Ergänzung Veröentlicht

Transkript

1 Vektoren un Vektorräume Vektoren bisher Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Rum. Dbei weren iejenigen "Pfeileäls gleich ngesehen, ie urch Prllelverschiebung ineinner übergehen. Vektoren besitzen Länge, Richtung un Orientierung. Zwei Vektoren sin gleich, wenn iese in Betrg, Richtung un Orientierung übereinstimmen. Der Vektor mit em Betrg 0 heiÿt Nullvektor un wir mit 0 bezeichnet. Dieser Vektor ist eineutig bestimmt. Die so enierten Vektoren sin "freie"vektoren,.h. er Anfngspunkt es Vektors ist beliebig. Vektoren knn mn urch lgebrische Opertionen miteinner verknüpfen. Aition : Für v, w R 3 gilt: v + w = w + v = (v x + w x ) e x + (v y + w y ) e y + (v z + w z ) e z Anlog wir ie Subtrktion ls Aition mit em inversen Element eniert. Sklre Multipliktion : Für α R un v R 3 gilt α v = αv x e x + αv y e y + αv z e z Eukliische Vektorräume Neben en oben bereits enierten Opertionen uf Vektorräumen ht mn uch eine weitere Verknüpfung, s Sklrproukt. Im R 3 gilt für ieses: x, y = x y cos( x, y) Mit ieser Denition knn mn bereits Aussgen über ie Orientierung zweier Vektoren treen. Mn bechte hier en Unterschie zwischen Prllelität un Kolinerität. Weiter wollen wir noch ein Proukt enieren, ss es in ieser Form( sonst über ein Keilproukt) nur im R 3 gibt. Es hnelt sich um s Kreuzproukt. Für ieses gilt y b z z b y b = z b x x b z x b y y b x Für en Betrg eines solchen Prouktes gilt b = b sin(, b) Diese Denition ist jeoch sehr unhnlich un schlecht geeignet mehrfche Kreuzproukte von Vektoren uszurechnen. Bei genuen hinsehen erkennt mn jeoch, ss ie Struktur es 1

2 Kreuzprouktes völlig ntisymmetrisch ist. Aus iesem Grune enieren wir s Kronecker- Delt δ ij un en Levi-Cevit-Tensor ɛ ijk. Es gilt 1 P erm(ijk) = 1 ɛ ijk = 1 P erm(ijk) = 1 0 sonst un δ ij = { 1 i = j 0 sonst Dmit können wir s Kreuzproukt schreiben ls b = ɛ ijk e i j b k = i,j,k=1 ɛ ijk e i j b k i=1 j=1 k=1 oer in einer Komponente [ b] i = j,k=1 ɛ ijk j b k Wir wollen uns nun von überzeugen, ss er Levi-Cevit Tensor s gewünschte liefert. Wir betrchten ie x-komponente oer uch i = 1 [ b] 1 = ɛ 1jk j b k j,k Nun werten wir ie Doppelsumme us. Wir beginnen mit: j = 1 ɛ 11k 1 b k = ɛ b 1 + ɛ b 2 + ɛ b 3 k=1 Nun wissen wir us er Denition es Levi-Cevit-Tensors, ss flls zwei oer mehr Inizes gleich sin ieser Null wir. Dmit folgt für j = 1 ist lles Null. j = 2 j = 3 ɛ 12k 2 b k = ɛ b 1 + ɛ b 2 + ɛ b 3 = 2 b 3 k=1 ɛ 13k 3 b k = ɛ b 1 + ɛ b 2 + ɛ b 3 = ɛ132 3 b 2 k=1 2

3 Nun schuen wir wie viele Vertuschungen notwenig sin, um us em Tripel (123) s Tripel (132) zu erzeugen. Es genügt hier ie 2 un ie 3 zu vertuschen. Dmit wir eine Vertuschung benötigt un somit ist ɛ 132 = 1. Insgesmt folgt j,k=1 ɛ 1jk j b k = 2 b 3 3 b 2 Besoners nützlich wir er Levi-Cevit-Tensor ber erst, wenn mn ie Hintereinnerusführung von Kreuzproukten betrchtet. Dzu benötigen wir ie Ientität Ähnliches gilt für s Sklrproukt ɛ ijk ɛ imn = δ jm δ kn δ jn δ km b = ( 1 e e e 3 )(b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = 1 b b b 3 = i b i = i b j δ ij i=1 i,j=1 Ds Kronecker-Delt reuziert hier ie neun Einträge er Summe uf rei. Komplexe Zhlen Eine komplexe Zhl z ht im llgemeinen ie folgene Form z = + bi, mit, b R Nun müssen wir em i noch Eigenschften zuornen. Dies mcht mn, inem mn i 2 = 1 setzt. Gelegentlich sieht mn uch weitere Denitionen, wie etw i = 1 llerings ergibt sich ort folgener Wierspruch 1 = i 2 = i i = 1 1 = ( 1) 2 = 1 = 1 Wir nennen en Relteil un b en Imginärteil. In einem Koorintensystem mit x er reellen Achse un y ie imginäre Achse knn mn ies wie folgt rstellen Auf en komplexen Zhlen C sin uch wie in en reellen Zhlen R gewisse Opertionen/ Verknüpfungen erlubt. Diese sin: 1) Aition 3

4 2) Subtrktion 3) Multipliktion 4) Division Sei z = 3 + 2i un sein w = 1 2i. Dnn gilt z + w = w + z = (3 + 2i) + ( 1 2i) = (3 1) + (2 2)i = 2 z w = (3 + 2i) ( 1 2i) = (3 + 1) + (2 + 2)i = 4 + 4i = 4(1 + i) z w = w v = (3 + 2i) ( 1 2i) = 3 6i 2i + 4 = 1 8i Bei er Division mchen wir uns zunächst zunutze, ss nch er ritten binomischen Formel ( b)( + b) = 2 b 2 gilt. z w = 3 + 2i 1 2i = Die komplexe Exponentilfunktion 3 + 2i 1 + 2i (3 + 2i)( 1 2i) = 1 2i 1 + 2i ( 1 2i)( 1 + 2i) = 1 8i = i Mn knn ie komplexe Zhl uch im Exponenten zu einer Bsis zulssen. Insbesonere ist für uns von Interesse, wenn ie Bsis ie eulersche Zhl e ist. Eine wichtige Drstellung er komplexen Exponentilfunktion liefert ie eulersche Gleichung e iφ = cos(φ) + i sin(φ) Insbesonere folgt mit für ie komplexe Drstellung es Sinus un es Cosinus cos(φ) = eiφ + e iφ 2 sin(φ) = eiφ e iφ 2 4

5 Integrlrechnung Stmmfunktion Gegeben sei eine Funktion f(x). Gesucht ist eine Funktion F (x) so, ss F (x) = f(x) x Die Funktion F (x) heiÿt Stmmfunktion. Mn spricht uch von em unbestimmten Integrl. Die suche nch einer Stmmfunktion ist lso forml s Gegenteil es Dierenzierens. Die Stmmfunktion ist nur bis uf eine beliebige Konstnte C eineutig bestimmt. Sei lso F (x) eine Stmmfunktion. Dnn ist uch F (x) + C eine Stmmfunktion, Beispiel (F (x) + C) = x x F (x) + x C = F (x) = f(x) x Sei f(x) = cos(x) un g(x) = e x. Dnn gilt: f(x)x = cos(x)x = sin(x) g(x)x = e x x = e x Integrtionstechniken Die prtielle Integrtion erhlten wir us er Prouktregel beim Ableiten: u (u(x) v(x)) = x x v + v u (uv) = vu + uv x Wir sortieren um un integrieren. Mn erhält: b uv = uv b Für verschchtelte Integrtionen brucht mn eine Regel,ähnlich zur Kettenregel beim Ableiten. Wir vernschulichen ies n einem Beispiel. Ws gibt: π/2 0 b sin(2x + 1)x Wir substituieren y = 2x + 1 un somit x = 1 2y. Durch einsetzen erhält mn: b sin(2x + 1)x = b vu 1 2 sin(y)y = 1 2 cos(y) b Die neuen Grenzen ergeben sich urch = 2(0) + 1 = 1 un b = 2( π 2 ) + 1 = π

6 Dierenzition Wir betrchten eine stetig ierenzierbre Funktion f, welche von en Funktionsvriblen x, y, z bhängt. Wir schreiben nn f = f(x, y, z). D wir schon einen guten Dierenzitionsbegri für Funktionen hben ie nur von einer Vriblen bhängen, wollen wir ie Dierenzition von Funktionen mit mehreren Vriblen uf iese zurückführen. Die prtiellen Ableitungen knn mn ls Ableitung in eine Richtung h interpretieren. Dierenzierbrkeit Eine Funktion f : U C uf einer oenen Menge U R 3 heiÿt ierenzierbr im Punkt U, wenn es eine linere Abbilung L : R 3 C gibt errt, ss f( + h) f() Lh lim h 0 L Eine Funktion heiÿt ierenzierbr uf U, wenn sie in jeem Punkt x U ierenzierbr ist. Die eineutig bestimmte linere Abbilung L heiÿt s Dierentil oer uch Linerisierung er Funktion f in em Punkt un wir mit f() bezeichnet. Richtungsbleitungen Es sei f eine in ierenzierbre Funktion. Für lle t mit hinreichen kleinem Betrg un h R 3 gilt zunächst f( + th) = f() + f()th + R(th) wobei er Rest für h wie oben gegen 0 geht. Sei lso f : U C eine nicht notweniger Weise ierenzierbre Funktion in einer Umgebung U von. Dnn versteht mn unter er Ableitung von f im Punkt in Richtung h im Existenzfll en Grenzwert f( + th) f() h f() := lim t 0 t Die Ableitungen in Richtung er Stnrbsis heiÿen prtielle Ableitungen von f. Beispiel Wir betrchten ie Funktion f(x, y, z) = xyz 2. Wir wollen iese nun prtiell nch x, y un z ierenzieren. Grient f(x, y, z) = x x (xyz2 ) = yz 2 y f(x, y, z) = y (xyz2 ) = xz 2 z f(x, y, z) = z (xyz2 ) = 2xyz Der Grient ist ein mthemtischer Opertor, ein Dierenzilopertor, er uf ein Sklrfel ngewnt weren knn un in iesem Fll ein Grientenfel gennntes Vektorfel liefert. 6

7 Der Grient ht zwei nschuliche Eigenschften. Erstens steht er Grient senkrecht uf en Höhenlinien un zeigt in ie Richtung, in er sich ie Funktionswerte m stärksten änern un zweitens ist er Betrg es Grienten ein Mÿ für ie Änerung er Funktionswerte senkrecht zu en Höhenlinien. Der Grient ht in verschieenen Koorintensystemen verschieene Drstellungen. Krtesische Koorinten Im R 3 mit em eukliischen Stnrsklrproukt ist grf() er Spltenvektor gr(f) = f = f x 1 e f x n e 3 Die Einträge f x i sin ie prtiellen Ableitungen von f in x i - Richtung. In rei Dimensionen ht er Grient lso ie Drstellung gr(f) = f = f x e x + f y e y + f z e z Betrchte ls Beispiel f(x, y) = 2x 2 y 2. Für ie prtiellen Ableitungen gilt f x = 4x un f y = 2y. Es gilt lso gr(f) = f = 4xe x + 2ye y Beispiel Wir wollen en Grienten er Funktion f(x, y, z) = xyz 2 bilen. Wir hben lso nch er Denition es Grienten gr(f) = f = f x e x + f y e y + f z e z = yz 2 e x + xz 2 e y + 2xyz e z Zylinerkoorinten Sei V eine Funktion in Zylinerkoorinten, lso von er Form V = V (ρ, φ, z). Dnn gilt für en Grienten gr(v ) = V = V ρ e ρ + V φ e φ + V z e z Kugelkoorinten Sei V eine Funktion in Kugelkoorinten, lso V = V (r, θ, φ). Dnn gilt für en Grienten gr(v ) = V = f r e r + 1 f r θ e θ + 1 f rsin(θ) φ e φ 7