Endliche Automaten. Endliche Automaten 1 / 115

Transkript

1 Endliche Automten Endliche Automten 1 / 115

2 Endliche Automten Endliche Automten erluen eine Beschreiung von Hndlungsläufen: Wie ändert sich ein Systemzustnd in Ahängigkeit von veränderten Umgeungsedingungen? Vielfältiges Einstzgeiet, nämlich: - in der Definition der regulären Sprchen lso der Menge ller Folgen von Ereignissen, die von einem Strtzustnd in einen gewünschten Zustnd führen, - in der Entwicklung digitler Schltungen - in der Softwretechnik (z. B. in der Modellierung des Appliktionsverhltens) - in der Compilierung: Lexiklische Anlyse - im Algorithmenentwurf für String Proleme - in der Astrktion ttsächlicher Automten (wie Bnk- und Getränkeutomten, Fhrstühle etc.). Endliche Automten 2 / 115

3 Freischltung eines Fernsehers (1/2) Um die Kindersicherung des Fernsehers üer die Fernedienung freizuschlten, muss ein dreistelliger Code korrekt eingegeen werden. Dei sind die folgenden Tsten relevnt: - Die Tsten 0,..., 9, - die Tste CODE sowie - die Tste BACK. Wird BACK gedrückt, so wird die zuletzt eingegeene Zhl zurückgenommen. Die Tste CODE muss vor Einge des Codes gedrückt werden. Wird CODE während der Codeeinge nochmls gedrückt, so wird die Einge neu egonnen. Der Code zum Entsperren ist 999. Endliche Automten Beispiele 3 / 115

4 CODE Freischltung eines Fernsehers (2/2) BACK, CODE CODE redy 9 BACK, CODE 9 BACK ON 0,..., 8 BACK, CODE 0,..., 8 x CODE 9x 0,..., 9 BACK BACK 0,..., 8 0,..., 9 xx 0,..., 9 OFF 0,..., 9, BACK Der Automt kzeptiert lle Folgen von Bedienopertionen, die vom Zustnd redy in den Zustnd ON führen. Endliche Automten Beispiele 4 / 115

5 Alphete, Worte und Sprchen Endliche Automten Alphete, Worte und Sprchen 5 / 115

6 Worte und Alphete Sei Σ eine endliche Menge: Wir nennen Σ ein Alphet. Wir fssen ein Tupel w = ( 1,..., k ) Σ k ls ein Wort mit den Buchsten 1,..., k uf und schreien oft w = 1 k. Ds leere Tupel () Σ 0 heißt uch ds leere Wort und wird oft mit ε (epsilon) ezeichnet. Die Länge 1 k eines Wortes 1 k ist die Zhl k, die Anzhl seiner Buchsten. Insesondere ist ε = 0, ds leere Wort ht lso die Länge 0. Sind v = 1 k und w = 1 l zwei Worte üer Σ, so ist die Konktention von v und w ds Wort vw := 1 k 1 l. Endliche Automten Alphete, Worte und Sprchen 6 / 115

7 Sprchen Sei Σ ein Alphet. (Also ist Σ eine Menge.) () Die Menge ller Worte üer Σ ezeichnen wir mit Σ. Es gilt lso: Σ = k N Σ k = { 1 k : k N, 1,..., k Σ }. Es ist Σ 0 = {()} = {ε} und Σ enthält insesondere ds leere Wort. () Die Menge ller nicht-leeren Worte üer Σ ezeichnen wir mit Σ +. Es gilt: Σ + = Σ \ {ε} = { 1 k : k N >0, 1,..., k Σ }. (c) Eine Teilmenge von Σ, lso eine Menge von Worten üer Σ, wird eine Sprche üer Σ gennnt. Bemerkung: In vielen Büchern werden Sprchen mit dem Buchsten L (für Lnguge) oder mit Vrinten wie L oder L 1 ezeichnet. Endliche Automten Alphete, Worte und Sprchen 7 / 115

8 Ntürliche Sprchen Wir etrchten ds Alphet Σ deutsch := {A, B,..., Z, Ä, Ö, Ü,,,..., z, ä, ö, ü, ß,.,,, :, ;,!,?, -, _}. Beispiele für Sprchen üer Σ deutsch sind: L 1 := Menge ller Worte der deutschen Sprche. L 2 := Menge ller grmmtiklisch korrekten Sätze der deutschen Sprche ufgefsst ls Worte üer Σ deutsch, Die Menge ller in Deutsch geschrieenen Bücher, die nur us grmmtiklisch korrekten Sätzen ufgeut sind, ist eine Teilmenge von L + 2. Endliche Automten Alphete, Worte und Sprchen 8 / 115

9 Progrmmiersprchen Wir etrchten ds Alphet ASCII (mericn stndrd code for informtion interchnge) ASCII := die Menge ller ASCII-Symole. ASCII esteht us 95 druckren Zeichen (ds lteinische Alphet in Groß- und Kleinschreiung, die rischen Ziffern, Sonderzeichen) und 33 nicht druckren Zeichen. Beispiele für Sprchen üer dem Alphet ASCII sind: L 1 := die Menge ller Python-Schlüsselwörter, L 2 := die Menge ller erluten Vrilennmen in Python, L 3 := die Menge ller syntktisch korrekten Python-Progrmme. L 1, L 2, L 3 ASCII. Endliche Automten Alphete, Worte und Sprchen 9 / 115

10 Freischltung eines Fernsehers Im Folgenden interessieren wir uns vor Allem für Sprchen, die von endlichen Automten definiert werden. Im Fernseher-Beispiel interessieren wir uns etw für die Sprche ller Worte üer dem Alphet Σ := {0, 1,..., 9} {CODE, BACK}, die zu einer Freischltung des Fernsehers führen. Endliche Automten Alphete, Worte und Sprchen 10 / 115

11 DFAs: Die formle Definition Endliche Automten DFAs: Die formle Definition 11 / 115

12 Ws ist ein endlicher Automt? Ein deterministischer endlicher Automt (engl. deterministic finite utomton, kurz DFA) A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) esteht us: einer endlichen Menge Σ, dem Eingelphet, einer endlichen Menge Q, der Zustndsmenge (die Elemente us Q werden Zustände gennnt), einer Funktion δ von Q Σ nch Q, der Üergngsfunktion (oder Üerführungsfunktion), einem Zustnd q 0 Q, dem Strtzustnd, sowie einer Menge F Q von Endzuständen zw. kzeptierenden Zuständen. (Der Buchste F steht für finl sttes, lso Endzustände ). Endliche Automten DFAs: Die formle Definition 12 / 115

13 Ds Zustndsdigrmm (zw. der Automtengrph), die grfische Drstellung eines DFA Endliche Automten Ds Zustndsdigrmm 13 / 115

14 Grfische Drstellung: Ds Zustndsdigrmm A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Für jeden Zustnd q Q git es einen durch q drgestellten Knoten. Der Strtzustnd q 0 wird durch einen in ihn hinein führenden Pfeil mrkiert, d.h.: q 0 Jeder kzeptierende Zustnd q F wird durch eine doppelte Umrndung mrkiert, d.h.: Seien p, q Q Zustände und Σ ein Symol des Alphets mit δ(q, ) = p. Dnn füge einen mit dem Symol eschrifteten Pfeil von Knoten q zu Knoten p ein, d.h.: q q p Endliche Automten Ds Zustndsdigrmm 14 / 115

15 Vom Zustndsdigrmm zur formlen Beschreiung Der DFA A 1 ht ds Zustndsdigrmm q 0 q 1 Wir möchten A 1 forml eschreien. 1 Ds Eingelphet Σ = {, }, 2 die Zustndsmenge Q = {q 0, q 1 } 3 die Üergngsfunktion δ : Q Σ Q: siehe Tfel. 4 der Strtzustnd q 0 und 5 die Menge F = {q 1 } der kzeptierenden Zustände. Endliche Automten Ds Zustndsdigrmm 15 / 115

16 Wie reitet ein DFA? Die erweiterte Üergngsfunktion Endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 16 / 115

17 Wie reitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (1/2) Ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) erhält ls Einge ein Wort w Σ. (Ds Wort repräsentiert eine Folge von Aktionen oder Bedienopertionen.) A wird im Strtzustnd q 0 gestrtet. 0. Flls w ds leere Wort ist, d.h. w = ε, dnn verleit A im Zustnd q Also gelte w = 1 n mit n N >0 und 1,..., n Σ. Der Automt liest den ersten Buchsten 1 von w und wechselt in den Zustnd q 1 := δ(q 0, 1 ). In der grfischen Drstellung von A wird der Zustnd durch die mit 1 eschriftete Knte verlssen, und q 1 ist der Endknoten dieser Knte, d.h. q 1 0 q 1 q 0 Endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 17 / 115

18 Wie reitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (2/2) 2. Durch Lesen von 2, dem zweiten Symol von w, wechselt A in den Zustnd q 2 := δ(q 1, 2 ). In der grfischen Drstellung von A wird q 1 durch die mit 2 eschriftete Knte q 2 1 q 2 verlssen und der Automt lndet in Zustnd q 2 = δ(q 1, 2 ). n. Auf diese Weise wird ds gesmte Eingewort w = 1 n gereitet. Ausgehend vom Strtzustnd q0 erreicht A ncheinnder Zustände q 1,..., q n. In der grfischen Drstellung von A entspricht diese Zustndsfolge einem Weg der Länge n, der im Knoten strtet und dessen Knten mit den Buchsten 1,..., n eschriftet sind. q 0 Schreie δ(q0, w) := q n. Endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 18 / 115

19 Die erweiterte Üergngsfunktion für den DFA A 1 Wir etrchten wieder den DFA A 1 mit dem Zustndsdigrmm q 0 q 1 1 δ(q0, ) = q 0 2 δ(q0, ) = q 0 3 δ(q1, ) = q 0 4 δ(q1, ) = q 1 5 δ(q0, () 100 ) = q 1 Endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 19 / 115

20 Ws genu ist δ(q, w)? Sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. Eine rekursive Definition der Funktion δ : Q Σ Q Der Rekursionsnfng: f.. q Q ist δ(q, ε) := q. Der Rekursionsschritt: F.. q Q, w Σ und Σ gilt für q := δ(q, w): δ(q, w) := δ(q, ). Grfische Drstellung: q w ˆδ(q, w) δ(ˆδ(q, w), ) w δ(q 0, w) ist der Zustnd, der nch Verreitung des Worts w erreicht wird. Endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 20 / 115

21 DFAs: Die Mschinensichtweise Verreitung eines Eingeworts durch einen DFA A: w = Lesekopf n q 0 ktueller Zustnd Wir können uns einen DFA ls eine Mschine vorstellen, die ihre Einge w = n von links-nch-rechts mit Hilfe eines Lesekopfes durchläuft und dei Zustndsüergänge durchführt. Endliche Automten DFAs: Die Mschinensichtweise 21 / 115

22 Die kzeptierte Sprche eines DFA DFAs und ihre Sprchen 22 / 115

23 Wnn kzeptiert A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein Wort w? DEFINITION: Ds Eingewort w wird vom DFA A kzeptiert, flls δ(q 0, w) F, d.h., flls der nch Verreitung von w erreichte Zustnd zur Menge F der kzeptierenden Zustände gehört. Wie üersetzt sich Akzeptnz von w = 1 n in der grfischen Drstellung von A? Es git einen in q 0 strtenden Weg der Länge n, - dessen Knten mit den Symolen 1,..., n eschriftet sind, - und der in einem kzeptierenden Zustnd endet. DFAs und ihre Sprchen 23 / 115

24 Die kzeptierte Sprche L(A) Die von einem DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) kzeptierte Sprche L(A) ist L(A) := { w Σ : δ(q0, w) F }. Ein Wort w Σ gehört lso genu dnn zur Sprche L(A), wenn w vom DFA A kzeptiert wird. DFAs und ihre Sprchen 24 / 115

25 Der Automt A 1 Wir etrchten wieder den DFA A 1 mit dem Zustndsdigrmm q 0 q 1 A 1 kzeptiert die Sprche L(A 1 ) = {w {, } : der letzte Buchste von w ist ein } DFAs und ihre Sprchen Beispiele 25 / 115

26 Der Automt A 2 Der DFA A 2 mit dem Zustndsdigrmm q q q q kzeptiert die Sprche L(A 2 ) = {w {, } : der vorletzte Buchste von w ist ein } DFAs und ihre Sprchen Beispiele 26 / 115

27 Ein Pritätscheck Bei der Speicherung von Dten uf einem Speichermedium eines Computers werden Informtionen durch inäre Worte üer dem Alphet {0, 1} kodiert. Um Fehler ei der Dtenüertrgung zu erkennen, wird oft ein Pritätsit ngehängt, so dss die Summe der Einsen im resultierenden Wort w gerde ist. Für ein elieiges Wort w {0, 1} sgen wir w esteht den Pritätscheck, flls die Anzhl der Einsen in w gerde ist. Der folgende DFA A führt einen Pritätscheck durch: q 0 q 1 1 Für A gilt: L(A) = {w {0, 1} : w esteht den Pritätscheck }. DFAs und ihre Sprchen Beispiele 27 / 115

28 Minimierung von DFAs Minimierung 28 / 115

29 Minimiere die Zustndszhl A = (Σ, Q A, δ A, q A 0, F A ) und B = (Σ, Q B, δ B, q B 0, F B ) seien DFAs. () Wir nennen A und B äquivlent, wenn gilt () A heißt L(A) = L(B). miniml, wenn kein mit A äquivlenter vollständiger DFA eine kleinere Zustndszhl esitzt. DAS ZIEL: Gegeen ist ein DFA A. Bestimme einen minimlen, mit A äquivlenten DFA. Minimierung 29 / 115

30 Zustndsminimierung: Die Idee Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeen. Die Idee: Wir sollten doch zwei Zustände p, q Q zu einem einzigen Zustnd verschmelzen dürfen, wenn p und q quivlent sind, Aer ws edeutet ds? lso dssele Ausgeverhlten esitzen. Die Verschmelzungsreltion A ist eine 2-stellige Reltion üer der Zustndsmenge Q. Wir sgen, dss Zustände p, q Q äquivlent zgl. A sind, (kurz p A q), wenn ( ) f.. Worte w Σ : δ(p, w) F δ(q, w) F. Wir nennen A Verschmelzungsreltion, d wir zgl. A äquivlente Zustände in einen Zustnd verschmelzen möchten. Minimierung 30 / 115

31 Einschu: Äquivlenzreltionen Minimierung 31 / 115

32 2-stellige Reltionen und gerichtete Grphen Zur Erinnerung: Für eine 2-stellige Reltion R üer der Knotenmenge V gilt R V V. Wir können somit die Reltion R ls Kntenmenge und umgekehrt eine Kntenmenge ls eine 2-stellige Reltion uffssen. Gerichtete Grphen mit Knotenmenge V und 2-stellige Reltionen üer V sind äquivlente Konzepte! Minimierung 32 / 115

33 Wichtige Eigenschften 2-stelliger Reltionen Sei E eine 2-stellige Reltion üer einer Menge V, d.h. G = (V, E) ist ein gerichteter Grph. () E heißt reflexiv, flls für lle v V gilt: (v, v) E. (Skizze: v ) () E heißt symmetrisch, flls f.. v, w V gilt: Wenn (v, w) E, dnn uch (w, v) E. Zur Knte v w git es uch die Rückwärtsknte v w (c) E heißt trnsitiv, flls f.. v, w, u V gilt: Ist (v, w) E und (w, u) E, so uch (v, u) E. E (Skizze: v w u E E v w u ) E E Minimierung 33 / 115

34 Äquivlenzreltionen () Eine Äquivlenzreltion ist eine 2-stellige Reltion, die reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. () Sei E eine Äquivlenzreltion üer einer Menge V. Für jedes v V ezeichnet [v] E := { v V (v, v ) E } die Äquivlenzklsse von v ezüglich E. [v] E esteht us llen Elementen von V, die gemäß E äquivlent zu v sind. Eine Menge W V heißt Äquivlenzklsse (zgl. E), flls W = [v] E für ein Element v V gilt. Ds Element v heißt Vertreter seiner Äquivlenzklsse W. Minimierung Äquivlenzreltionen 34 / 115

35 Die wichtigste Eigenschft von Äquivlenzreltionen Sei E eine Äquivlenzreltion üer der Menge V. () Dnn gilt für lle Elemente v, w V [v] E = [w] E oder [v] E [w] E =. () V ist eine disjunkte Vereinigung von Äquivlenzklssen. Beweis: Siehe Tfel. Minimierung Äquivlenzreltionen 35 / 115

36 Äquivlenzreltionen: Beispiele (1/2) () Gleichheit: Für jede Menge M ist E := { (m, m) : m M } eine Äquivlenzreltion: (x, y) E gilt genu dnn, wenn x = y. () Gleichmächtigkeit: Für jede endliche Menge M ist E := { (A, B) : A M, B M, A = B } eine Äquivlenzreltion üer der Potenzmenge M. Skizze für M = {1, 2}: {1, 2} {1} {2} Minimierung Äquivlenzreltionen 36 / 115

37 Äquivlenzreltionen: Beispiele (2/2) (c) Logische Äquivlenz: Die Reltion E := { (φ, ψ) : φ, ψ AL, φ ψ } ist eine Äquivlenzreltion üer der Menge AL ller ussgenlogischen Formeln. (d) Grph-Isomorphie: Für jede Menge V ist E := {(G 1, G 2 ) G 1 = (V, E 1 ), G 2 = (V, E 2 ) sind isomorphe, ungerichtete Grphen } eine Äquivlenzreltion üer der Menge ller ungerichteten Grphen mit Knotenmenge V. Minimierung Äquivlenzreltionen 37 / 115

38 Der Index Sei E eine Äquivlenzreltion. Dnn ist der Index von E die Anzhl der verschiedenen Äquivlenzklssen. Der Index einer Äquivlenzreltion git n, wie viele verschiedene Äquivlenzklssen es git. Betrchte wieder die Äquivlenzreltion der Gleichmächtigkeit für Teilmengen A, B M, lso A = B A = B. Dnn stimmt der Index üerein mit M + 1. Minimierung Äquivlenzreltionen 38 / 115

39 Zurück zur Verschmelzungsreltion A Minimierung Die Verschmelzungsreltion 39 / 115

40 Die Verschmelzungsreltion ist eine Äquivlenzreltion Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeen. Zur Erinnerung: p A q : f.. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ). () Die Verschmelzungsreltion ist reflexiv, f.. p Q: p A p, symmetrisch, f.. p, q Q: wenn p A q, dnn q A p und trnsitiv, f.. p, q, r Q: wenn p A q und q A r, dnn p A r. Wrum? Siehe Tfel. () Die Verschmelzungsreltion ist eine Äquivlenzreltion! Die Zustndsmenge Q ist die disjunkte Vereinigung der Äquivlenzklssen von A. Minimierung Die Verschmelzungsreltion 40 / 115

41 Die wichtigen Frgen 1 Ist die Verschmelzungsreltion A eine Äquivlenzreltion? 2 Wir möchten lle äquivlenten Zustände zu einem einzigen Zustnd verschmelzen. Dürfen wir ds? Gilt: Index der Verschmelzungsreltion A = Zustndszhl eines minimlen Automten? (Wenn j, hen wir einen minimlen Automten gefunden!) Minimierung Die Verschmelzungsreltion 41 / 115

42 Die nächsten Schritte Sei der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) gegeen. Wir führen die folgenden Schritte durch: 1. Wir estimmen die Äquivlenzklssen der Verschmelzungsreltion A. 2. Für jede Äquivlenzklsse von A verschmelzen wir lle Zustände der Klsse zu einem einzigen Zustnd und fügen entsprechende Üergänge ein. Und wie genu soll ds ussehen? 3. Den neuen Automten nennen wir A und ezeichnen ihn ls den Äquivlenzklssenutomten von A. Die Anzhl der Zustände von A stimmt mit dem Index von A üerein. Wenn der Index mit der minimlen Zustndszhl üereinstimmt, dnn ist A miniml! Minimierung Die Verschmelzungsreltion 42 / 115

43 Schritt 1: Wir estimmen die Verschmelzungsreltion A Minimierung Die Verschmelzungsreltion 43 / 115

44 Zeugen (1/3) Sei (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. () Ds Wort w Σ ist Zeuge für die Inäquivlenz von p und q, wenn ) ) ( δ(p, w) F δ(q, w) F ( δ(p, w) F δ(q, w) F. Wir sgen uch, dss w die Zustände p und q trennt. () Es ist p A q genu dnn, wenn es einen Zeugen für die Inäquivlenz von p und q git, zw wenn es ein Wort git, ds p und q trennt. Minimierung Die Verschmelzungsreltion 44 / 115

45 Zeugen (2/3) ε Finde einen Zeugen für die Inäquivlenz von und. Welcher Zeuge trennt ε und? Git es Zeugen, die die Zustände und trennen? Minimierung Die Verschmelzungsreltion 45 / 115

46 Zeugen (3/3) ε , Finde einen Zeugen für die Inäquivlenz von 1 und. Welcher Zeuge trennt ε und 1? Git es Zeugen, die die Zustände 1 und 2 trennen? Minimierung Die Verschmelzungsreltion 46 / 115

47 Wir estimmen lle Pre nicht-äquivlenter Zustände 1. Füge lle Prmengen {p, q} mit p F und q F in die Menge M 0 ein. Es ist δ(p, ε) F und δ(q, ε) F. w = ε ist Zeuge für die Nicht-Äquivlenz von p und q. 2. Die Prmenge {p, q} gehöre nicht zu M i, er {r, s} sei Element von M i. Wenn δ(p, ) = r sowie δ(q, ) = s für ein Σ, dnn füge {p, q} in die Menge M i+1 ein. D r A s, git es einen Zeugen w mit ) ) ( δ(r, w) F und δ(s, w) F oder ( δ(r, w) F und δ(s, w) F. Ds Wort w trennt p und q = w ist Zeuge für die Nicht-Äquivlenz von p und q. 3. Hlte, wenn keine neuen Prmengen {p, q} ls nicht-äquivlent nchgewiesen werden können. Wir ehupten, dss p A q genu dnn gilt, wenn die Prmenge {p, q} zu einer Menge M i gehört. Stimmt die Behuptung: Finden wir lle Pre nicht-äquivlenter Zustände? Minimierung Die Verschmelzungsreltion 47 / 115

48 Unser Verfhren funktioniert! Sei P die Menge ller Pre {p, q} nicht-äquivlenter Zustände, die er von unserem Verfhren nicht gefunden werden. Zeige, dss P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Prmenge {p, q} P he unter llen Prmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dnn ist ( ) ( ) δ(p, ε) F und δ(q, ε) F oder δ(p, ε) F und δ(q, ε) F, ( ) ( ) zw. p F und q F oder p F und q F. Aer dnn hen wir {p, q} in die Menge M 0 eingefügt. 2. Wenn w = u für den Buchsten Σ, dnn ist ) ) ( δ(p, u) F und δ(q, u) F oder ( δ(p, u) F und δ(q, u) F, ) zw. ( δ(δ(p, ), u) F und δ(δ(q, ), u) F oder ) ( δ(δ(p, ), u) F und δ(δ(q, ), u) F. Aer dnn ist δ(p, ) A δ(q, ) mit dem kürzeren Zeugen u: Nch Annhme hen wir {δ(p, ), δ(q, )} in eine Menge Mi eingefügt und werden druffolgend {p, q} in die Menge Mi+1 einfügen. Minimierung Die Verschmelzungsreltion 48 / 115

49 Der Äquivlenzklssenutomt Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 49 / 115

50 Der Äquivlenzklssenutomt Wie sieht der Automt nch dem Verschmelzen ller äquivlenten Zustände us? - Für Zustnd p Q ezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivlenzklsse von p. - Der Äquivlenzklssenutomt A für A esitzt die Zustndsmenge Q := { [p] A : p Q }, den Anfngszustnd q 0 :=[q 0] A, die Menge F := { [p] A : p F } der kzeptierenden Zustände und ds Progrmm δ mit δ ([p] A, ) := [ δ(p, ) ] A für lle Zustände q Q und Buchsten Σ. Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 50 / 115

51 Der Minimierungslgorithmus Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 51 / 115

52 Berechnung von A und A Einge: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne us A lle üerflüssigen Zustände, d.h. lle Zustände, die nicht von q 0 us erreichr sind. Schritt 2: Bestimme lle Prmengen {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. Zuerst estimme M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; Setze i := 0 2. Wiederhole 3. Für lle Prmengen {p, q} mit p q, {p, q} (M 0 M i) und für lle Σ tue folgendes: 4. Flls {δ(p, ), δ(q, )} M i, füge {p, q} zur Menge M i+1 hinzu. 5. i := i is M i = 7. Ausge: M := M 0 M i 1. Schritt 3: Konstruiere A := (Q, Σ, δ, q 0, F ): Q := { [q] A : q Q }, woei [q] A = { p Q : {p, q} M } q 0 := [q 0] A, F := { [q] A : q F } δ : Q Σ Q mit δ ( [q] A, ) := [δ(q, )] A für lle q Q und Σ. Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 52 / 115

53 Ist der Algorithmus korrekt und effizient? In jeder Itertion in Schritt 2 wird mindestens eine neue Prmenge mrkiert: Es git lso höchstens Q 2 Itertionen und der Algorithmus ist effizient. Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 53 / 115

54 Wie estimmt mn lle inäquivlenten Pre in M i+1? 1. Bestimme die von M 0,..., M i estimmte Zerlegung der Zustndsmenge. Wir definieren eine Äquivlenzreltion i uf der Zustndsmenge Q des Automten A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) durch p i q für lle Wörter w Σ 0 Σ 1 Σ i gilt ( ) ˆδ(p, w) F ˆδ(q, w) F Zwei Zustände p und q sind lso genu dnn für i äquivlent, wenn sie von keinem Zeugen der Länge höchstens i voneinnder getrennt werden können. 2. Wie erhlten wir M i+1 us M i? Es gelte p i q. Dnn ist p i+1 q für lle Buchsten Σ gilt δ(p, ) i δ(q, ). Nur wenn unser Versuch scheitert, us den Klssen von i einen DFA zu uen, wenn lso δ(p, ) i δ(q, ) für Zustände p, q mit p i q gilt, müssen wir die Äquivlenzklsse von p ezüglich i weiter zerlegen. 3. Setze M i+1 = {{p, q} : p i q, er δ(p, ) i δ(q, ) für ein Σ }. Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 54 / 115

55 Die wichtigen Frgen 1. Sind A und der Äquivlenzklssenutomt A äquivlent, d.h. erechnet A diesele Sprche wie A? 2. Ist A miniml? Aer zuerst rechnen wir zwei Beispiele durch. Minimierung Der Äquivlenzklssenutomt 55 / 115

56 Zustndsminimierung: Die Mengen M 0, M 1, M 2 ε , ε Minimierung Beispiele 56 / 115

57 Zustndsminimierung: Der Äquivlenzklssenutomt A ε , M 3 = {} ist die Klsse des einzigen kzeptierenden Zustnds, {ε} ist die Klsse des Strtzustnds, { 1, 2 } und { 1, 2, } sind die restlichen Klssen. Der Äquivlenzklssenutomt:, ε Genügt es, nur Zustände mit identischen Nchfolgezuständen zu verschmelzen? NEIN! Minimierung Beispiele 57 / 115,

58 Zustndsminimierung: Die Telle Wie hen wir die Telle gefüllt? Angenommen, wir hen die Mengen M 0,..., M i estimmt und die entsprechenden Positionen in der Telle mrkiert. 1. Dnn hen wir ncheinnder lle frisch mrkierten Einträge {r, s} M i inspiziert. 2. Wir hen die Position in Zeile p und Splte q mit M i+1 mrkiert, wenn es einen Buchsten Σ git, so dss (δ(p, ) = r und δ(q, ) = s) oder (δ(p, ) = s und δ(q, ) = r), d.h., so dss gilt. δ(p, ) i δ(q, ) Minimierung Beispiele 58 / 115

59 Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Wir reiten mit dem Alphet Σ = {, }. Speichere die eiden zuletzt gelesenen Buchsten im ktuellen Zustnd. Wir enutzen deshl die Zustände Q = {ε,,,,,, } mit Strtzustnd q0 = ε ( wir hen noch nichts gelesen ) und dem kzeptierenden Zustnd : Die eiden letzten Buchsten sind. Welche Zustndsüergänge? Minimierung Beispiele 59 / 115

60 Zustndsminimierung: Die Menge M 0 ε () Der Automt A merkt sich ttsächlich die eiden letzten Buchsten. () ist der einzige kzeptierende Zustnd. Minimierung Beispiele 60 / 115

61 Zustndsminimierung: Die Menge M 0 ist der einzige kzeptierende Zustnd = Die Menge M 0 ht die Form M 0 = {{ε, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 ε Ws hen wir gelernt? () {} ist eine Klsse der Verschmelzungsreltion, () die restlichen Klssen sind disjunkte Teilmengen von {ε,,,,, }. Wie sieht M 1 us? Minimierung Beispiele 61 / 115

62 Der Automt ε Minimierung Beispiele 62 / 115

63 M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 ε M 1 M 1 M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 M 1 M 0 ε M 1 M 1 Minimierung Beispiele 63 / 115 Zustndsminimierung: Die Menge M 1 Es ist M 0 = {{ε, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}.

64 Ws hen wir gelernt? M 1 M 1 M 1 M 1 M 0 M 0 M 0 M 0 M 1 M 1 M 0 M 1 M 1 M 0 M 1 ε 1. Wir hen jeden der Zustände,, von jedem der Zustände ε,, getrennt. 2. Neen der Äquivlenzklsse von sind die weiteren Äquivlenzklssen der Verschmelungsreltion disjunkte Teilmengen entweder von {,, } oder von {ε,, }. Können wir einen DFA us den Klssen {,, }, {ε,, } und {} uen? Minimierung Beispiele 64 / 115

65 Der Automt ε Minimierung Beispiele 65 / 115

66 Zustndsminimierung: Die Menge M 2 M 1 M 1 M 1 M 1 M 0 M 0 M 0 M 0 M 1 M 1 M 0 M 1 M 1 M 0 M 1 ε 1. Die Zustände,, können nicht voneinnder getrennt werden, d sie lle unter uf den Zustnd und unter uf den Zustnd führen. 2. und lssen sich eenflls nicht mehr trennen. Beide führen unter uf und unter uf. 3. Aer uch ε führt unter uf die Klsse {,, } und unter uf. Es ist M 2 =. Minimierung Beispiele 66 / 115

67 Zustndsminimierung: Der Äquivlenzklssenutomt A () {} ist die Klsse des einzigen kzeptierenden Zustnds, () {,, } und {ε,, } sind die eiden verleienden Klssen. ε Der Äquivlenzklssenutomt: ε Minimierung Beispiele 67 / 115

68 Ws ist Sche?? Wrum ist ursprünglichen Automten A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit dem Äquivlenzklssenutomt A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) äquivlent? Tfel: Wenn p A q und Σ, dnn gilt δ(p, ) A δ(q, ). Tfel: Für lle Worte w Σ gilt: ˆδ(q, w) = r = ˆδ ([q] A, w) = [r] A. D.h.: Lndet A im Zustnd r, dnn lndet A im Zustnd [r] A. Jede Klsse der Verschmelzungsreltion ht entweder nur kzeptierende Zustände oder gr keine kzeptierenden Zustände. Wir können A effizient erechnen. Aer es geht noch wesentlich schneller (siehe Theoretische Informtik 2): Der Algorithmus von Hopcroft ht fst linere Lufzeit und enötigt nur Zeit proportionl zu Q log Q.? Aer ht A unter llen mit A äquivlenten DFAs die kleinste Zustndszhl? Die Nerode-Reltion für die Sprche L = L(A) ht die Antwort. Minimierung Die Nerode-Reltion 68 / 115

69 Die Nerode-Reltion Sei A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. Wenn δ(q 0, u) = δ(q 0, v), dnn f.. w Σ : (uw L(A) vw L(A)). }{{} Eine Eigenschft der Sprche L(A) L sei eine Sprche üer der endlichen Menge Σ, d.h. es gilt L Σ. () Die Nerode-Reltion L für L ist eine 2-stellige Reltion üer Σ. Für lle Worte u, v Σ definiere u L v : f.. w Σ gilt: ( uw L vw L ). () Wir sgen, dss ds Wort w Σ die Worte u, v Σ trennt, zw. dss w ein Zeuge für die Inäquivlenz von u und v ist, wenn ( ) ( ) uw L vw L uw L vw L. (c) Index(L) ist die Anzhl der Äquivlenzklssen von L. Minimierung Die Nerode-Reltion 69 / 115

70 Die Nerode-Reltion ist eine Äquivlenzreltion Wrum? Die Nerode-Reltion L ist 1. reflexiv, denn u L u gilt f.. u Σ, 2. symmetrisch, denn us u L v folgt v L u f.. u, v Σ, 3. trnsitiv, denn us u L v, v L w folgt u L w f.. u, v, w Σ. Beweis: Wie im Fll der Verschmelzungsreltion A. Minimierung Die Nerode-Reltion 70 / 115

71 Die Nerode-Reltion: Beispiele Wie sehen die Äquivlenzklssen der Nerode-Reltion in Beispielen us? Insesondere, wie groß ist Index(L)? 1. L = {w {0, 1} : w ht gerde viele Einsen}, 2. L = {, } {}, 3. L die Menge ller Binärdrstellungen für durch 6 teilre Zhlen, 4. L u = {w Σ : u ist ein Teilwort von w } für ein Wort u Σ. Minimierung Die Nerode-Reltion 71 / 115

72 Nerode-Klssen von P = {w {0, 1} : w ht eine gerde Anzhl von Einsen } ( ) Es ist ε P 1 mit dem Zeugen ε. ( ) Sei u ein elieiges Wort mit gerde vielen Einsen und v ein elieiges Wort mit ungerde vielen Einsen. Dnn gilt für lle w Σ ( ) εw P uw P und ( ) 1w P vw P. () Die Nerode-Reltion für P ht genu zwei Äquivlenzklssen: [ɛ] P = { w {0, 1} : w ht gerde viele Einsen } und [1] P = { w {0, 1} : w ht ungerde viele Einsen }. () Es ist Index(P) = 2 mit den Vertretern ε und 1. Bue us diesen eiden Äquivlenzklssen einen DFA N P, der P kzeptiert. Minimierung Die Nerode-Reltion 72 / 115

73 Der Nerode-Automt N P für P Für jedes Wort w {0, 1} soll N P nch Lesen von w den Zustnd [w] P erreichen. 1. q 0 = [ɛ] P ist der Anfngszustnd und q 0 ist kzeptierend, denn ɛ P. 2. Die Nchfolgezustände von q 0 : Der Nchfolgezustnd unter 0 muss die Äquivlenzklsse von ɛ0 = 0 sein und ds ist die Klsse [ɛ] P. Der Nchfolgezustnd unter 1 ist dnn die Klsse [1]P. 3. Der Zustnd [1] P ist nicht kzeptierend, denn 1 P. Lesen wir im Zustnd [1]P eine 0, dnn erreichen wir die Äquivlenzklsse von 10 und ds leit die Klsse [1] P. Lesen wir eine 1, ist die Klsse von 11, lso die Klsse [ɛ]p unser Ziel. Hier ist der Nerode-Automt N L : [ɛ] P [1] P 1 Minimierung Die Nerode-Reltion 73 / 115

74 Woruf ist eim Bu des Nerode-Automten zu chten? Sei L eine elieige Sprche üer dem Alphet Σ und Σ ein elieiger Buchste. Dnn gilt für elieige Worte u, w Σ u L w = u L w. Beweis: Angenommen u L w gilt, er eenso u L w. = Dnn git es einen Zeugen v Σ mit z.b. uv L, er wv L. = Aer dnn folgt u L w mit dem Zeugen v, im Widerspruch zur Annhme Wenn wir den Nerode-Automten N L us den Nerode-Klssen uen: 1. Beginne die Konstruktion mit der Klsse [ε] L ls Strtzustnd. 2. Unser Ziel: N L soll nch Lesen von w den Zustnd [w] L erreichen. = Für jede Klsse [u] L und jeden Buchsten Σ wähle den Üergng δ NL ([u] L, ) := [u] L. Minimierung Die Nerode-Reltion 74 / 115

75 Der Nerode-Automt N S der Suffixsprche S = {, } Der Strtzustnd ist die Klsse des leeren Worts, lso q 0 = [ɛ] S und es gilt [ɛ] S = {ɛ, } { u : u {, } }. Die Nchfolgezustände von q 0 : δnl (q 0, ) := [] S. Es ist ɛ S mit dem Zeugen v =. δnl (q 0, ) := q 0, denn ɛ S gilt. Es ist [] S = { u : u {, } }. Die Nchfolgezustände von [] S : Setze δns ([] S, ) := [] S, denn S. Setze δns ([] S, ) := [] S. Es gilt [] S = S und [] S ist kzeptierend. Die Nchfolgezustände von [] S : Setze δns ([] S, ) := [] S δ NS ([] S, ) := [ɛ] S. Der Nerode-Automt N S : [ɛ] S [] S []S Minimierung Die Nerode-Reltion 75 / 115

76 Der Nerode-Automt (1/2) Sei L eine Sprche üer dem Alphet Σ. Dnn ht der Nerode-Automt die folgenden Komponenten: N L = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Die Zustndsmenge Q esteht us llen Äquivlenzklssen der Nerode-Reltion L. Es ist δ([w] L, ) := [w] L für jedes Wort w Σ und jeden Buchsten Σ. q 0 := [ɛ] L ist der Anfngszustnd. F := { [w] L : w L } ist die Menge der kzeptierenden Zustände. Minimierung Die Nerode-Reltion 76 / 115

77 Der Nerode-Automt (2/2) Sei L eine Sprche üer dem Alphet Σ. () Für jedes Wort w Σ erreicht der Nerode-Automt N L den Zustnd [w] L, d.h. δ NL ([ε] L, w) = [w] L. () N L kzeptiert die Sprche L mit Index(L) vielen Zuständen. Teil () zeigt mn durch vollständige Induktion üer die Länge von w. Induktionsnfng: Für w = ɛ ist δ NL (q 0, w) = q 0 := [ɛ] L. Induktionsschritt: Für w = u ist δ NL (q 0, w) = δ NL (q 0, u) = (δ NL ( δ NL (q 0, u), ) Ind.Vor. = δ NL ([u] L, ) Def. = [u] L. Für Teil (): Git es ein Wort u L und ein Wort w L mit u L w? Knn nicht pssieren, denn dnn trennt der Zeuge v = ɛ die Worte u und w. Zusmmengefsst: N L erreicht den Zustnd [u] L für ds Wort u. Also folgt [u] L F u L. Minimierung Die Nerode-Reltion 77 / 115

78 Der Stz von Myhill-Nerode I Sei A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA und sei L = L(A). () Index(L) = minimle Zustndszhl eines DFA für die Sprche L. () Der Äquivlenzklssenutomt A wie uch der Nerode-Automt ist miniml. WOW () Für Teil () gelte k = Index(L). Der DFA A kzeptiere L. u1,..., u k seien Vertreter der k Nerode-Klssen. Angenommen, zwei dieser Vertreter, z.b. ui und u j (mit i j), führen uf denselen Zustnd in Q = δ(q0, u i ) = δ(q0, u j ) = δ(q0, u i w) = δ(q0, u j w) für lle Worte w Σ. = u i w L u j w L für lle Worte w Σ und u i L u j folgt. Es ist Q Index(L). () Der Nerode-Automt N L kzeptiert L mit genu Index(L) vielen Zuständen = Der Nerode-Automt ist miniml. Aer wrum ist der Äquivlenzklssenutomt miniml? Minimierung Die Nerode-Reltion 78 / 115

79 Der Äquivlenzklssenutomt ist miniml Der DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) kzeptiere die Sprche L, es gelte lso L(A) = L. A = (Q, Σ, δ, q 0, F ) sei sein Äquivlenzklssenutomt. Angenommen, Worte u, v Σ führen in A zu Zuständen [p] A [q] A. 1. Für A sei p = δ(q 0, u) und q = δ(q 0, v). 2. Es folgt p A q und es git einen Zeugen w Σ für die Nicht-Äquivlenz. ) ) Also: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ( δ(p, w) F δ(q, w) F, zw. ( δ(q0, uw) F δ(q0, vw) F ) ( δ(q0, uw) F δ(q0, vw) F ), zw. ( ) ( ) uw L vw L uw L vw L zw. u L v. 3. Wenn u und v in A zu verschiedenen Zuständen führen, dnn folgt u L v. 4. Die Zustndszhl von A ist höchstens so groß wie Index(L) Die Zustndszhl von A stimmt üerein mit Index(L(A)): Der Äquivlenzklssenutomt A ist ein minimler DFA für L(A). Minimierung Die Nerode-Reltion 79 / 115

80 Reguläre Sprchen Minimierung Die Nerode-Reltion 80 / 115

81 Reguläre Sprchen Eine Teilmenge L Σ heißt eine reguläre Sprche, wenn es einen DFA A git mit L = L(A). () Git es Teilmengen von Σ, die keine regulären Sprchen sind? () Ist L = { n n : n N } eine reguläre Sprche? (c) Sei Σ ein elieiges Alphet und sei w Σ ein Wort üer Σ. Ist L = {u Σ : w ist ein Teilwort von u } eine reguläre Sprche? Minimierung Die Nerode-Reltion 81 / 115

82 Der Stz von Myhill-Nerode II Minimierung Die Nerode-Reltion 82 / 115

83 Wnn ist eine Sprche regulär? Stz von Myhill-Nerode II Eine Teilmenge L Σ ist regulär Index(L) ist endlich. = L Σ sei regulär. Dnn git es einen DFA A mit L = L(A). A ht endlich viele Zustände, er mindestens Index(L) Zustände. Also ist Index(L) endlich. = Index(L) sei endlich. Der Nerode-Automt NL ist ein DFA. Für NL gilt L(N L ) = L = L ist regulär. Minimierung Die Nerode-Reltion 83 / 115

84 L = { n n : n N} ist nicht regulär, weil... Zeige: Index(L) =, lso estimme unendlich viele Worte u k {, }, so dss für lle k l gilt. u k L u l Setze u k := k. Für k l gilt u k L u l, denn der Zeuge w = k trennt u k und u l : k k L, er l k L. Index(L) = und L ist nicht regulär. DFAs können nicht (uneschränkt) zählen. Minimierung Die Nerode-Reltion 84 / 115

85 L = {ww : w {, } } ist nicht regulär, weil... Zeige: Index(L) =, lso estimme unendlich viele Worte u k {, }, so dss für lle k l gilt. u k L u l Setze u k := k. Für k l gilt u k L u l, denn der Zeuge w = k trennt u k, u l : k k L, er l k L. Index(L) = und L ist nicht regulär. DFAs können sich nur eschränkt viele Dinge merken. Minimierung Die Nerode-Reltion 85 / 115

86 Weitere nicht-reguläre Sprchen Keine der folgenden Sprchen ist regulär. L 1 = { n m : n, m N, n m }. L 2 = { n m c n+m : n, m N }. L 3 = { n2 : n N }. L 4 = { w {, } : w ist ein Plindrom }: Zeige jeweils, dss der Index unendlich ist. Minimierung Die Nerode-Reltion 86 / 115

87 NFAs Nichtdeterministische endliche Automten 87 / 115

88 NFAs: DFAs, die rten dürfen Ein NFA kzeptiert ein Eingewort w {, } genu dnn, wenn es im Zustndsdigrmm mindestens einen Weg git, - der im Strtzustnd eginnt, - dessen Knten mit w eschriftet sind, - und der in einem kzeptierenden Zustnd endet. q 0 q 1 q 2 Der NFA kzeptiert L = {w {, } : der vorletzte Buchste von w ist ein }. Nichtdeterministische endliche Automten 88 / 115

89 NFAs: Die formle Definition Ein nichtdeterministischer endlicher Automt (kurz: NFA) esteht us: A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) einer endlichen Menge Σ, dem Eingelphet, einer endlichen Menge Q, der Zustndsmenge, dem Strtzustnd q 0 Q, einer Menge F Q von Endzuständen zw. kzeptierenden Zuständen und einer Funktion δ : Q Σ P(Q), der Üergngsfunktion, - die jedem Zustnd q Q und jedem Symol Σ eine Menge δ(q, ) von möglichen Nchfolgezuständen zuordnet. - Möglicherweise ist δ(q, ) = : Dnn stürzt der Automt, wenn er im Zustnd q ist und ds Symol liest. Nichtdeterministische endliche Automten NFAs: Die formle Definition 89 / 115

90 Ds Zustndsdigrmm von NFAs Es sei - q Q ein Zustnd, - Σ ein Eingesymol und - q δ(q, ) ein möglicher Nchfolgezustnd. Dnn git es im Zustndsdigrmm einen mit dem Symol eschrifteten Pfeil von Knoten q zu Knoten q, d.h. q q. Nichtdeterministische endliche Automten NFAs: Die formle Definition 90 / 115

91 Stichwortsuche mit NFAs (1/2) Gegeen: Einge: Frge: Ein Stichwort, z.b. modell Ein Text, der us den Buchsten is z sowie dem Leerzeichen esteht Kommt ds Stichwort modell irgendwo im Eingetext vor? Ds Zustndsdigrmm eines NFAs, der dies ewerkstelligt: m o d e l l,..., z,,..., z, Nichtdeterministische endliche Automten NFAs: Die formle Definition 91 / 115

92 Stichwortsuche mit NFAs (2/2) Auf ähnliche Art können uch Vrinten dieser Stichwortsuche ehndelt werden, zum Beispiel die Frge Kommt mindestens eins der Stichworte modell oder logik im Eingetext vor? Grphische Drstellung eines NFAs, der dies ewerkstelligt: m o d e l l,..., z,,..., z, l o g i k,..., z, Nichtdeterministische endliche Automten NFAs: Die formle Definition 92 / 115

93 Die von einem NFA kzeptierte Sprche Nichtdeterministische endliche Automten Die von einem NFA kzeptierte Sprche 93 / 115

94 Wnn kzeptiert ein NFA? Sei A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein NFA. () Sei n N und sei w = 1 n ein Eingewort der Länge n. Ds Wort w wird genu dnn vom NFA A kzeptiert, wenn es im Zustndsdigrmm von A einen im Strtzustnd q 0 eginnenden Weg der Länge n git, dessen Knten mit den Symolen 1... n eschriftet sind und der in einem kzeptierenden Zustnd endet. () Die von A kzeptierte Sprche L(A) ist L(A) := {w Σ : A kzeptiert w }. Ds ist keine wirklich präzise Definition, denn ds Zustndsdigrmm soll doch nur unsere Intuition unterstützen. Nichtdeterministische endliche Automten Die von einem NFA kzeptierte Sprche 94 / 115

95 Die erweiterte Üergngsfunktion Nichtdeterministische endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 95 / 115

96 δ(q, w) := die MENGE ller möglichen Zustände nch Lesen von w im Strtzustnd q Sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein NFA. Die Funktion δ : Q Σ P(Q) ist rekursiv wie folgt definiert: Rekursionsnfng: F.. q Q ist δ(q, ε) := {q}. Rekursionsschritt: F.. q Q, w Σ und Σ ist δ(q, w) := δ(q, ). q δ(q,w) Ein möglicher Zustnd q wird nch Lesen von w genu dnn erreicht, wenn nch Lesen von w (im Zustnd q) ein Zustnd q erreicht wird und q δ(q, ) gilt: q w q q. Nichtdeterministische endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 96 / 115

97 Wnn genu kzeptiert denn nun ein NFA? Der NFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) kzeptiert ein Wort w genu dnn, wenn: δ(q 0, w) F. Somit ist L(A) = { w Σ : δ(q0, w) F }. Nichtdeterministische endliche Automten Die erweiterte Üergngsfunktion 97 / 115

98 Äquivlenz von NFAs und DFAs Äquivlenz von NFAs und DFAs 98 / 115

99 Sind NFAs mächtiger ls DFAs? Können NFAs Sprchen kzeptieren, die DFAs nicht kzeptieren können? NEIN! Für jeden NFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) git es einen DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit L(A ) = L(A). D.h.: NFAs und DFAs kzeptieren genu dieselen Sprchen. D.h. wir können Stichwortsuche uch mit DFAs durchführen? Ntürlich und sogr mit genu so vielen Zuständen. Aer im Allgemeinen sind DFAs doch estimmt sehr viel größer?!? Äquivlenz von NFAs und DFAs 99 / 115

100 Die Potenzmengenkonstruktion (1/2) Sei A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) der gegeene NFA. Idee: Wir konstruieren einen DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ), der in seinem ktuellen Zustnd q Q die Menge ller Zustände speichert, in denen der Automt A in der ktuellen Sitution sein könnte. Wir definieren die Komponenten von A dher wie folgt: Eingelphet Σ, Zustndsmenge Q := P(Q), Strtzustnd q 0 := {q 0}, Endzustndsmenge F := {X Q : X F }, Üergngsfunktion δ : Q Σ Q, woei für lle X Q und lle Σ gilt: δ (X, ) := δ(q, ). q X Äquivlenz von NFAs und DFAs 100 / 115

101 Die Potenzmengenkonstruktion (2/2) Und wie zeigt mn, dss A und A diesele Sprche kzeptieren? Zeige für jede Einge w Σ, dss sich der DFA A stets in der Menge ller Zustände efindet, in denen der NFA sein könnte. D.h. zeige dss gilt: δ ({q 0 }, w) = δ(q 0, w). Und wie, itte schön, sollen wir ds zeigen? Wir hen die erweiterten Üergngsfunktionen δ und δ rekursiv definiert. Dnn werden wir wohl eine vollständige Induktion nch n = w usführen! Beweis im Skript. Äquivlenz von NFAs und DFAs 101 / 115

102 Die Potenzmengenkonstruktion: Ein Beispiel (1/2) Wie führt mn die Potenzmengenkonstruktion für den NFA q 0 q 1 q 2 us? Wichtig, Wichtig, Wichtig, Wichtig, Wichtig, Wichtig, Wichtig, Wichtig 1. Bestimme lle möglichen Nchfolgezustände des Strtzustnds q 0 := {q 0} und wiederhole ds Vorgehen für die Nchfolger Also: Definiere die Üergngsfunktion von A nur für solche Zustände X P({q 0, q 1, q 2 }), die vom Strtzustnd q 0 us erreicht werden können. Äquivlenz von NFAs und DFAs 102 / 115

103 Die Potenzmengenkonstruktion: Ein Beispiel (2/2) {q 0, q 1, q 2} {q 0} {q 0, q 1} {q 0, q 2} Äquivlenz von NFAs und DFAs 103 / 115

104 Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke 104 / 115

105 Reguläre Muster Sei Σ ein Alphet. 1 Die Menge ller Worte üer Σ hen wir eschrieen mit 2 Sei u ein Wort üer Σ. Dnn wird die Menge ller Worte üer Σ, die u ls Teilwort esitzen, eschrieen durch Σ. Σ {u} Σ. 3 Die Menge ller Worte üer Σ, deren vorletzter Buchste ein ist, wird eschrieen durch: Σ {} Σ Reguläre Ausdrücke 105 / 115

106 Reguläre Ausdrücke: Eine rekursive Definition der Syntx Sei Σ ein endliches Alphet. Die Menge ller regulären Ausdrücke üer Σ ist rekursiv wie folgt definiert: Bsisregeln: ist ein regulärer Ausdruck üer Σ ( leere Menge ). ε ist ein regulärer Ausdruck üer Σ ( leeres Wort ). Für jedes Σ gilt: ist ein regulärer Ausdruck üer Σ. Rekursive Regeln: Ist R ein regulärer Ausdruck üer Σ, so ist uch R ein regulärer Ausdruck üer Σ ( Kleene-Stern ). Sind R und S reguläre Ausdrücke üer Σ, so ist uch (R S) ein regulärer Ausdruck üer Σ ( Konktention ). (R S) ein regulärer Ausdruck üer Σ ( Vereinigung ). Reguläre Ausdrücke 106 / 115

107 Reguläre Ausdrücke: Syntx und Semntik Wir hen gerde forml definiert, ws ein regulärer Ausdruck R ist Aer ws edeutet R? R sollte für eine Sprche stehen! Reguläre Ausdrücke 107 / 115

108 Reguläre Ausdrücke: Eine rekursive Definition der Semntik Sei Σ ein endliches Alphet. Jeder reguläre Ausdruck R üer Σ eschreit (oder definiert) eine Sprche L(R) Σ, die induktiv wie folgt definiert ist: Bsisregeln: L( ) :=. L(ε) := {ε}. Für jedes Σ gilt: L() := {}. Rekursive Regeln: Ist R ein regulärer Ausdruck üer Σ, so ist L(R ) := {ε} { w 1 w k : k N >0, w 1 L(R),..., w k L(R) } = (L(R)) Sind R und S reguläre Ausdrücke üer Σ, so ist ( ) L (R S) := {wu : w L(R), u L(S)} = L(R) L(S). ( ) L (R S) := L(R) L(S). Reguläre Ausdrücke 108 / 115

109 Reguläre Ausdrücke: Vereinfchte Schreiweise Zur vereinfchten Schreiweise und esseren Lesrkeit regulärer Ausdrücke: Den Punkt ei der Konktention (R S) drf mn weglssen. Bei Ketten gleichrtiger Opertoren verzichten wir uf Klmmern: (R 1 R 2 R 3 R 4 ) sttt (R 1 R 2 R 3 R 4 ) sttt ( ((R1 ) ) R 2 ) R 3 R4 und ( ((R1 ) ) R 2 )R 3 R4. Präzedenzregeln : indet stärker ls indet stärker ls Äußere Klmmern, die einen regulären Ausdruck umschließen, dürfen weggelssen werden. Zusätzliche Klmmern dürfen eingeführt werden. Reguläre Ausdrücke 109 / 115

110 Reguläre Ausdrücke: Beispiele (1/3) () c ist eine verkürzte Schreiweise für ( ( c )). Die von diesem regulären Ausdruck eschrieene Sprche L = L( c ) ist L = {} {w {,, c} : der erste Buchste von w ist ein und lle weiteren Buchsten von w sind c s}. () L(( ) ) = {, }. (c) Die Menge ller Worte üer {,, c}, in denen ls Teilwort vorkommt, wird durch den folgenden regulären Ausdruck eschrieen: ( c) ( c). (d) Die Menge ller Worte üer {,, c}, deren letzter oder vorletzter Buchste ein ist, wird durch den folgenden regulären Ausdruck eschrieen: ( c) (ε c). Reguläre Ausdrücke 110 / 115

111 Reguläre Ausdrücke: Beispiele (2/3) Wir wollen einen regulären Ausdruck ngeen, der lle Telefonnummern der Form eschreit, woei Vorwhl Nummer 1 Vorwhl und Nummer nicht-leere Ziffernfolgen sind, 2 Vorwhl mit genu einer Null eginnt und Nummer nicht mit einer Null eginnt. Der Ausdruck 0 (1 2 9) (0 1 9) (1 2 9) (0 1 9) definiert die gewünschte Sprche. Reguläre Ausdrücke 111 / 115

112 Reguläre Ausdrücke: Beispiele (3/3) Der Ausdruck: R := ( ε 069 ) 798 ( ε ) ( 0 (1 2 9) (0 1 9) ) definiert eine Sprche. Welche der folgenden Worte gehören zu R?? ? 7980? Reguläre Ausdrücke 112 / 115

113 Reguläre Sprchen und reguläre Ausdrcke Jeder reguläre Ausdruck R definiert eine reguläre Sprche. Beweis durch Induktion üer den Aufu von R: Siehe Skript/Üungen. Die Klsse der regulären Sprche ist ein fundmentles Konzept mit verschiedensten Sichtweisen, denn definieren dieselen Sprchen! DFAs, NFAs oder reguläre Ausdrücke Dieses Ergenis wird in der Vernstltung Theoretische Informtik 2 gezeigt. Insesondere esitzt lso jede reguläre Sprche einen regulären Ausdruck! Reguläre Ausdrücke 113 / 115

114 Reguläre Sprchen: Ein Auslick In der Vernstltung Theoretische Informtik 2 wird unter Anderem gezeigt: () dss uch Zweiweg-Automten und reguläre Grmmtiken die Klsse der regulären Sprchen definieren, () und dss unter estimmten Umständen uch würfelnde Automten genu die Klsse der regulären Sprchen eschreien, (c) dss viele Entscheidungsfrgen wie kzeptieren zwei DFAs diesele Sprche? kzeptiert ein NFA mindestens ein Wort? effizient entwortet werden können, ndere hingegen, wie etw kzeptieren zwei NFAs diesele Sprche? kzeptiert ein NFA lle Worte eines Alphets? viel zu schwierig sind! Ein Auslick 114 / 115

115 Zusmmenfssung () Ein äquivlenter DFA mit der kleinstmöglichen Zustndszhl knn effizient estimmt werden. Für einen DFA A hen wir die Verschmelzungsreltion A und den Äquivlenzklssenutomten A erechnet. Die Nerode-Reltion L für eine Sprche L ht uns geholfen, den Nerode-Automten N L zu definieren. Der Stz von Myhill-Nerode I: Es gelte L = L(A) für einen DFA A. Dnn ist der Äquivlenzklssenutomt A wie uch der Nerode-Automt N L miniml. = Index(L) ist die minimle Zustndszhl eines mit A äquivlenten DFA. Der Stz von Myhill-Nerode II: L ist nicht regulär Index(L) =. () NFAs sind Automten, die rten dürfen. Potenzmengenkonstruktion: Zu jedem NFA git es einen äquivlenten DFA. Achtung: Die Zustndszhl des DFA knn exponentiell größer sein! (c) Reguläre Ausdrücke ist ein weiterer Formlismus, den jeder Profi kennt. Zu jedem DFA git es einen regulären Ausdruck und umgekehrt. Ein Auslick 115 / 115