MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN JULIE ROWLETT

Transkript

1 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN JULIE ROWLETT 1 1. Differenzierbrkeit uf C Definition 1.1. Es sei f : C C eine Funktion. Für ein z C ist f (komplex) differenzierbr beziehungsweise holomorph flls der Grenzwert f(z) f(z ) lim z z z z existiert. In diesem Fll ist f (z ) durch diesen Grenzwert definiert. Lemm 1.2. Es sei f holomorph in z. Dnn ist f uch stetig in z. Proof. Wir betrchten lim f(z) f(z ) = lim (z z ) f(z) f(z ) =. z z z z z z Eine äquivlente Definition von Holomorphie in einem Punkt z ist: Es existiert eine stetige Funktion : C C (wir nennen diese Funktion nicht zufällig, wir werden bld sehen, wrum), sodss in z stetig ist und f(z) = f(z ) + (z)(z z ) für lle z in einer Umgebung von z gilt. Für den Beweis nehmen wir zunächst n, dss f in z holomorph ist. Dnn erhlten wir: (z) := f(z) f(z ) f(z) f(z ), z z, (z ) := lim. z z z z z z Umgekehrt gilt: f(z) f(z ) lim = lim (z) = (z ). z z z z z z D wir komplexe Zhlen multiplizieren und dividieren können und dbei dieselben Regeln wie in R gelten, folgt us der Anlysis I für f, g : C C : (1) sind f sowie g in z holomorph, so uch f + g und es gilt: (f + g) (z ) = f (z ) + g (z ) (fg) (z ) = f (z )g(z ) + g (z )f(z ) (2) Gilt ferner f(z ), so ist uch f/g holomorph und es gilt ( ) f (z ) = g (z )f(z ) f (z )g(z ) g (f(z )) 2. (3) Mit f in g(z ) und g in z ist uch f g in z holomorph und es gilt (f g) (z ) = f (g(z ))g (z ). Definition 1.3. Eine Funktion f : C C, die uf gnz C holomorph ist, heißt... (cn you guess?) gnz! 1 July 7, 214 1

2 2 JULIE ROWLETT D die Funktionen f(z) = z sowie c(z) = c gnz sind, wobei c C eine Konstnte ist, folgt sofort, dss jedes Polynom gnz ist. Rtionle Funktionen sind holomorph in jedem Punkt, in dem der Nenner nicht verschwindet. Definition 1.4. Eine Funktion f : U V, wobei U, V zwei offene Teilmengen (d.h. Gebiete) von C sind, heißt biholomorph uf U, flls f holomorph und bijektiv uf U und f 1 holomorph uf V ist. Proposition 1.5. Es sei f : U C eine holomorphe Funktion uf dem Gebiet U C, sodss f (z) z U. Dnn gilt: Für lle z U gibt es eine Umgebung U(z ) von z sodss f(z) = f(z ) für z U(z ) genu dnn, wenn z = z. Proof. D f holomorph ist und f (z ) für z U, gilt lokl f(z) = f(z ) + (z)(z z ), (z ). Eine kleine Bemerkung: Dieses hängt in der Tt von dem Punkt z b, d.h. genuer sollte mn ls z schreiben. D diese Proposition lokl ist, ist ds unwichtig. Es gibt lso ein δ > sodss für lle z C mit z z < δ und lso gilt uch (z) (z ) < (z ) 2 = (z) > (z ) /2 >, f(z) f(z ) = (z) z z > z C mit < z z < δ. Dementsprechend knn mn setzen U(z ) := B δ (z ) Vergleich mit der Differenzierbrkeit uf R 2. Wir können R 2 in knonischer Weise mit C identifizieren. Wie ist lso ds Verhältnis zwischen der Differenzierbrkeit bzgl. R 2 und C? Aye, there s the rub. Genu deswegen verwenden wir dieses, ws n den Lplce-Opertor erinnern soll, weil holomorphe Funktionen differenzierbr bzgl. R 2 sind und eine zusätzliche prtielle Differenzilgleichung erfüllen müssen. Diese Gleichung ist mit der Lplce-Gleichung sowie dem Lplce-Opertor verbunden. Definition 1.6. Es sei f = g +ih : U C, wobei U ein Gebiet in C und g, h jeweils reellwertig seien. Dnn ist f R 2 -differenzierbr in z = x + iy (ws nicht gleich holomorph bedeutet!) genu dnn, wenn es zwei stetige Funktionen 1, 2 von U in C gibt sodss f(z) = f(z ) + 1 (z)(x x ) + 2 (z)(y y ), z = x + iy U. Die übliche Definition, dss eine Funktion F : R 2 R 2 differenzierbr in (x, y ) ist, ist, dss es eine 2 2 Mtrix A gibt, sodss gilt F (x, y) F (x, y ) = A(z z ) + o(z), wobei (x, y) = z, (x, y ) = z und o(z) ls z z, ws äquivlent zu der Aussge ist, dss es eine Mtrix A(z) = [ ij (z)] gibt, sodss ij : R 2 R stetige Funktionen in z sind. So ist lso jede R 2 -differenzierbre Funktion uf C in knonischer Weise mit einer differenzierbren Funktion F : R 2 R 2 identifiziert. Es seien E := 1 2 ( 1 + i 2 ), := 1 2 ( 1 i 2 ), dnn rechnet mn leicht nch, dss f genu dnn in z R 2 -differenzierbr ist, wenn (1.1) f(z) = f(z ) + (z z ) (z) + ( z z )E(z). Mn sieht ebenso, dss 1 = + E, 2 = E, = E.

3 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 3 Definition 1.7. Die Werte (z ) := f z (z ), E(z ) := f z (z ) nennt mn die Wirtinger-Ableitungen von f im Punkt z. Ntürlich ist lso f x := g x + ih x, f y := g y + ih y, f z = 1 2 (f x if y ), f z = 1 2 (f x + if y ). Jetzt können wir C- und R 2 -Differenzierbrkeit vergleichen. Stz 1.8. Eine Funktion f : U C ist holomorph in z U (U ist wie immer ein Gebiet) genu dnn, wenn f R 2 -differenzierbr ist und ferner gilt: In diesem Fll ist f z (z ) =. f (z ) = f z (z ). Proof. Lut der Definition der R 2 -Differenzierbrkeit wissen wir schon, dss es zwei Funktionen 1 und 2 von U C gibt, die in z stetig sind, sodss für sowie E wie gerde definiert gilt: f(z) = f(z ) + (z z ) (z) + ( z z )E(z), und durch die Definitionen von und E und die Stetigkeit von 1, 2 sind und E beide stetig. Die Definition der Holomorphie ist lso genu dnn erfüllt, wenn E(z ) =, d dnn ( f(z) = f(z ) + (z z ) (z) + z z ) E(z). z z D E(z ) = und z z z z = 1, ist die Funktion (z) + z z E(z) z z stetig in z. Also erfüllt f die Definition der Holomorphie in z. Für die Umkehrung, dss flls f holomorph in z ist, es ein : U C gibt, ds in z stetig ist, sodss f(z) = f(z ) + (z)(z z ), können wir E(z) nehmen und f erfüllt (1.1). Definition 1.9. Den Differentilopertor nennt mn Cuchy-Riemnn-Opertor. z := 1 2 ( x + i y ) Eine holomorphe Funktion ist lso eine R 2 -differenzierbre Funktion, die zusätzlich die Cuchy- Riemnn-Gleichung erfüllt, nämlich z u =. Bemerkung: Der Lplce-Opertor schreibt sich uch = 4 z z. Wenn wir wieder f = g + ih schreiben, ist die Cuchy-Riemnn-Gleichung äquivlent zu den Gleichungen g x = h y, g y = h x. Proposition 1.1. Es sei f : G C holomorph (G sei ein Gebiet), sodss f uf G. Dnn ist f konstnt.

4 4 JULIE ROWLETT Proof. Wir hben lso f z sowie f z, lso sind uch f x = f y =. Dementsprechend ist f in beide Richtungen konstnt, lso konstnt uf G. 2. Gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen Die folgende Proposition kennen Sie schon us der Anlysis 1. Proposition 2.1. Die geometrische Reihe z k, k= z C konvergiert genu dnn, wenn z < 1. In diesem Fll ist z k = 1 1 z. k= Definition 2.2. Eine Folge Funktionen f k : U C uf einem Gebiet U C konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion f uf U genu dnn, wenn es für ε > N N gibt, sodss k N und z U gilt: f k (z) f(z) < ɛ. Wir nennen die Folge kompkt konvergent genu dnn, wenn die Folge für jedes kompkte K U gleichmäßig uf K konvergiert. Wir wissen us Anlysis 1: Proposition 2.3. Der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten (oder kompkt konvergenten) Folge stetiger Funktionen ist stetig. Wir hben uch eine Proposition über die Konvergenz der Ableitungen: Proposition 2.4. Es sei {f k } eine Folge holomorpher Funktionen, die uf einem Gebiet U C gegen eine Funktion f konvergieren. Es seien die Ableitungen f k stetig und gegen eine Funktion g kompkt konvergent. Dnn ist f holomorph und f = g. Proof. Wegen der kompkten Konvergenz knn mn für z U folgende Grenzwerte ustuschen: f(z) f(z ) lim = lim z z z z z z lim k f k (z) f k (z ) z z = lim k lim z z f k (z) f k (z ) z z = g(z ). Ferner ist g uf U stetig, d sie der Grenzwert stetiger kompkt konvergenter Funktionen ist. Also ist f = g und f uf U holomorph. Definition 2.5. Eine Funktionenreihe k f k uf M C heißt bsolut konvergent uf M, wenn f k uf M gleichmäßig konvergiert. k Die folgende Proposition ist eine Wiederholung us der Anlysis I. Proposition 2.6 (Konvergenzkriterien). Die Reihe f k ist bsolut gleichmäßig konvergent uf M: (1) wenn es ε > ein N N gibt, sodss n, m N und z M gilt: m f k (z) < ε. Dieses nennt mn ds Cuchy-Kriterium. n

5 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 5 (2) Ist k eine konvergente Reihe mit k k und es gilt für fst lle k und z M Bemerkung: f k (z) k, so ist f k bsolut gleichmäßig konvergent uf M. Dieses nennt mn ds Dominntenkriterium. Fst lle heißt hier bis uf eine endliche Teilmenge. Definition 2.7. Die Einheitskreisscheibe ist Für r > wir verwenden D = {z C : z < 1}. rd := {z C : z < r}. Definition 2.8. Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form k (z z ) k. Proposition 2.9. Es sei z 1 und M sodss gilt: Dnn konvergiert die Reihe bsolut kompkt in der Kreisscheibe z 1 D. k z k 1 M, k. k z k Proposition 2.1. Für jede Potenzreihe P (z) = k z k gibt es ein r, sodss P (z) bsolut und kompkt konvergent uf rd ist und für z > r divergiert. Dieses r nennt mn Konvergenzrdius. Es gilt: 1 r = lim sup k. 1/k Stz Eine Potenzreihe P (z) = k z k ist in ihrem Konvergenzgebiet (d.h. der Kreisscheibe mit Rdius gleich dem Konvergenzrdius) holomorph. Ihre Ableitung ist P (z) = k k z k 1, 1 und der Konvergenzrdius von P stimmt mit dem von P überein. Proof. Die Funktionen f n (z) := sind jeweils gnz und stetig. Die Ableitungen f n(z) = n k z k k= n k k z k 1 1 sind uch gnz und stetig. In ihrem Konvergenzgebiet konvergieren die Funktionen f n kompkt gegen P (z). Es folgt us der Anlysis I, dss der Konvergenzrdius von kk z k 1 mit dem von P übereinstimmt. Es sei lso g(z) := k k z k 1. Somit ist die Folge f n uf kompkten Teilmengen des Konvergenzgebietes gleichmäßig gegen g konvergent. Es folgt us Proposition 2.4, dss g = P, lso ist g die Ableitungsfunktion von P und P ist uf dem Konvergenzgebiet holomorph.

6 6 JULIE ROWLETT Stz 2.12 (Identitätsstz). Es sei P (z) = j z j eine konvergente Potenzreihe. Dnn ist P (k) (z) = j(j 1)... (j k + 1) j z j k, j=k k = P (k) (). k! Flls es eine Umgebung von gibt, in der P, dnn ist k = k. Flls Q(z) = b k z k uch in einer Umgebung von konvergiert und in dieser Umgebung P = Q gilt, dnn ist k = b k k. Proof. Wir können den Stz 2.11 wieder uf P verwenden, mit z.b. ã k := (k + 1) k+1. Dnn ist P (z) = ã k z k = P (z) = ã k kz k 1 = k(k 1) k z k 2, 1 2 und P dsselbe Konvergenzgebiet besitzt. Wenn mn dieses k ml mcht ht mn die Formel für die k te Ableitungsfunktion für P. Die Formel für k folgt, wenn mn z = in der Formel für P (k) setzt. Ist P in einer Umgebung U von, dnn ist =. D P uch in dieser Umgebung konstnt ist, ist P in dieser Umgebung. Dsselbe gilt lso für P und P (k) für jede k. Also ist im Punkt P (k) () = k, und lut der Formel für k ist k = k. Flls Q uch konvergiert in einer Umgebung von, in der P Q, dnn d n n n n (b k k )z k ( b k + k ) z k = b k z k + k z k, und beide konvergieren in dieser Umgebung, ist lso die Potenzreihe R(z) = (b k k )z k bsolut kompkt konvergent in dieser Umgebung U und R(z) = Q(z) P (z) z U. Wir hben gezeigt, dss die Koeffizienten dnn jeweils verschwinden, b k k = k = b k = k k. Der Sgt, dss konvergente Potenzreihen eine eindeutige Drstellung hben, dementsprechend nennen wir den Stz der Identitätsstz, weil er uns sgt, dss eine konvergente Potenzreihe eine eindeutige Identität ht. Der Mittepunkt, ist unwichtig. Wir können ds gleiche für Potenzreihen um einem nderen Punkt, z, P (z) = k (z z ) k. 3. Exponentielle und Trigonometrische Funktionen Es gibt eine wichtige Funktion e z := z k k!. Berechnen Sie den Konvergenzrdius. Diese Funktion ist dementsprechend gnz. Ihre Ableitung ist... sich selbst! Lut der Definition knn mn zeigen, dss (1) e z = e z (2) e = 1

7 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 7 (3) Es sei w C fest. Dnn ist für f(z) = e z+w und g(z) = e z lut der Produktregel (fg) (z) = e z+w e z e z+w e z =. Dementsprechend ist f g konstnt. Also gilt e z+w e z = C C ist eine konstnte Funktion. Für z = ist C = e w, lso gilt für jede z C, (3.1) e z+w e z = e w. D w zufällig us C wr, gilt dieses für jede w C. Dnn, für w = gilt (lut (2)) e z e z = e w= = e = 1. Also wenn wir e z+w e z = e w mit e z multiplizieren und (3.1) verwenden hben wir (4) Aus (1) und (3) hben wir e z+w e z e z = e z+w 1 = e z+w = e z e w. e z = (e z )(e z ) = e z+ z = e (z+ z)/2 = e R(z). Es folgt, dss der Bild {e z : R(z) = c} uf einer Kreisscheibe liegt. Wie schön. Insbesondere {e z : R(z) = }. Ds Verhältnis zwischen z und der Lge des Punkts e z uf der Kreisscheibe mit dem Rdius e R(z) werden wir mithilfe der folgenden wichtigen Funktionen betrchten. Definition 3.1. Die trigonometrische-funktionen cos(z) := 1 2 (eiz + e iz ). Die hyperbolische-trigonometrische Funktionen sin(z) := 1 2 (eiz e iz ). cosh(z) := 1 2 (ez + e z ). sinh(z) := 1 2 (ez e z ). Diese Funktionen hben folgende Eigenschften, die us der Potenzreihe für e z sowie die Definitionen folgen. (1) sin (z) = cos(z), cos (z) = sin(z), sinh(z) = cosh(z), cosh (z) = sinh(z). (2) sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w, cos(z + w) = cosz cos w sin z sin w. sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w. cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w. (3) Für jede diese Funktion gilt f( z) = f(z). (4) Mithilfe der Potenzreihe e z knn mn usrechnen cos(z) = ( 1) k z2k (2k)!, sin(z) = ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)!. cosh(z) = z 2k (2k)!, sin(z) = z 2k+1 (2k + 1)!. (5) e iz = cos z + i sin z. Für z = y R ht mn lso Dementsprechend gilt: (6) sin 2 z + cos 2 z = 1. (7) cosh 2 z sinh 2 z = 1. e iy = cos y + i sin y. e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y).

8 8 JULIE ROWLETT Zu jedem Punkt gilt Für pssende z = x + iy D, x 2 + y 2 = 1. θ = rctn y x gilt e iθ = cos θ + i sin θ = x + iy. Dementsprechend ist e z : ir uch surjektiv. Wir können dmit π definieren. Definition 3.2. π ist die kleinste reelle Zhl, sodss e 2πi = 1. Lut dieser Eigenschften der Exponentielle-Funktion hben wir folgende. (1) e z ist periodisch mit Period 2πi. (2) t e t ist von R (, ) bijektiv. (3) t e it ist von [, 2π) bijektiv. Drus folgt es, dss für jede z C es r, θ R geben, sodss z = re iθ. Diese Drstellung einer komplen Zhl nennt mn Polr-Drstellung, und mn nennt (r, θ) Polr-Koordinten. Folgende Proposition kennt mn us der Anlysis I; zu zeigen ist ber, dss es keine Nullstellen gibt, der Form z = x + iy, wobei y. Proposition 3.3. Die Nullstellen der sin sind die reelle Zhlen kπ wobei k Z, und die Nullstellen der cos sind die reelle Zhlen π 2 + kπ, wobei k Z. Proof. Wir betrchten den sin Fll. Flls sin(z) =, lut der Definition gilt: e iz e iz = = e 2iz 1 = = e 2iz = 1 = 2iz = 2ikπ wobei k Z. Der Fll cos ist ähnlich. 4. Grundlgen der Integrtion Eine die wichtigste Technik der Funktionentheorie ist die Integrtion. Zuerst benötigen wir einige Ergebnisse us der Anlysis I/II. Definition 4.1. Eine Funktion f : [, b] C heißt stuckweise stetig (ss) flls es = t <... < t n = b geben, sodss f eingeschränkt uf (t i, t i+1 ) ist für i =,..., n 1 stetig, und f eine stetige Fortsetzung uf den Rndpunkte t i und t i+1 ht. Die Funktion heißt stuckweise differenzierbr flls f existiert bis uf {t i } n i= und f knn lso ss Funktion fortgesetzt werden. Es sei f : [, b] C messbr; ds gilt genu dnn, wenn es g, h : [, b] R geben, die messbr sind, sodss f = g + ih. Dnn ist I(f) := b Es gelten: (1) Die Funktionl I ist liner (2) I( f) = I(f) (3) I(Rf) = RI(f) (4) I(If) = II(f) f(t)dt := b g(t)dt + i Lemm 4.2. Es sei f : [, b] C messbr. Dnn gilt b b f(t)dt f(t) dt. b h(t)dt.

9 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 9 Proof. D b f(t)dt = η C, können wir η ls Polr-Drstellung schreiben: Dnn gilt: D e iθ = 1, gilt und ferner gilt η = re iθ, r, θ R. e iθ η = r. e iθ η = e iθ η = η, η = e iθ I(f) = R(e iθ I(f)) = R b e iθ f(t)dt = b R(e iθ f(t))dt b e iθ f(t) dt = b f(t) dt. Alles ws wir von Integrtion uf R schon wissen gelten genu so uf C. Insbesondere hben wir Proposition 4.3. Es sei f C 1 ([, b]). Dnn gilt b f (t)dt = f(b) f(). Es sei f stuckweise stetig uf [, b] und sei h : [c, d] [, b] eine stetige, monoton wächsend und stuckweise differenzierbre bijektion. Dnn b f(s)ds = Jetzt können wir Integrtion uf C definieren. d c f(h(t))h (t)dt. Definition 4.4. Es sei M C. Ein Integrtionsweg in M ist eine stetige und stuckweise differenzierbre Abbildung : [, b] M. Ds Intervl [, b] ist ds Prmeter-Intervl und der Anfngspunkt ist () und der Endpunkt ist (b). Der Bild [, b] ist der Spur des Wegs s und würde mit Sp gezeichnet. Die Länge eines Integrtionswegs ist L() := b (t) dt. Es sei f : M C stetig uf M C, und : [, b] M ein Integrtionsweg. Dnn ist ds Integrl von f uf dem (Integrtions)Weg, b f(z)dz := f((t)) (t)dt. Wir werden oft Integrtionsweg mit Weg bkürzen. Hier sind einige Beispiele: (1) Es seien < b C R und : [, 1] C definiert durch Dnn ist [,b] f(z)dz = 1 (t) = + t(b ). f( + t(b ))(b )dt = b f(s)ds, wobei wir s := + t(b ) zusmmen mit Koordinten-Wechsel für reelle Vrible verwendet hben.

10 1 JULIE ROWLETT (2) Es sei z C und r >, und Dnn ist (t) := z + re it : [ π, π] z + rd. L() = π π (t) dt = π π ire it dt = 2πr. Also glücklicherweise stimmt unsere Definition π mit der üblichen geometrischen Definition π. (3) Besonders wichtig ist dz π ire it = z z π re it = 2πi. Jetzt wollen wir zeigen, dss Integrtion uf C eindeut definiert ist. Definition 4.5. Eine Prmeter-Wechsel ist eine Funktion h : [c, d] [, b], die eine stetige, stuckweise differenzierbre bijektion ist, sodss es eine δ > gibt, sodss gilt h (t) > δ t sodss h definiert ist. Für einen Integrtionsweg, dnn ist h : [c, d] C ein Integrtionsweg mit demselben Spur. Wir nennen h eine Reprmetrizierung von. Es sei f uf Sp stetig. Dnn gilt b d f(z)dz = f((t)) (t)dt = f((h(s))( h) (s)ds = f(z)dz. c Wir werden Integrtionswege, die Reprmetrizierungen von einnder sind, identifizieren. Proposition 4.6. Es sei f stetig uf Sp. Dnn gilt: f(z)dz L() mx z Spur f(z). Proof. D : [, b] C stetig ist, ist ([, b]) kompkt. (Wrum?) D f uch stetig uf Spur ist, dnn gibt es M R sodss gilt f(z) M z Spur. Es folgt us der letzten Proposition, dss b f(z)dz = f((t)) (t)dt b b M (t) dt = ML(). h f((t)) (t) dt Proposition 4.7. Es seien {f k } stetige Funktionen, die gleichmä ßig gegen eine Funktion f uf Spur konvergieren. Dnn ist f stetig und f(z)dz = lim f k(z)dz. k Proof. Wir wissen schon, dss f stetig ist. Wir können den DomKon Stz von Lebesgue verwenden, d wegen der gleichmä ßig Konvergenz, gibt es N N sodss für jede k N und für jede z Spur gilt: f k (z) f(z) < 1. D f uf Spur stetig ist, und Spur kompkt ist, gibt es M R sodss gilt Es sei f(z) < M z Spur. M k := mx{ f k (z) : z Spur }.

11 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 11 (Wrum ist es mx und nicht nur sup?) G := mx{m 1, M 2,..., M N 1, M + 1}. Dnn gilt für jede k inn f k (z) G z Spur. Die Proposition folgt lso us dem DomKon Stz von Lebesgue. Mn könnte uch direkt bschätzen : f(z)dz f k (z)dz = (f(z) f k (z))dz L() mx f(z) f k(z) ls k, z Spur wobei diese folgt us der Definition der gleichmäßig Konvergenz. Wir können uch die Integrtionssätze us der Lebesgue-Integrtionstheorie verwenden und folgende beweisen. Proposition 4.8. Es sei ein Integrtionsweg in C, M R n und f : Spur M C sei stetig. Dnn es gelten: (1) Die Funktion F (x) := f(z, x)dz ist uf M stetig. (2) Es sei M offen und die prtielle Ableitung von f bzgl. x k stetig uf Spur M, dnn ist F C 1 bzgl. x k und es gilt F (x) = x k f x k (z, x)dz. (3) Es sei M C offen und z Spur f sei holomorph bzgl. w M und f w (z, w) sei stetig uf Spur M, dnn ist F holomorph in w und F (w) = f w (z, w)dz. Es seien α und β zwei Integrtionswege und f sei uf Spur α Spur β stetig. Dnn es gilt ( ) ( ) f(z, w)dw dz = f(z, w)dz dw. α β β α Es seien { j,k } komplexe Zhlen. Flls es M R gibt, sodss gilt m n j,k M m, n N, dnn sind die Reihen j hben. k j,k j= k= sowie k j j,k 5. Stmmfunktionen und Integrtion bsolut konvergent und dieselbe Summe Es gibt eine interessnte Verbindung zwischen den folgenden drei Frgen bzgl. eine Funktion f : G C uf einem Gebiet G C: (1) Gibt es eine Stmmfunktion F sodss gilt F = f? (2) Ws ist ds Integrl von f uf bgeschlossenen Integrtionswegen? (3) Ist f holomorph uf G? Wir werden zuerst den Zusmmenhng zwischen (1) und (2) untersuchen. Definition 5.1. Es sei f : G C eine stetige Funktion, die uf einem Gebiet G C definiert ist. Eine Funktion F : G C heißt eine Stmmfunktion (für f) flls F holomorph ist und es gilt: F = f.

12 12 JULIE ROWLETT Zum Beispiel für eine Potenzreihe uf seinem Konvergenzgebiet f(z) = n (z z n ), G = Konvergenzgebiet von f, ist F (z) := n n + 1 (z z ) n+1 eine Stmmfunktion für f. Diese Funktion ht dsselbe Konvergenzgebiet vie f (wrum? zeigen Sie!). Sie können lso mithilfe der Potenzreihen für e z, cos z, sin z Stmmfunktionen für diese Funktionen berechnen und sie sind nichts nders ls erwrtet. Es sei F eine Stmmfunktion für f, dnn für ein Integrtionsweg : [, b] C, d (f ) stetig ist, gilt (Kettenregel, Fundmentlstz der Anlysis) b b f(z)dz = f((t)) (t)dt = (F ) (t)dt = F ((b)) F (()). Ist lso bgeschlossen, gilt f(z)dz =. Proposition 5.2. Es sei F eine Stmmfunktion für f : G C. Dnn für jeden Integrtionsweg : [, b] C mit Spur() G gilt f(z)dz = F ((b)) F ((b)). Flls bgeschlossen ist, dnn ist f(z)dz = Vergleich mit R. Es sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn ist die Funktion F (t) := t f(s)ds eine Stmmfunktion für f uf (, b), lut dem Fundmentlstz der Anlysis. Gibt es lso immer eine Stmmfunktion für jede stetige Funktion, die uf einem Gebiet in R definiert ist. Diese Aussge gilt nicht für jede stetige Funktion G C C. Zum Beispiel (diese Funktion ist immer gut im Kopf zu behlten) f(z) := 1 z : G = C \ {} C ist uf G stetig. Wir berechnen für den Integrtionsweg : [, 2π] C, (t) = e it, 2π 1 2π f(z)dz = (t) (t)dt = e it ie it dt = 2πi. Die Proposition sgt, dss wenn f(z) eine Stmmfunktion hätte, dnn müsste ds Integrl verschwinden, d Spur() G. Proposition 5.3. Es sei f eine stetige Funktion uf einem zusmmenhängenden Gebiet G C sodss gilt f(z)dz =, für jeden bgeschlossen Integrtionsweg mit Spur() G. Dnn gibt es eine Stmmfunktion F für f. Proof. Es sei G. Für z G, sei z ein Integrtionsweg von nch z in G. Dmit z existiert brucht mn, dss G zusmmenhängt. Sei F (z) := dw. z

13 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 13 D G ein Gebiet ist, ist G ngenommen offen. Diese Definition hängt von b ber sie hängt nicht von der Whl z b. Sei σ z ein Integrtionsweg zwischen und z in G. Wir werden oft nnehmen, dss = und b = 1, d wir einfch ein Prmeterwechsel verwenden könnten, und ds Integrl sowie Integrtionsweg gleich bleiben. Dnn ist (t) := z (t), t [, 1], σ z (2 t), t [1, 2] ein bgeschlossener Integrtionsweg in G wobei wir merken, dss σ z (2 t) : [1, 2] G ist genu σ z (t) = σ(1 t) : [, 1] G d.h. σ z einfch rückwärts. Dementsprechend ist dw = = dw z dw = σ z dw = z dw. σ z Noch zu bemerken ist, d 1 f(σ(1 t))dt = 1 f(σ(s))ds, s = 1 t. Jetzt werden wir zeigen, dss so definiert ist F holomorph und die Ableitungsfunktion f ist. Für z G, es gibt ɛ > sodss für jede z C mit z z < ɛ ist z G und dmit ist der Weg [z, z ] G. Der Integrtionsweg (t) = z (t), t [ 1, ], (1 t)z + tz, t [, 1], σ(t) = z (3 t), t [1, 2], ist ein bgeschlossener Integrtionsweg in G lso gilt dw + dw z [z,z ] dw =. z Eine kleine Bemerkung ist, dss so definiert knn mn z (2 t) mit z identifizieren, d der Spur z (2 t) ist genu der Spur z nur Rückwärts gelufen. Wir hben lso F (z) F (z ) = dw dw = dw = z z [z,z] F (z) F (z ) = Dementsprechend ist 1 f(z + t(z z ))(z z )dt = (z z ) F (z) F (z ) lim = lim z z z z = 1 z z 1 f(z )dt = f(z ). 1 f(z + t(z z ))dt f(z + t(z z ))dt. Eine Eigenschft fehlt für den Gebiet C \ {}: Konvexität. In der Anlysis ist Konvexität eine sehr wichtige Eigenschft, die Konzequenzen für die Lösungen prtielle Differentilgleichungen ht!! Die Existenz einer Stmmfunktion ist eine DG grdes eins (F = f), die in der Regel nicht homogen ist (d.h. f ). Eine etws schwchere geometrische Eigenschft ls Konvexität ist sternformig. Definition 5.4. Eine Gebiet G heißt sternformig flls es G gibt, sodss für jede z G der gerde Weg [, z] in G liegt. Es ist klr, dss jede konvexe Gebiet sternformig ist! Proposition 5.5. Es sei G C ein sternformiges Gebiet bzgl. G und sei f : G C stetig. Flls es gilt für jeden bgeschlossenen Dreieck T G dessen Ecken in G sind, dw =, dnn ht f eine Stmmfunktion. T

14 14 JULIE ROWLETT Proof. Es sei F (z) := [,z] dw. Wir werden zeigen, dss F eine Stmmfunktion für f ist. Sei z G und z sodss [z, z] G, dnn ist T der Dreieck mit Ecken, z, und z innerhlb von G (zeichnen Sie!) und gilt lso = dw = dw + dw + dw = [,z] T dw [z,z] Wie im letzten Beweis ist lso F (z) F (z ) = Dementsprechend ist 1 [,z] dw [z,z ] [z,z ] = F (z) F (z ) = [z,z] dw = F (z) F (z ) [z,z] dw. f(z + t(z z ))(z z )dt = (z z ) F (z) F (z ) lim = lim z z z z = 1 z z 1 f(z )dt = f(z ). 1 f(z + t(z z ))dt [z,z] dw f(z + t(z z ))dt Der Fundmentlstz der Funktionentheorie. Um den Fundmentlstz zu beweisen werden wir folgenden benötigen. Lemm 5.6 (Gourst). Es sei f holomorph uf einer Umgebung G T wobei T C ein Dreieck ist. Dnn gilt f(z)dz =. T Proof. Mn knn den Dreieck in vier kleinere Dreiecke {T1 k } 4 k=1 ufteilen, in dem wir uf jedem Rnd dem Mittelpunkten verbinden. Dnn läufen die Integrtionswege sodss, die mitteleren gegenseitig vernichten, lso gilt 4 f(z)dz = f(z)dz 4 mx f(z)dz 1 k 4. T k=1 T k 1 Es sei T 1 der Dreieck, dessen Integrl m Rnd ds Mximum erreicht. Dnn gilt f(z)dz T 4 f(z)dz. 1 T Wir mchen genuso mit T 1, dmit es T 2 gibt und immer weiter so. Dnn ist T T 1 T 2... T k T k+1..., und es gilt (5.1) f(z)dz T 4k f(z)dz. k Lut Euclidische Geometrie gilt: T T k 1 T 1 = 1 2 T, T k = 2 k T, wobei T die Länge des Rnds bedeutet. D der Durchmesser eines Dreiecks gleich die Länge der längsten Seite ist, gilt uch d(t k ) = 2 k d(t ).

15 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 15 Jede T k ist kompkt, lso folgt es us der Vollständigkeit C, dss k 1 T k, und d dieser Durchschnitt in jedem T k liegt, ist der Durchmesser kleiner ls 2 k d(t ) für jede k N. D dieses gegen konvergiert ist dementsprechend k 1 T k = {z }. (Wenn es ein nderen Punk gäbe, muss der Abstnd zwischen den beiden positiv sein und wäre der Durchmesser dnn mindestens so gröss und dmit nicht mehr ). Angenommen wr, dss f holomorph ist, lso gibt es eine stetige Funktion A uf T sodss wobei A(z ) =. Die Funktion ht eine Stmmfunktion, nämlich f(z) = f(z ) + (z z )f (z ) + (z z )A(z), g(z) := f(z ) + (z z )f (z ) Dementsprechend ist G(z) := zf(z ) + (z z ) 2 f (z ). 2 g(z)dz =. T Dnn hben wir f(z)dz = (z z )A(z)dz T k T T k mx (z z )A(z) z T k k T k d(t k ) mx z T k A(z). Wenn wir (5.1) zusmmen mit dem Verhältniss der Umfssungen sowie Durchmesser verwenden, hben wir f(z)dz 4k 2 k T 2 k d(t ) mx A(z) = T d(t ) mx A(z). z T k z T k T D T k {z } ls k und A(z ) = ist stetig in z, konvergiert die rechte Seite gegen ls k und dementsprechend ist f(z)dz =. T Stz 5.7 (Cuchy-Integrlstz). Es sei f eine holomorphe Funktion uf einem sternformigen Gebiet G. Dnn ht f eine Stmmfunktion und gilt f(z)dz =, für jeden bgeschlossenen Integrtionsweg in G. Proof. Nch dem Gourst-Lemm verschwindet ds Integrl von f uf jedem Integrtionsweg, der ein Dreieck ist. Dnn nch der Proposition für sternformige Gebiete, ht f eine Stmmfunktion. Lut noch einer Proposition verschwindet ds Integrl für jeden bgeschlossenen Integrtionsweg in G.

16 16 JULIE ROWLETT 6. Ds Cuchy-Integrlformel Wir werden sehen, dss die Werte einer holomorphen Funktion innerhlb eines Kreises durch den Werte uf dem Rnd des Kreises bestimmt werden. Dieses können Sie beim Integrtionsrechnung verwenden! Lemm 6.1. Es sei T C ein Dreieck und es sei f holomorph uf einem Gebiet G ds T enthält mit T G userhlb vielleicht einem Punkt z in dem Inneren von T in dem f nur stetig ist. Dnn ist f(z)dz =. Proof. T T (1) Es sei z eine Ecke von T. D f stetig ist, ist f uf der kompkten Menge T beschränkt, sodss es M > gibt mit M for ll w T. Es sei ε >. Wir teilen T in drei neuen Dreiecken, sodss z in T 1 ist und L(T 1 ) < ε M. Dnn d in einer Umgebung von den nderen Dreiecken T 2 und T 3 die Funktion f holomorph ist, gilt f(z)dz =, i = 1, 2. T i D f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz = T 1 T 2 T 3 Dieses gilt für jede ε > lso ist L(T 1 )M < ε. T f(z)dz =, T f(z)dz T = f(z)dz 1 flls z eine Ecke ist. (2) Es sei z uf einer Seite von T. Dnn teilen wir T in zwei Dreiecken, sodss z eine Ecke für beide ist. Lut (1) gilt T i f(z)dz =, i = 1, 2 = T f(z)dz = f(z)dz + T 1 f(z)dz =. T 2 (3) Im letzten Fll, ist z in dem Inneren von T. Auch kein Problem. Dieses ml teilen wir T in zwei Dreiecken, sodss z uf einer gemeinsmen Seite von T 1 und T 2 ist. Lut (2) ist f(z)dz =, T i i = 1, 2 = f(z)dz = T f(z)dz + T 1 f(z)dz =. T 2 Aus dem Lemm fogt den Korollr 6.2. Es sei G C ein sternformiges Gebiet und f : G C eine stetige Funktion die uf G \ {z } holomorph ist. Dnn für jeden bgeschlossenen Integrtionsweg in G gilt f(z)dz =.

17 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 17 Proof. Es sei T ein Dreieck sodss T G. Dnn flls z T ist, lut dem Lemm ist f(z)dz =. T Flls T z =, dnn ist f holomorph uf einer Umgebung von T lso nch dem Lemm von Gourst ist f(z)dz =. T Dementsprechend sind die Vorussetzungen der Proposition 5.5 erfüllt und die Proposition sgt, dss f eine Stmmfunktion ht. Dnn folgt die Aussge us der Proposition 5.2. Stz 6.3 (Cuchy Integrlformel). Es sei G ein Gebiet in C und z G. Es sei D = D r (z ) G. Dnn für jede holomorphe Funktion f uf G, f(z) = 1 dw, z D. 2πi w z Proof. D ds Gebiet offen ist, gibt es ε >, sodss r (, ε] D r (z ) G. Es sei z D und es sei r (, ε). Wir definieren g(z) = { f(z) w z f (z) w z w = z Die Funktion g ist holomorph uf U := D (r+ε)/2 und ist uf jeden Fll stetig im Punkt z. Lut dem Korollr können wir den Cuchy-Integrlstz uf g verwenden lso gilt f(z) = g(w)dw = dw = w z w z dw f(z) w z dw. Mn merkt, dss f(z) konstnt uf ist. Also ist dw dw = f(z) w z w z. Wir möchten ds Integrl dw w z berechnen. Wir wissen ds Ergebnis flls z = z ber flls nicht..? Die Frge ist wie ändert sich ds Integrl ls z sich ändert? Dementsprechend berechnen wir dw z w z = dw (w z) 2. (Der Grund, wrum wir die Ableitung (= ein Grenzwert) in dem Integrl reinziehen können folgt us dem Dominierten Konvergenzstz von Lebesgue, d die Funktion 1 w z uf gleichmäßig beschränkt ist!) Die Funktion 1 g(w) = (w z) 2 ht eine Stmmfunktion uf dem Gebiet G = C \ z, nämlich G(w) = 1 w z. D C \ z, ist lso g(w)dw = = dw z w z =. Dnn müss die Funktion dw z w z konstnt uf D sein und dementsprechend ist dw w z = dw 2π rie it = w z z + re it dt = 2πi, z

18 18 JULIE ROWLETT wobei wir den Integrtionsweg (t) = z + re it : [, 2π] verwendet hben. Ist lso dw 1 dw = f(z) = 2πif(z) = f(z) = w z w z 2πi w z dw. Ds Formel können wir jetzt verwenden um irgendws sehr interessntes zu beweisen... Stz 6.4 (Supermegdifferenzierbrkeit). Es sei G ein Gebiet in C und f eine holomorphe Funktion uf G. Dnn ist f uch holomorph, sowie f, und so weiter: f ist unendlich-ml komplex differenzierbr! Es gilt für jede z G und r > so klein, dss D = D r (z ) G, für z D, f (k) (z) = k! dw. 2πi (w z) k+1 Dieses Formel nennt mn uch ds Cuchy-Integrlformel. Proof. Es sei z G und r > so klein, dss D = D r (z ) G. Dnn lut dem Integrlformel ist für jede z D f(z) = 1 2πi w z dw. D ds Integrnd gleichmäßig uf beschränkt ist, können wir schon wieder z f(z) = 1 z 2πi w z dw betrchten. Auf der rechten Seite ist die Ableitung des Integrnds z w z = (w z) 2, lso ist z f(z) = f (z) = 1 2πi (w z) 2 dw. Ds Integrnd ist eine holomorphe Funktion für z D. Dnn knn mn nochml betrchten z f (z) = 1 z 2πi (w z) 2 dw = 2 z 2πi (w z) 3 dw. Dementsprechend ist f uch holomorph uf D mit f (z) = 2 z 2πi (w z) 3 dw. Ds Integrnd ist immer noch eine holomorphe Funktion für z D. Wir können dieses so oft wiederholen, wie wir wollen. Allgemein gilt: f (k) (z) = k! dw. 2πi (w z) k+1 Wir können diese für jedes z G tun, um zu zeigen, dss in einer Umgebung von jedem Punkt in G, f unendlich-ml komplex differenzierbr ist. Bemerkung: Mn sieht hier ein GRÖSSES Unterschied zwischen R Differenzierbrkeit und C Differenzierbrkeit. Dsselbe gilt nicht für R differenzierbre Funktionen. Ws wäre ein Beispiel? (vlt. f(x) = x α für irgendein α... Proposition 6.5 (Morer). Es sei f eine stetige Funktion uf einem Gebiet G C und sei f(z)dz = für jeden Dreieck T G. Dnn ist f uf G holomorph. T

19 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 19 Proof. Es sei D G eine Kreisscheibe. Dnn gilt für jeden T D, f(z)dz =, T d T uch G. Wir bemerken, dss D konvex und dementsprechend uch sternformig ist. Also folgt es us der Proposition 5.5, dss f eine Stmmfunktion F uf D ht. Ist lso F (z) = f(z), z D. Lut dem Stz ist F unendlich ml C differenzierbr und dementsprechend ist uch f. Ist lso f holomorph uf D. D für jeden z G es r > gibt, sodss D = D r (z ) G, hben wir gezeigt, dss f uf G holomorph ist. Stz 6.6 (Riemnnische Fortsetzungsstz). Es sei G C ein Gebiet mit z G, sodss f uf G \ {z } holomorph ist und es r, M > gibt, sodss f(z) < M, z G mit z z < r. Dnn gibt es eine eindeutige holomorphe Fortsetzung von f, die holomorph uf G ist. Proof. D f in der Nähe von z beschränkt ist, gilt Dementsprechend ist die Funktion lim (z z )f(z) =. z z { (z z )f(z) z z F (z) = z = z holomorph uf G und stetig in z. Aus dem ersten Lemm dieses Abschnitts ist F (z)dz =, T für jeden Dreieck T G. Folgt es lso us der Proposition von Morer, dss F holomorph uf G ist. Dnn gilt: F F (z) F (z ) (z ) = lim = lim f(z). z z z z z z Gibt es lso ein eindeutiger Grenzwert lim z z f(z), nämlich F (z ) und wir definieren die Fortsetzung { f(z) f(z) := F (z ) z z z = z 7. Potenzreihen Holomorphe Funktionen Holomorphe Funktionen sind nich nur supermegdifferenzierbr sondern uch besitzen jeweils eine Potenzreihe. Stz 7.1 (Potenzreiheit). Es sei f eine holomorphe Funktion uf dem Gebiet G C und z G. Dnn gibt es r >, sodss uf D = D r (z ) ist f(z) = k k (z z ) k, k = 1 k! f (k) (z ). Der Konvergenzrdius ρ(z ) erfült ρ sup{ρ > s.d.d ρ (z ) G}.

20 2 JULIE ROWLETT Proof. Wir verwenden ds Cuchy-Integrlformel uf D r (z ) f(z) = 1 2πi w z dw. Wir schreiben 1 w z = = w z 1 z z w z w z Für jeden z D ist z z w z < r r = 1, lso konvergiert die geometrische Reihe bsolut ( ) n z z. w z n= ( ) n z z. n= w z D f uf gleichmäßig beschränkt ist, konvergiert ebenso die Reihe (w z ) n+1 (z z ) n. Ist lso f(z) = 1 2πi n= n= (w z ) n+1 (z z ) n dw = = n= n= f (n) (z ) (z z ) n. n! 1 2πi (w z ) n+1 (z z ) n dw Lut dem Identitätsstz sind die Koeffizienten der Potenzreihen eindeutig. Wir können ds gleiche uf D ρ (z ) tun, für jede ρ > sodss D ρ (z ) G, dementsprechend folgt die Aussge wegen des Konvergenzrdiuses. Mithilfe dieses Stzes können wir eine stärkere Identätsstz formulieren. Wir werden vorher einen topologischen Hilfstz beweisen. Lemm 7.2 (Clopen). Es sei M offen sowie bgeschlossen und M G wobei G offen und zusmmenhängend ist. Dnn ist M = G oder M =. Proof. Angenommen ist M. Beweis durch Wiederspruch. Sei M G. Dnn gibt es q G\M. D G zusmmenhängend ist, gibt es einen Weg in G von q nch M. Dementsprechend gibt es eine Folge {p n } G \ M sowie p M sodss d(p n, p). D p M und M offen ist, gibt es ɛ > sodss Wegen p n p gibt es N N sodss B ɛ (p) M. d(p n, p) < ɛ n N. Dnn ist p n M n N, ws wiederspricht {p n } G \ M. Proposition 7.3 (Identitätsstz v.2). Es sei G C ein Gebiet und f sowie g holomorphe Funktionen uf G. FASÄ (1) Es gibt z G und eine Folge {z n } G \ {z } die gegen z konvergiert, sodss f(z k ) = g(z k ) k N. (2) f g (3) Es gibt z G sodss f (n) (z ) = g (n) (z ) n.

21 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 21 Proof. Es ist klr, dss (2) = (1) sowie (3). Betrchten wir die Funktion h = f g. Nehmen wir (1) n, lso gibt es eine z und eine Folge sodss h(z k ) = k N, und wollen wir zeigen, dss Betrchten wir die Potenzreihe h. h(z) = n n (z z ) n. Es folgt us der Stetigkeit h, dss h(z ) = lim n h(z n) = = =. Es sei denn = 1 =... = n 1 = für n 1. Dnn ist h(z) = (z z ) n ( n + n+1 (z z ) +...) = (z z ) n H(z), und H ist stetig in z. D z n z n N ber h(z n ) = n N müss H(z n ) = n N. Dementsprechend ist H(z ) = lim n H(z n) =. Lut der Definition H ist n = H(z ). Ist lso n =. Dieses zeigt, dss (1) = (3). Ferner gilt, d der Potenzreihe in einer Umgebung von z gleich die Funktion h ist, h(z) in einer Umgebung von z. Nehmen wir jetzt lso (3) n. Lut dem Stz der Potenzreihen holomorphe Funktionen (Potenzreiheit) gibt es r >, sodss h(z) = z D r (z ) G. Es sei M := {z 1 G : es r > gibt, sodss h(z) = z D r (z 1 )}. Flls z 1 M, dnn gibt es r >, sodss z D r (z 1 ) h(z) =. Dnn ist für z 2 D r/2 (z 1 ) lso ist Ist lso z z 2 < r/2 = z z 1 z z 2 + z 2 z 1 < r 2 + r 2 = r, z D r (z 1 ) = h(z) =. D r/2 (z 1 ) M. Dementsprechend ist M offen. Angenommen (widerspruch) M sei nicht bgeschlossen in G, dnn gibt es z G \ M und eine Folge {z n } M die gegen z konvergiert. D z / M, ist lso {z n } G \ {z }. Aus dem ersten Teil ist lso h (n) (z ) = n. Dnch verschwindet die Potenzreihe von h in einer Umgebung von z ws bedeutet, dss es r > gibt, sodss h(z) = z D r (z ) = z M. Ist lso M offen sowie bgeschlossen in G. D z M ist M und d G ein Gebiet (d.h. offen und zusmmenhängend) ist, müss M = G. Dementsprechend ist h uf G. Wir können unsere Ergebnisse über holomorphe Funktionen jetzt so zusmmenfssen. Stz 7.4. Es sei f : U C wobei U C offen ist. F. A. S. Ä. (1) f ist holomorph. (2) f ist reel differenzierbr und die Cuchy-Riemnn Gleichungen gelten für f. (3) Für jeden z U gibt es r > sodss in D r (z) f eine Entwicklung ls bsolut konvergente Potenzreihe besitzt. (4) Für jeden z U gibt es r > sodss es F eine holomorphe Funktion F : D r (z) C gibt mit F = f uf D r (z).

22 22 JULIE ROWLETT (5) f ist stetig und für jeden Dreieck T U, f(z)dz =. T 8. Weitere Eigenschften holomorphe Funktionen Jetzt hben wir die notwendige Grundlgen, um noch mehr Eigenschften holomorphe Funktion zu bestimmen. Proposition 8.1 (Cuchy-Ungleichungen). Es sei f holomorph in einer (offenen) Umgebung U D R (z ). Es sei < r < R. Dnn für jede z r (z ) und n, f (n) n!r (z) (R r) n+1 mx. w R (z ) Proof. Lut dem Cuchy-Integrlformel gilt: f (n) n! (z) = 2πi (w z) R (z ) D w R (z ) gibt es θ R sodss D z r (z ) gibt es σ R sodss Dementsprechend ist n+1 dw w = z + Re iθ. z = z + re iσ. w z = (w z)( w z) = Wir bemerken, (d R(z) z gilt immer!) n! 2π 2πR mx w R (z ) R 2 2R(Re iθ re iθ ) + r 2. w z n+1. 2R(Re iθ re iθ ) 2Rr = R 2 2R(Re iθ re iθ ) + r 2 R 2 2Rr + r 2 = (R r) 2 Dementsprechend ist und es gilt = w z R r gilt w R (z ). mx w R (z ) w z n+1 1 (R r) n+1 mx w R (z ) f (n) (z) n!r (R r) n+1 mx w R (z ). Stz 8.2 (Mximum Betrg). Es sei f holomorph uf einem Gebiet G C. Flls f ein Mximum im Punkt z G erreicht, dnn ist f konstnt. Flls f uf G und f ein Minimum im Punkt z G erreicht, dnn ist f konstnt. Proof. Es sei z ein Mximum sodss gilt Ds Cuchy-Integrlformel impliziert f(z ) = 1 2πi f(z) f(z ) z D R (z ) G. r(z ) f(z) dz = 1 z z 2π 2π f(z + re it )dt, wobei wir den Integrtionsweg (t) = z + re it : [, 2π] r (z ) verwendet hben, mit (t) = rie it Dnn hben wir f(z ) 1 2π 2π f(z + re it dt 1 2π 2π f(z ) dt = f(z ).

23 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 23 Dmit diese gilt muss f(z + re it = f(z) = f(z ) fst überll gelten. D f stetig ist gilt lso f(z) = f(z ) für jede z D R (z ) (d r R zufällig wr). Dementsprechend hben wir f 2 = (f f) = konstnt uf D R (z ). Dementsprechend ist die Funktion f f holomorph. Flls f, dnn sind wir fertig mit dem Beweis. Flls nicht dnn ist f f = c > und dementsprechend d f holomorph ist und f = c > = f ist f = c/f uch holmorph. Die Ableitung ist lso Lut der Produktregel ist ls f (z). (c) = (f f) (z) = f (z)f (z) = f (z) 2, lso ist f uf D R (z ). Dementsprechend ist f konstnt und es gilt f(z) f(z ). Für die zweite Aussge ist, d f uf G die Funktion g = 1/f holomorph und ht ein Mximum im Punkt z. Lut dem ersten Teil ist g konstnt und es folgt, dss f ebenso konstnt sein muss. Korollr 8.3. Es sei G C ein beschränktes Gebiet und f : G C stetig uf G und holomorph uf G. Dnn ds Mximum f wird uf G erreicht und flls f nicht konsnt ist, gilt f(z) < mx z G f(z). Flls f keine Nullstellen in G ht, dnn erreicht f sein Minimum uf G und flls f nicht konstnt ist, gilt f(z) > mx z G f(z). Es gibt noch ein wichtiger Stz der Funktionentheorie, den wir bereits beweisen können. Stz 8.4 (Liouville). Es sei f : C C eine beschränkte holomorphe Funktion. Dnn ist f konstnt. Proof. Aus der Cuchy-Ungleichung gilt für jeden R > wobei M > erfült f (n) () n! n! R n mx w R (z ) R n M, f(z) M z C, und so ein M existiert, d f uf C beschränkt ist. Es sei lso n 1. Dnn lssen wir R. f (n) () n!m R n R = f (n) () =. Dnn für die holomorphe (gnze) Funktion gilt im Punkt, g(z) := f(), g (n) () = f (n) () n. Lut dem Identitätsstz v.2 ist f g uf C. D.h. f ist konstnt. Mithilfe dem Liouville Stz können wir uch den Fundmentlstz der Algebr beweisen. Stz 8.5 (Fundmentlstz der Algebr). Es sei p(z) ein Polynom mit Koeffizienten in C mit dem Grd n 1. Dnn gibt es eine Eindeutige Menge {r k } n k= C sodss p(z) = r n k=1 (z r k ).

24 24 JULIE ROWLETT Proof. Der Beweis ist durch Induktion. Es sei p ein Polynom Grdes eins. Dnn ist p(z) = r z + b, r = p(z) = r (z b/r ), ist lso r 1 = b/r. Stz ist in dem Fll bewiesen. Nehmen wir jetzt n, dss der Stz für jeden Polynom Grdes n 1 1 bewiesen ist. Es sei p ein Polynom Grdes n 1. Beweis durch Wiederspruch: flls p keine Nullstellen in C ht, dnn ist f(z) := 1 p(z) eine gnze Funktion. D der Grd von p größer gleich eins ist, gilt für eine Konstnte c >. Insbesondere Nämlich gibt es R > sodss p(z) c z n, p(z) ls z = f(z) ls z. f(z) < 1 z R. D RD beschränkt ist, ist f uf RD beschränkt (f ist j stetig). Ist lso f gnz und beschränkt uf C und dementsprechend lut dem Liouville-Stz konstnt. Dnn muss ber p uch konstnt sein ws zu einem Wiederspruch führt, d der Grd von p größer gleich eins ist. Dementsprechend ht p eine Nullstelle r n. Wir definieren r lso die Koeffizient von dem Term in p Grdes n. Ist lso p(z) = r (z r n )q(z). Flls der Grd von q gleich Null ist, dnn muss q(z) = 1 (Definition r ). Flls der Grd von q größer gleich eins ist dnn lut Induktion n 1 n q(z) = s (z r k ) = p(z) = r s (z r k ). k=1 Dmit die Koeffizient z n gleich r ist, muss s = 1. Also ist p(z) = r n k=1 (z r k ). Die Eindeutigkeit r folgt us der Definition r. Flls n n p(z) = r (z s k ) = (z s k ) = k=1 k=1 k=1 n (z r k ). Flls s k {z j } dnn teilt (z s k ) p und n p(z) = r (z s k ) (z r j ) nicht Grd n sondern Grd n + 1. j=1 Die Nullstellen sind dementsprechend eindeutig. 9. Singulritäten! Mnchml ist eine Funktion schön und holomorph bis uf mnche Stellen. Niemnd ist perfekt, zum Beispiel 1 z, oder noch wesentclich schlimmer e 1/z. Wenn eine Funktion bis uf einige Stellen holomorph ist dnn knn mn identifizieren, genu wie schlimm diese Stellen sind. Definition 9.1. Es sei f holomorph uf D r (z ) \ {z }. Dnn nennen wir dem Punkt z eine isolierte Singulrität der Funktion f. Es gibt genu drei Möglichkeiten. k=1

25 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 25 (1) f ht eine eindeutige holomorphe Fortsetzung uf D r (z ) und wir nennen z eine bziehre Singulrität. (2) 1/f ht eine eindeutige holomorphe Fortsetzung g uf D δ (z ) für irgendeine < δ < r, sodss g(z ) =, und wir nennen z ein Pol. (3) Flls (1) sowie (2) nicht gelten ist z eine wesentliche Singulrität. Stz 9.2 (Identität der Singulrität). Es sei f holomorph uf D r (z ) \ {z }. Dnn ht f ein Pol in z genu dnn, wenn lim z z f(z) =. Proof. Erst nehmen wir n, dss f ein Pol in z ht. Dnn sei g := 1/f definiert uf D = D δ (z ). D g holomorph und deswegen uch stetig ist gilt 1 lim z z f(z) = = lim f(z) =. z z Anderseits sei lim f(z) =. z z Dnn gibt es eine δ > mit δ < r sodss für jede z C mit < z z < δ, f(z) > 1 = 1 f ist holomorph uf D δ(z ) \ {z }, und ferner gilt 1 f(z) 1 z D δ(z ) \ {z }. Lut der Riemnnische Fortsetzungsstz ht 1/f eine eindeutige holomorphe Fortsetzung g uf D δ (z ) und d die Fortsetzung uch stetig ist (holomorph = stetig) gilt 1 lim z z f(z) = = g(z ). Fll (3) ist etws besonders. Wir werden folgenden Stz nicht beweisen, er ist llerdings gut zu wissen. Stz 9.3 (Der größer Stz von Picrd). Es sei z eine Singulrität der rt (3). Dnn für jede r > gibt es w C sodss f(d r (z ) \ {z }) C \ {w}. Ds heisst, dss die Funktion f sich totl WILD läuft in jeder Umgebung von z. Die Funktion nimmt nämlich jeden Wert ußer vielleicht einen n!! Wir wollen dementsprechend uns fern von solchem Punkten hlten. Definition 9.4. Eine Funktion f : G C heißt meromorph, flls die Funktion holomorph bis uf eine endliche Menge Punkten in G in dem die Funktion Singulritäten der Art (1) oder (2) (Polen) ht. Proposition 9.5. Es sei f : U \{z } holomorph und z sei ein Pol. Dnn gibt es eine eindeutige k 1 sowie eine holomorphe Funktion g : U C, sodss g(z ) und f(z) = (z z ) k g(z) z U \ {z }. Die Zhl k heißt der Grd des Pols z. Flls k = 1 dnn ist ds Pol einfch. Proof. Es gibt r > sodss die Funktion h = 1/f holomorph uf D r (z ) U ist und h(z ) =. Die Funktion h ht eine eindeutige Potenzreihe uf D r (z ), h(z) = k k (z z ) k, k = h(k) (z ). k!

26 26 JULIE ROWLETT De- D f holomorph uf D r (z ) \ {z } ist, knn die Funktion h uf D r (z ) \ {z }. mentsprechend gibt es lut dem Identitätsstz gibt k N sodss h (k) (z ). Es sei k die kleinste dvon. D h(z ) = ist k 1. Dementsprechend ist h(z) = j (z z ) j = (z z ) k k+j (z z ) j, j k j lso sei H(z) := j k+j (z z ) j = H(z ) = k = h(k) (z ) k!. Die Funktion H is holomorph uf D r (z ). D H(z ), gibt es ρ (, r) sodss H uf D ρ (z ). Dnn ist die Funktion holomorph uf D ρ (z ). Ferner gilt und g := 1/H 1 f (z) = h(z) = (z z ) k H(z) = f(z) = (z z ) k g(z) uf D ρ (z ), g(z ) = 1/H(z ) = 1/ k. Flls es uch j 1 sowie eine Funktion u dmit die Vorussetzungen erfült sind OBDA ist j > k. Dnn ber ist f(z) = (z z ) j u(z) = (z z ) k g(z) = u(z) = (z z ) j k g(z) s z z lso müss u(z ) = ws ein Wiederspruch ist. eindeutig. Dementsprechend ist k und dnch uch g Proposition 9.6. Es sei f holomorph uf U \ {z } mit einem Pol Grdes k in z. Dnn gibt es eine Lurent-Entwicklung wobei f(z) = k (z z ) k (z z ) 1 + n (z z ) n, n= n = 1 f(z) dz. 2πi r(z ) (z z ) n+1 Proof. Nch dem Beweis der letzten Proposition ist f(z) = (z z ) k g(z) = n b n (z z ) n k, g(z) = n b n (z z ) n, d die Funktion g holomorph uf D r (z ) ist und dementsprechend eine konvergente Potenzreihe ht. Die Koeffiziente {b n } sind eindeutig. Für n k ist lso n = b n+k = 1 g(z) 1 (z z ) k g(z) dz = 2πi (z z ) n+k+1 2πi (z z ) n+1 dz r(z ) r(z ) = 1 f(z) 2πi r(z ) (z z ) n+1 dz.

27 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN Allgemeine Cuchy-Integrlformel Wir möchten verstehen, ws ds Integrl einer holomorphen Funktion, uf einem llgemeinen Integrtionsweg ist. Definition 1.1. Ein bgeschlossener Integrtionsweg heisst einfch, flls die Spur nur einml uf dem Weg lüft und die Spur sich nicht überschneidet. Äquivlent ist, dss der Weg injektiv bis uf einem Punkt ist (ds Anfngs/Endpunkt). Zum Beispiel, (t) = e it : [, 2π] ist einfch, ber (t) = e it : [, 4π] ist nicht. Definition 1.2. Es sei ein einfcher bgeschlossener Integrtionsweg. Es sei G ds Gebiet, die bschliesst. Flls uf dem Weg G immer nch Links ist, dnn heisst positiv orientiert. Flls uf dem Weg G immer nch Rechts ist, dnn heisst negtiv orientiert. Zu Beispiel ist der Weg (t) = e it : [, 2π] positiv orientiert wobei der Weg σ(t) = e it : [, 2π] negtiv orientiert ist. Wir berechnen 2π (t) dt = 2π = 2π (t)dt = 2π σ (t)dt. Stz 1.3 (Allgemeine Cuchy-Integrlstz). Es sei G ein Gebiet und sowie σ zwei bgeschlossene einfche positiv orientierte Integrtionswege, die jeweils von [, 1] G bbilden, sodss es eine stetige Abbildung Φ(t, s) : [, 1] [, 1] C gibt, mit (1) Φ(t, ) = (t) für jede t [, 1] (2) Φ(t, 1) = σ(t) für jede t [, 1] (3) Φ(, s) = Φ(1, s) für jede s [, 1]. Dnn nennt mn und σ äquivlent bis uf Homotopie. Es sei ferner die Spur von Φ(t, s) : [, 1] C in G liegt. Dnn gilt für jede holomorphe Funktion f : G C, f(z)dz = f(z)dz. Proof. Die Funktion Φ : [, 1] [, 1] G ist stetig und invertierbr. Die Idee des Beweises ist, dss wir [, 1] 2 in kleinen Rechtecken ufteilen. Es sei ε >, dnn d Φ stetig ist, gibt es eine δ > sodss, für x y < δ, Φ(x) Φ(y) < ɛ. Wir teilen [, 1] 2 in einer Gitte uf, sodss der Durchmesser jedes Rechtecks < δ. Z.B. t j = j n, s k = k n, 1/n < δ. 2 Es sei Φ j,k := Φ(t j, s k ) G. D der Durchmesser jedes Rechtecks < δ, ist der Bild bzgl. Φ Φ([t j, t j+1 ] [s k, s k+1 ]) D ɛ (Φ jk ). D Σ = Φ([, 1] [, 1]) eine kompkte Teilmenge G ist und komplett in G (offen) liegt, können wir ɛ > so klein wählen, dss {z C : z Σ ɛ} G. Dnn ist jede D ɛ (Φ jk ) G. Diese ist konvex und dementsprechend sternformig ist lso ds Integrl von f uf jedem Weg in dieser Kreisscheibe =. Insbesondere sei der Integrtionsweg (genuer gesgt, die Spur des Integrtionsweg) R j,k = [Φ j,k, Φ j+1,k ] [Φ j+1,k, Φ j+1,k+1 ] [Φ j+1,k+1, Φ j,k+1 ] [Φ j,k+1, Φ j,k ]. Dnn lut dem CIF für sternformige Gebiet (und eine Kreisscheibe ist sternformig!) ist R jk f(z)dz =. Gilt lso ebenso j,k σ R jk f(z)dz =.

28 28 JULIE ROWLETT Für < j < n sowie k < n ist der Weg Φ j,k+1 Φ j,k in R j,k und ist ber der Weg umgekehrt Φ j,k Φ j,k+1 in R j 1,k. R j 1,k = [Φ j 1,k, Φ j,k ] [Φ j,k, Φ j,k+1 ] [Φ j,k+1, Φ j 1,k+1 ] [Φ j 1,k+1, Φ j 1,k ]. Dementsprechend bleiben nur die Wege Φ,k+1 Φ,k sowie Φ n,k Φ n,k+1. Für j < n sowie < k < n ist der Weg Φ j,k Φ j+1,k in R j,k und rückwärts in R j,k 1, d R j,k 1 = [Φ j,k 1, Φ j+1,k 1 ] [Φ j+1,k 1, Φ j+1,k ] [Φ j+1,k, Φ j,k ] [Φ j,k, Φ j,k 1 ]. Dementsprechend bleiben nur die Wege Φ j, Φ j+1, sowie Φ j+1,n Φ j,n. Die Wege Φ,k+1 Φ,k in R,k sowie Φ n,k Φ n,k+1 in R n 1,k. Lut der Definition von Φ, ist Φ,k = Φ(, s k ), Φ n,k = Φ(1, s k ) = Φ,k = Φ n,k, und ebenso gilt Φ,k+1 = Φ(, s k+1 ) = Φ(1, s k+1 ) = Φ n,k+1. Dementsprechend sind die Wege Φ,k Φ,k+1 in R,k sowie Φ n,k Φ n,k+1 in R n 1,k ds gleiche nur in den genu gegenen Richtungen geläufen lso fllen diese uch weg. Hben wir lso insgesmt n n 1 n 1 f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz = R j,k [Φ j,,φ j+1,] [Φ j+1,n,φ j,n] j,k= n 1 = j= j= [Φ j,,φ j+1,] n 1 f(z)dz j= j= [Φ j,n,φ j+1,n] f(z)dz. Lut der Definition Φ sind die Wege [Φ j,, Φ j+1, ] sowie {(t) : t [t j, t j+1 ]} in D ɛ (Φ j, ) mit demselben Anfngs- sowie Endpunkte. Ist ds Integrl lso uf [Φ j,, Φ j+1, ] und dnch uf rückwärts gleich und d ds Integrl uf rückwrts gleich tj+1 = f(z)dz f((s)) (s)ds = [Φ j,,φ j+1,] t j tj+1 = f(z)dz = f((s)) (s)ds. Ebenso d Φ(t, 1) = σ(t) ist Dmit hben wir insgesmt n 1 lso [Φ j,,φ j+1,] [Φ j,n,φ j+1,n] j= n 1 j= 1 [Φ j,,φ j+1,] [Φ j,n,φ j+1,n] f(z)dz = f((t)) (t)dt t j tj+1 t j f(z)dz = f(z)dz = 1 1 und dementsprechend sind beide Integrls ds gleiche. 1 f(σ(s))σ (s)ds. f((t)) (t)dt, f(σ(t))σ (t)dt f(σ(t))σ (t)dt =, Korollr 1.4. Flls positiv orientiert ist und σ negtiv orientiert ist, dnn gilt f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz =. σ σ

29 MFP II: FUNKTIONENTHEORIE, FEUER UND WELLEN 29 Proof. Der Beweis folgt us f(z)dz = σ f(z)dz + f(z)dz. σ Für σ negtiv orientiert mit σ : [, 1] C läuft lso σ := σ(1 t) : [, 1] C genu rückwärts uf der Spur von σ. Ist lso σ(1 t) positiv orientiert und es gilt f(z)dz = f(z)dz. D ist lso σ f(z)dz = und drus folgt der Korollr. 1 σ 1 σ f(σ(1 t))σ (1 t)dt = f(σ(s))σ (s) = f(z)dz, σ f(z)dz = f(z)dz = σ 1 f(σ(s))σ (s)ds = f(z)dz, Beispiele Homotopie (1) Es sei (t) = z + re 2πit, σ(t) = z + Re 2πit. Dnn sei Φ(t, s) := z + (sr + (1 s)r)e 2πit. Die Funktion ist stetig. Es gilt sowie und uch Φ(t, ) = (t), t [, 1], Φ(t, 1) = σ(t), t [, 1], Φ(, s) = z + (sr + (1 s)r) = Φ(1, s), s [, 1]. (2) Es sei : [, 1] C ein einfcher bgeschlossener Integrtionsweg. Es sei p C. Dnn sei σ(t) := (t) + p. Ist σ durch Φ(t, s) := (t) + sp. (3) Es sei σ η mithilfe Φ bzgl. σ sowie Ψ bzgl. σ η. Dnn ist η mithilfe { Φ(t, 2s) s 1/2 Θ(t, s) = Ψ(t, 2s 1) 1/2 s 1 Korollr 1.5. Es sei sodss ds Innere von komplett in G liegt. Dnn ist f(z)dz =. Proof. Ds Innere von komplett in G liegt. Ist dementsprechend Homotopie-äquivlent zu einem Punkt. Insbesonderer ist äquivlent zu σ wobei die Länge von σ so klein gewählt werden knn, wie wir möchten. Zum Beispiel ngenommen ist in dem Inneren von. Ds können wir OBdA nnehmen, d wir gerde gezeigt (Beispiel 2), dss jeder Weg äquivlent zu einer Trnsltion des Wegs ist. Könnten wir lso und G komplett verschieben, dmit innerhlb von liegt. Dnn ist ε, wobei Dnn ist ε(t) = ε(t), Φ(t, s) = (1 + ε s)(t). f(z)dz = f(z)dz εl() f, ε