1 Differenzieren (in einer Dimension)

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1 Für einen (Experimentl-)Physiker ist ie Mthemtik immer nur ein Werkzeug, llerings ein sehr elegntes. Im folgenen wollen wir einige Grunieen er Differentil- un Integrlrechnung wieerholen. 1 Differenzieren (in einer Dimension) Ein Mthemtiker versucht immer wieer Funktionen zu finen, ie es ihm uf Grun ihrer Eigenschften ermöglichen, ihr Verhlten genuer zu untersuchen un zu beschreiben. Die beknntesten Typen Funktionen sin stetige un ifferenzierbre Funktionen. In er Physik geht mn von us, ss ie Funktionen gutmütig sin; uf Deutsch: Sie mchen lle von uns geforerten Rechenopertionen, insbesonere Differenzierbrkeit un Integrierbrkeit mit. 1.1 Motivtion: Differenzieren Wenn mn eine Funktion ht, möchte mn von ihr sowohl globle Eigenschften (Grenzverhlten, Extrem) ls uch lokle Eigenschften wissen. Die interessnteste lokle Eigenschft ist ie lokle Veränerung. Billich sieht ie Frge so us: Wenn ich in einem Punkt eine Tngente n ie Funktion legen will, wie groß ist nn ie Steigung er Tngente? Mn knn s Problem pproximtiv ngehen: Wenn ich ie Steigung er Tngenten in x 0 bschätzen will, nn nehme ich einfch ie Steigung er Gere urch ie Punkte (x 0,f(x 0 )) un (x 0 + 1,f(x 0 + 1)). Ntürlich wir s Ergebnis im Normlfll besser, wenn ich sttt um 1 nch rechts nur 1 2 nch rechts gehe. Oer gr 1 4. Oer noch weniger... Dieses Verfhren un unser Wunsch, eine eineutige Steigung zu hben (un mit Probleme bei zusmmengesetzten Funktionen zu verhinern), führt uns schließlich zur Definiton er Differenzierbrkeit. 1.2 Def.: Differenzierbrkeit Gegeben sei ie Funktion f(x). f(x) heißt ifferenzierbr in x : f(x + h) f(x) lim h 0 h un lim h 0 f(x h) f(x) h existieren un sin gleich. Dnn efiniert mn en Wert er Ableitung in x ls 1.3 Beispiele f f(x + h) f(x) (x) := lim. h 0 h 1. Konstnte Funktionen: Hier brucht mn erst gr nicht zu rechnen, enn eine konstnte Funktion ist ie Tngente n sich selbst. 2. Polynome ersten Gres: D ein Polynom ersten Gres eine Gere rstellt, können en gleichen Genkengng wie bei en konstnten Funktionen nutzen. 1

2 3. Prbeln: Eine Prbel ist ein Polynom zweiten Gres er Form f(x) = x 2 + bx + c. Gehen wir (usnhmsweise) wie in er Definition beschrieben vor: f f(x + h) f(x) (x + h) 2 + b(x + h) + c (x 2 + bx + c) (x) = lim = lim h 0 h h 0 h 2xh + h 2 + bh = lim = lim 2x + h + b = 2x + b. h 0 h h 0 4. Monome: Ausrücke er Form x n nennt mn Monome. Dbei soll n Z gelten. Die Ableitung lutet nx n Rechenregeln Müsste mn jees Ml mit er Definition strten, so wäre s Differenzieren sehr unngenehm. Aber hier retten uns einige ngenehme Rechenregeln: 1. Ableitung von Summen: Wenn mn eine Funktion f(x) = g(x) + h(x) bleitet, so muss mn einfch nur ie Summnen bleiten: f (x) = g (x) + h (x). Beispiel: x (x2 + x) = x x2 + x = 2x + 1. x 2. Prouktregel: Wir hben eine Funktionf(x) gegeben, ie sich ls Proukt von zwei Funktionen u(x) un v(x) rstellen lässt: f(x) = u(x) v(x). Dnn gilt für ie Ableitung f (x) = v(x) u (x) + v(x) v (x). 3. Ableitung von em Proukt eines Sklrs mit einer Funktion: Gegeben ist lso s Problem cf(x) =?. x Dfür wenen wir jetzt ie Prouktregel n: x (cf(x)) = f(x) x c =0 +c x f(x) = cf (x). Dmit wissen wir uch, wie ie Ableitung eines Polynoms ussieht: x ( nx n + n 1 x n x+ 0 ) = n n x n 1 +(n 1) n 1 x n x x+ 1. 2

3 4. Kettenregel: Diese Regel ist eine besoners schöne, llerings uch eine oft nicht wirklich verstnene Regel. Sie lutet: x f(g(x)) = f (g(x)) g (x). In Worten heißt sie einfch: Äußere Ableitung ml innere Ableitung. Am besten versteht mn ie Regel, wenn mn sie nwenet. Wir weren nun x 4 nch x bleiten, llerings ein wenig ners geschrieben: 5. Quotientenregel: Ds Problem x (x2 ) 2 = 2(x 2 ) äussere Ableitung u(x) x v(x) =? 2x = 4x 3. innere Abl;eitung ist leicht zu lösen. Dfür bruchen wir nur ie Ketten- un ie Prouktregel: u(x) x v(x) = x (u(x) ((v(x)) 1 )) = (v(x)) 1 ) x u(x)+u(x) x (v(x)) 1 ) ( 1) v(x) 2 = v(x)u (x) u(x)v (x) v 2. (x) Jetzt hben wir lso eine gute Menge Wissen über s Ableiten erlngt, huptsächlich jeoch über Polynome. Doch in er Physik begegnen uns uch Funktionen wie ie trigonometrischen Funktionen un ie Exponentilfunktion. Deshlb hier noch eine kurze übersicht: x ex = e x. Die Exponentilfunktion ist ie einzige Funktion, ie mit Ihrer Ableitung übereinstimmt. x log x = 1 x x sin x = cos x, x cos x = sin x 1.5 Aufgben 1. x (x sin x) 2. x (ex sin x) 3. x tn x 4. x xx 1.6 Mehrfche Ableitungen Mnchml interessiert mn sich uch für s Änerungsverhlten er Ableitung. Ws liegt näher ls uch iese bzuleiten? Solche Ableitungen nennt mn nn höhere Ableitungen. Hier zwei einfche Beispiele: 2 x 2 x 2 = x 2x = 2 (sin x) = (cos x) = sin x 3

4 1.7 Die Tylorreihe zum Abschätzen In er Motivtion für s Differenzieren hben wir schon von gesprochen, ss uns s lokle Verhlten einer Funktion interessiert. Mit iesem Wissen usgestttet können wir, zuminest für kleine Bereiche, eine Funktion urch eine nere (einfchere!) Funktion bschätzen. Ds mthemtische Werkzeug hierfür ist ie Tylorreihe, ie eine besoners wichtige Funktionenreihe ist. Sie ht nämlich ie Eigenschft, ss lle gutmütige Funktionen jeweils gleich ihrer Tylorreihe sin: f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n. n! n=0 Wir können lso jee gutmütige ls unenliche Summe von Polynomen rstellen. Ist ie Differenz wischen x un x 0 sehr klein, nn sin Ausrücke (x 0 x) n für nicht kleine n vernchlässigbr. Am besten versteht mn en Nutzen nn, wenn mn ein Beispiel mcht: Wir würen gerne en Sinus in er Nähe von Null urch ein einfches Polynom rstellen. Dzu berechnen wir ie ersten Ableitungen in 0: f (0) (0) = sin 0 = 0, f (0) = cos 0 = 1, f (0) = sin0 = 0. Setzen wir iese Ergebnisse in ie Tylorreihe ein un benutzen ie Koeffizienten n = , nn erhlten wir ie folgene Abschätzung: sin x x. 2 Integrtion In er Physik sin fst lle Kräfte ortsbhängig. Um nun Energien berechnen zu können, muss mn mehr Know-How ls nur Krft ml Weg einsetzen. 2.1 Definition: Integrl Wir gehen wieer einml von einer gutmütigen Funktionen f(x) : R R us. Uns interessiert ie Fläche zwischen er x-achse un em Grphen. Weil keine Lösung irekt ersichtlich ist (ußer bei besoners einfchen Funktionen), wollen wir ie Fläche bschätzen. Die obere Grenze ist sicherlich gegeben urch Mximum er Funktion ml er Intervlllänge, ie untere Grenze ist gegeben urch Minimum ml Intervlllänge. (Wir geben Flächen unterhlb er x-achse ein negtives Vorzeichen.) Ntürlich ist iese Abschätzung extrem grob un wir wollen sie verfeinern. Dzu zerlegen wir s Intervll in mehrere Teilintervlle un berechnen ort jeweils ie beien einfchen Abschätzungen. Dnn summieren wir für ie Gesmtbschätzung über lle Obergrenzen bzw. Untergrenzen (mn nennt iese Summen Ober- bzw. Untersummen). Ds Integrl efiniert sich nun einfch: Wenn beim Grenzübergng für beliebig feine Zerlegungen (.h. lle Teilintervlle weren beliebig klein) Ober- un Untersumme gleich sin, nn ist er Wert es Integrl gleich iesem Grenzwert. f(x)x = lim mx(j) J = lim min(j) J. I Z(I) 0 J Z(I) 4 Z(I) 0 J Z(I)

5 Für lle gutmütigen Funktionen sin Ober- un Untersumme gleich 1,.h. s Integrl existiert. 2.2 Stmmfunktionen Die elementre Berechnung von Integrlen ist schwer. Viel schöner wäre es, eine Funktion F(x) zu hben, für ie gilt: b f(x)x = F(b) F(). Solche Funktionen gibt es, wenn sie uch nicht immer berechenbr sin. Der Nme für eine solche Funktion ist Stmmfunktion. Der Zusmmenhng zwischen Integrtion un Differenzieren wir urch folgene Eigenschft einer Stmmfunktion sichtbr: F (x) = f(x). Ht eine Funtion eine Stmmfunktion, nn ht sie unenlich viele, enn s Aieren einer beliebigen Konstnten zu einer Stmmfunktion gibt uns eine weitere Stmmfunktion. Bsp.: x 2 + 5, x 2 26, x 2 π e sin lle Stmmfunktionen von 2x. 2.3 Eigenschfte von Integrlen, einfche Integrle Integrle hben gnz einfche Eigenschften: Linerität: αf(x)x = α f(x)x (α R) Monotonie: Aitivität: f(x) g(x) (x I) = f(x)x + g(x)x = I fx I gx f(x) + g(x)x Vertuschen er Grenzen: b f(x)x =: b f(x)x Aus unserem Wissen über Ableitungen können wir nun ein pr einfche Stmmfunktionen folgern: x n x = 1 n+1 xn+1 + C, (n N 0 ) e x x = e x + C sin xx = cos x + C, cos xx = sin x + C 1 xx = log x (x 0) 1 Eine nicht-gutmütige Funktion ist ie Dirichlet-Funktion: j 1, x Q f(x) = 0, x R\Q Hier ist ie Obersumme immer gleich er Intervlllänge un ie Untersumme ist Null 5

6 2.4 Prtielle Integrtion Die meisten Funktionen sin komplizierter ls iejenigen, eren Lösungen wir gere kennengelernt hben. Dfür gibt es nn verschieene Rechnenregeln. Die einfchste ieser Regeln ist ie prtielle Integrtion. Inspiriert von er Prouktbleitung leitet mn ie folgene Regel her: b (uv) = vu + uv uv x = [uv] b b u vx. Diese Regel hilft ntürlich nur nn, wenn mn weiß, wie mn u v integriert. Beispiel: Wie lutet ie Stmmfunktion von log x? Auf en ersten Blick ist es nicht ersichtlich, wie ie prtielle Integrtion helfen soll. Aber mn muss nur ein bißchen tricksen : 1 log xx = log x 1x = [(log x) x] x x x = xlog x x + C. } =1 {{ } =x Als zweites Beispiel lösen wir 2.5 Substitution xe x x = [xe x ] 1 e x x = (x 1)e x. } {{ } =e x Die prtielle Integrtion ist eine Umkehrung er Prouktregel, ie Substitution eine Umkehrung er Kettenregel. Die Iee ist, ss mn mit einem geschickteren Integrnen rbeitet. Die Regel lutet: ϕ(b) ϕ() f(x)x = b f(ϕ(t)) ϕ(t). =ϕ (t)t Dbei muss gelten, ss ϕ(t) im Integrtionsbereich entweer monoton wchsen (ϕ(t) > 0) oer monoton fllen (ϕ(t) < 0), zuem stetig un, flls enn ie geschweifte Klmmer gelten soll, (stückweise) ifferenzierbr ist 2. Ohne ie Monotonie könnten Werte us em Integrtionsbereich mehrmls urchlufen weren. Zum Üben wollen wir nochmls log x integrieren, ieses Ml von 1 bis b (b > 1): b 1 log xx ϕ(t):=et = Un noch ein Beispiel: log b 0 log e t e t t e t t s.o. = [(t 1)e t ] log b 0 = (log b 1)b + 1. xe x2 x. 2 Ein Integrl mit einem Ausruck wie ϕ(x) nennt mn Riemnn-Stiltjes-Integrl. 6

7 Diese Ml nutzen wir ϕ(t) = t 2 ls Substitution. Um uns Denkrbeit zu spren, schreiben wir uns noch s Differenzil von ϕ(t) uf: ϕ = 2tt. Somit ergibt sich: xe x2 x = 1 2 e ϕ ϕ = 1 2 eϕ = 1 2 ex2 + C. 2.6 log-regel Betrchten wir ie Ableitung von log f(x): (log f(x)) = f (x) f(x). Somit hben wir eine gnze Klsse von Lösungen gefunen: f (x) x = log f(x) + C. f(x) Nur ein Beispiel: 4x x 4 + 2x x = log x C. 2.7 Ausblick In er Mthemtik ist ie Integrtionstheorie von großer Wichtigkeit, z.b. in Differentilgleichungen, in er Differentilgeometrie, ber uch in er Mß- un Whrscheinlichkeitstheorie. Dbei weren weitere Integrle eingeführt, ie einem z.b. erluben, ie Dirichletfunktion zu integrieren. Zuem gibt es ntürlich noch weitere Integrtionsmethoen, z.b. Integrtion urch Prtilbruchzerlegung oer Reihenentwicklung, ie ber für ie Physik i.a. nicht gebrucht weren. 2.8 Aufgben Integrieren Sie: xsin x mit prtieller Integrtion (x + 2)sin(x 2 + 4x + 3)x mit Substitution 1 tn xx mit er log-regel 7