1 Ladung, Coulomb-Gesetz, E-Feld

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1 ufgben zur Experimentlphysik II: Elektrosttik I Musterlösung Willim Hefter - 4//9 Lung, Coulomb-Gesetz, E-Fel. () Beingung ist hier F el F g Q 4πɛ r G m em m r Q Gm e m m 4πɛ 5, 7 3 C Die Entfernung fällt herus, ie beien Gesetze ufgrun ihrer Symmetrie beie proportionl zum bstnsurt sin. (b) Wsserstoff besitzt genu ein Proton, ht lso ie Lung e, 7 9 C, mit: e 5, 7 3 C, 6 9 C 3, 6 3 Ionen Ein Wsserstoffion ht ie Msse m N M, 66 7 kg, ie benötigte Gesmtmsse ist lso. Geometrische Beziehungen: x L sin θ sowie F el cos θ F g sin θ. Wir erhlten lso cos θ 4πɛ x mg sin θ 4πɛ x mg tn θ mg sin θ x x ( L πɛ mg ) /3 L mg 3. () Ds Gesmtrehmoment verschwinet. Die Lungen links trgen ein positives Drehmoment bei, ie rechts ein negtives un s Gewicht ein positives. Zusmmen ergibt sich Q L 4πɛ h + Wg(x L ) Q L 4πɛ h x L ( ) Q 4πɛ h Wg + 4. Wir setzen x, x 5cm. D ie beien Lungen unterschieliche Vorzeichen hben, knn sich ie Gleichgewichtslge nicht zwischen befinen. Ferner muss sie näher bei sein, ies ie schwächere Lung ist. Ferne gilt Superposition un ufgrun er -imensionlität können wir s E-Fel ls Sklr schreiben: x x x x x x lso: x 5cm ist eine Gleichgewichtslge. 4πɛ 4 (x x ) ( ) x 4 (x x )!

2 5. () Der Stb ist homogen gelen, lso gilt einfch λ L. (b) Ds Fel eines kleines Stbstückchens ist gere 4πɛ r λx 4πɛ (x + ) Ds Gesmtfel ergibt sich einfch urch Integrieren über en Stb: λ /L ˆL λ 4πɛ 4πɛ (L + ) [ ] L λ x + 4πɛ L (L + ) Ds Minuszeichen eutet ruf hin, ss s Fel weg vom negtiv gelenen Leiteeigt. (c) Für L ist (L + ) un 4πɛ Ws em Fel einer Punktlung entspricht. 6. Eine gelene Scheibe besteht us vielen gelenen Ringen mit Lungen σπrr. Ds Fel eines Rings wr E z r e z 4πɛ (R + z ) 3/ e zσπrr z 4πɛ (R + z ) 3/ Zur Bestimmung es Gesmtfeles integrieren wir einfch über ie Scheibe, lso E s ˆR E r ˆR σz e z ɛ r r (r + z ) 3/ [ σz e z ɛ (r + z ) / [ σz e z ɛ σ e z ɛ Fü oer R z geht ieses Fel über in [ ] R (R + z ) / z ] z (R + z ) / σ ez ɛ ws em mit em Guß schen Stz usgerechneten Fel entspricht. Mn sieht, ss s Guß sche Gesetz solche Berechnungen wesentlich vereinfchen knn. 7. Die ufgbe entspricht em schiefen Wurf, mn ht nur s Grvittionsfel urch ein E-Fel ersetzt. Ds E-Fel ist kv m e y E e y, v 6 6 m s ( e x + e y ) v ( e x + e y ). Die Beschleunigung finet mn us F el ee e y m e m E e y e y () Wir suchen lso s Mximum von y(t) v t t. Es ist ẏ(t) v t! t v. Eingesetzt in y(t) ergibt sich y mx, 56cm. lso könnte s Elektron ie obere Pltte treffen. (b) Wir suchen nun ie Zeit, für ie y. Eingesetzt un ufgelöst ergibt sich t v ± v 4 ]

3 wobei wir ie negtive Lösung verwenen, wir ie früheste Zeit wollen. Wir finen t 6, 43 9 s x(t ), 7cm Guß scher Stz. Ds E-Fel steht senkrecht uf llen Seiten usser er oberen un unteren, lso trgen nur iese bei. Im Fll er oberen Seite ist s Fel ntiprllel, bei er unteren Prllel zum Normlenvektor. lso ist, mit m : ɛ φ e ɛ ( E(m) E(3m)) 3, 54µC. () Mn betrchte eine Guß sche Oberfläche, ie vollstänig innerhlb es Leiters liegt, en Rn nicht umschliesst, jeoch en Hohlrum. Ds E-Fel muss überll uf ieser Fläche sein, wir sonst einen Strom im Leiter beobchten würen. Dies ist nicht er Fll. lso liegt eine Nettolung von C in er Oberfläche, ws wieerum beeutet, ss sich uf er Wn es Hohlrums eine Lung von 3 6 C befinen muss. (b) Nch ußen muss er Leiter wie eine einzelne Lung, bestehen us en rin enthltenen Einzellungen, ussehen. Folglich befinet sich uf er Oberfläche eine Lung von 3 6 C. 3. () Wir legen eine zylinrische Guß sche Oberfläche er Länge L un mit Rius r um ie gesmte nornung. us Symmetriegrünen muss s E-Fel überll uf er Oberfläche senkrecht stehen un prllel zum Normlenvektor sein, lso wir s Flußintegrl besoners einfch. Die eingeschlossene Lung ist gere Q, un E EπrL ɛ πɛ rl e r Ds Minuszeichen eutet n, ss s E-Fel nch Innen gerichtet ist. (b) Wir legen eine zylinrische Guß sche Oberfläche in ie Röhre rein, so ss sie ie innere Seite mit einschliesst, nicht jeoch ie äußere. D wir uns in einem Leiter befinen, ist s Fel, lso muss uch ie enthltene Lung gleich sein. uf em inneren Zyliner befinet sich ie Lung, folglich liegt uf er inneren Wn er Röhre ie Lung. Nch ußen hin muss ie nornung ie Gesmtlung vorzeigen, lso muss uf er äußeren Oberfläche nochmls ie Lung liegen. (c) Überlegung ist völlig nlog zu (), nur ss er Zyliner iesml nur en inneren Stb un somit ie Lung einschliesst. lso ist s Fel πɛ rl e r 4. Ds Fel einer leitenen Metlloberfläche ist gegeben urch σ ɛ. Die rbeit, ie s Fel m Elektron verrichtet, ist gere gleich W F el e σ ɛ. Lut ngbe ht s Elektron mit ev gere genug Energie, um ie Pltte zu erreichen, lso ist W e σ ɛ ev e J 4, 4 4 m 5. Die pssene Guß sche Oberfläche ist in llen Fällen ntürlich eine Kugelfläche 4πr. () r < : Die Kugel trägt ie Lung +, rus folgt ie homogene Lungsichte ρ k. Wir legen 4/3π 3 eine Guß sche Kugelfläche in ie Kugel un finen: Ds Fel ist rilsymmetrisch un überll prllel zum Normlenvektor, lso E E, lso: E E4πr ρ k 4 3 πr3 3 r 4πɛ 3 ɛ

4 (b) < r < b :Die eingeschlossene Lung ist hier gere ie Lung uf er inneren Kugel, lso : E E4πr ɛ 4πɛ r ws em beknnten Fel einer Punktlung entspricht. (c) Die Kugelschle ist leiten, lso liegen ie Lungen uf en Ränern un s Fel im Innern ist Null. () Ds System verhält sich wie eine Punktlung mit Gesmtlung, lso verschwinet essen Fel. (e) Die Lung uf er inneren Kugelschle wir influenziert urch ie er Kugel, muss sie lso usgleichen un muss her gere sein. lterntiv er Beweis über eine Guß sche Fläche, ie innerhlb er Kugelschle liegt. Die Lung uf er inneren Seite er Kugelschle ist gere gleich er Gesmtlung uf er Kugelschle, somit ist ie Lung uf er äußeren Seite gleich. 6. Wir legen eine Guß sche Kugelfläche in ie Kugelschle. m Ort < r < b ist ie eingeschlossene Lung nn gere gleich er Punktlung plus er inhomogenen Rumlung er Schle. Diese ist gegeben urch: Q ˆ V ˆr Q 4π Vρ us em Guß schen Stz folgt nn s Fel ˆr ˆ r π ϕ ˆπ r r π(r ) θ r sin θ r Q + ɛ ɛ r ɛ + 4πr ɛ Ds Fel ist homogen, flls ie rechte Seite unbhängig von r ist, lso muss r ɛ 4πr ɛ 3 Ds elektrosttische Potentil. Die Lungsichte ist gere ρ 4/3πR 3 un ie eingeschlossene Lung innerhlb einer Guß schen Fläche es Rius r < R ist nn Q ρ 4 3 πr3 r3 R 3. Für s Fel folgt us E Q ɛ r 4πɛ R 3. ) Es sei nun φ bei r. i. Die bhängigkeit es Potentils erhält mn über φ(r) φ() }{{} Nullpunkt ˆr ˆr φ(r) Er r 4πɛ R 3 φ(r) r 8πɛ R 3 4

5 ii. D φ() ist jees mit em Ergebnis us i) berechnete Potentil gere ie Potentilifferenz zum Mittelpunkt, für r R folgt φ(r) 8πɛ R iii. lle Punkte ußerhlb es Ursprungs hben negtives Potentil, lso ist er Ursprung gere er Punkt es höchsten Potentils. b) Hier müssen wiur Bestimmung es Potentils ners vorgehen. Wir kennen ie Formel für ie Potentilifferenz zwischen zwei Punkten, im Speziellen gilt hier eshlb ˆR φ(r) φ(r) r ˆR Er r r 4πɛ R 3 8πɛ R 3 (R r ) Die linke Seite enthält ber uch s beknnte Potentil uf er Oberfläche einer Punktlung, nämlich φ(r), lso ist Die Potentilifferenz zum Ursprung ist 4πɛ R φ(r) 8πɛ R 3 (R r ) φ(r) (3R r ) 8πɛ R 3 φ(r) φ() 8πɛ R 3 8πɛ R 8πɛ R Ds Potentil innerhlb er Kugel ist lso ners ls s in ) bestimmte, ie Differenz zwischen Oberfläche un Ursprung ber gleich. Dies liegt gnz einfch n er Definition es Nullpunkts. Die ngbe eines bsoluten Potentils ist irekt von iesem bhängig, bei einer Differenz kürzen sich ie Eichfktoren jeoch rus.. Ds sklre Potentil n einem beliebigen Ort ist einfch ie sklre Summe es Potentile er einzelnen Punktlungen. Mit l, 5m, b, 5m: () φ [ + ] 6kV 4πɛ l b (b) φ B [ 4πɛ b + ] 78kV l (c) Die kinetische Energie m nfng un Ene ist, lso entspricht ie rbeit gere W 3 φ 3 (φ φ B ), 5J () Die rbeit wir von einer externen Krft verrichtet, lso erhöht sich ie Energie es Systems. (e) Die elektrosttische Krft ist konservtiv, lso ist ie rbeit wegunbhängig. 3. Wir benötigen s Potentil eines lngen Drhtes. Ds Fel eines solchen Drhtes wr gegeben urch λ πɛ r Die Potentilifferenz zwischen zwei Punkten in iesem Fel ist gegeben urch ˆr f φ φ r f φ ri Er r i λ πɛ ln r i r f In unserem Fll ist φ ie Potentilifferenz zwischen em Drht (r i ) un em Zyliner (r f ), lso ist φ λ πɛ ln r 85V 5

6 Wir wollen einen usruck für λ, lso: Dmit wir s Fel zu λ φπɛ ln r φ r ln r () Oberfläche es Drhtes: r r φ r ln r, 36 8 V m (b) Oberfläche es Zyliners: r φ ln r 8, 8 3 V m 4. Die vollstänige Gleichung für s Potentil ist φ( r) ˆ 4πɛ V 3 r ρ( r ) r r Der beobchtete Punkt liegt jeoch uf e-chse,.h. er bstn zum Ring ist gere r r R + z un ein kleines Lungselement ist gere λs λrϕ. Ds Integrl vereinfcht sich lso uf ie Berechnung eines ϕ-integrls: φ(z) 4πɛ 4πɛ 4πɛ λr R + z πrλ R + z R + z ˆ π ϕ Ds E-Fel ist gegeben urch z φ 4πɛ (R + z ) 3/ e z In Übereinstimmung mit em Ergebnis us er Vorlesung. Die Berechnung es Potentils ist hier um einiges schneller ls ie es Feles. 5. Ds sklre Potentil lässt sich einfch ieren, her folgt φ(p) [ 5 4πɛ ] 5 8πɛ 6. Für eine Lung, ie sich urch eine Potentiltilifferenz bewegt, gilt φ 3 J 4 Kpzität un Konenstor. Wir gehen nlog zur Vorlesung vor. Ds Fel zwischen en beien Zylinern ist gegeben urch ˆ E ɛ πrlɛ 6

7 wobei ie Lung uf em inneren Zyliner bezeichnet. Die Spnnung (wir bruchen nur en Betrg) ist gegeben urch Die Kpzität ist nn einfch U ˆb Er C U πlɛ ln b πlɛ ln b πɛ L ln b. Selbes Vorgehen wie bei 7., nur ist s Fel 4πɛ r un U U ˆb Er 4πɛ [ ] b 4πɛ b [ b ] Un mit folgt für C C U 4πɛ b b Wir wollen nun ie Kpzität er Ere usrechnen, setzen lso R e 637km un schreiben C 4πɛ b lim C 4πɛ R e, 7µC b 3. Die uf em Konenstor er Kpzität C pf bei einer Spnnung von U 5V gespeicherte Lung ist C U 5µF. Wir nun ie Btterie bgeklemmt un ein zweiter Konenstor prllel geschltet, bleibt ie Lung erhlten, ber ie Spnnung sinkt, sich ie Kpzität erhöht. In einer Prllelschltung fällt über jeem Zweig ieselbe Spnnung b, lso gilt C C + C un CU (C + C )U C U C 43pF. 4. Die Kpzität es Plttenkonenstors ist gegeben urch C ɛ, ie Lung urch CU ɛ U. () Lung bleibt erhlten, ie Btterie bgeklemmt ist, lso ist ɛ U ɛ U U U. Die Spnnung veroppelt sich. (b) Die gespeicherte Energie in einem Konenstor ist gere CU, lso: E i ɛ U, E f ɛ (U) ɛ U : Die Energie veroppelt sich. (c) Die zum useinnerziehen erforerliche rbeit muss gere gleich em Unterschie er gespeicherten Energie sein, lso W ɛ U. 5 Mterie im elektrischen Fel: Dielektrik. Diese Betrchtungen gelten für Konenstoren mit E zur Oberfläche es Konenstors un es Dielektrikums. E, un σ gelten für en Plttenkonenstor ohne Dielektrikum. Mit em Stz von Guß stellt mn fest E E σ ɛ ɛ Ds Nettofel E im Dielektrikum wir von er Gesmtlung in erzeugt, es gilt lso E σ σ in ɛ 7

8 Lut Vorlesung muss ies entsprechen: Gleichsetzen un uflösen ergibt schliesslich E E ɛ r σ ɛ ɛ r σ in ɛ r ɛ r σ Dies ist < σ für ɛ r >, wie es er Fll sein sollte. Um uflösen ergibt P ɛ χ P σin zu zeigen: E ɛ (ɛ r ) E ɛ (ɛ r ) σ σ in P σin ɛ. In beien Fällen gilt weiter E ɛ Dies knn mn sich urch ein pr Berechnungen klr mchen (Übung!). Zur eigentlichen Berechnung reicht ber s Berechnen er Spnnung, um ie Kpzität per C U usrechnen zu können. Der Konenstor trägt ie Lung, ht ie Fläche un ein Fel ohne Dielektrik E. ) Prllelschltung: Es sin zwei Spnnungen zu berechnen, zwischen en Konenstorflächen, ie von unterschielichen Dielektrik beeckt sin, herrschen nämlich unterschieliche Spnnungen. Diese sin ˆ + U i E i s E i E ɛ i Wie setzt sich nun ie Gesmtspnnung us iesen beien Spnnungen zusmmen? Die ntwort ist: Entsprechen er Regel für eine Prllelschltung von Wierstänen,.h. U U + U E ɛ + Dmit ist ie Kpzität C U E ɛ E ɛ + ɛ (ɛ + ) Bei Verwenen er Regel für Prllelschltung von Konenstoren hätten wir irekt erhlten: C C + C ɛ ɛ + ɛ ɛ (ɛ + ) b) Reihenschltung: Dieser Fll ist einfcher, weil ie Gesmtspnnung U irekt zu berechnen ist. Die Dielektrik sollen ie Dicke un hben. ˆ + U E s E + E E + E ( E + ) ɛ ɛ Un ie Kpzität: C U E ɛ ( ) ɛ ( ) E ɛ + ɛ + Zur Kontrolle ie irekte Berechnung nch er Regel für Serienschltung von Konenstoren: C C + C ɛ ɛ / + ɛ ( ɛ ɛ / ɛ + ) 8

9 3. Die Lösung besteht rin, sich en Konenstor ls Prllelschltung von unenlich vielen unenlich ünnen Konenstoren mit en zwei in Reihe geschlteten Dielektrik zu enken. Ein solcher ünner Konenstor ht hier ie Fläche b x un ie Kpzität C ɛ b x (x) ɛ + (x) wobei (x) x un (x) x ie Dicken er beien Dielektrik sin. Wir vereinfchen zunächst en Bruch: )) (x) ɛ + (x) x ɛ + x ( ( ɛ ɛ x + ɛ Bei einer Prllelschltung ieren sich einfch ie Kpzitäten, ie Gesmtkpzität ist lso C ˆ C ɛ b ɛ ɛ ɛ b ɛ ɛ ɛ b ˆ [ ln ɛ ɛ ln x ( x + ( x + ɛ ( ɛ ) ɛ ɛ ) )] x Für ɛ ist ies zunächst ein singulärer usruck, nämlich. Wir können lso l Hospitl nwenen: ( ) lim C lim ɛ b ɛ ɛ ɛ ln ɛ ɛ ( ɛ ) lim ɛ ɛ b ɛ ɛ ɛ b ɛ ɛ Ws einem Konenstor mit einem Dielektrikum entspricht. ɛ ( ɛ ) x 9