = x, lso x = b. : Aus x = b folgt umgekehrt x = (b ) (MA) = b( ) (MI) = b (E) = b, lso x = b. (5) Für lle x, y K gilt ( x)y = (xy): lso ( x)y = (xy). xy + ( x)y (D) = (x + ( x))y (N) = 0 y (7) = 0,

26 26 II. Die reellen Zhlen 8. Mi 2006 (6) Für lle x, y K gilt ( x) ( y) = x y : Wegen (5) gilt ( x)( y) (5) = (x ( y)) (MK) = (( y) x) (5) = ( (yx)) (5) = yx (MK) = xy. Aufgbe II... Sei K ein Körper und L := K 2 = {(, b):, b K}. Auf L definieren wir Addition und Multipliktion durch (, b) + (c, d) := ( + c, b + d), und (, b) (c, d) := (c bd, bc + d). Weiter definieren wir eine Funktion Zeigen Sie: () N(xy) = N(x)N(y) für x, y L. (2) (L, +) ist eine belsche Gruppe. (3) Für x = (, b) mit N(x) 0 ist N: L K, (, b) 2 + b 2. ( x := N(x), b ) N(x) ein multipliktives Inverses. (4) (L, +, ) ist genu dnn ein Körper, wenn N(x) 0 für lle x (0, 0) in L gilt. (5) (L, +, ) ist genu dnn ein Körper, wenn 2 für lle K gilt, d.h. wenn in K kein Qudrt ist. Aufgbe II..2. Wir betrchten die vier Axiome (A), (N), (I) und (K) für belsche Gruppen. Finde Pre (M, ), wobei eine Abbildung M M M, (x, y) x y ist, die jeweils folgenden Bedingungen genügen: () (A), (N), (I), (K). (2) (A), (N), (K), (I). (3) (N), (K), (I), (A). In diesem Sinn sind diese Bedingungen voneinnder unbhängig, ber ntürlich mcht (I) nur Sinn, wenn (N) erfüllt ist.

27 II.2 Anordnung 27 II.2 Anordnung Nchdem wir die Axiome für Addition und Multipliktion kennengelernt hben, wenden wir uns nun Anordnungen uf Körpern zu. Hierbei hben wir zu klären, in welchem Sinne diese Anordnungen mit Addition und Multipliktion verträglich sein sollen. Definition II.2.. Ein Pr (K, K + ) us einem Körper K und einer Teilmenge K + heißt ngeordneter Körper, wenn folgende Axiome gelten: (O) Für lle x K gilt genu eine der Aussgen x K +, x K + oder x = 0. (O2) Für lle x, y K + ist x + y K +. (O3) Für lle x, y K + ist x y K +. Die Elemente in K + heißen positiv. Wir schreiben für x K + uch x > 0. Weiter definieren wir folgende Reltionen uf K : x > y : x y > 0, x y : (x > y) (x = y), x < y : y > x und x y : y x. Denkt mn drn, dss K eingentlich nur die Menge ist, die dem Körper (K, +, ) unterliegt, so sollte mn usführlicher eine ngeordneten Körper usführlicher ls Qudrupel (K, +,, K + ) schreiben. Ein solcher Bezeichnungsmissbruch ist oft bequem und dher in der Mthemtik sehr gebräuchlich. Beispiel II.2.2. Für Q + := {x Q: x > 0} ist ds Pr (Q, Q + ) ein ngeordneter Körper (Nchweis!). Von nun n steht K bzw. (K, K + ) immer für einen ngeordneten Körper. Stz II.2.3. (Anordnungseigenschften) (Ver) Vergleichbrkeit: Es gilt genu eine der Aussgen x < y, x = y oder x > y. (Tr) Trnsitivität: Gilt x < y und y < z, so uch x < z. (Ad) Verträglichkeit mit der Addition: (x < y) (z w) x + z < y + w. (Mul) + Verträglichkeit mit der Multipliktion: (x < y) (z > 0) zx < zy.

28 28 II. Die reellen Zhlen 8. Mi 2006 (Neg) Ist x < y, so ist x > y. Mn erhält die gleichen Regeln für und sttt < und > mit Ausnhme von (Ver); diese wird zu (Verg) Es gilt x y oder y x; gilt beides, so folgt drus x = y. Beweis. (Ver) wird durch Einsetzen der Definitionen zu y x > 0 oder y x = 0 oder y x < 0; dies ist gerde (O). (Tr): Aus y x > 0 und z y > 0 folgt wegen (O2) z x = (z y)+(y x) > 0, lso x < z. (Ad): Wir hben y + w (x + z) = (y x) + (w z) > 0. (Mul) + : Aus y x > 0 und z > 0 folgt wegen (O3) z(y x) = zy zx > 0, lso zx < zy. (Neg) folgt us (Ad) Ist x < y, d.h. y x > 0, so ist uch ( x) ( y) = x + y = y x > 0, lso x > y. (Verg) ist klr. y x 0 x y > K Stz II.2.4. (Multipliktive Regeln) Es gelten für lle x, y, z K : (i) x < y, z < 0 zx > zy. (ii) Für 0 x K ist x 2 > 0. Insbesondere ist > 0. (iii) x > 0 x > 0. (iv) xy > 0 (x < y x > y ). Beweis. (i) Wegen (Neg) ist z > 0, lso ( z)x < ( z)y wegen (Mul) +, d.h. zx < zy, lso zy < zx wegen (Neg). (ii) Ist x > 0, so ist x 2 > 0. Andernflls ist x < 0 und x 2 = ( x) 2 > 0 wegen Bemerkung II..5(6). (iii) Wegen (x ) 2 > 0 ist x = x(x ) 2 > 0 wegen (O3). (iv) Multipliktion mit (xy) > 0 liefert x < y x (xy) < y (xy) y < x Bemerkung II.2.5. Die Anordnung eines Körpers K ht uch rithmetische Konsequenzen. Insbesondere lässt sich nicht jeder Körper nordnen: Wegen > 0 und (Neg) ist < 0. Also ist x 2 für lle x K und somit kein Qudrt in K. Hierus schließen wir insbesondere, dss die Konstruktion us Aufgbe II. für jeden ngeordneten Körper K einen Körper L liefert, dessen zugrundeliegende Menge K 2 ist. Für n N 0 und x K setzen wir nx := x = x x. }{{} j {,2,...,n} n ml Für n Z mit n < 0 setzen wir nx := ( nx).

29 II.2 Anordnung 29 Bemerkung II.2.6. (Einbettung von Q in ngeordnete Körper) Ist K ein ngeordneter Körper und n N, so ist n = (n ml) positiv und dher nie 0. Weiter gilt (nm) = (n )(m ) (n + m) = n + n für lle n, m Z (Nchweis durch vollständige Induktion für n N, m Z und dnn Berücksichtigung der Vorzeichen!). Sind, c Z und b, d N mit b = c d, d.h. d = bc, so ist ( )(d ) = (d) = (bc) = (b )(c ) und dher ( ) (b ) = (c ) (d ). Wir erhlten dher eine Abbildung ϕ: Q K, b ( ) (b ), denn die rechte Seite hängt nicht von der Drstellung des Bruches b rechnet leicht nch, dss (2.) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) für x, y Q b. Mn gelten. Ist ϕ( b ) = 0, so ist = 0 und dher = 0, denn für > 0 ist > 0 und für < 0 ist ( ) = ( ) > 0. Hierus schließen wir, dss ϕ injektiv ist, denn us ϕ( b ) = ϕ( c d ) folgt 0 = ϕ( b c d bc d ) = ϕ( cd ) und dher d = bc, d.h. b = c d. Eine injektive Abbildung ϕ: Q K für die (2.) gilt, nennt mn eine Körpereinbettung oder einen Homomorphismus von Körpern. Wir hben lso den Körper Q durch ϕ in K eingebettet und dürfen ihn uns in diesem Sinn ls einen Unterkörper von K vorstellen, d.h. ls eine Teilmenge von K, die unter Addition und Multipliktion bgeschlossen ist und diesbezüglich einen Körper bildet. In diesem Sinn schreiben wir uch kurz b Obige Argumente zeigen lso, dss jeder ngeordenete Körper K den Körper Q der rtionlen Zhlen ls Unterkörper enthält. für b. Definition II.2.7. Wir wollen einige der in diesem Prgrphen eingeführten Opertionen und Reltionen uf Mengen erweitern. () Zu diesem Zweck definieren wir für Mengen M, N K und Zhlen x K : () M + N := {m + n: m M, n N} (2) M N := {m n: m M, n N} und M := ( ) M = { m: m M}. (3) x M : ( m M) x m (4) x M, x < M und x > M (nlog) Einige Eigenschften der Addition und Multipliktion von Elementen von K übertrgen sich uf die entsprechenden Opertionen für Mengen; so gilt beispielsweise M + N = N + M und (M + N) + U = M + (N + U). Enthält M mehr ls ein Element, so gibt es keine Menge N, für die M +N = {0} gilt (Nchweis!). (b) Ein x K mit x M heißt untere Schrnke von M und ein x K mit M x obere Schrnke von M (vgl. Definition II.2.). Die Menge M heißt nch oben bzw. nch unten beschränkt, flls M eine obere bzw. untere Schrnke ht. Ist M nch oben und nch unten beschränkt, so heißt M beschränkt.

30 30 II. Die reellen Zhlen 8. Mi 2006 Mximum und Minimum In diesem Abschnitt sei K ein ngeordneter Körper. Definition II.2.8. Sei M K. Ein Element x M heißt Mximum, wenn M x gilt. Sind x, y M Mxim, so gilt x y x, lso x = y. In diesem Sinn sind Mxim eindeutig bestimmt. Wir schreiben dher x = mx(m), wenn x ein Mximum der Menge M ist. Anlog bezeichnet mn ein Element y M ls Minimum, wenn y M ist und schreibt y = min(m). { x für x y Beispiel II.2.9. () Sind x, y K, so gilt mx{x, y} = y für x y. Insbesondere existiert ds Mximum jeder zweielementigen Teilmenge von K. (b) Nicht jede Teilmenge von K mit einer oberen Schrnke besitzt ein Mximum. Wir betrchten hierzu die Menge M := {x K: x < 0}. Für jedes x M ist 2x < x < 0, lso x < x 2 < 0. Wir schließen hierus, dss M kein Mximum besitzt, obwohl 0 eine obere Schrnke ist. Stz II.2.0. Seien M, N K Teilmengen für die mx M und mx N existieren. Dnn gilt: () M N = mx(m) mx(n) (2) mx(m + N) = mx(m) + mx(n) (3) M, N 0 mx(m N) = mx(m) mx(n). (4) mx(m N) = mx{mx(m), mx(n)}. (5) min(m) = mx( M), flls mx( M) existiert. (6) min(m N) = min{min(m), min(n)}, flls min(m) und min(n) existieren. Beweis. () Wegen M mx(n) ist uch mx(m) mx(n). (2) Sei m := mx(m) und n := mx(n). Für M und b N ist dnn m und b n, lso +b m+n, d.h. M +N m+n. Aus m+n M +N folgt somit m + n = mx(m + N). (3) Anlog zu (2). (4) Seien wieder m := mx(m) und n := mx(n). Dnn ist mx{m, n} M N und für M, b N gilt, b mx{m, n}; dher ist mx{m, n} = mx(m N).

31 II.2 Anordnung 3 (5) Es gilt mx( M) ( M) = M. Zu zeigen ist noch mx( M) M. Sei lso n M. Dnn ist n M, lso mx( M) n. Also ist mx( M) n. (6) zeigt mn nlog zu (4). Stz II.2.. Jede endliche Teilmenge M K besitzt ein Mximum. Beweis. Wir beweisen diese Behuptung über vollständige Induktion nch der Anzhl n der Elemente von M. (A) Induktionsnfng: M =, d.h. M = {x}. Dnn ist mx M = x. (S) Induktionsnnhme: Die Behuptung gelte für Mengen N mit n Elementen und M hbe n + Elemente. Dnn ist M Ø und folglich gibt es ein x M. Sei M := M \{x}. Dnn ist M = n, so dss nch der Induktionsnnhme ds Mximum mx(m ) existiert. Dnn existiert uch mx(m) = mx(m {x}) = mx{mx(m ), x} (Stz II.2.0(4)). Wendet mn Stz II.2. uf die endliche Menge M n, so sieht mn ntürlich uch, dss jede endliche Menge M ein Minimum besitzt (Stz II.2.0(5)). Im folgenden schreiben wir dher mx(x,..., x n ) := mx{x,..., x n }, min(x,..., x n ) := mx{x,..., x n }. Stz II.2.2. (Bernoullische Ungleichung) Für x K mit x und n N gilt + nx ( + x) n. Beweis. Wir zeigen die Behuptung über Induktion nch n. (A) Für n = gilt + x = ( + x). (S) ( + x) n+ = ( + x)( + x) n Ann. ( + x)( + nx) wegen + x 0 = + x + nx + nx 2 = + (n + )x + nx 2 + (n + )x. Für x 0 erhlten wir direkter n ( ) ( n n ( + x) n = x k = + k k=0 ) x + ( ) n x x n + 2 ( ) n x = + nx. Aufgbe II.2.. () Zeigen Sie die Ungleichung vom rithmetischen Mittel: Für Elemente x, y eines ngeordneten Körpers K gilt x < y x < x + y 2 < y. Jcob Bernoulli ( ), Schweizer Mthemtiker und Physiker in Bsel.

32 32 II. Die reellen Zhlen 8. Mi 2006 Hinweis: Zeige, dss für 2 = + die Beziehung > 2 > 0 gilt. (b) Für 0 < x < y und lle k N gilt 0 < x k < y k. Hinweis: Vollständige Induktion. Aufgbe II.2.2. () Zeigen Sie: Für n N und, b K mit 0 und + b 0 gilt ( + b) n n + n n b. (b) Aus, b 0 und n N folgt ( + b) n n + b n. Ds Vollständigkeitsxiom Ds folgenden Konzept liefert einen Erstz für fehlende Mxim und Minim von Mengen. Definition II.2.3. () Für eine nch oben beschränkte Teilmenge M K definieren wir ihr Supremum (obere Grenze, kleinste obere Schrnke) sup(m) := min{x: M x}, flls es existiert. Für nch unten beschränkte Teilmengen M K definieren wir ihr Infimum (untere Grenze, größte untere Schrnke) inf(m) := mx{x: x M}, flls es existiert. Existiert mx(m) und ist M x, so ist uch mx(m) x und dher sup(m) = mx(m), d.h., ds Mximum einer Menge ist eine kleinste obere Schrnke, flls es existiert. (b) Eine Menge, die keine obere Schrnke besitzt, heißt nch oben unbeschränkt; wir schreiben dnn sup(m) :=. Anlog setzt mn inf(m) :=, wenn M nch unten unbeschränkt ist. Für die leere Menge setzt mn sup(ø) = und inf(ø) = (jedes Element ist obere und untere Schrnke von Ø). Lemm II.2.4. Sei Ø M K nch oben beschränkt und s K. Dnn ist s = sup(m) genu dnn, wenn M s und ( ε > 0)( m M) m > s ε. Beweis. : Sei zunächst s = sup(m). Dnn gilt trivilerweise M s. Ist ε > 0, so ist s ε keine obere Schrnke von M. Also existiert ein m M mit m > s ε. : Erfüllt s die ngegebenen Bedingungen, so ist s eine obere Schrnke von M und für kein ε > 0 ist s ε eine obere Schrnke. Ist x < s, so ist ε := s x und x = s ε, lso ist x keine obere Schrnke von M. Folglich ist s die kleinste obere Schrnke von M, d.h. s = sup(m). Zur Terminologie: Mthemtische Schverhlte werden typischerweise in Sätzen formuliert. Sätze, die vorbereitender Ntur sind, werden Lemm gennnt. Ds Wort Lemm (Purl: Lemmt) ist griechisch und bedeuetet Horn (weist in eine Richtung; vgl. Dilemm). Dgegen heißen Sätze, die mehr oder minder Konsequenzen eines vorusgegngenen Stzes sind, oft Folgerung oder Korollr. Besonders wichtige Sätze heißen Theorem.

33 II.2 Anordnung 33 Aufgbe II.2.3. Verllgemeinern Sie Stz II.2.0, indem Sie die entsprechenden Aussgen für Suprem bzw. Infim zeigen. Z.B. gilt flls lle Suprem existieren. sup(m + N) = sup(m) + sup(n), Definition II.2.5. (Vollständigkeitsxiom) Ein ngeordneter Körper (K, +,, K + ) heißt (ordnungs-)vollständig oder vollständig ngeordnet, wenn für jede nichtleere nch oben beschränkte Menge M K ds Supremum existiert. Definition II.2.6. Eine Teilmenge I K heißt Intervll, wenn x, z I, x y z y I gilt, d.h., mit zwei Elementen x und z enthält I uch lle Elemente dzwischen. Für, b K erhält mn spezielle Beispiele von Intervllen wie folgt: [, b]: = {x K: x b} (bgeschlossenenes Intervll) [, b[: = {x K: x < b} (rechtsoffenes Intervll) ], b]: = {x K: < x b} (linksoffenes Intervll) ], b[: = {x K: < x < b} (offenes Intervll). Die Intervlleigenschft dieser Mengen ergibt sich sofort us der Trnsitivität der Ordnung (Stz II.2.3). Mn bechte, dss diese Intervlle für b < lle leer sind. Für b = ist lediglich ds bgeschlossene Intervll [, b] = {} nicht leer. Weitere Beispiele für Intervlle sind ], ]: = {x K: < x}. [, [: = {x K: x}. ], b]: = {x K: x b}. ], b[: = {x K: x < b}. Bemerkung II.2.7. Sei < b in K. Alle Intervlle [, b], [, b[, ], b], ], b[ sind durch b nch oben beschränkt, d.h., b ist eine obere Schrnke. Weiter ist mx([, b]) = mx(], b]) = b, ber mx([, b[) und mx(], b[) existieren nicht. In der Tt hben wir für x ], b[ wegen der Ungleichung vom rithmetischen Mittel: x < x + b < b, 2 so dss kein Element mximl ist. Allerdings ist sup([, b[) = sup(], b[) = b, denn b ist die kleinste obere Schrnke dieser Intervlle. Anlog gilt min([, b]) = min([, b[) = = inf(], b[) = inf(], b[). Im weiteren werden wir einige Eigenschften vollständig ngeordneter Körper studieren. In folgenden steht K dher immer für einen vollständig ngeordneten Körper.