HA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 2. Besprechung in KW44

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1 Technische Universität München Winter 2017/18 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sickert 2018/02/08 HA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutorufgenltt 2 Besprechung in KW44 Bechten Sie: Soweit nicht explizit ngegeen, sind Ergenisse stets zu egründen! Lesen Sie sich itte uf der Wepge die Bestimmungen zu den Husufgen genu durch. Aufge 2.1 () Eine Musikdtennk esteht u.. us den folgenden Tellen: CdDescr = CDID ArtistID Yer Title Whitepony s/t The Rel Thing Slipt It In Undertow The Dy Is My Enemy Sesmstrße - Die schönsten Lieder TrckDescr = TrckID Title CDID 1 ottom 6 2 know your enemy 3 3 lck coffee 5 4 pssenger 2 5 wild frontier 7 6 Quietsche-Entchen 3 ArtistDescr = ArtistID Nme IsPerson 1 Rge Aginst the Mchine n 2 Deftones n 4 Fith No More n 5 Blck Flg n 6 Henry Rollins y 7 Tool n 8 Mynrd Keenn y 9 The Prodigy n 10 Ernie y ArtistToBnd = ArtistID ArtistID GuestToTrck = ArtistID TrckID Ein reltionles Progrmm ist eine Folge von Definitionen von Reltionen ( Zuweisungen ) der Form X := Y Z, woei Y, Z ereits definierte Reltionen ezeichnen und stellvertretend für eine der ülichen mengentheoretischen Opertionen zuzüglich Join und Projektion (lso {,, \,,, π}) steht; llgemeiner drf die rechte Seite einer Zuweisung uch ein llgemeiner Term üer ereits erechneten Reltionen unter Verwendung der gennnten Opertionen {,, \,,, π} sein. Ds folgende reltionle Progrmm erechnet die 1-stellige Reltion ller Künstler (Bnd oder Person), die n dem Trck pssenger eteiligt wren: X := TrckDescr 2=1 {(pssenger)} TrckIds := π 1 (X) CdIds := π 3 (X) GuestIds := π 1 (GuestToTrck 2=1 TrckIds) ArtistIds := π 2 (CdDescr 1=1 CdIds) GuestIds Artists := π 2 (ArtistDesc 1=1 ArtistIds) Schreien Sie ein reltionles Progrmm, ds us den oen gegeenen Reltionen/Tellen die Reltion erzeugt, die jeden Künstlernmen, der für eine Person steht, mit den Titeln der Songs in Reltionen setzt, n denen der jeweilige Künstler direkt oder ls Gst eteiligt wr. Stellen Sie zum Vergleich Ihr Progrmm ls einen Term für die gesuchte Reltion uf welchen Vorteil ietet die Drstellung ls Progrmm gegenüer der Drstellung ls Term? Hinweis : Am Ende des Üungsltts finden Sie ds Beispiel ls Python-Code. 1

2 () In der Vorlesung wurde der Join R i=j S = {(r 1,..., r k, s 1,..., s l ) (r 1,..., r k ) R, (s 1,..., s k ) S, r i = s j } eingeführt. Im Allgemeinen erlut mn uch den Test uf Gleichheit in mehreren Komponenten: R i1=j 1,i 2=j 2,...,i r=j r S = {(r 1,..., r k, s 1,..., s l ) (r 1,..., r k ) R, (s 1,..., s k ) S, r i1 = s j1,..., r ir = s jr } Stellen Sie R i1=j 1,i 2=j 2 S mittels π und i=j und den ülichen mengentheoretischen Opertionen dr. Lösung () HumnArtists := π 1,2 (ArtistDesc 3=1 {(y)}) GuestToTitle := π 1,4 (GuestToTrck 2=1 TrckDescr) ArtistToTitle := π 2,6 (CdDescr 2=1 TrckDescr) ArtistToTitle := π 1,4 (ArtistToBnd 2=1 ArtistToTitle) ArtistToTitle Die Vereinigung ist nicht nötig in diesem Beispiel; wäre er im Fll von Solokünstlern notwendig HumnGuestToTitle := π 2,4 (HumnArtist 1=1 (GuestToTitle ArtistToTitle)) Für die entsprechenden Terme müssen die Definitionen schrittweise ineinnder eingesetzt werden, woei Definitionen u.u. mehrmls repliziert werden, ws () zu einem Explodieren des Ausdrucks/Terms führen knn und () ei niver Auswertung des Terms unnötige wiederholte Berechnungen edeutet: π 2,4 (π 1,2 (ArtistDesc 3=1 {(y)}) 1=1 (π 1,4 (GuestToTrck 2=1 TrckDescr) π 1,4 (ArtistToBnd 2=1 π 2,6 (CdDescr 1=3 TrckDescr)) π 2,6 (CdDescr 1=3 TrckDescr))) () D es sich um eine Verundung (Konjunktion) von Bedingungen hndelt, knn mn einfch den Schnitt üer die einzelnen Joins verwenden: R i=j,k=l S = (R i=j S) (R k=l S) Aufge 2.2 Sei M die Menge der syntktisch korrekten MiniJv-Progrmme, wie in der Vorlesung Einführung in die Informtik 1 vorgestellt. Zwei MiniJv-Progrmme P, Q M sind syntktisch äquivlent (P syn Q), wenn P und Q zeichenweise identisch sind. Bsp.: Sei P ds Progrmm x = x + 1;, und Q ds Progrmm x = 1 + x;. Dnn gilt P syn P und Q syn Q und P syn Q. syntktisch äquivlent is uf Vrilenumenennung (P um Q), flls mn die Vrilen von P so (ggf. in mehreren Schritten) umenennen knn ( prllele Sustitution ), dss mn ein zu Q syntktisch äquivlentes Progrmm erhält. Bsp.: Sei P ds Progrmm x = x + 1;, Q ds Progrmm y = y + 1;, und R ds Progrmm int x, y; x = y + 1;. Dnn gilt P um Q und P um R. syntktisch äquivlent is uf Umordnung (P kom Q), flls mn Q us P durch Umordnung der einzelnen Anweisungen von P erhlten knn. Bsp.: Sei P ds Progrmm int x,y; x = 0; y = 1;, Q ds Progrmm int x,y; y = 1; x = 0;, und R ds Progrmm int x,y; y = 0; x = 1;. Dnn gilt P kom Q und P kom R. write-äquivlent (P write Q), flls eide Progrmme für dieselen Eingen stets diesele Ausge (mittels write) erzeugen. Bsp.: Sei P ds Progrmm x = 0;, Q ds Progrmm y = 1;, R ds Progrmm x = x + x; write(0), und S ds Progrmm int z; z = 0; write(z);. Dnn gilt P write Q, R write S und P write R. Aus der Vorlesung Einführung in die Informtik 1 sollten Ihnen einige der folgenden Progrmme eknnt sein: y = red(); } y = red(); } y = red(); } 2 y = red(); } if(x > x) }

3 () Entscheiden für die gegeenen Progrmme, zgl. welcher der definierten Reltionen diese (nicht) in Reltion stehen. Geen Sie jeweils eine kurze Begründung. () Bestimmen Sie die Eigenschften der einzelnen Reltionen. Welche der ngegeenen Reltionen sind ttsächlich Äquivlenzreltionen? Lösung () syn : um : kom : P 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3 P 1? P 2? P 3??? prinzipiell ls * gedcht, knn er gern mit den Studenten diskutiert werden, d mn hier einen Knoten üer eine Verzweigung im Syntxum nch oen ziehen muss; rein uf Text-/Stringeene wären P 1, P 2, P 3 ls äquivlent unter Umordnung zu erchten. write : P 1 P 2 P 3 () Bis uf um hndelt es sich um Äquivlenzreltionen, lso reflexiv, symmetrisch, trnsitiv und nicht symmetrisch. syn ist ls Identität uch ntisymmetrisch, write und kom sind nicht ntisymmetrisch. um ist reflexiv und trnsitiv; er nicht symmetrisch (z.b. und ) nicht symmetrisch (z.b. und ) nicht ntisymmetrisch (z.b. und ) Aufge 2.3 Sei R A A eine inäre Reltionen mit A. () Entscheiden Sie jeweils, o R = symmetrisch, ntisymmtrisch, symmetrisch, reflexiv zw. trnsitiv ist. Ws ändert sich, wenn A = ngenommen wird? () Geen Sie jeweils ein R mit minimlem A > 0 n, so dss R nicht reflexiv zw. nicht symmetrisch zw. nicht symmetrisch zw. nicht ntisymmetrisch zw. nicht trnsitiv ist. 3

4 Lösung () Dmit R nicht reflexiv ist, muss es mindestens einen Knoten ohne Schleife geen. D R nicht leer sein soll, d.h. d es mindestens eine Knte geen soll, muss es dmit mindestens zwei Elemente geen. Mögliche Lösung somit: R = {(, )} für A = {, }. Dmit R nicht symmetrisch ist, muss es mindestens zwei verschiedene Knoten geen, die durch genu eine (gerichtete) Knte verunden sind: R = {(, )} mit A = {, }. Dmit R nicht ntisymmetrisch ist, muss es einen Kreis, ( ) geen. Flls R 1, ist R somit ntisymmetrisch. R = {(, ), (, )} mit A = {, }. Dmit R nicht symmetrisch ist, muss es entweder eine Schleife oder einen Kreis, geen. R = {(, )} mit A = {}. Dmit R nicht trnsitiv ist, rucht mn mindestens zwei verschiedene Pfeile c, woei die Knte c fehlen muss; ds geht mit = c (z.b. R = {(, ), (, )} mit A = {, }), jedoch nicht für = = c. 4

5 Python zu TA2.1 Disclimer : Es wird nicht von Ihnen erwrtet, dss Sie Python können oder lernen der Code ist nur ls Angeot zum Spielen mit den Konzepten us der Vorlesung gedcht. Python ietet sich hierfür durch die sehr einfch gehltene, sich n der mthemtischen Nottion orientierende Syntx n. Z.B. lässt sich der Join R i=j S := {(x 1,..., x r, y 1,..., y s ) x R, y S, x i = x j } einfch ls set([ x+y for x in R for y S if x[i] == y[j] schreien: x+y steht hierei für die Konktention der Tupel, die implizite Beschreiung der Menge geschieht mittels for und if zu echten ist nur, dss Python Tupel eginnend mit 0 indiziert, siehe uch ds folgende Beispiel: CdDescr = set([ (2,2,2000, Whtepony ),(1,1,2000, s/t ),(4,4,1989, The Rel Thing ),(5,5,1984, Slip It In ),(6,7,1993, Undertow ),(7,9,2015, The Dy Is My Enemy ),(3,10,2002, Sesmstrsse ), TrckDescr = set([ (1, ottom,6),(2, know your enemy,3),(3, lck coffee,5),(4, pssenger,2),(5, wild frontier,7),(6, Quietsche-Entchen,3), GuestToTrck = set([ (6,1),(8,2),(8,4), ArtistDescr = set([ (1, RATM,Flse),(2, Deftones,Flse),(4, FNM,Flse),(5, Blck Flg,Flse),(6, Henry Rollins,True),(7, Tool,Flse),(8, Mynrd Keenn,True),(9, The Prodigy,Flse),(10, Ernie,True), ArtistToBnd = set([ (6,5),(8,7), def join(r1,r2,i,j): return set([x+y for x in R1 for y in R2 if x[i] == y[j] def projection(rel,*rgs): return set([ tuple([x[i] for i in rgs for x in rel SelectedTrcks = join(trckdescr,set([( pssenger,),1,0) print(selectedtrcks) TrckIds = projection(selectedtrcks,0) print(trckids) CdIds = projection(selectedtrcks,2) print(cdids) GuestIds = projection(join(guesttotrck,trckids,1,0),0) print(guestids) ArtistIds = projection(join(cddescr,cdids,0,0),1) GuestIds # ildet die Vereinigung print(artistids) Artists = projection(join(artistdescr,artistids,0,0),1) print(artists) 5