1.2 Integration im Komplexen

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1 26 1 Funktionentheorie 1.2 Integrtion im Komplexen Zur Erinnerung: Eine (komplexwertige) Funktion f uf einem Intervll [, b] heißt stückweise stetig, wenn es eine Zerlegung = t < t 1 <... < t n = b gibt, so dss f uf jedem der offenen Intervlle (t i 1, t i ) stetig ist und in den Punkten t i einseitige Grenzwerte besitzt. f heißt stückweise stetig differenzierbr, wenn f uf [, b] stetig und uf den bgeschlossenen Teilintervllen einer geeigneten Zerlegung stetig differenzierbr ist. Wir wiederholen hier einige Ergebnisse über Integrle komplexweriger Funktionen von einer reellen Veränderlichen. Definition Sei f : [, b] C eine stückweise stetige komplexwertige Funktion. Dnn erklärt mn ds Integrl über f durch b f(t) dt := b Re f(t) dt + i b Im f(t) dt. Die Zuordnung f b f(t) dt ist C-liner, und ds Integrl einer reellwertigen Funktion ist reell. Außerdem gilt: 1. Ist f stetig und F eine (komplexwertige) Stmmfunktion von f uf [, b], so ist b f(t) dt = F (b) F (). 2. Ist ϕ : [, b] R stückweise stetig differenzierbr, so ist ϕ(b) ϕ() f(t) dt = b f(ϕ(s))ϕ (s) ds. 3. Ist (f ν ) eine Folge von stetigen Funktionen uf [, b], die gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, so ist 4. Es gilt die Abschätzung b f(t) dt = lim b f(t) dt ν b b f ν (t) dt. f(t) dt.

2 1.2 Integrtion im Komplexen Beispiel Sei n Z, n, f(t) := e i nt und F (t) := 1 i n e i nt. Dnn ist F (t) = f(t) und dher b e i nt dt = 1 i n e i nt b = 1 i n (e i nb e i n ). Im ersten Abschnitt hben wir die komplexe Differenzierbrkeit eingeführt, indem wir den reellen Differentilquotienten einfch forml ins Komplexe übertrgen hben: f (z ) = df dz (z f(z) f(z ) ) = lim. z z z z Jetzt wollen wir versuchen, nch dem Muster der reellen Anlysis uch komplexe Integrle q p f(z) dz einzuführen. Aber wie sollen wir ds tun? Im Reellen muss der Integrnd in llen Punkten zwischen dem Anfngs- und dem Endpunkt definiert und in irgend einem Sinne integrierbr sein. Im Komplexen gibt es keine Intervlle, bestenflls die Verbindungsstrecke. Ist ber etw f eine stetige Funktion uf einem Gebiet G und sind p, q Punkte us G, so brucht die Verbindungsstrecke nicht komplett zu G zu gehören. Dss G ein Gebiet ist, sichert ber uf jeden Fll die Existenz eines stetigen Verbindungsweges von p nch q innerhlb von G. Wir können versuchen, die Funktion f entlng eines solchen Weges zu integrieren. Leider erhlten wir dnn eine zusätzliche Abhängigkeit vom Integrtionsweg. Welche Konsequenzen ds ht, werden wir untersuchen müssen. Wir führen noch folgende Sprchregelung ein: Ein Integrtionsweg in einem Gebiet G C ist ein stückweise stetig differenzierbrer Weg : [, b] G. Definition Sei G C ein Gebiet, f : G C eine stetige komplexwertige Funktion und : [, b] G ein Integrtionsweg. Dnn wird ds komplexe Kurvenintegrl von f über definiert durch f(z) dz := b f ( (t) ) (t) dt. Mn knn ds komplexe Kurvenintegrl einer stetigen Funktion f über ntürlich schon dnn bilden, wenn f nur uf der Spur definiert ist.

3 28 1 Funktionentheorie 2.2. Stz Ds komplexe Kurvenintegrl ht folgende Eigenschften: 1. Ist ϕ : [c, d] [, b] eine stetig differenzierbre, streng monoton wchsende Prmetertrnsformtion, so ist f(z) dz = f(z) dz. ϕ 2. Für stetige Funktionen f 1, f 2 und Konstnten c 1, c 2 C ist (c 1 f 1 + c 2 f 2 )(z) dz = c 1 f 1 (z) dz + c 2 f 2 (z) dz. 3. Es gilt die Stndrdbschätzung: f(z) dz L() mx f(z), z wobei L() = b (t) dt die Länge von ist. 4. Sind f und f ν stetige Funktionen uf und konvergiert (f ν ) uf gleichmäßig gegen f, so ist f(z) dz = lim f ν (z) dz. ν Beweis: 1) Ist ϕ eine Prmetertrnsformtion, so ist b d f(z) dz = f (t) (t) dt = f (ϕ(s)) (ϕ(s))ϕ (s) ds c d = f ( ϕ)(s)( ϕ) (s) ds = f(z) dz. 2) Die Linerität ist trivil. c 3) Es ist b f(z) dz = f((t)) (t) dt Setzt mn M := mx f(z), so ist b z f((t)) (t) dt M b (t) dt = M L(). b ϕ f((t)) (t) dt. Zu (4): D stückweise stetig differenzierbr ist, gibt es eine Konstnte C >, so dss (t) C uf [, b] ist. Sei nun ε > vorgegeben. Dnn gibt es ein ν, so

4 1.2 Integrtion im Komplexen 29 dss gilt: f ν (z) f(z) < ε C für ν ν und z. Also ist f ν ((t)) (t) f((t)) (t) = f ν ((t)) f((t)) (t) < ε für ν ν und t [, b]. Ds bedeutet, dss ((f ν ) ) gleichmäßig uf [, b] gegen (f ) konvergiert, und drus folgt die Behuptung Stz Ist f : G C komplex differenzierbr, f stetig und : [, b] G ein Integrtionsweg, so ist f (z) dz = f((b)) f(()). Beweis: Sei G C ein Gebiet, f : G C komplex differenzierbr und f stetig. Ist : [, b] C ein stetig differenzierbrer Weg, so ist uch f : [, b] C stetig differenzierbr und b f ( (t) ) (t) dt = b (f ) (t) dt = f((b)) f(()). Mn bechte, dss der Strich hier einml die komplexe und einml die reelle Ableitung bezeichnet! Definition Sei G C ein Gebiet und f : G C stetig. Eine Stmmfunktion von f ist eine holomorphe Funktion F : G C mit F = f. Bemerkung: Ist f : G C stetig, so unterscheiden sich je zwei Stmmfunktionen von f höchstens um eine Konstnte Beispiele A. Sei z und (t) := t z (für t 1) die Verbindungsstrecke von und z. Weiter sei f(z) := z n. Dnn ist 1 1 f(z) dz = f(t z ) z dt = z n+1 t n dt = 1 n + 1 zn+1. Dieses Ergebnis knn mn uch uf nderem Wege erhlten. Setzt mn F (z) := 1 n + 1 zn+1, so ist F (z) = f(z) und dher

5 3 1 Funktionentheorie f(z) dz = F ((1)) F (()). B. (t) := z +r e i t (für t 2π) ist die übliche Prmetrisierung der Kreislinie D r (z ). Wenn nicht usdrücklich etws nderes gesgt wird, benutzen wir immer diese Prmetrisierung. Ein fundmentler Bustein der Funktionentheorie ist folgende Formel: (z z ) n dz := D r(z ) (z z ) n dz = { 2π i für n = 1 sonst. Beweis: Es ist 1 dz = z z und für n 1 ist 2π 2π 1 2π r e i t r i e i t dt = i (z z ) n dz = (re i t ) n r i e i t dt = r n+1 i = ( ) r n+1 1 i i (n + 1) e i (n+1)t 2π =. dt = 2π i, 2π e i (n+1)t dt Ist : [, b] C ein Integrtionsweg, so bezeichne den in umgekehrter Richtung durchlufenen Weg, so dss gilt: f(z) dz = f(z) dz. Sind : [, b] C und β : [c, d] C zwei Integrtionswege (i.. mit (b) = β(c), ber ds muss nicht zwingend so sein), so bezeichne + β den Weg, der entsteht, indem mn und β hintereinnder durchläuft. Dnn ist f(z) dz := f(z) dz + f(z) dz. +β β 2.5. Beispiel Wir betrchten die Wege, β, γ : [, 1] C mit (t) := 1 + 2t, β(t) := 1 + i t und γ(t) := ( 1 + 2t) + i t.

6 1.2 Integrtion im Komplexen i γ β 1 1 Dnn ist β z dz = 1 ( 1 + 2t) 2 dt + = 2 ( t + t 2 ) 1 (1 i t) i dt 1 + i (t i 2 t2 ) 1 = 2 ( 1 + 1) + i (1 i 2 ) = i + 1 2, und γ z dz = 1 ( 1 + 2t i t)(2 + i ) dt = (2 + i ) ( t + 2 i 2 t 2 ) 1 = (2 + i ) ( i 2 ) = i Ds komplexe Kurvenintegrl über f(z) := z hängt vom Integrtionsweg b! Wir werden bld sehen, dss ds drn liegt, dss f nicht holomorph ist Huptstz über Kurvenintegrle Sei G C ein Gebiet und f : G C eine stetige Funktion. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. f besitzt uf G eine Stmmfunktion. 2. Es ist f(z) dz = für jeden geschlossenen Integrtionsweg in G. Beweis: (1) = (2) : Ist F eine Stmmfunktion von f und : [, b] G ein Integrtionsweg, so ist f(z) dz = F ((b)) F (()). Ist geschlossen, so verschwindet die rechte Seite und dmit ds Integrl.

7 32 1 Funktionentheorie (2) = (1) : Sei dζ = für jeden geschlossenen Integrtionsweg, und G ein einmlig fest gewählter Punkt. Zu z G sei jeweils ein Integrtionsweg z : [, 1] G gewählt, der mit z verbindet. Dnn setze mn F (z) := dζ. z Wegen der Vorussetzung ist die Definition von F unbhängig von der Whl des Weges z. Zu zeigen bleibt: F ist uf G komplex differenzierbr, und es ist F = f. Dzu betrchten wir einen Punkt z G und wählen eine offene Kreisscheibe D um z, die noch gnz in G enthlten ist. Für z D sei ω z (t) := z + t (z z ) die (in D enthltene) Verbindungsstrecke zwischen z und z. Weiter sei := z. Dnn ist γ := + ω z z ein geschlossener Weg, und es gilt: D z ω z z z G = dζ = dζ + dζ dζ γ ω z z = F (z ) F (z) + 1 = F (z ) F (z) + (z) (z z ), f(z + t(z z )) (z z ) dt mit (z) := 1 f(z + t(z z )) dt. Offensichtlich ist (z ) = f(z ), und für z D ist (z) (z ) = 1 [f(z + t(z z )) f(z )] dt mx f(z + t(z z )) f(z ). t 1 D f stetig ist, folgt hierus uch die Stetigkeit von in z. Definition Sei G C ein Gebiet. G heißt sternförmig bezüglich G, flls mit jedem z G uch die Verbindungsstrecke von und z gnz in G liegt.

8 1.2 Integrtion im Komplexen 33 z G Jedes konvexe Gebiet ist sternförmig, ber die Umkehrung ist i.a. flsch. Sind G 1 und G 2 konvex und ist G 1 G 2, so ist G 1 G 2 bezüglich sternförmig. Ds Innere eines Dreiecks (die exkte Formulierung sei dem Leser überlssen) nennen wir ein Dreiecksgebiet. Offensichtlich ist jedes Dreiecksgebiet konvex, und der Rnd ist stückweise stetig differenzierbr. Nimmt mn den Rnd hinzu, so spricht mn von einem bgeschlossenen Dreieck Der Huptstz für Sterngebiete Sei G C ein bezüglich G sternförmiges Gebiet, f : G C stetig. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: 1. f besitzt uf G eine Stmmfunktion. 2. Es ist f(z) dz = für jedes bgeschlossene Dreieck G, ds ls Eckpunkt ht. Beweis: (1) = (2) : Klr! (2) = (1) : Ds ist eine Verschärfung des Huptstzes über Kurvenintegrle im Flle von sternförmigen Gebieten. Der Beweis wird völlig nlog geführt, llerdings definiert mn diesml F (z) ls Integrl über die Verbindungsstrecke von und z, ws wegen der Sternförmigkeit möglich ist Stz von Gourst Sei G C ein Gebiet, f : G C eine holomorphe Funktion und G ein bgeschlossenes Dreieck. Dnn gilt: f(z) dz =. Beweis: Wir schreiben = (). Indem wir die Seiten von hlbieren, unterteilen wir in 4 kongruente Teildreiecke (1) 1,..., (1) 4.

9 34 1 Funktionentheorie (1) 2 (1) 3 (1) 4 (1) 1 Sei γ := 4 k=1 (1) k. Dnn ist f(z) dz = γ 4 k=1 (1) k f(z) dz = f(z) dz, () denn die Integrle über die Strecken im Innern des Dreiecks heben sich gegenseitig uf, d sie jeweils doppelt mit entgegengesetzten Vorzeichen uftreten. Also ist f(z) dz = () γ f(z) dz 4 mx k (1) k f(z) dz. Nun wählt mn unter den Dreiecken (1) 1,..., (1) 4 dsjenige us, bei dem der Betrg des Integrls m größten ist, und nennt es (1). Dnn ist f(z) dz 4 () (1) f(z) dz. Wiederholt mn diese Prozedur, so erhält mn eine Folge von Dreiecken = () (1) (2)... mit f(z) dz 4n (n) f(z) dz und L( (n) ) = 2 n L( ). D lle (i) kompkt und nicht leer sind, enthält n (n) einen Punkt z (mn knn eine gegen z konvergente Folge konstruieren), und d der Durchmesser der Dreiecke beliebig klein wird, knn es uch nur einen solchen Punkt geben. Jetzt kommt der entscheidende Trick dieses Beweises! Wir nutzen die komplexe Differenzierbrkeit von f in z us: Es gibt eine in z stetige Funktion A, so dss gilt: 1. f(z) = f(z ) + (z z ) (f (z ) + A(z)). 2. A(z ) =.

10 1.2 Integrtion im Komplexen 35 Die ffin-linere Funktion λ(z) := f(z ) + (z z ) f (z ) ht uf G eine Stmmfunktion, nämlich Λ(z) := (f(z ) z f (z )) z + f (z ) z 2. 2 Also ist λ(z) dz = für lle n. Drus folgt: (n) f(z) dz = (z z )A(z) dz (n) (n) L( (n) ) mx( z z A(z) ) (n) L( (n) ) 2 mx( A(z). (n) Setzt mn lles zusmmen, so erhält mn: f(z) dz 4 n f(z) dz (n) Für n strebt die rechte Seite gegen. 4 n L( (n) ) 2 mx A(z) (n) = L( ) 2 mx A(z). (n) Der Stz von Gourst lässt sich noch ein wenig verschärfen Stz von Gourst in verschärfter Form Sei G C ein Gebiet, f : G C stetig und bis uf endlich viele Punkte holomorph. Dnn gilt für jedes bgeschlossene Dreieck G : f(z) dz =. Beweis: Wir können nnehmen, dss f überll bis uf einen einzigen Ausnhmepunkt z holomorph ist. Nun unterscheiden wir mehrere Fälle: 1. Fll: z ist Eckpunkt von. Dnn zerlegen wir folgendermßen in drei Teildreiecke: z z z 1

11 36 1 Funktionentheorie Aus dem gewöhnlichen Stz von Gourst folgt, dss ist, lso f(z) dz = 2 f(z) dz = 3 f(z) dz = f(z) dz, 1 unbhängig dvon, wie z 1 und z 1 gewählt werden. Dnn ist f(z) dz L( 1 ) sup f(z), und die rechte Seite strebt gegen Null, wenn z 1 und z 1 gegen z wndern. 2. Fll: z liegt uf einer Seite von, ist ber kein Eckpunkt. Dnn zerlegt mn in zwei Teildreiecke, uf die beide jeweils der erste Fll nwendbr ist: z 3. Fll: z liegt im Innern von. Diesen Fll knn mn uf den 2. Fll reduzieren: z Liegt z ußerhlb, so ist überhupt nichts zu zeigen Stz Sei G C ein sternförmiges Gebiet, f : G C stetig und bis uf endlich viele Punkte holomorph. Dnn besitzt f uf G eine Stmmfunktion. Beweis: Sei G sternförmig bezüglich G. Nch dem verschärften Stz von Gourst ist f(z) dz = für jedes bgeschlossene Dreieck G, insbesondere lso für jedes Dreieck, ds ls Eckpunkt ht. Aber dnn besitzt f eine Stmmfunktion. Hinweis: Wir hben im Beweis nicht direkt die Holomorphie von f benutzt, sondern nur die Ttsche, dss ds Integrl über f und den Rnd eines bgeschlossenen Dreiecks in G verschwindet! Nun folgt:

12 1.2 Integrtion im Komplexen Cuchy scher Integrlstz (für Sterngebiete) Sei G C ein sternförmiges Gebiet, f : G C stetig und bis uf endlich viele Punkte holomorph. Dnn gilt für jeden geschlossenen Integrtionsweg in G : f(z) dz =. Beweis: f besitzt eine Stmmfunktion, und drus folgt die Behuptung Lemm Sei R > und f : D R (z ) C holomorph ußerhlb des Punktes z 1 D R (z ), z 1 z. Wir wählen ein r mit < r < R und ein ε >, so dss noch D ε (z 1 ) D r (z ) ist. z 1 ε z r Dnn ist D r(z ) f(z) dz = D ε(z 1 ) f(z) dz. R Beweis: Wir zeigen, dss die Differenz der Integrle verschwindet. Dzu fssen wir die Differenz der Integrle ls Summe zweier Integrle über geschlossene Wege uf, uf die sich jeweils der Cuchy sche Integrlstz nwenden lässt: σ σ 1 β 1 2 τ β 2 τ Bezeichnen wir die beiden Verbindungsstrecken vom kleinen inneren Kreis zum großen äußeren Kreis (von oben nch unten orientiert) mit σ und τ und die positiv orientierten Teil-Kreislinien mit 1, 2 und β 1, β 2, so gilt: (β 1 + σ 1 + τ) + (β 2 τ 2 σ) = (β 1 + β 2 ) ( ).

13 38 1 Funktionentheorie Die beiden geschlossenen Wege uf der linken Seite der Gleichung verlufen jeweils in einem sternförmigen Gebiet, in dem f holomorph ist. Nch Cuchy ist ds Integrl über diese Wege =, und drus folgt uch schon die Behuptung. Definition Sei G C ein Gebiet und B G eine offene Teilmenge. Wir sgen, B liegt reltiv-kompkt in G (in Zeichen: B G ), wenn B beschränkt und B G ist Folgerung Ist D C eine Kreisscheibe und z C \ D, so ist { dζ 2π i flls z D, ζ z = sonst. D Beweis: 1) Sei z D und ε > so gewählt, dss D ε (z) D ist. Für ζ z ist := 1/(ζ z) holomorph. Also ist D dζ ζ z = dζ D ε(z) ζ z = 2π i. 2) Ist z C \ D, so gibt es eine Kreisscheibe D mit D D und z C \ D. Dnn ist uf D holomorph, und ds Integrl verschwindet uf Grund des Cuchy schen Integrlstzes für Sterngebiete. Definition Ein Gebiet G C heißt einfch-zusmmenhängend, flls jede holomorphe Funktion f : G C eine Stmmfunktion besitzt Cuchy scher Integrlstz (für einfch-zusmmenhängende Gebiete) Sei G C ein einfch-zusmmenhängendes Gebiet und f : G C holomorph. Dnn gilt für jeden geschlossenen Integrtionsweg in G : f(z) dz =.

14 1.2 Integrtion im Komplexen 39 Beweis: Trivil! Ist F Stmmfunktion von f und : [, b] G ein geschlossener Weg, so ist () = (b) und f(z) dz = F ((b)) F (()) =. Bemerkung: Der Cuchy sche Integrlstz in der obigen Form ist ds Fundment der Funktionentheorie. Dennoch sieht er us wie eine Mogelpckung, denn die entscheidende Eigenschft der einfch-zusmmenhängenden Gebiete wird schon in die Definition gesteckt. Ttsächlich knn mn einfch-zusmmenhängende Gebiete uch rein topologisch chrkterisieren. Dzu werden wir in dieser Vorlesung us Zeitgründen nicht kommen. Der folgende Stz liefert ber für unsere Zwecke schon genügend viele Beispiele. Am Ende des Abschnittes werden wir zeigen, dss die Klsse der Beispiele noch erheblich größer ist Stz 1. Jedes sternförmige Gebiet ist einfch-zusmmenhängend. 2. Sind G 1 und G 2 einfch-zusmmenhängende Gebiete und ist G 1 G 2 zusmmenhängend, so ist uch G 1 G 2 einfch-zusmmenhängend. 3. C \ {} ist nicht einfch-zusmmenhängend. Beweis: 1) ist klr, uf Grund des Cuchy schen Integrlstzes für Sterngebiete. 2) G := G 1 G 2 ist wieder ein Gebiet. Sei f : G C holomorph. Dnn gibt es Stmmfunktionen F λ von f Gλ, für λ = 1, 2. Auf G 1 G 2 ist dnn (F 1 F 2 ) (z), lso F 1 (z) F 2 (z) c konstnt. Sei { F1 (z) uf G F (z) := 1, F 2 (z) + c uf G 2. Offensichtlich ist F holomorph uf G und F = f. 3) ist klr: f(z) := 1/z ist holomorph uf C \ {}, ber f(z) dz für D = D D 1 () Stz Sei G C ein einfch-zusmmenhängendes Gebiet, f : G C holomorph, f(z) uf G und f holomorph. Dnn gibt es eine holomorphe Funktion h uf G, so dss exp(h(z)) = f(z) für lle z G gilt. Beweis: Weil f /f holomorph uf G ist, gibt es eine Stmmfunktion F von f /f. Sei H := (exp F )/f. Dnn ist H (z) = exp(f (z)) F (z) f(z) exp(f (z)) f (z) f(z) 2 = für lle z G,

15 4 1 Funktionentheorie lso H(z) c konstnt. Deshlb ist exp(f (z)) = c f(z) und c. Mn setze h(z) := F (z) log(c), mit einem geeigneten Logrithmus. Dnn ist e h = f. Definition Sei G C ein Gebiet. Eine Logrithmusfunktion uf G ist eine stetige Funktion L : G C, so dss exp(l(z)) z uf G gilt Stz Sei G C ein Gebiet. 1. Ist L : G C eine Logrithmusfunktion, so ist L holomorph und L (z) = 1/z. 2. Je zwei Logrithmusfunktionen uf G unterscheiden sich um ein gnzzhliges Vielfches von 2π i. 3. Ist G C einfch-zusmmenhängend, so gibt es uf G eine Logrithmusfunktion. Beweis: 1) D exp lokl injektiv ist, folgt wie bei den schon behndelten Logrithmuszweigen, dss L komplex differenzierbr und L (z) = 1/z ist. 2) Ist exp(l 1 (z)) = exp(l 2 (z)) = z uf G, so ist L 1 L 2 holomorph und (L 1 L 2 ) (z), lso L 1 (z) L 2 (z) c uf G. Andererseits nimmt L 1 L 2 nur Werte in 2π i Z n. Drus folgt die Behuptung. 3) Die Funktion f(z) := z ist holomorph und ohne Nullstellen uf G. Wir hben oben schon gezeigt, dss es dnn eine holomorphe Funktion L mit exp(l(z)) = z gibt. Dieses L ist ntürlich eine Logrithmusfunktion uf G. Wir wollen jetzt zeigen, dss der Wert einer holomorphen Funktion f n einer Stelle z durch ds Integrl über f und einen geschlossenen Weg um z herum berechnet werden knn Die Cuchy sche Integrlformel Sei G C ein Gebiet, f : G C holomorph, z D := D r (z ) G ist. Dnn gilt für lle z D : f(z) = 1 2π i D ζ z dζ. G und r >, so dss

16 1.2 Integrtion im Komplexen 41 Beweis: ist. Wir können ein ε > finden, so dss uch noch D := D r+ε (z ) G z z D D G Sei z D beliebig vorgegeben. D f in G holomorph ist, gibt es eine in z stetige Funktion z uf G, so dss für lle ζ G gilt: Dnn ist D z (ζ) = = f(z) + z (ζ) (ζ z). { ( ) f(z) /(ζ z) flls ζ z f (z) flls ζ = z. Nchdem z überll stetig und ußerhlb z sogr holomorph ist, können wir uf der sternförmigen Menge D den Cuchyschen Integrlstz uf z und den geschlossenen Weg D D nwenden: f(z) = z (ζ) dζ = dζ D D ζ z dζ = dζ f(z) ζ z ζ z = dζ f(z) 2π i. ζ z D D Beim Beweis der Cuchyschen Integrlformel ist nun gnz deutlich die komplexe Differenzierbrkeit eingegngen. Dementsprechend ht der Stz Konsequenzen, die weit über ds hinusgehen, ws mn von einer reell differenzierbren Abbildung erwrten würde Beispiele A. Es soll ds Integrl D 3 () e z dz berechnet werden. z 2 + 2z Indem mn den Nenner in Linerfktoren zerlegt und eine Prtilbruchzerlegung durchführt, bringt mn ds Integrl in die Form, die uf der rechten Seite der Cuchyschen Integrlformel steht:

17 42 1 Funktionentheorie D 3 () C e z [ 1/2 z 2 + 2z dz = D 3 () z 1/2 ] e z dz z + 2 = 1 e z 2 D 3 () z dz 1 e z 2 D 3 () z ( 2) dz = 2π i 1 2 [e e 2 ] = π i (1 e 2 ). B. Sei C = D 1 ( 1 i ). Dnn liegt i im Innern von C, und i nicht. Dher gilt: 2 dz z = 1 dz 1 dz = 1 [2π i ] = π. 2 i z i 2 i z + i 2 i C Wir kommen jetzt zur wichtigsten Folgerung us der Cuchy schen Integrlformel. Der sogennnte Entwicklungsstz ist höchst überrschend und lässt die holomorphen Funktionen in gnz neuem Licht erscheinen. Entdeckt wurde er von Tylor und Cuchy beim Versuch, die Tylor-Entwicklung von komplex differenzierbren Funktionen zu berechnen. Die Motivtion erwuchs lso us der Idee, beknnte Schverhlte us dem Reellen ins Komplexe zu übertrgen. Cuchys Integrlformel lieferte schließlich ds pssende Hilfsmittel Entwicklungs-Lemm Sei : [, b] C ein Integrtionsweg, f : C stetig, z C \ und R := dist(z, ). Dnn gibt es eine Potenzreihe p(z) = n (z z ) n, die im Innern von D R (z ) bsolut und gleichmäßig gegen die uf C \ definierte Funktion F (z) := 1 2π i ζ z dζ n= konvergiert. Die Koeffizienten n genügen der Formel n = 1 dζ. 2π i (ζ z ) n+1 Insbesondere ist F holomorph uf C \. Beweis: Ist ζ und z D R (z ), so ist z z < R ζ z. Wir können den folgenden Trick mit der geometrischen Reihe nwenden: 1 ζ z = = C 1 (ζ z ) (z z ) = 1 1 ζ z 1 (z z )/(ζ z ) 1 ( ) n z z. ζ z ζ z n=

18 1.2 Integrtion im Komplexen 43 D f uf der kompkten Menge beschränkt ist, etw durch eine Zhl C >, ist (ζ z ) (z z ) ( ) n n C z n+1 R z, für ζ und z D R (z ). R Die Reihe über die Terme uf der rechten Seite konvergiert für jedes feste z D R (z ). Nch dem Weierstrß-Kriterium konvergiert dnn (für festes z) die Reihe ζ z = ζ z ( ) n z z = n= ζ z n= (ζ z ) n+1 (z z ) n bsolut und gleichmäßig in ζ uf. D die Prtilsummen stetig in ζ sind, knn mn Grenzwertbildung und Integrtion vertuschen und erhält: 1 2π i ζ z dζ = ( 1 2π i n= Die Reihe konvergiert für jedes z D R (z ). Wir setzen n := 1 2π i Dnn konvergiert die Reihe n= n (z z ) n ) dζ (z z (ζ z ) n+1 ) n. dζ. (ζ z ) n+1 bsolut und gleichmäßig im Innern von D R (z ) gegen F (z). D mn diese Konstruktion in jedem Punkt z C \ durchführen knn, ist F überll holomorph. Jetzt sind wir uf den folgenden Stz vorbereitet: Entwicklungsstz von Cuchy Sei G C ein Gebiet, f : G C holomorph und z G. Ist R > der Rdius der größten (offenen) Kreisscheibe um z, die noch in G hineinpsst, so gibt es eine Potenzreihe p(z) = n (z z ) n, n= die für jedes r mit < r < R uf D r (z )bsolut und gleichmäßig gegen f(z) konvergiert. Für jedes solche r ist n = 1 dζ, 2π i (ζ z ) n+1 D r(z ) und die Funktion f ist uf G beliebig oft komplex differenzierbr.

19 44 1 Funktionentheorie Beweis: Sei < r < R und (t) := z +re i t, t 2π. Dnn ist f uf stetig und mn knn ds Entwicklungs-Lemm nwenden. Es gibt eine Potenzreihe p(z), die im Innern von D r (z ) bsolut und gleichmäßig gegen F (z) := 1 2π i ζ z dζ konvergiert. Die Koeffizienten der Reihe sind durch die Formel n = 1 dζ 2π i (ζ z ) n+1 gegeben. D r(z ) Nch der Cuchyschen Integrlformel ist ber F (z) = f(z), und es ist klr, dss die Koeffizienten n nicht von r bhängen Folgerung (Höhere Cuchy sche Integrlformeln) Sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph. Dnn ist f uf G beliebig oft komplex differenzierbr, und für z G, D := D r (z ) G und z D ist f (k) (z) = k! 2π i (ζ z) dζ für k N. k+1 D r(z ) Beweis: Ist z D, so gibt es nch dem Entwicklungslemm eine Potenzreihe p(w) = n= n(w z) n, die uf einer Umgebung U = U δ (z) gegen die holomorphe Funktion F (w) := 1 dζ konvergiert. Dbei ist 2π i ζ w D n = 1 2π i D dζ. (ζ z) n+1 Nch der Cuchy schen Integrlformel ist ber f(w) = F (w) = p(w) für w U, und dher f (k) (z) = p (k) (z) = k k!. Drus folgt: f (k) (z) = 1 dζ. k! 2π i (ζ z) k+1 Ds gilt für jedes z D und k N. D Definition Sei G C ein Gebiet. Eine Funktion f : G C heißt in z G in eine Potenzreihe entwickelbr, wenn es ein r > gibt, so dss D := D r (z ) G ist und f uf D mit einer konvergenten Potenzreihe übereinstimmt. f heißt uf G nlytisch, wenn f in jedem Punkt von G in eine Potenzreihe entwickelbr ist.

20 1.2 Integrtion im Komplexen 45 Anlytische Funktionen sind beliebig oft komplex differenzierbr! Mn bechte ber, dss mn i.. nicht mit einer einzigen Potenzreihe uskommt Stz von Morer Sei G C ein Gebiet, f : G C stetig und f(z) dz = für jedes bgeschlossene Dreieck G. Dnn ist f holomorph uf G. Beweis: f besitzt zumindest lokl stets eine (holomorphe) Stmmfunktion F. Aber F ist beliebig oft komplex differenzierbr, und dnn ist uch f = F holomorph. Fssen wir nun zusmmen: Theorem Sei G C ein Gebiet. Folgende Aussgen über eine Funktion f : G C sind äquivlent: 1. f ist reell differenzierbr und erfüllt die Cuchyschen DGLn. 2. f ist komplex differenzierbr. 3. f ist holomorph. 4. f ist beliebig oft komplex differenzierbr. 5. f ist nlytisch. 6. f ist stetig und besitzt lokl immer eine Stmmfunktion. 7. f ist stetig, und es ist f(z) dz = für jedes bgeschlossene Dreieck in G. Wir hben eine erstunliche Entdeckung gemcht. Eine einml komplex differenzierbre Funktion ist utomtisch schon beliebig oft komplex differenzierbr. Ds ist ein großer Unterschied zur reellen Theorie! Und wir sind noch lnge nicht m Ende. Die holomorphen Funktionen weisen noch viele ndere bemerkenswerte Eigenschften uf Stz Sei G C ein Gebiet, f : G C stetig und ußerhlb von z holomorph. Dnn ist f uf gnz G holomorph. G sogr Beweis: besitzt. Aus den Vorussetzungen folgt, dss f lokl immer eine Stmmfunktion

21 46 1 Funktionentheorie Riemnn scher Hebbrkeitsstz Sei G C ein Gebiet, z G und f uf G \ {z } holomorph. Bleibt f in der Nähe von z beschränkt, so gibt es eine holomorphe Funktion f uf G, die uf G \ {z } mit f übereinstimmt. Beweis: Wir benutzen einen netten kleinen Trick: { f(z) (z z ) für z z Sei F (z) :=, für z = z. Wegen der Beschränktheit von f ist F stetig in G. Außerdem ist F ntürlich holomorph uf G \ {z }. Beides zusmmen ergibt, dss F uf gnz G holomorph ist. Also gibt es eine Drstellung F (z) = F (z ) + (z) (z z ), mit einer in z stetigen Funktion. D (z) = f(z) ußerhlb von z holomorph ist, muss sogr uf gnz G holomorph sein. Wir können f := setzen. Jetzt untersuchen wir die Nullstellen einer holomorphen Funktion Stz Sei G C ein Gebiet, f : G C holomorph, z G und f(z ) =. Dnn ist entweder f (k) (z ) = für lle k N, oder es gibt ein k >, eine offene Umgebung U = U(z ) G und eine holomorphe Funktion g : U C, so dss gilt: 1. f(z) = (z z ) k g(z) für z U. 2. g(z ) Die Zhl k ist eindeutig bestimmt durch f(z ) = f (z ) =... = f (k 1) (z ) = und f (k) (z ). Beweis: Wählt mn für U eine kleine Kreisscheibe um z, so ht mn uf U eine Drstellung f(z) = n (z z ) n. n= D f(z ) = ist, muss = sein. Ist nicht k = für lle k, so gibt es ein kleinstes k 1, so dss k ist. Dnn ist f(z) = (z z ) k g(z), mit g(z) := m+k (z z ) m. m=

22 1.2 Integrtion im Komplexen 47 Mit Hilfe des Lemms von Abel sieht mn sofort, dss die Reihe für g(z) ebenflls uf U konvergiert. Ds ergibt die gewünschte Drstellung, und ußerdem ist g(z ) = k. Weiter ist f (n) (z ) = n! n { = für n =,..., k 1 für n = k. Ddurch ist k uch eindeutig festgelegt. Die Zhl k nennt mn die Ordnung der Nullstelle von f in z. Von besonderer Bedeutung ist der Identitätsstz Sei G C ein Gebiet (hier ist wichtig, dss G zusmmenhängend ist!). Für zwei holomorphe Funktionen f, g : G C ist äquivlent: 1. f(z) = g(z) für lle z G. 2. f(z) = g(z) für lle z us einer Teilmenge M G, die wenigstens einen Häufungspunkt in G ht. 3. Es gibt einen Punkt z G, so dss f (k) (z ) = g (k) (z ) für lle k N ist. Beweis: (1) = (2) ist trivil. (2) = (3): Ist z G Häufungspunkt der Menge M G, so gibt es eine Folge (z ν ) in M, die gegen z konvergiert. Wegen der Stetigkeit ist f(z ) = lim ν f(z ν ) = lim ν g(z ν ) = g(z ). Es reicht, zu zeigen: Ist h holomorph und h(z) = für lle z M {z }, so ist h (k) (z ) = für lle k N. Wenn Letzteres nicht erfüllt ist, gibt es ein k und eine holomorphe Funktion q, so dss h(z) = (z z ) k q(z) und q(z ) ist. Dnn wäre ber uch q(z ν ) = für lle ν und dmit q(z ) =. Widerspruch! (3) = (1): Sei h := f g und N := {z G h (k) (z) = für lle k N }. Dnn liegt z in N, lso ist N. Außerdem ist N offen: Ist nämlich w N, so sind in der Potenzreihenentwicklung von h in w lle Koeffizienten =, und ds bedeutet, dss h uf einer gnzen Umgebung von w identisch verschwindet. Andererseits ist uch G \ N offen, denn es gilt: G \ N = {z G k N mit h (k) (z) } = k {z G h (k) (z) }, und ds ist eine Vereinigung offener Mengen.

23 48 1 Funktionentheorie D G ein Gebiet ist, muss G = N sein. Die Menge M, die im Stz vorkommt, knn z.b. eine kleine Umgebung U eines Punktes z G sein. Der Identitätsstz sgt: eine holomorphe Funktion uf G ist schon durch ihre Werte uf U festgelegt. Ds zeigt eine gewisse Strrheit der holomorphen Funktionen. Wckelt mn im Loklen n ihnen, so wckelt stets die gnze Funktion mit! Folgerung Ist G C ein Gebiet und f : G C holomorph und nicht die Nullfunktion, so ist {z G f(z) = } in G bgeschlossen und diskret 1 in G. Die Cuchysche Integrlformel zeigt, dss der Wert einer holomorphen Funktion in einem Punkt durch die Werte uf einer Kreislinie um den Punkt herum festgelegt sind. Noch deutlicher können wir ds durch die folgende Formel usdrücken: 2.3. Mittelwerteigenschft Ist f holomorph uf dem Gebiet G, z G und D r (z ) G, dnn ist f(z ) = 1 2π f(z + re i t ) dt. 2π Zum Beweis brucht mn nur die Prmetrisierung der Kreislinie in die Cuchysche Integrlformel einzusetzen Mximumprinzip Sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph. Besitzt f in G ein lokles Mximum, so ist f konstnt. Beweis: Wenn f in z G ein Mximum besitzt, dnn gibt es ein r >, so dss f(z) f(z ) für z z r ist. Aus der Mittelwerteigenschft folgt für < ϱ < r : f(z ) 1 2π 2π f(z + ϱe i t ) dt f(z ). Dnn muss ntürlich überll sogr ds Gleichheitszeichen stehen, und es folgt: 2π ( f(z + ϱe i t ) f(z ) ) dt =. 1 Eine Teilmenge D eines topologischen Rumes X heißt diskret in X, flls es zu jedem Punkt x D eine Umgebung U gibt, so dss U D = {x} ist.

24 1.2 Integrtion im Komplexen 49 D der Integrnd überll und ϱ < r beliebig ist, folgt: f(z) = f(z ) für z z < r. Also ist f uf D r (z ) konstnt, und dnn ntürlich uch f selbst. Schließlich wenden wir den Identitätsstz n und erhlten, dss f uf gnz G konstnt sein muss. Mn knn ds Mximumprinzip uch so formulieren: Eine nicht-konstnte holomorphe Funktion nimmt nirgendwo in ihrem Definitionsbereich ein lokles Mximum n (worunter stets ein Mximum von f zu verstehen wäre) Folgerung Ist G C ein beschränktes Gebiet, f : G C stetig und holomorph uf G, so nimmt f sein Mximum uf dem Rnd von G n. Beweis: Als stetige Funktion uf einer kompkten Menge muss f irgendwo uf G sein Mximum nnehmen. Wegen des Mximumprinzips knn ds nicht in G liegen. D bleibt nur der Rnd Minimumprinzip Sei G C ein Gebiet und f : G C holomorph und ohne Nullstellen. Besitzt f in G ein lokles Minimum, so ist f konstnt. Der trivile Beweis sei dem Leser überlssen Cuchy sche Ungleichungen Sei G C ein Gebiet, f : G C holomorph, z G und r > mit D r (z ) G. Dnn gelten die folgenden Abschätzungen: 1. f(z ) mx D r(z ) f. 2. f (z) 4 r mx D r(z ) f für z D r/2(z ). Beweis: 1) folgt sofort us dem Mximumprinzip. 2) Für z D r/2 (z ) gilt die Cuchy sche Integrlformel f (z) = 1 2π i D r(z ) (ζ z) 2 dζ.

25 5 1 Funktionentheorie Für ζ D r (z ) ist ζ z r/2. Also ergibt die Stndrdbschätzung: f (z) 1 2πr mx 2π Ds ist die gewünschte Ungleichung. D r(z ) 4 (ζ z) 2 r mx f. D r(z ) Stz von Liouville Ist f uf gnz C holomorph und beschränkt, so ist f konstnt. Beweis: Sei f(z) C für lle z C. Aus der zweiten Cuchy schen Ungleichung folgt: f (z) 4 r mx f 4C D r() r, für z r/2. Lässt mn r gegen Unendlich gehen, so erhält mn, dss f (z) uf jeder festen Kreisscheibe um Null ist, lso sogr uf gnz C. Deshlb ist f selbst konstnt. Wer ds Wundern noch nicht verlernt ht, sollte n dieser Stelle einml innehlten und sich bewusst mchen, wieviele erstunliche Eigenschften holomorpher Funktionen wir in kurzer Zeit hergeleitet hben! Definition Eine gnze Funktion ist eine uf gnz C definierte holomorphe Funktion. Beispiele sind die Exponentilfunktion, der Sinus und der Cosinus, vor llem ber die Polynome Fundmentlstz der Algebr Jedes nicht konstnte Polynom besitzt eine Nullstelle in C. Beweis: Wir mchen die Annhme, es gebe ein Polynom p(z) vom Grd n 1 ohne Nullstellen. Es sei p(z) = n z n + n 1 z n z + mit n. Dnn ist f(z) := 1/p(z) eine gnze Funktion, und für z ist f(z) = 1 z 1 n q(1/z), mit dem Polynom q(w) := n + n 1 w w n 1 + w n. Wegen q() = n ist 1 lim f(z) = lim z z z 1 n q() =. Also ist f eine beschränkte gnze Funktion und nch Liouville konstnt, im Gegenstz zur Annhme.

26 1.2 Integrtion im Komplexen 51 Hierus folgt per Induktion, dss jedes Polynom vom Grd n 1 genu n Nullstellen (mit Vielfchheit gezählt) besitzt und dher in n Linerfktoren zerfällt Konvergenzstz von Weierstrß Ist (f n ) eine Folge von holomorphen Funktionen uf einem Gebiet G, die lokl gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert, so ist uch f holomorph und (f n) konvergiert uf G lokl gleichmäßig gegen f. Beweis: Die Grenzfunktion f ist uf jeden Fll stetig. Sei ein bgeschlossenes Dreieck in G. Dnn konvergiert (f n ) uf gleichmäßig, und mn knn den Stz über die Vertuschbrkeit von Integrtion und Limesbildung nwenden: f(z) dz = lim f n (z) dz =. n Also ist f nch dem Stz von Morer holomorph. Sei z G beliebig. Es genügt zu zeigen, dss es eine offene Umgebung U = U(z ) G gibt, so dss (f n) uf U gleichmäßig gegen f konvergiert. Dzu sei r > so gewählt, dss D r (z ) G ist, und dnn U := D r/2 (z ) gesetzt. Sei ε > vorgegeben. Für z U und beliebiges n N gilt: f n(z) f (z) 4 r mx f n f. D r(z ) Mn knn n so groß wählen, dss mx f n f < r D r(z ) 4 ε für n n ist. Aber dnn ist f n(z) f (z) < ε für z U und n n. Ds heißt, dss (f n) lokl gleichmäßig gegen f konvergiert. Definition 1. Seien B 1, B 2 zwei offene Mengen in C, f : B 1 C holomorph mit f(b 1 ) = B 2. f heißt biholomorph, flls f sogr bijektiv und f 1 holomorph ist. 2. Eine holomorphe Funktion f : G C heißt in z G lokl biholomorph, flls es eine offene Umgebung U = U(z ) G und eine offene Teilmenge V C gibt, so dss f U : U V biholomorph ist. 3. f heißt uf G lokl biholomorph, flls f in jedem Punkt z G lokl biholomorph ist. Offensichtlich gilt: Ist G C ein Gebiet und f : G C injektiv und lokl biholomorph, so ist f(g) ebenflls ein Gebiet und f : G f(g) biholomorph.

27 52 1 Funktionentheorie Stz Eine holomorphe Funktion f : G C ist genu dnn in z G lokl biholomorph, wenn f (z ) ist. Beweis: 1) Ist f(z ) = w und f in z lokl biholomorph, so gibt es offene Umgebungen U = U(z ) und V = V (w ), sowie eine holomorphe Funktion g : V U, so dss g f U = id U ist. Aber dnn ist 1 = (g f) (z ) = g (w ) f (z ), lso f (z ). 2) Sei umgekehrt f holomorph und f (z ). D f holomorph und dmit insbesondere stetig ist, besitzt f uf einer offenen Umgebung U = U(z ) eine reell differenzierbre Umkehrung g. Auf U ist f (z). Sei z U und f(z) = w. Dnn ist Df(z) Dg(w) = id C, lso f (z) Dg(w)(v) = v und Dg(w)(v) = (1/f (z)) v. Ds ist eine C-linere Abbildung, lso ist g in w komplex differenzierbr Stz von der Gebietstreue Ist G C ein Gebiet und f : G C eine nicht konstnte holomorphe Abbildung, so ist uch f(g) ein Gebiet. Beweis: Ds stetige Bild einer zusmmenhängenden Menge ist wieder zusmmenhängend. Wir müssen lso nur zeigen, dss f(g) offen ist. Sei z G und g(z) := f(z) f(z ), lso g(z ) =. Es reicht zu zeigen, dss innerer Punkt von g(g) ist. Nch dem Identitätsstz gibt es eine Kreisscheibe D = D r (z ) G, so dss g(z) uf D ist. Sei ε := 1 2 min D g >. Ist w D ε () und h(z) := g(z) w, so ist h(z ) = w < ε. Für z D ist ndererseits h(z) g(z) w 2ε ε = ε. Ds bedeutet, dss h ein Minimum in D nnimmt. Aus dem Minimumprinzip folgt nun, dss h eine Nullstelle in D besitzt. Also gibt es ein z D mit g(z) = w. Dmit ist D ε () g(d) g(g). Und jetzt kommt noch ein weiterer erstunlicher Stz: 2.4. Stz Sei G C ein Gebiet, f : G C holomorph und injektiv. Dnn ist f (z) für lle z G, lso insbesondere f : G f(g) biholomorph. Beweis: D f holomorph und nicht identisch Null ist, ist die Menge A := {z G f (z) = } diskret in G. Weiter wissen wir schon, dss f(g) ein Gebiet und

28 1.2 Integrtion im Komplexen 53 f : G f(g) stetig, offen und bijektiv ist, lso ein Homöomorphismus. Dher ist uch M := f(a) diskret in f(g). D f : G \ A f(g) \ M bijektiv und lokl biholomorph, lso sogr globl biholomorph ist, gilt: f 1 : f(g) G ist stetig und ußerhlb M holomorph. Aber dnn muss f 1 sogr uf gnz f(g) holomorph sein Stz Sei G einfch-zusmmenhängend, F : G C holomorph und injektiv. Dnn ist uch F (G) einfch-zusmmenhängend. Beweis: Wir wissen schon, dss G := F (G) ein Gebiet ist. Sei f holomorph uf G. Dnn ist (f F ) F holomorph uf G, und es gibt eine Stmmfunktion g von (f F ) F uf G. Die Funktion F 1 : G G ist ebenflls holomorph, und dmit uch h := g F 1. Es ist h (w) = g (F 1 (w)) 1 F (F 1 (w)) = f(w) für w G Beispiel 23π/12 z exp(z) G G π/12 ln 2 Ds (sternförmige) Rechteck G := {x + i y : < x < ln 2 und π/12 < y < 23π/12} wird durch w = exp(z) biholomorph uf einen ufgeschlitzten Kreisring G = {re i t : 1 < r < 2 und π/12 < t < 23π/12} bgebildet. Also ist G einfch-zusmmenhängend.

29 54 1 Funktionentheorie Der komplette Kreisring K := {re i t : 1 < r < 2 und t < 2π} ist nicht einfch-zusmmenhängend, denn die uf K holomorphe Funktion f(z) := 1/z besitzt keine Stmmfunktion.