Prof. Dr. Helga Baum. Grundkurs Analysis. Skript zur Vorlesung Analysis I* und II* im Studienjahr 2006/ Oktober 2009

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1 Prof. Dr. Helg Bum Grundkurs Anlysis Skript zur Vorlesung Anlysis I* und II* im Studienjhr 2006/ Oktober 2009

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3 Vorwort Dieses Skript dient ls begleitendes Lehrmteril für meinen Grundkurs Anlysis für die Studiennfänger des Wintersemesters 2006/07. Es soll Ihnen nicht den Gng in die Bibliothek ersetzen. Gehen Sie bei Gelegenheit dort hin und blättern Sie in den vielen dort stehenden Lehrbüchern zum Grundkurs Anlysis. Sie werden dnn selbst feststellen, welches dieser Bücher Ihnen m besten gefällt und Ihnen m meisten hilft. Dieses Skript enthält den Stoff des Grundkurses Anlysis, so wie ich ihn in den nächsten vier Semestern lesen werde und soll Ihnen die Nchrbeit der Vorlesung erleichtern. Es soll Sie uf keinen Fll dvon bhlten, während der Vorlesung mitzuschreiben. Erfhrungsgemäß ist ds Mitschreiben einer Vorlesung (uch dnn, wenn mn b einer bestimmten Stelle nicht mehr lles oder nichts mehr versteht) etws, ds vielen von Ihnen m Anfng schwer fällt. Es ist ber eine Fähigkeit, die Sie für Ihr Studium benötigen und lernen müssen. Mthemtik lernt mn nur, wenn mn sich selbst mit ihr beschäftigt. Es reicht lso nicht, sich in die Vorlesung zu setzen. Die wenigsten von Ihnen werden nch den 90 Minuten rusgehen und lles verstnden hben. Ds ist völlig norml. Arbeiten Sie die Vorlesung zu Huse n Hnd Ihrer Mitschriften nch und versuchen Sie, die nicht verstndenen Stellen zu klären. Wenn Ihnen ds llein nicht gelingt, nutzen Sie die Übung und die Sprechstunden dzu. Den sicheren Umgng mit dem gelernten Stoff erwerben Sie nur durch ds Lösen der Übungsufgben, die Sie jede Woche bekommen. Die Aufgben sind nicht nur ein Selbsttest oder ein lästiges Übel, um den Übungsschein zu bekommen sie sind ds entscheidende Mittel, mit dem Sie zunehmend Routine im Umgng mit Mthemtik bekommen. Möchte mn verstehen, ws in der Welt vorgeht und dies genuer nlysieren, so stellt mn schnell fest, dß mn dzu die funktionlen Abhängigkeiten von Urschen und Wirkungen geeignet modellieren muß. Die Anlysis beschäftigt sich mit der Frge, wie mn ds Änderungsverhlten von Funktionen verstehen, beschreiben und beherrschen knn. Sie stellt Begriffe bereit, mit denen mn die Änderung einer Funktion im Kleinen (lso bei gerin-

4 VIII Vorwort gen Änderungen ihrer unbhängigen Vriblen) erfssen knn und untersucht, wnn und uf welche Weise mn us diesen Eigenschften im Kleinen globle Eigenschften der Funktion bestimmen knn. Ds wichtigste und unverzichtbre Hilfsmittel für solche Untersuchungen ist der Begriff des Grenzwertes. Mn muß exkt formulieren können, ws es in dem jeweils benutzten Modell bedeutet, dß mn sich n einen Punkt nnähert. Ich beginne deshlb den Grundkurs Anlysis I/II mit dem Studium einer Klsse von Räumen, in denen mn einen solchen Grenzwertbegriff formulieren knn, mit den metrischen Räumen. Anschließend werden verschiedene Klssen von Funktionen zwischen llgemeinen oder speziellen metrischen Räumen behndelt, insbesondere die stetigen, die differenzierbren, die meßbren, die integrierbren und die holomorphen Funktionen. Als Anwendung der grundlegenden Eigenschften verschiedener Funktionenklssen wird in Anlysis III und IIIb eine Einführung in die Lösungstheorie gewöhnlicher Differentilgleichungen, in die Mßtheorie und in die Anlysis uf Untermnnigfltigkeiten gegeben. Im Einzelnen werden wir in den 4 Teilen der Vorlesung folgende Schwerpunkte behndeln: Anlysis I* (Wintersemester 2006/07): Reelle und komplexe Zhlen Metrische Räume und ihre topologischen Eigenschften Folgen und Reihen in Bnchräumen Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen Anlysis II* (Sommersemester 2007): Differentilrechnung für Funktionen einer reellen Vriblen Differentilrechnung für Funktionen mehrerer reeller Vriblen Integrlrechnung für Funktionen einer reellen Vriblen Anlysis III (Wintersemester 2007/08): Mehrdimensionles Riemnn-Integrl Anlysis uf Untermnnigfltigkeiten Gewöhnliche Differentilgleichungen Anlysis IIIb (Sommersemester 2008): Mß- und Integrtionstheorie Funktionentheorie

5 Vorwort IX Einige Lehrbücher zum Anlysis-Grundkurs H. Amnn, J. Escher: Anlysis I, II und III, Birkhäuser- Verlg M. Brner, F. Flohr: Anlysis I und II, de Gruyter-Verlg Th. Bröcker: Anlysis I, II und III, Wissenschftsverlg Mnnheim J. Dieudonne: Grundzüge der modernen Anlysis, Deutscher Verlg der Wissenschften K. Endl, W. Luh: Anlysis I, II und III, Aul-Verlg Wiesbden O. Forster: Anlysis 1, 2 und 3, Vieweg-Verlg H. Heuser: Lehrbuch der Anlysis, Teil 1 und 2, Teubner-Verlg Stuttgrt St. Hildebrndt: Anlysis 1 und 2, Springer-Verlg K. Königsberger: Anlysis 1 und 2, Springer-Verlg W. Wlter: Anlysis 1 und 2, Springer-Verlg Häufig benutzte Bezeichnungen und Abkürzungen......für lle... es existiert!.... es existiert genu ein......genu dnn, wenn drus folgt :=... ist definiert ls (uch : ) x M...x ist Element der Menge M... leere Menge (Menge, die kein Element enthält) A M....A ist Teilmenge von M, d.h. x A x M A und B seien Mengen. A B := {x x A oder x B} heißt die Vereinigung von A und B. A B := {x x A und x B} heißt der Durchschnitt von A und B. Flls A B =, heißen A und B disjunkt; A B bezeichnet dnn die disjunkte Vereinigung von A und B. A \ B = {x x A und x / B} heißt Differenzmenge. A B = {(x, y) x A und y B} heißt ds Produkt von A und B. Für eine endliche Menge A bezeichnet A die Anzhl ihrer Elemente.

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7 Inhltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zhlen Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion Die reellen Zhlen Die Körpereigenschften von R Die Anordnungseigenschften von R Vollständigkeitseigenschft der reellen Zhlen Die Überbzählbrkeit der Menge der reellen Zhlen Wurzeln und Potenzen reeller Zhlen Die komplexen Zhlen Die Vektorräume R n und C n Metrische Räume Definition und Beispiele metrischer Räume Offene und bgeschlossene Mengen in metrischen Räumen Folgen in metrischen Räumen Allgemeine Eigenschften konvergenter Folgen Spezielle Eigenschften von konvergenten Folgen im Vektorrum C k bzw. R k Spezielle Eigenschften konvergenter Folgen in R Vollständige metrische Räume Kompkte und folgenkompkte Teilmengen metrischer Räume Zusmmenhängende Teilmengen eines metrischen Rumes Bnchräume und Hilberträume Reihen in Bnchräumen Konvergenzkriterien für Reihen in Bnchräumen Komplexe Potenzreihen Exponentilfunktion, Logrithmusfunktion und komplexe Potenzen

8 XII Inhltsverzeichnis 4 Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen Der Grenzwert einer Abbildung in einem Punkt Stetige Abbildungen (Definition und Beispiele) Eigenschften stetiger Abbildungen Folgen stetiger Abbildungen Funktionenreihen Die trigonometrischen und die Hyperbelfunktionen Der metrische Rum der stetigen Abbildungen Differentilrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen Differenzierbre Abbildungen Der Mittelwertstz der Differentilrechnung Differentition von Funktionenfolgen und -Reihen Tylorreihen Differentilrechnung für Abbildungen mehrerer reeller Vriblen Ableitung, Richtungsbleitung und Grdient einer Abbildung Prtielle Ableitungen Die Tylorentwicklung und Extrem für Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher Der Stz über die Umkehrbbildung Implizite Funktionen Extrem unter Nebenbedingungen Integrlrechnung für Funktionen einer reellen Vriblen Stmmfunktionen und ihre Berechnung Ds Riemnnsche Integrl Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Prmeterbhängige Integrle Uneigentliche Riemnnsche Integrle Die Länge von Kurven und die Flächeninhlte ebener Gebiete. 299 Schverzeichnis

9 1 Reelle und komplexe Zhlen Wir gehen dvon us, dß der Aufbu der Zhlbereiche bis zu den reellen Zhlen beknnt ist. Mn findet dies zum Beispiel in dem Buch von J. Krmer: Zhlen für Einsteiger (Vieweg-Verlg, 2006). Wir benutzen in dieser Vorlesung die folgenden Bezeichnungen für die Zhlbereiche: N....Menge ller ntürlichen Zhlen: 1, 2, 3,... N 0...N {0} Z.... Menge ller gnzen Zhlen: 0, ±1, ±2,... Q...Menge ller rtionlen Zhlen: { m n m Z, n N} Q +....Menge der positiven rtionlen Zhlen: {q Q q > 0} R... Menge der reellen Zhlen R\Q... Menge der irrtionlen Zhlen C.... Menge der komplexen Zhlen Offensichtlich gilt: N Z Q R. Die Zhlbereiche werden beknntlich us folgendem Grund erweitert: N Z: Die Subtrktion ist durch die Erweiterung immer usführbr. Seien, b N. Die Gleichung x + = b ist in Z immer lösbr, ber nicht in N. Z Q: Die Division ist durch die Erweiterung immer usführbr. Seien, b Z, 0. Die Gleichung x = b ist in Q immer lösbr, ber nicht in Z. Q R: Die Erweiterung ist nötig, dmit Wurzeln positiver Zhlen existieren. Sei q Q +, n N. Die Gleichung x n = q ist in R immer lösbr, ber nicht in Q. Im Abschnitt 1.1. werden wir zunächst ein wichtiges und oft benutztes Beweisprinzip wiederholen und n Beispielen demonstrieren: ds der vollständigen Induktion. Im Abschnitt 1.2. fssen wir die grundlegenden, die Menge der reellen Zhlen chrkterisierenden Eigenschften (ihre Axiome) zusmmen und

10 2 1 Reelle und komplexe Zhlen leiten wesentliche, us den Axiomen folgende Eigenschften her. Der Abschnitt 1.3. enthält die Definition und die grundlegenden Eigenschften der komplexen Zhlen. In Abschnitt 1.4. betrchten wir die Vektorräume R n und C n und definieren den Abstnd von Vektoren in diesen Vektorräumen. 1.1 Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion Die ntürlichen Zhlen werden durch uf Peno zurückgehende Axiome (die Peno-Axiome) eingeführt. Aus diesen Axiomen folgt die Induktionseigenschft für die ntürlichen Zhlen, die folgendes besgt: Ist M N 0 eine Teilmenge der (um Null ergänzten) ntürlichen Zhlen, die die folgenden beiden Eigenschften erfüllt: (1) n 0 M, (2) Ist k M, so ist uch (k + 1) M. Dnn gilt für diese Menge: {n N 0 n n 0 } M. Als Umformulierung dieser Induktionseigenschft erhlten wir ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Beweisprinzip der vollständigen Induktion Sei n 0 N 0 eine fixierte ntürliche Zhl. Für jede Zhl n N 0 mit n n 0 sei eine Aussge A(n) gegeben. Wir setzen vorus, dss die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: (1) A(n 0 ) ist richtig (Induktionsnfng). (2) Flls A(k) richtig ist für eine Zhl k n 0, so ist uch A(k+1) richtig. (Induktionsschritt). Dnn ist die Aussge A(n) für lle Zhlen n N 0 mit n n 0 richtig. Um einzusehen, dss ds Prinzip der vollständigen Induktion us der Induktionseigenschft der ntürlichen Zhlen folgt, setzen wir Dnn gilt: M := {n N 0 Aussge A(n) ist richtig}. n 0 M (nch Induktionsnfng). Ist k M, so ist (k + 1) M (nch Induktionsschritt). Aus der Induktionseigenschft der ntürlichen Zhlen folgt nun, dss A(n) für lle n n 0 richtig ist.

11 1.1 Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion 3 Beispiel 1: Stz 1.1 Für jede ntürliche Zhl n N gilt n n(n + 1) j = n =. (Aussge A(n)) 2 j=1 Beweis. Durch vollständige Induktion. Induktionsnfng: Die Aussge A(1) ist richtig, denn 1 = 1(1+1) 2. Induktionsschritt: Sei nun eine ntürliche Zhl k 1 gegeben. Wir setzen vorus, dss die Aussge A(k) richtig ist (Induktionsvorussetzung) und behupten, dss dnn uch die Aussge A(k + 1) richtig ist (Induktionsbehuptung). Induktionsbeweis: Beispiel 2: k+1 ( k ) j = j + (k + 1) A(k) = j=1 j=1 = (k + 1) ( ) k = k(k + 1) 2 (k + 1)(k + 2). 2 + (k + 1) Stz 1.2 Für jede ntürliche Zhl n N gilt n (2j 1) = n 2. (Aussge A(n)) j=1 Beweis. Durch vollständige Induktion. Induktionsnfng: A(1) ist richtig, denn 1 = 1. Induktionsschritt: Induktionsvorussetzung: A(k) sei richtig. Induktionsbehuptung: A(k + 1) ist richtig. Induktionsbeweis: k+1 ( k ) (2j 1) = (2j 1) j=1 j=1 Beispiel 3: Die Fkultät einer ntürlichen Zhl. + (2(k + 1) 1) A(k) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Definition 1.1. Sei n N. Die Zhl n n! := j = n j=1 heißt n Fkultät. Weiterhin setzen wir 0! := 1.

12 4 1 Reelle und komplexe Zhlen Stz 1.3 Die Anzhl n ller Anordnungen von n verschiedenen Objekten ist n!. Beweis. Durch vollständige Induktion. Induktionsnfng: Für n = 1 gilt 1 = 1 = 1!. Induktionsschritt: Induktionsvorussetzung: Es gelte k = k!. Induktionsbehuptung: k+1 = (k + 1)!. Induktionsbeweis: Wir betrchten (k + 1) Objekte O 1,...,O k+1. Die möglichen Anordnungen dieser Objekte knn mn in (k + 1) Klssen K j mit j {1,...,k + 1} unterteilen: K j sei die Menge derjenigen Anordnungen, in denen O j ls erstes Element steht, ds heißt K j := {(O j, O i1,...,o ik ) {i 1, i 2,..., i k } = {1,...,k + 1} \ {j} }. Z j sei die Anzhl der Elemente in K j. Folglich ist Z j gleich der Anzhl der Anordnungen der k Objekte O 1,...,O j 1, O j+1,...,o k+1. Nch Induktionsvorussetzung ist ber die Anzhl der Anordnungen von k Objekten gleich k = k!. Also gilt k+1 k+1 k+1 k+1 = Z j = k = k! = (k + 1) k! = (k + 1)!. j=1 j=1 j=1 Beispiel 4: Die Binomilkoeffizienten. Definition 1.2. Sei x R und k N. Die Zhl ( ) x x (x 1) (x 2)... (x (k 1)) := k k! ( x ) k heißt Binomilkoeffizient. Mn nennt sie x über k. Für k = 0 setzt mn ( x 0) := 1. Stz 1.4 Seien n, k N und x R. Dnn gilt (1) Ist k > n, so folgt ( n k) = 0. (2) Für 0 k n gilt ( ) ( ) n n! n = k k!(n k)! =. n k

13 1.1 Ds Beweisprinzip der vollständigen Induktion 5 (3) Es gilt ( ) ( ) x x + = k k 1 ( x + 1 k ). Beweis. Ist k > n, so tritt im Zähler 0 ls Fktor uf. Folglich ist ( n k) = 0. ( ) n n (n 1)... (n (k 1)) = k k! n (n 1)... (n (k 1)) (n k) = k! (n k)! ( ) n =. n k = n! k! (n k)! ( ) ( ) x x x (x 1)... (x (k 1)) x (x 1)... (x (k 2)) + = + k k 1 k! (k 1)! ( ) x (x 1)... (x (k 2)) x (k 1) = + 1 (k 1)! k }{{} = x (k 1)+k k = x+1 k x (x 1)... ((x + 1) (k 1)) (x + 1) = (k 1)! k (x + 1) ((x + 1) 1) ((x + 1) 2)... ((x + 1) (k 1)) = ( ) k! x + 1 =. k Stz 1.5 Seien k und n ntürliche Zhlen und sei 1 k n. Es bezeichne c n k die Anzhl ller k elementigen Teilmengen einer n elementigen Menge. Dnn gilt ( ) n c n k =. k Insbesondere ist ( n k) N. Beweis. Der Beweis von Stz 1.5 erfolgt duch vollständige Induktion über n. Induktionsnfng: Es gilt c 1 1 = 1 = ( 1 1), denn us einer einelementigen Menge knn nur ein Element usgewählt werden. Induktionsschritt:

14 6 1 Reelle und komplexe Zhlen Induktionsvorussetzung: Es gelte c n k = ( ) n k k {1,...,n}. Induktionsbehuptung: c n+1 k = ( ) n+1 k k {1,, n + 1}. Induktionsbeweis: Bei der Auswhl einer einelementigen Teilmenge us einer (n + 1) elementigen Menge ht mn (n + 1) verschiedene Möglichkeiten. Es gilt somit: ( ) n + 1 c n+1 1 = (n + 1) =. 1 Betrchtet mn die Anzhl ller (n+1) elementigen Teilmengen einer (n+1) elementigen Menge, so gilt offensichtlich ( ) n + 1 c n+1 n+1 = 1 =. n + 1 Es genügt lso, die Behuptung für k {2,, n} zu zeigen. Betrchten wir eine Menge M = {E 1,, E n+1 } mit (n + 1) Elementen. Dnn zerfllen die k elementigen Teilmengen von M in zwei disjunkte Klssen: K 0 : lle Teilmengen, die E n+1 nicht enthlten, und K 1 : lle Teilmengen, die E n+1 enthlten. Somit ergibt sich: die Anzhl der k elementigen Teilmengen in Klsse K 0 ist gleich der Anzhl der k elementigen Teilmengen von {E 1,, E n }, lso entsprechend der Induktionsvorussetzung gleich c n k = ( n k). Die Anzhl der k elementigen Teilmengen in Klsse K 1 ist gleich der Anzhl der (k 1) elementigen Teilmengen von {E 1,, E n }, lso nch Induktionsvorussetzung gleich c n k 1 = ( n k 1). Folglich gilt nch Stz 1.4 c n+1 k = ( n k ) + ( n k 1 ) ( n + 1 = k ). 1.2 Die reellen Zhlen Im Folgenden setzen wir vorus, dss die reellen Zhlen existieren und dss sie dem Leser bereits beknnt sind. Ds Ziel dieses Abschnittes besteht drin, noch einml die grundlegenden, die reellen Zhlen eindeutig chrkterisierenden Eigenschften (ihre sogennnten Axiome ) zusmmenzustellen und drus wichtige Rechenregeln bzuleiten. Diese grundlegenden Eigenschften sind die Körperxiome, die Anordnungsxiome und ds Vollständigkeitsxiom.

15 1.2 Die reellen Zhlen 7 Wir werden in dieser Vorlesung nicht druf eingehen, ob überhupt eine Menge existiert, die die obigen drei Axiome erfüllt, und wie und worus mn sie ggf. konstruieren knn. Wir werden uch nicht untersuchen, ob eine Menge, die die obigen Axiome erfüllt, eindeutig bestimmt ist. Für diese Frgen verweisen wir uf eines der Bücher J. Krmer: Zhlen für Einsteiger, Vieweg-Verlg, 2006 H.-D. Ebinghus: Zhlen, Grundwissen Mthemtik, Springer, 2. Aufl A. Oberschelp: Aufbu des Zhlensystems, Vndenhoeck & Ruprecht, Göttingen Die Körpereigenschften von R Mn knn reelle Zhlen ddieren und multiplizieren: (x, y) R R x + y R (x, y) R R x y R Addition, Multipliktion. Addition und Multipliktion hben folgende Eigenschften K1 - K9: Addition: K1: x + y = y + x x, y R (Kommuttivgesetz der Addition) K2: (x+y)+z = x+(y +z) x, y, z R (Assozitivgesetz der Addition) K3: 0 + x = x + 0 = x x R (0 ist neutrles Element der Addition) K4: Zu zwei reellen Zhlen x, y R existiert genu eine reelle Zhl z R, so dss x + z = y = z + x. Diese Zhl z heißt Differenz zwischen x und y, z := y x. Insbesondere existiert zu jedem x R genu ein x R mit x + ( x) = 0. (Existenz des negtiven Elements). Multipliktion: K5: x y = y x x, y R (Kommuttivgesetz der Multipliktion) K6: (x y) z = x (y z) x, y, z R (Assozitivgesetz der Multipliktion) K7: 1 x = x 1 = x x R (1 ist ds neutrle Element der Multipliktion) K8: Zu jedem x R, x 0 und jedem y R existiert genu ein z R mit x z = y. Diese Zhl z heißt Quotient von y und x, z := y x. Insbesondere existiert zu jedem x 0 ein inverses Element 1 x, so dss x ( 1 x ) = 1. K9: (x + y) z = x z + y z x, y, z R (Distributivgesetz).

16 8 1 Reelle und komplexe Zhlen Definition 1.3. Eine Menge K, uf der zwei Opertionen + und + : K K K : K K K (x, y) x + y (x, y) x y mit den Eigenschften K1 bis K9 gegeben sind, heißt Körper. Wir schreiben den Körper K mit seinen beiden Opertionen + und oft in der Form [K, +, ]. Der Begriff des Körpers ist ein zentrler lgebrischer Begriff und wird in der Algebr-Vorlesung usführlich behndelt. Körperxiom der reellen Zhlen [ R, +, ] ist ein Körper. [ Q, +, ] ist ebenflls ein Körper, während [ Z, +, ] kein Körper ist (zum Beispiel besitzt 2 kein multipliktiv inverses Element in Z). Ein Körper mit zwei Elementen ist durch K := {0, 1} und die Opertionen := 0, 0+1 = 1+0 := 1, 1+1 := 0, 0 0 := 0, 0 1 = 1 0 := 0 und 1 1 := 1 gegeben. Bezeichnungen: Für n reelle Zhlen x 1,, x n werden die Summe und ds Produkt folgendermßen bgekürzt: n x i := x 1 + x x n i=1 n Klmmern sind wegen K2 und K6 nicht nötig. x i := x 1 x 2... x n i=1 Für zwei Teilmengen A, B R sei A + B := { + b A, b B} R A B := { b A, b B} R A := { A} R Die Anordnungseigenschften von R Außer [ R, +, ] gibt es noch viele ndere Körper. Die Körperxiome K1-K9 reichen lso nicht us, um R eindeutig zu beschreiben. Auf dem Körper der reellen Zhlen knn mn im Gegenstz zu einigen nderen Körpern zusätzlich eine Anordnung einführen. Anordnungseigenschften von R Der Körper der reellen Zhlen [ R, +, ] enthält eine Teilmenge von (positiven) reellen Zhlen R + mit folgenden Eigenschften:

17 1.2 Die reellen Zhlen 9 A1: Für jede reelle Zhl x gilt entweder x = 0 oder x R + oder x R +, ds heißt R ist die disjunkte Vereinigung R = R + {0} R +. A2: Ist x, y R +, so gilt x + y R + und x y R +. Definition 1.4. Ein Körper [ K, +, ], in dem eine Teilmenge positiver Elemente K + K existiert, so dss A1 und A2 gelten, heißt ngeordneter Körper. Anordnungsxiom der reellen Zhlen Die reellen Zhlen [R, +, ] sind ein ngeordneter Körper. Mittels der Eigenschften A1 und A2 knn mn Elemente von R vergleichen. Definition 1.5. Mn sgt x ist kleiner gleich y und schreibt x y, flls y x R + {0}. Aus den Anordnungseigenschften A1 und A2 erhält mn die folgenden Eigenschften der Reltion : O1 : Für lle x, y R gilt x y oder y x. O2 : Für lle x R gilt x x O3 : Aus x y und y x folgt x = y O4 : Aus x y und y z folgt x z Reflexivität Antisymmetrie Trnsitivität Bemerkung: Sei M eine Menge und eine Reltion zwischen Elementen von M. Gelten O1 O4 für, so heißt reflexive Ordnung uf M., Aus A1 und A2 folgen ußerdem folgende Monotonieeigenschften von : M1: Aus x y folgt x + z y + z für lle z R. M2: Aus x y folgt x z y z für lle z R +. Bezeichnung: Gilt x y und x y, so schreibt mn uch x < y (sprich: x kleiner ls y ). x y : y x bzw. x > y : y < x. Mittels der Ordnungsreltion können wir Intervlle definieren: Für b,, b R sei

18 10 1 Reelle und komplexe Zhlen [, b] := {x R x b} [, b) := {x R x < b} (, b] := {x R < x b} (, b) := {x R < x < b} (bgeschlossenes Intervll) (hlboffenes Intervll) (hlboffenes Intervll) (offenes Intervll) Des Weiteren seien [, ) := {x R x} (, ) := {x R < x} (, ) := {x R x < } (, ] := {x R x } R := (, ). Sei I eines der Intervlle [, b], (, b), [, b), oder (, b]. Dnn heißt die Zhl L(I) := b Länge des Intervlls I. Definition 1.6. Unter dem Betrg einer reellen Zhl x R versteht mn die Zhl { x flls x 0 x := x flls x < 0. Ist I ein Intervll der Länge L, so gilt für x, y I : x y L. Stz 1.6 Für den Betrg einer reellen Zhl gelten folgende Eigenschften: (1) x 0 x R, x = 0 x = 0. (2) x y = x y x, y R. (3) x + y x + y. (Dreiecksungleichung) (4) x y x + y. Beweis. (1) und (2) folgen unmittelbr us der Definition des Betrges. Zum Beweis von (3) benutzen wir die Monotonieeigenschften. Wegen x x und x x bzw. y y und y y folgt nch Addition dieser Gleichungen x + y x + y und (x + y) x + y und folglich x + y x + y. Zum Beweis von (4) benutzen wir die Dreiecksungleichung und x = x : x = (x + y) y x + y + y, und dher x y x + y, y = (x + y) x x + y + x, und dher y x x + y. Somit erhlten wir x y x + y.

19 1.2 Die reellen Zhlen 11 Die bisherigen Eigenschften (Körpereigenschften K1-K9, Anordnungseigenschften A1-A2) bestimmen [ R, +, ] noch immer nicht eindeutig. Sie gelten zum Beispiel uch für den Körper der rtionlen Zhlen [ Q, +, ]. Die reellen Zhlen R hben ber eine grundsätzlich ndere Eigenschft ls die rtionlen Zhlen Q : die Vollständigkeit Vollständigkeitseigenschft der reellen Zhlen Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten die Vollständigkeitseigenschft der reellen Zhlen zu beschreiben. Alle diese sind äquivlent. Wir benutzen hier die Existenz der Schnittzhl von Dedekindschen Schnitten. Definition 1.7. Ein Dedekindscher Schnitt von R ist eine Zerlegung R = A B der reellen Zhlen in zwei disjunkte, nichtleere Teilmengen A und B mit der Eigenschft, dss jedes Element A kleiner ls jedes Element b B ist, ds heißt < b A, b B. Bezeichnung für Dedekindsche Schnitte: (A B) Bemerkung: Die Definition eines Dedekindschen Schnittes ist in jedem ngeordneten Körper möglich, d eine Reltion < definiert ist; zum Beispiel in [Q, +, ]. Beispiel: Sei R eine reelle Zhl. } A = (, ], B = (, ) A = (, ), B = [, ) (A B) Dedekindsche Schnitte. Definition 1.8. Sei (A B) ein Dedekindscher Schnitt von R. Eine Zhl s R heißt Schnittzhl von (A B), flls s b für lle A und b B. Wegen R = A B, ist s entweder ds größte Element von A (flls s A) oder ds kleinste Element von B (flls s B). Vollständigkeitsxiom (V) der reellen Zhlen Jeder Dedekindsche Schnitt (A B) von R besitzt eine eindeutig bestimmte Schnittzhl Bemerkungen: Die Vollständigkeitseigenschft gilt nicht in jedem ngeordneten Körper, zum

20 12 1 Reelle und komplexe Zhlen Beispiel nicht im Körper [ Q, +, ]: Seien nämlich A = (, 2] Q und B = ( 2, + ) Q. Dnn gilt Q = A B. Somit bilden A und B einen Dedekindschen Schnitt von Q. Dieser ht ber in Q keine Schnittzhl. (Wir werden noch sehen, dss die Zhl 2 nicht rtionl ist). Definition 1.9. Ein ngeordneter Körper [ K, +, ] mit der Eigenschft (V), ds heißt in dem jeder Dedekindsche Schnitt eine Schnittzhl ht, heißt vollständig. Zusmmenfssung: Die reellen Zhlen [R, +, ] bilden einen vollständigen, ngeordneten Körper. Bemerkung: Zwei vollständige, ngeordnete Körper [ K 1, +, ] und [ K 2, +, ] sind isomorph (dies beweisen wir hier nicht). Somit sind die reellen Zhlen [R, +, ] (bis uf Isomorphie) der einzige vollständige, ngeordnete Körper. Die reellen Zhlen R sind somit durch die Körpereigenschften K1-K9, die Anordnungseigenschften A1, A2 und die Vollständigkeitseigenschft V (bis uf Isomorphie) eindeutig bestimmt. Wir beweisen nun einige Eigenschften der reellen Zhlen, die us der Vollständigkeitseigenschft (V) folgen. Definition Eine Teilmenge A R heißt von oben beschränkt, flls eine Zhl M R existiert, so dss M für lle A gilt. Eine solche Zhl M heißt obere Schrnke von A. 2. Eine Teilmenge A R heißt von unten beschränkt, flls eine Zhl m R existiert, so dss m für lle A gilt. Eine solche Zhl m heißt untere Schrnke von A. 3. Eine Teilmenge A R heißt beschränkt, flls sie sowohl von unten ls uch von oben beschränkt ist. Definition Sei A R. 1. Eine Zhl M 0 R heißt Supremum von A, flls sie die kleinste obere Schrnke von A ist, ds heißt flls ) M 0 A, b) für jedes ε > 0 existiert ein A, so dss M 0 ε <. 2. Eine Zhl m 0 R heißt Infimum von A, flls sie die größte untere Schrnke von A ist, ds heißt flls ) m 0 A, b) für jedes ε > 0 existiert ein A, so dss < m 0 + ε.

21 1.2 Die reellen Zhlen 13 Bezeichnung: Flls ds Supremum bzw. ds Infimum einer Menge A R existiert, so bezeichnen wir es mit sup A := Supremum von A inf A := Infimum von A. Offensichtlich existiert höchstens ein Supremum und höchstens ein Infimum einer Menge A R. Aus der Vollständigkeitseigenschft von R erhält mn die folgende Aussge über die Existenz von Supremum bzw. Infimum. Stz 1.7 Jede nch oben beschränkte, nichtleere Menge A R besitzt ein Supremum. Jede nch unten beschränkte, nichtleere Menge A R besitzt ein Infimum. Beweis. (1) Sei A R von oben beschränkt. Wir betrchten die Menge X := {M R M A}. D A von oben beschränkt ist, ist X. Es sei Y := R \ X. Dnn gilt: ) R = Y X. b) Sei y Y und x X. D y / X, existiert ein A mit y <. Andererseits ist x nch Definition von X. Folglich gilt y < x für lle y Y und x X. Also ist (Y X) ein Dedekindscher Schnitt von R. Nch dem Vollständigkeitsxiom (V) von R existiert eine Schnittzhl M 0 dieses Dedekindschen Schnittes, lso eine Zhl M 0 R mit y M 0 x y Y, x X. Wir zeigen, dss die Schnittzhl M 0 in X liegt. Wir führen diesen Beweis indirekt. Wir nehmen n, dss M 0 / X und führen dies zum Widerspruch. Ist M 0 / X, so ist M 0 ds größte Element von Y. Nch Definition von Y gibt es ein 0 R mit M 0 < 0. Dnn ist wegen der Monotonieeigenschft von < ber uch M 0 < M < = 0 und folglich M Y. 2 Dnn knn M 0 ber nicht ds größte Element von Y sein, d.h. wir erhlten wir einen Widerspruch. Unsere Annhme wr demnch flsch. Folglich ist M 0 X, lso eine obere Schrnke von A. Als Schnittzhl von (Y X) ist M 0 ds kleinste Element von X, lso die kleinste obere Schrnke von A. Ds zeigt, dss M 0 = supa. Der Beweis der 2. Aussge des Stzes wird nlog geführt.

22 14 1 Reelle und komplexe Zhlen Definition Sei A R eine nch oben beschränkte Menge. Liegt ds Supremum von A in A, so nennt mn es uch ds Mximum von A und schreibt dfür mx A. 2. Sei A R eine nch unten beschränkte Menge. Liegt ds Infimum von A in A, so nennt mn es uch ds Minimum von A und schreibt dfür min A. Wir leiten us Stz 1.7 einige Folgerungen b. Folgerung 1.1 (Archimedisches Axiom der reellen Zhlen) Die Menge der ntürlichen Zhlen N R ist nicht nch oben beschränkt, ds heißt zu jedem x R existiert ein n N mit x < n. Ds gleiche gilt uch für jede unendliche Teilmenge N von N. Beweis. Wir führen den Beweis indirekt. Angenommen N (bzw. N) ist nch oben beschränkt. Dnn existiert nch Stz 1.7 ds Supremum M 0 = sup N. Es sei M := M D M 0 die kleinste obere Schrnke ist, existiert ein m N, mit M < m. Folglich ist M 0 < m < m + 1. D ber m + 1 N ist, knn M 0 keine obere Schrnke sein. Dies ergibt den Widerspruch. Folgerung Zu jedem ε R + existiert ein n N mit 1 n < ε. 2. Zu jedem q N, q 1, und ε R + existiert ein n N mit 1 q n < ε Beweis. Zu 1) Zur Zhl 1 ε R existiert nch dem Archimedischen Axiom ein n N mit 1 ε < n. Folglich gilt 1 n < ε. Zum Beweis der 2. Aussge setzen wir N := {q n n N}. N ist eine unendliche Teilmenge von N. Den Beweis knn mn dnn nlog zu 1) führen. Folgerung 1.3 Sei A Z eine nichtleere, nch oben (unten) beschränkte Menge gnzer Zhlen. Dnn besitzt A ein Mximum (Minimum).

23 1.2 Die reellen Zhlen 15 Beweis. Sei A nch unten beschränkt und d = inf A. Nch dem Archimedischen Axiom existiert ein n 0 N mit d < n 0. Ds heißt, es gilt n 0 < d und somit 0 < d + n 0 < + n 0 für lle A. Betrchten wir nun die Menge A 0 := { + n 0 A} N. Wir zeigen, dss diese Menge ein kleinstes Element besitzt. Sei k A 0 und bezeichne (A 0 ) k := {x A 0 x k}. Die Menge (A 0 ) k ist endlich und besitzt deshlb ein kleinstes Element m 0 (siehe Übungsufgbe 5). Dnn ist m 0 uch ds kleinste Element von A 0 und m 0 n 0 ds kleinste Element von A. Folglich gilt m 0 n 0 = min A. Ist A von oben beschränkt, so ist mxa = min( A). Stz 1.8 (Q liegt dicht in R) Seien x, y R und x < y. Dnn existiert eine rtionle Zhl q Q mit x < q < y. Beweis. Wir wählen ein n N mit 1 n < y x und setzen A := {z Z z > n x}. Wiederum nch dem Archimedischen Axiom ist A nicht leer und besitzt, d von unten beschränkt, ein Minimum (Folgerung 1.3). Sei m 0 = min A. Dnn gilt m 0 A und m 0 1 / A. Folglich ist m0 m0 1 n > x und n x. Wir erhlten somit x < m 0 n = m < x + (y x) = y n n und folglich liegt die rtionle Zhl q := m0 n im Intervll (x, y). Definition Eine Fmilie bgeschlossener Intervlle I n R, n N, heißt Intervllschchtelung, wenn gilt: 1. I n I m n > m 2. Zu jeder positiven Zhl ε R + existiert ein n N mit L(I n ) < ε. Stz 1.9 (Prinzip der Intervllschchtelung) Sei I 1 I 2 I 3 eine Intervllschchtelung. Dnn existiert genu eine reelle Zhl x R, so dss x I n für lle n N, ds heißt I n = {x}. n=1 Beweis. 1. Existenz: Sei I n = [ n, b n ]. D I n I m für lle n m, folgt m n b n b m. ( )

24 16 1 Reelle und komplexe Zhlen Wir betrchten die Menge der unteren Intervllgrenzen A := { n n N} R. A ist nch oben beschränkt, zum Beispiel durch b 1, ht lso nch Stz 1.7 ein Supremum. Sei x = supa. Wir zeigen, dss x I n für lle n N. Nch Definition ist n x. Es bleibt zu zeigen, dss x b n für lle n N. Angenommen x > b m für ein m N. D x die kleinste obere Schrnke von A ist, knn b m keine obere Schrnke von A sein. Somit existiert ein n A, so dss n > b m. Dies widerspricht ber der Schchtelungseigenschft ( ). Folglich wr die Annhme flsch, ds heißt x b n für lle n N und somit gilt n x b n, lso x I n für lle n N. 2. Eindeutigkeit: Angenommen es gäbe zwei Zhlen x, y R mit x y und x, y I n für lle n N. Sei ε = x y > 0. Dnn existiert ein Intervll I n0 mit L(I n0 ) < ε. D x y > L(I n0 ), können ber nicht beide Zhlen x, y in I n0 liegen. Dmit ist die Eindeutigkeit von x gezeigt. Bemerkung: Die Vollständigkeitseigenschft eines ngeordneten Körpers knn mn durch ds Intervllschchtelungsprinzip oder die Existenz des Supremums ersetzen. Es gilt: Sei [K, +, ] ein ngeordneter Körper. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. Jeder Dedekindsche Schnitt von K besitzt eine Schnittzhl. 2. Jede nch oben beschränkte Teilmenge von K besitzt ein Supremum. 3. Es gilt ds Intervllschchtelungsprinzip und ds Archimedische Axiom. Die Impliktion: 1. = 2. = 3. hben wir bewiesen. Die Umkehrung werden wir hier nicht beweisen Die Überbzählbrkeit der Menge der reellen Zhlen Wir beweisen mit Hilfe des Vollständigkeitsxioms, dss die Menge der reellen Zhlen nicht bzählbr ist. Dzu zunächst einige Definitionen. Definition Seien X und Y zwei nichtleere Mengen. Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv, flls f(x 1 ) f(x 2 ) für lle x 1, x 2 X mit x 1 x 2. surjektiv, flls für jedes y Y ein x X mit f(x) = y existiert. bijektiv, flls f injektiv und surjektiv ist, d.h. flls für jedes y Y genu ein x X mit f(x) = y existiert. Definition Eine Menge A heißt bzählbr, wenn es eine bijektive Abbildung f : N A von der Menge der ntürlichen Zhlen uf die Menge A gibt. (Es existiert lso zu jedem A genu ein n N mit f(n) = ).

25 1.2 Die reellen Zhlen 17 Die bijektive Abbildung f liefert uns eine Abzählvorschrift für A: Mit der Bezeichnung n := f(n) ist nämlich A = { 1, 2, 3,...} mit i j für i j. Eine Menge A heißt überbzählbr, wenn sie weder leer, noch endlich oder bzählbr ist. Wir sgen, die Menge A ist höchstens bzählbr, wenn sie leer, endlich oder bzählbr ist. Beispiele: 1. Die Menge der ntürlichen Zhlen N und die Menge N 0 sind bzählbr. 2. Die Menge der gnzen Zhlen Z ist bzählbr, denn f Z : N Z 2k k 2k + 1 k ist eine bijektive Abbildung zwischen N und Z. Stz 1.10 Die Menge Q der rtionlen Zhlen ist bzählbr. Beweis. (1. Cntorsches Digonlisierungsverfhren). Wir geben zunächst eine Abzählvorschrift der Menge Q + der positiven rtionlen Zhlen n. Jede Zhl q Q + sei ls Bruch drgestellt: q = n m, n, m teilerfremde, ntürliche Zhlen. Wir betrchten ds folgende Schem, ds die Pre (n, m) ls Punkte eines ebenen Gitters drstellt. Dbei werden Punkte usgelssen, für die m und n nicht teilerfremd sind.

26 18 1 Reelle und komplexe Zhlen m n Die Gitterpunkte werden nun längs des im Gitter gezeichneten Streckenzuges nummeriert. Ddurch erreicht mn lle Punkte des konstruierten Gitters und erhält somit eine bijektive Abbildung ϕ : N Q +. Diese Abzählung beginnt offensichtlich mit: 1, 2, 1 2, 1 3, 3, 4, 3 2, 2 3, 1 4, 1 5, 5, Wir erweitern nun ϕ zu einer bijektiven Abbildung φ : Z Q mittels ϕ(n) flls n N φ(n) := 0 flls n = 0 ϕ( n) flls n Z, n < 0. Die Abbildung φ f Z ist Q bzählbr. : N Z Q bildet N bijektiv uf Q b. Somit Stz 1.11 Die Menge R der reellen Zhlen ist überbzählbr. Beweis. Angenommen, es existiert eine Abzählung von R, d.h. es gilt R = {x 1, x 2, x 3,...}. Zu dieser Abzählung konstruieren wir induktiv eine Intervllschchtelung

27 I 1 I 2 I 3 I 4 I Die reellen Zhlen 19 Es sei I 1 := [ x 1 + 1, x ]. Offensichtlich ist x 1 / I 1 und L(I 1 ) = 1 3. Aus einem schon vorhndenen Intervll I n konstruieren wir I n+1 wie folgt: Wir teilen I n in drei gleichlnge, bgeschlossene Intervlle und wählen ls I n+1 eines dieser Teilintervlle, ds x n+1 nicht enthält. Für die so konstruierte Folge von Intervllen gilt I 1 I 2 I 3 I 4... x n / I n L(I 1 ) = 1 3, L(I 2) = 1 3 2,..., L(I n ) = 1 3 n. Somit ist I 1 I 2 I 3... eine Intervllschchtelung. Sei nun x Nch Annhme wr R = {x 1, x 2, x 3, x 4,...}. Es muß lso ein k 0 N mit x = x k0 geben. Dnn ist x k0 I k0. Dies widerspricht ber der Konstruktion der Intervlle. Somit wr die Annhme der Abzählbrkeit von R flsch. n=1 I n. Definition Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, flls eine bijektive Abbildung f : A B existiert. Die Menge B ht eine größere Mächtigkeit ls A, flls A zu einer Teilmenge von B gleichmächtig ist, ber B zu keiner Teilmenge von A. Die Mengen N, Z und Q sind gleichmächtig. Die Menge R ht eine größere Mächtigkeit ls diese drei Mengen. Kontinuumshypothese (1878): (Georg Cntor [ ]) Es gibt keine Menge A, deren Mächtigkeit größer ls die von N und kleiner ls die von R ist. Diese Hypothese leitete die Entwicklung der Mengenlehre ein. Sie ist (uf der Bsis der heute zugrundegelegten Axiome der Mengenlehre) weder beweisbr noch widerlegbr. Solche Frgen werden in den Vorlesungen über mthemtische Logik behndelt Wurzeln und Potenzen reeller Zhlen In diesem Abschnitt behndeln wir einige wichtige Gleichungen und Ungleichungen für Potenzen und Wurzeln reeller Zhlen. Sei x R eine reelle Zhl. Die Potenz x n für n N 0 definieren wir induktiv durch: x 0 := 1, x 1 := x, x 2 := x x,..., x n+1 := x n x.

28 20 1 Reelle und komplexe Zhlen Für x 0 setzen wir x n := 1 x n. Dmit ist die k te Potenz x k für jede gnze Zhl k Z und jede reelle Zhl x R, x 0, definiert. Aus den Körper- und Anordnungseigenschften der reellen Zhlen folgt sofort 1. Für x R mit x 0 und k, l Z gilt x k x l = x k+l, x k l = (x k ) l und (x y) k = x k y k. 2. Ist 0 < x < y, dnn gilt x n < y n für lle n N. Stz 1.12 (Binomischer Stz) Seien x, y R. Dnn gilt für jedes n N (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k Beweis. Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über n: Induktionsnfng: n = 1: ( ) ( ) 1 1 x 0 y 1 + x 1 y 0 = x + y. 0 1 Induktionsschritt: Induktionsvorussetzung: Für ein fixiertes n N gilt Induktionsbehuptung: Induktionsbeweis: (x + y) n = k=0 n k=0 ( ) n x k y n k. k n+1 ( ) n + 1 (x + y) n+1 = x k y n k+1. k

29 (x + y) n+1 = (x + y) n (x + y) ( n ( ) IV n = )x k y n k (x + y) k = = k=0 n k=0 n k=0 l=1 ( ) n x k x y n k + k n k=0 ( ) n x k+1 y n+1 (k+1) + k n+1 ( ) n = x l y (n+1) l + l 1 = 1.4 = n l=1 1.2 Die reellen Zhlen 21 ( ) n x k y n+1 k k n k=0 n l=0 (( ) ( )) n n + x l y (n+1) l + l l 1 n+1 ( n + 1 l l=0 ) x l y (n+1) l. Aus dem Binomischen Stz 1.12 ergibt sich die Folgerung (1 + x) n = n n k=0 ( n k k=0 ) = 2 n, n ( 1) k( n k) = 0. k=0 ( n ) k x k, ( ) n x k y n+1 k k ( ) n x l y (n+1) l l ( ) n x n+1 y 0 + n ( ) n x 0 y n+1 0 Beweis. (1) ist der Binomische Stz für y = 1, (2) ist der Binomischer Stz für x = y = 1 und (3) ist der Binomischer Stz für x = 1, y = 1. Stz 1.13 (Bernoullische Ungleichung) Für jede reelle Zhl x 1 und für jedes n N gilt: (1 + x) n 1 + n x. Beweis. Beweis durch vollständige Induktion über n. Induktionsnfng: Die Aussge gilt offensichtlich für n = 1. Induktionsschritt: Induktionsvorussetzung: Für ein fixiertes n N gilt (1 + x) n 1 + nx. Induktionsbehuptung: (1 + x) n (n + 1) x. Induktionsbeweis:

30 22 1 Reelle und komplexe Zhlen (1+x) n+1 = (1+x) n (1+x) IV (1+n x)(1+x) = 1+(n+1) x+n }{{} x 2 1+(n+1) x. 0 Als Anwendung erhält mn unmittelbr Folgerung Sei y R, y > 1, und r R +. Dnn existiert ein n N, so dß y n > r. 2. Sei y R, 0 < y < 1 und r R +. Dnn existiert ein n N mit y n < r. Beweis. Sei r R + und y > 1. Nch dem Archimedischen Axiom für reelle Zhlen existiert eine ntürliche Zhl n N, so dß n > r y 1. Dnn folgt mit der Bernoullischen Ungleichung y n = (1 + (y 1)) n 1 + n (y 1) n (y 1) > r. Ist 0 < y < 1, so wenden wir ds eben Bewiesene uf die reelle Zhl 1 y > 1 n und erhlten eine ntürliche Zhl n N mit ( 1 y )n > 1 r und somit yn < r. Stz 1.14 (Geometrische Summe) Für jede reelle Zhl x 1 und jede ntürliche Zhl n gilt: n x k = 1 xn+1 1 x. k=0 Beweis. Beweis durch vollständige Induktion über n. Induktionsnfng: n = 1: 1 x 2 1 x = (1 x)(1 + x) 1 x = 1 + x = x 0 + x 1. Induktionsschritt: Induktionsvorussetzung: Die Behuptung ist für ein fixiertes n richtig. Induktionsbehuptung: Induktionsbeweis: n+1 x k = 1 xn+2 1 x. k=0 n+1 ( n x k = x k) + x n+1 k=0 k=0 IV = 1 x n+1 1 x + xn+1 = 1 xn+1 + x n+1 (1 x) 1 x = 1 xn+2 1 x.

31 1.2 Die reellen Zhlen 23 Wir beweisen nun die Existenz der n-ten Wurzel einer positiven reellen Zhl. Stz 1.15 Sei x R + eine positive reelle Zhl und n N. Dnn existiert genu eine positive reelle Zhl y R + mit y n = x. Bezeichnung: y := n x heißt die n te Wurzel us x. Beweis. Zum Beweis benutzen wir ds Intervllschchtelungsprinzip. Es genügt, den Fll x > 1 zu behndeln. Den Fll x < 1 führt mn durch Übergng zu x = 1 x druf zurück. Wir definieren induktiv die folgende Folge bgeschlossener Intervlle: Wir setzen I 1 := [1, x]. Sei I k := [ k, b k ] bereits konstruiert. Dnn definieren wir I k+1 durch Hlbierung von I k : Sei m = k+b k 2 der Mittelpunkt von I k. Wir setzen dnn { [k, m] flls m I k+1 = [ k+1, b k+1 ] := n x [m, b k ] flls m n < x. Dnn gilt nch Konstruktion: 1. I 1 I 2 I L(I k ) = (x 1) (1 k 1 2) für lle k N. 3. n k x bn k für lle k N. Wir erhlten lso ineinnder geschchtelte Intervlle, deren Längen nch Folgerung 1.2 beliebig klein werden. Nch dem Intervllschchtelungsprinzip existiert genu eine reelle Zhl y R mit y I k für jedes k N. Wir zeigen nun, dss y n = x gilt. Dzu betrchten wir die Intervlle J k := [ n k, bn k ]. D I k I k+1, gilt wegen der Monotonie der Potenzen uch J k J k+1. Für die Länge von J k erhlten wir L(J k ) = b n k n k = (b k k )(b n 1 k = L(I k ) b n 1 k + b n 2 k k b k n 2 k ( 1 + k b k + 2 k b 2 k 1 (x 1) bn 1 2k 1 1 n n 1 k b n 1 k + n 1 ) k ) Nch Folgerung 1.2 gibt es zu jedem ε > 0 ein k N mit L(J k ) ε. Die Folge der Intervlle J k ist lso eine Intervllschchtelung. Nch Konstruktion gilt ber sowohl x J k (Eigenschft 3.) ls uch y n J k für lle k N. D der Durchschnitt J k nur ein Element enthält, folgt x = y n. k=1 Die Eindeutigkeit der Zhl y R + mit y n = x ist klr, denn ist z.b. y 1 < y 2, so folgt y1 n < yn 2.

32 24 1 Reelle und komplexe Zhlen Bemerkung: Die Gleichung y n = x ht für gerde n zwei reelle Lösungen y 1 = n x und y 2 = n x. Die Eindeutigkeitsussge von Stz 1.15 gilt lso nur in R +. Die Gleichung y n = x ist in Q im llgemeinen nicht lösbr. Stz 1.16 Seien n und k ntürliche Zhlen. Dnn ist n k genu dnn eine rtionle Zhl, flls k die n te Potenz einer ntürlichen Zhl ist, ds heißt flls k = m n für ein m N. Insbesondere gilt: Für jede Primzhl p und jedes n > 1 ist die Zhl n p irrtionl. Wenn n k rtionl ist, so ist n k sogr eine ntürliche Zhl. Beweis. 1. ( =): Sei k = m n mit m N. Dnn ist per Definition m := n k N Q. 2. (= ): Sei n k Q. Dnn existieren teilerfremde Zhlen m, q N, so dss n k = m q. Nch Definition erhält mn k = ( m q )n = mn q und somit kq n = m n. n Wir zeigen nun, dss q = 1 gilt. Angenommen q > 1. Dnn existiert eine Primzhl p > 1, die q teilt. Folglich teilt p uch kq n = m n, ds heißt p teilt uch m. Ds ist ber ein Widerspruch dzu, dss q und m teilerfremd sind. Somit ist q = 1 und k = m n für m N. Wir können jetzt die Potenzen mit rtionlen Exponenten definieren. Definition Sei x R + eine positive reelle Zhl und q Q eine rtionle Zhl mit der Drstellung q = n m, n Z, m N. Dnn sei x q := ( m x ) n. Diese Definition ist korrekt, d.h. unbhängig von der Whl der Drstellung von q. Die folgenden Eigenschften für die Potenzen mit rtionlen Exponenten sind leicht nchzuprüfen: Seien p, q Q und x, y R +. Dnn erhält mn: 1. x q x p = x p+q, (x q ) p = x p q, x q y q = (xy) q. 2. Sei p < q. Dnn gilt x p < x q flls x > 1 und x p > x q flls 0 < x < Sei 0 < x < y. Dnn gilt x q < y q flls q > 0 und x q > y q flls q < 0. Wir werden uf die Potenzen und ihre Eigenschften später zurückkommen. Abschließend beweisen wir eine Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem rithmetischen Mittel von n positiven reellen Zhlen.

33 1.2 Die reellen Zhlen 25 Definition Seien 1, 2,..., n positive reelle Zhlen. Dnn heißen die Zhlen A( 1,..., n ) := n n G( 1,..., n ) := n n rithmetisches Mittel geometrisches Mittel von 1, 2,..., n. Stz 1.17 Für lle positiven reellen Zhlen 1, 2,..., n gilt n n n. n Die Gleichheit tritt nur dnn uf, wenn 1 = 2 =... = n. Beweis. Ds rithmetische und ds geometrische Mittel ist homogen, d.h. für ein λ R + gilt A(λ 1,...,λ n ) = λ A( 1,..., n ) G(λ 1,...,λ n ) = λ G( 1,..., n ). und Es genügt deshlb, den Beweis für den Fll A( 1,..., n ) = 1 zu führen. (Wir setzen im nderen Fll λ = A 1 ). Wir zeigen mit vollständiger Induktion über n: Sind 1,..., n positive reelle Zhlen mit n = n, so gilt n 1 und die Gleichheit tritt nur uf, wenn 1 = 2 =... = n = 1. Induktionsnfng: n = 1. In diesem Fll gilt die Behuptung offensichtlich. Induktionsschritt: Die Aussge gelte für ein n N. Wir müssen sie dnn für n+1 beweisen. Für 1 = 2 =... = n+1 = 1 gilt die Aussge. Seien lso 1, 2,..., n+1 positive Zhlen mit n+1 = n + 1, von denen eine von 1 verschieden ist. OBdA sei 1 < 1 und 2 > 1. Dnn ist und somit Außerdem gilt 0 < (1 1 )( 2 1) = < ( ) ( ) n+1 = n. Wir wenden die Induktionsvorussetzung uf die n Summnden der letzten Gleichung n und erhlten mit (*) 1 ( ) 3... n+1 ( ) > ( 1 2 ) 3... n+1. Dmit ist der Stz bewiesen.

34 26 1 Reelle und komplexe Zhlen 1.3 Die komplexen Zhlen Für jede von Null verschiedene reelle Zhl x gilt x 2 > 0. Mn knn im Zhlbereich der reellen Zhlen lso keine Wurzeln us negtiven Zhlen ziehen. Insbesondere gibt es keine reelle Lösung der Gleichung x 2 = 1. Die komplexen Zhlen sind eine Erweiterung der reellen Zhlen, die es möglich mcht, uch Wurzeln us negtiven Zhlen zu ziehen. Dzu betrchten wir die Menge der Pre reeller Zhlen R 2 := R R := {(, b), b R} und führen uf dieser Menge eine Addition + : R 2 R 2 R 2 und eine Multipliktion : R 2 R 2 R 2 ein. Zwei Pre z 1 = ( 1, b 1 ) und z 2 = ( 2, b 2 ) us R 2 ddieren bzw. multiplizieren wir nch folgenden Regeln: z 1 + z 2 := ( 1, b 1 ) + ( 2, b 2 ) = ( 1 + 2, b 1 + b 2 ) (1.1) z 1 z 2 := ( 1, b 1 ) ( 2, b 2 ) = ( 1 2 b 1 b 2, 1 b b 1 ). (1.2) Die mit dieser Addition und Multipliktion usgestttete Menge R 2 bezeichnet mn mit dem neuen Symbol C, d.h. C := R 2, um uszudrücken, dss mn ußer der üblichen Addition (1.1) der reellen Pre uch noch die Multipliktion (1.2) festgelegt ht. Die Elemente von C heißen komplexe Zhlen. Stz 1.18 Die komplexen Zhlen [C, +, ] bilden einen Körper. Es gelten lso folgende Rechenregeln für die Addition + und die Multipliktion K1: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 für lle z 1, z 2 C. K2: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) für lle z 1, z 2, z 3 C. K3: Die komplexe Zhl 0 := (0, 0) ist ds neutrle Element der Addition, ds heißt es gilt 0 + z = z + 0 = z für lle z C. K4: Zu je zwei komplexen Zhlen z 1, z 2 C existiert eine komplexe Zhl w C mit w + z 2 = z 1. K5: z 1 z 2 = z 2 z 1 für lle z 1, z 2 C. K6: (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) für lle z 1, z 2.z 3 C. K7: Die komplexe Zhl 1 := (1, 0) ist ds neutrle Element der Multipliktion, ds heißt es gilt 1 z = z 1 = z für lle z C. K8: Zu je zwei komplexen Zhlen z 1 und z 2 0 existiert eine komplexe Zhl v C mit v z 2 = z 1. K9: (z 1 + z 2 ) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 für lle z 1, z 2, z 3 C. Beweis. Diese Eigenschften folgen direkt us den Körpereigenschften von R und den Definitionen von + und. Wir überprüfen K4 und K8: Seien z 1 = (x 1, y 1 ) und z 2 = (x 2, y 2 ) zwei komplexe Zhlen. Dnn gilt für w := (x 1 x 2, y 1 y 2 ) die Gleichung w + z 2 = z 1. Sei zusätzlich z 2 0. Wir betrchten

35 1.3 Die komplexen Zhlen 27 ( x1 x 2 + y 1 y 2 v := x 2 2 +, y ) 1x 2 x 1 y 2 y2 2 x C. y2 2 Mn rechnet leicht nch, dss für diese komplexe Zhl v die Geichung v z 2 = z 1 erfüllt ist. Die komplexe Zhl w mit w + z 2 = z 1, so heißt Differenz von z 1 und z 2 und wird mit w := z 1 z 2 bezeichnet. Die komplexe Zhl v mit v z 2 = z 1 heißt Quotient von z 1 und z 2 und wird mit v := z1 z 2 bezeichnet. Für z C mit z 0 sei z 1 := 1 z. Die Potenzen zn für n N seinen induktiv durch z 1 := z, z n+1 := z n z erklärt. Weiterhin sei z n := ( ) 1 n z = 1 z. n Bemerkung: Im Gegenstz zum Körper der reellen Zhlen ist der Körper der komplexen Zhlen nicht ngeordnet (Übungsufgbe 15). Bezeichnungen: Für den bequemen Umgng mit den komplexen Zhlen eignet sich die nun folgende Vereinbrung. Nch Definition gilt für die komplexen Zhlen (, 0) und (b, 0) (, 0) + (b, 0) = ( + b, 0) und (, 0) (b, 0) = ( b, 0). Die Zuordnung R (, 0) C ist lso eine Einbettung der Menge der reellen Zhlen in die Menge der komplexen Zhlen, die mit den jeweiligen Körperopertionen + und verträglich ist. Wir können deshlb R ls Teilkörper von C uffssen. Dies werden wir in Zukunft tun und die komplexe Zhl (, 0) einfch mit bezeichnen. Dies rechtfertigt uch die Bezeichnung 0 := (0, 0) für ds neutrle Element der Addition und 1 := (1, 0) für ds neutrle Element der Multipliktion (siehe Stz 1.18). Die komplexe Zhl (0, 1) bezeichnen wir mit i und nennen sie die imginäre Einheit. Für i = (0, 1) gilt i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Die Gleichung x 2 = 1 ist lso im Körper der komplexen Zhlen lösbr. Ist z = (, b) eine beliebige komplexe Zhl, so gilt mit unseren Vereinbrungen z = (, b) = (, 0) + (0, b) = (, 0) + (0, 1)(b, 0) = + i b. Jede komplexe Zhl z C ist lso in der Form z = + ib, b R (1.3) drstellbr. Dies ist die übliche Drstellung der komplexen Zhlen. Mn knn dnn mit den komplexen Zhlen wie mit den reellen rechnen, indem mn i 2 = 1 berücksichtigt. Es gilt lso für z 1 = 1 + i b 1 und z 2 = 2 + i b 2

36 28 1 Reelle und komplexe Zhlen z 1 + z 2 = ( 1 + ib 1 ) + ( 2 + ib 2 ) = ( ) + i (b 1 + b 2 ) (1.4) z 1 z 2 = ( 1 + ib 1 ) ( 2 + ib 2 ) = ( 1 2 b 1 b 2 ) + i ( 1 b 2 + b 1 2 ) (1.5) Ist z = +ib C, so heißt Re(z) := der Relteil von z und Im(z) := b der Imginärteil von z. Ist Re(z) = 0, so heißt z rein imginär, ist Im(z) = 0, so heißt z reell. Beispiel: Sei z = + ib 0. Dnn ist 1 z = 1 + ib = ib ( + ib)( ib) = ib 2 + b 2 = 2 + b 2 i b 2 + b 2, lso gilt Re ( ) 1 = z 2 + b 2 bzw. Im ( ) 1 = b z 2 + b 2. Definition Ist z = +ib C eine komplexe Zhl, so heißt z := ib die konjugiert komplexe Zhl zu z. Es gelten folgende, leicht zu überprüfende Rechenregeln: Stz 1.19 Für lle komplexen Zhlen z und w gilt: 1. z + w = z + w, z w = z w, z = z. 2. z + z = 2 Re(z), z z = 2i Im(z). 3. z = z z R. 4. z z = Re(z) 2 + Im(z) 2. Insbesondere ist 0 z z R. Definition Sei z = + ib C eine komplexe Zhl. Der Betrg von z ist die reelle Zhl z := 2 + b 2 = z z. Stz 1.20 (Eigenschften des Betrges komplexer Zhlen) Seien z und w komplexe Zhlen. Dnn gilt: 1. z 0, wobei z = 0 genu dnn, wenn z = z w = z w. 3. z + w z + w (Dreiecksungleichung) 4. z = z 5. Re(z) z, Im(z) z.

37 1.3 Die komplexen Zhlen 29 Beweis. 1., 4. und 5. folgen trivilerweise us der Definition. Formel 2. folgt us z w 2 = (zw)(zw) = zz ww = z 2 w 2. Die Dreiecksungleichung folgt us z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + ww + wz + zw = zz + ww + wz + wz = z 2 + w Re(wz) z 2 + w wz = z 2 + w w z = ( z + w ) 2. Die geometrische Interprettion der komplexen Zhlen Der Drstellung der reellen Zhlen uf einer Gerden entspricht die Drstellung der komplexen Zhlen in der Ebene, die mn dnn oft Gußsche Zhlenebene oder komplexe Zhlenebene nennt. Wir wählen ein krtesisches Koordintensystem in der Ebene und stellen die komplexe Zhl z = (, b) = + ib C ls Punkt der Ebene mit den Koordinten (, b) dr. imginäre Achse (y-achse) ir ib z = (, b) = + bi i 1 z ϕ R reelle Achse (x-achse) Die reellen Zhlen R entsprechen der x Achse, die rein imginären Zhlen ir der y Achse.