Wiederholungsaufgaben zum Grundwissenkatalog Mathematik der 7. Jahrgangsstufe

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1 Gymnsium Stein Wiederholungsufgen zum Grundwissenktlog Mthemtik der. Jhrgngsstufe ) ) Wie viele Symmetriechsen hen jeweils die folgenden Figuren? ) Welche der Figuren sind punktsymmetrisch? ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ ❻ ❼ ❽ ❾ ) Vereinfche (Vorteile echten): ) ( 0,x ) 0,x ( 0,x ) ) 5 ( ) (,4 ) c) 5x ( x + 5 x ) ( x )( + x ) d) ( x + 4 ) ( x x + ) ( 0,x x + 0 x ) e) : f) 4 5 x y y x. 4,x ( x + y ) ( x y ) ) Welche der folgenden Terme sind äquivlent zum Term x ( x )? Kreuze n: m 9 m x 9 m x 9 m x 9 m x x 9 m 9 + x 4) ) Fktorisiere so weit wie möglich: 48 p q p q ) Klmmere us: x + x 0, c) Klmmere us: d) Ds rechts geildete Dreieck ht den Flächeninhlt +. Schreie diese Summe so ls Produkt, dss du die Länge einer nderen Seite ( welche: oder c? ) durch usdrücken knnst! 5) Wofür stehen jeweils die Pltzhlter und? : ) x y. 4xy = xy. ) (z + z) (z. z) = z ( z) y z ) Stelle je einen Term uf und vereinfche diesen so weit wie möglich für: ) Volumen V() und Oerfläche O() eines Quders mit Länge 4, Breite,5 und Höhe! ) Anzhl A(n) der Streichhölzer, die mn enötigt,... (usw.) um n Qudrte wie in der neenstehenden Skizze zu legen! ) Auf einer Prty efinden sich m Mädchen und j Jungen. Kreuze jeweils lle Gleichungen n, welche die folgenden Situtionen richtig eschreien: ) Auf der Prty efinden sich vierml so viele Jungen wie Mädchen. m = 4j m = 0,5 j j + m = 5m j = 4 + m j = 4 m ) Die Zhl der Jungen uf dieser Prty ist um 0 % kleiner ls die der Mädchen. j = m 0 00 m = 5 4 j j = m 5 m j = 0,m j = 0,8 m m = j 0, j c 8) Alfred, Binc, Christin, Dor und Emil hen Terme zur Berechnung des Flächeninhlts der neenstehenden Figur ufgestellt: Alfred: T (;) = Binc: T (;) = ( + ) ( ) + Christin: T (;) = 4 + Dor: T 4 (;) = ( ) Emil: T 5 (;) = ( + ) ) Welche Terme sind hier flsch (wrum?)? ) Erkläre mit Hilfe von Skizzen, wie mn uf die richtigen Terme kommt! c) Zeige durch geeignete Umformungen, dss die richtigen Terme äquivlent (gleichwertig) sind!

2 9) Jons ht 5 Bälle weniger ls Mri und Clriss ht dreiml soviele Bälle wie Jons. Welcher der folgenden Terme git die Zhl von Clrisss Bällen n, wenn Mri m Bälle ht? ) 5 m ) m c) m 5 d) m 5 e) m 5 f) (m 5) 0) Bestimme jeweils lle Lösungen (Sonderfälle und Rechenvorteile echten!): + 4 ) x = x 4 ) x x x 5 4 x = 0 c) 5 x ( x ) = 0 = d) (x )(x + ) = e) ( x ) ( x + ) = 0 f) x x 0 g) ( x ) = x : h) ( x ) = x ( 4 x ) i),4 x + 8, = x +,4 k) x ( x ) = ( x,5 ) l) ( 8x 4 ) : = x ( 5x 9 ) m) 4, ( x, ) = 4, (, x ) n) 5 (x + ) = ( x 0 ) : 5 o),5 ( x,) + x = 9 ( x ) +,5 (x, ) p) x = 4 + [ ( x ) ] ) Deniz ht fünfml so viele Bonons wie Nicole. Er isst 9 Bonons und schenkt dnn Nicole Bonons. Jetzt ht er nur noch doppelt so viel Bonons wie Nicole. Wie viele Bonons htte er m Anfng? Lösung mit x-anstz! (Tipp: Telle!) ) Die Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich um cm. Wenn mn die längere Seite um cm verkürzt und gleichzeitig die kürzere Seite um 4 cm verlängert, so wächst der Flächeninhlt um 8 cm. Wie lng sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? x-anstz! ) In einem Dreieck ist α um 0 kleiner ls β und γ doppelt so groß wie α. Berechne die drei Winkel! 4) Ein gleichschenkliges Trpez mit der Schenkellänge cm esitzt den Umfng cm und die Höhe 5 cm. Berechne seinen Flächeninhlt! 5) Die 000 Sitzplätze der Münchner Allinz-Aren verteilen sich uf drei Ränge: Im mittleren Rng sind 0 % mehr Plätze ls im unteren Rng und im oersten Rng sind 000 Plätze weniger ls im mittleren Rng. Wie viele Plätze sind uf jedem Rng? ) Schreie jeweils eine Gleichung für ds gesuchte Nektrvolumen x (in Litern) uf, wenn die Aufge lösr ist. Wenn es keine Lösung git, dnn notiere geht nicht! Gegeen ist Truennektr mit einem Sftnteil von 0%. Wie viel dvon enötigt mn, wenn mn ) durch Mischen mit Litern reinem Sft ein Mischgetränk mit 50% Sftnteil herstellen will? ) durch Mischen mit Litern reinem Sft ein Mischgetränk mit 0% Sftnteil herstellen will? c) durch Mischen mit 4 Litern Wsser ein Mischgetränk mit 0% Sftnteil herstellen will? ) Der Kurs einer Aktie ist um 50% gefllen. Um wie viel Prozent muss der Kurs wieder steigen, um seinen ursprünglichen Wert zu erreichen? ) 5% )50% c) 00% d) 50% e) 00% 8) ) Gi den Mittelwert ller ntürlichen Zhlen von is 50 n! ) Der Mittelwert der Zhlen 5; ; ; 0 und x soll den Wert 0 hen. Berechne x! 9) Fru Durstig will künftig nur noch Kffee us firem Anu trinken. Dvon kostet er die gleiche Menge um 0 % mehr ls ei ihrer isherige Kffeesorte. Fru Durstig meint: Dnn trinke ich een 0 % weniger Kffee und zhle dmit genu so viel wie vorher!. Ht sie recht? (Um wie viel Prozent ändern sich ihre Kffeekosten?) 0) Peter ht sich vor längerer Zeit ein Spiel zum Preis von 4,50 gekuft. Wie viel Mehrwertsteuer (in ) wr in diesem Preis enthlten, wenn der Mehrwertsteuerstz dmls 5% des Nettopreises etrug? (Der vom Kunden zu ezhlende Bruttopreis ergit sich durch Addition der Mehrwertsteuer zum Nettopreis) ) Welche Seitenlänge ht ein Qudrt mit Flächeninhlt 4 Hektr? ) Um wie viel Prozent ändert sich der Flächeninhlt eines Qudrts, wenn mn seine Seitenlänge um 80 % verkleinert? ) Konstruiere Dreieck ABC us = 8 cm, β = 90 und h =,5 cm (mit Plnfigur und Konstruktionspln)! Miss die Länge der Seite uf Millimeter genu! 4) Im gleichschenkligen Dreieck ABC mit Spitze C gilt γ = 5. Berechne den spitzen Schnittwinkel von w α und m!

3 5) Zu zwei Dörfern A und B sollen von einem Punkt einer Strße us zwei gerde Verindungswege geut werden. Ermittle lle möglichen Azweigpunkte, wenn die eiden Wege gleich lng sein sollen! (Konstruktion hier uf dem Bltt) A + ) Der Krtenusschnitt zeigt den Verluf einer Küste. Entlng der Küste stehen zwei Leuchttürme L und L. Ds Schiff S fährt uf direktem Kurs uf den Hfen H zu. ) Ein Boot efindet sich näher m Hfen ls ds Schiff, gleichzeitig ist es er von L weiter entfernt ls von L. Bestimme mit Hilfe einer Konstruktion (hier uf dem Bltt) den Bereich, in dem sich ds Boot efinden knn! Schrffiere diesen Bereich im Krtenusschnitt! Strße S B + Meer H ) Wie groß ist der Winkel L SL, unter dem die Strecke [L L ] vom Schiff S us gesehen wird? m 4 m m 0 m 8 m 0 c) Konstruiere die Position des Schiffes uf seinem direkten Weg zum Hfen, von der us die Strecke [L L ] unter einem rechten Winkel gesehen wird. Bezeichne die Position mit T. (us BMT 004) ) ) Konstruiere ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen = 4 cm, = cm und c = 8,5 cm! ) Konstruiere die Höhen h c und h und estimme den Flächeninhlt des Dreiecks so genu wie möglich! c) Konstruiere ein zu ABC flächengleiches Dreieck ABC mit = cm und c = c = 8,5 cm! ( Lösungen! Für welche neue Länge von würde mn genu eine Lösung erhlten?) d) Konstruiere ein zu ABC flächengleiches gleichschenkliges Dreieck ABC mit c = c = 8,5 cm! 8) In einem Dreieck ABC gilt =, cm und = 4,9 cm. Welche der folgenden Längen sind für die Seite c in dem Dreieck möglich? cm,5 cm 8, cm, cm 9,4 cm 9) Ds Qudrt ABCD in der Skizze rechts ht die Seitenlänge cm. Die Rechtecke I, II, III und IV hen den gleichen Flächeninhlt. ) Berechne den Flächeninhlt des Rechtecks I! ) Berechne den Umfng des Rechtecks II! (us BMT 004) 0) Ergänze jeweils den pssenden Begriff (möglichst genu): ) Ein Prllelogrmm mit gleich lngen Digonlen ist... ) Ein punktsymmetrisches Drchenviereck ist... c) Ein Drchenviereck mit vier gleich großen Innenwinkeln ist... ) Gegeen sind die Punkte A( 5 5) ; B(4 ) ; C( 5 ) und P( 4 5). ) Konstruiere den Kreis, der durch die Punkte A, B und C geht! (Mittelpunkt M konstruieren! Koordinten?) ) Konstruiere die Tngenten von P n diesen Kreis! (Berührpunkte konstruieren; Koordinten?) c) Konstruiere die Winkelhlierende des Winkels γ im Dreieck ABC (neue Zeichnung) und spiegle ABC n dieser Winkelhlierenden (Spiegelild : A B C ; Vorteile echten)! d) Konstruiere den Inkreis von ABC und den Berührpunkt P mit der Seite! ( Mittelpunkt I konstruieren! Koordinten? I ht von llen drei Seiten den gleichen Astnd) ) Bei welchen speziellen Dreiecken ) liegt der Umkreismittelpunkt uf einer der Seiten? (Begründung) ) ist eine der Winkelhlierenden zugleich Höhe? (Begründung) ) ) Konstruiere ( mit Plnfigur ) Viereck ABCD us = 9 cm ; = cm ; e = AC = cm ; f = BD = 0 cm und δ = 90 0! ) ) Nun soll f so verändert werden, dss mn sicher nur eine Lösung ekommt. Gi lle pssenden Werte für f n! 4) ) Welches spezielle Viereck ABCD wird nch dem neenstehenden Pln konstruiert? ) Wie groß ist der Winkel α = <) BAD für r = cm? c) Welches spezielle Viereck ergit sich für r = 4 cm? Jeweils kurze Begründung! (Plnfigur ist nützlich) L cm cm III IV Lnd zu 4) Vorgegeener Konstruktionspln : ) Durch f = cm sind B und D estimmt. ) C liegt uf ) k ( B ; 4cm) ) k ( D ; 4cm ) ) A liegt uf ) k ( B ; r) ) k ( D ; r) (Werte für r später) II I L whufgen.doc 00-0-

4 Gymnsium Stein Lösungen zu den Wiederholungsufgen zum Grundwissenktlog Mthemtik der. Jhrgngsstufe ) ) ❶: keine; ❷: ; ❸: ; ❹: ; ❺: keine; ❻: ; ❼: ; ❽: 5; ❾: 4 ) ❶; ❷; ❹; ❾ ) ) ( 0,x ) 0,x ( 0,x ) = = 0,0x 0,x 0,09 x = = 0,0x 0,9x = = 0,8x ) 5 ( ) (,4 ) = = ,4 = = 8,5 +,4 5 c) 5x ( x + 5 x ) ( x )( + x ) = = 5x ( x + 5 x ) (x x + x ) = 5 = 5x. x (x x ) = 5 = 5 x x + x + = = x + x + d) ( x + 4 ) ( x x + ) ( 0,x x + 0 x ) = x + 4 ) ( x x + ). 0 = 0 f) 4 5 x y y x. 4,x ( x + y ) ( x y ) = = 4, x y 4, x y ( x 4xy + xy y ) = = 8x + xy + y e) : = = 0 5 ) x ( x ) = x ( 9 x x + x ) = x 9 + x + x x = 9 + x ist richtig, eenso x 9 4) ) 48 p q p q = p q ( q p) (Kontrolle: Ausmultiplizieren ergit ursprünglichen Term!) ) x + x 0, = ( x x + 0,) (Dividiere in der Klmmer durch!) c) y z = ( y 8z ) (Dividiere in der Klmmer durch multipliziere mit! ) d) A = + = ( + ) = g h! Wenn die Grundlinie g ist, dnn ist + die zugehörige Höhe h. D hier h =, gilt = + 5) ) x y. 4xy = xy. x. 4xy. = xy 4x y! = xy. = 4x y! ) (z + z) (z. z) =. z. z. z = z ( 4 z ) = z ( z) = 4 und = ) ) V() = 4.,5. = 0 ; O() =. ( 4., ,5. ) = = ) Qudrt : A() = 4 ; Qudrte : A() = 4 +. ; Qudrte : A() = 4 +. usw.. llgemein: n Qudrte : A(n) = 4 + ( n ). = 4 + n = n + druf knn mn uch direkt kommen (hier für n = 4): ) ) j ist vier ml so groß wie m: x j = 4 m : 4 x m = 0,5 j j + m = 4m + m = 5m lso x j + m = 5m ) j ist um 0 % kleiner ls m j = m 0,m x j = 0,8 m j = 5 4 m. 4 5 x j = m 5 m x m = 4 5 j 8) ) Alfred: T (;) = ist flsch ( keine Fläche, sondern Länge; Verwechslung mit Umfng) Christin: T (;) = 4 + ist flsch, weil zu groß (vergleiche mit Binc s Bild) + + ). ( + ). ( ). Dor: Ds kleine Qudrt wird eim Addieren der eiden großen Qudrtflächen ( ) Binc: Summe der gezeichneten Teilflächen ( + )( ) + doppelt gezählt ziehen ( ) Emil: großes Qudrt. kleines Qudrt ( + ) c) Durch Umformen ergit sich ei llen richtigen Termen : + die Terme sind äquivlent

5 9) Zhl der Bälle von Jons: m 5 Zhl der Bälle von Clriss :. (m 5 ) = m 5; richtig lso d) und f) 0) ) x = x + 4 x 4 4 x x 4 9 = x 4 =. ( ) 4 x = = x = 4 ) x x 4 x 5 x = 0 x x = 0 0 = 0; llgemeingültig! c) 5 x ( x ) = 0 ; x = 0 ; x = d) (x )(x + ) = x + x x = + x + x = 0 x ( x + ) = 0 x = 0 ; x = e) ( x ) ( x + ) = 0 x = ; x = = f) x x 0 x x = 0 x ( x ) = 0 x = 0 ; x = g) ( x ) = x : + x = x x 5 = 0; Widerspruch! nicht lösr! h) ( x )(x ) = x ( 4 x ) x x x + 9 = 4x + x x x + 9 = 4x +x = x : x = i),4 x + 8, = x +,4 x 8,,4 x =,9 :,4 x =,4 o),5(x,) + x = 9(x ) +,5(x,),5(x,) x = 9x 9x x = : ( ) x = = 9 x = 4,5 k) x ( x ) = ( x,5 ) x + x = x x + x = 0 x = 0 l) ( 8x 4 ) : = x (5x 9 ) (4x ) = x 5x + 9 4x + = 4x x = 4x x 9 0 = 0 llgemeingültig! m) 4, ( x, ) = 4, (, x ) : 4, x, =, x + x +, x = 5,8 : x =,9 n) 5 (x + ) = ( x 0 ) : 5. 5 x + 45 = x 0 x 8 = x 0 x + 8 x = 8 : x = 9 p) x = 4 + [ ( x) ] x = 4 + [ + x] x = 4 + x x + 0 = ; Widerspruch! nicht lösr! ) Deniz Nicole vorher 5x x nchher 5x 9 x + 5x 5 =. ( x + ) 5x 5 = x + x +5 x = : x = 9 5x = 45 A.: Deniz htte 45 Bonons ) lt: Länge = x ; Breite = x ; Fläche = x (x ) neu: Länge = x ; Breite = x + 4 = x + Fläche = (x )(x + ) (x )(x + ) = x (x ) + 8 x x = x x +8 x + x + x = 0 : x = 0 A.: Die Seitenlängen wren 0cm und cm. ) α = β 0 ; γ = α = (β 0 ) = β 40 α + β + γ = 80 eingesetzt: β 0 + β + β 40 = 80 4β 0 = β = 40 : 4 β = 0 α = 40 ; γ = 80 4) c + c +. cm = cm cm cm + c = 0cm cm A = (+c) h =. 0cm. 5cm = = 50cm 5) Zhl der Plätze im unteren Rng: x Zhl der Plätze im mittleren Rng: x + 0,x =,x Zhl der Plätze im oersten Rng:,x 000 x +,x +,x 000 = ,4 x = :,4 x = 0000 A.: Unten sind es 0000, in der Mitte 4000 und oen 000 Plätze

6 ) Prinzip: Ds Volumen des reinen Sfts leit gleich (Invrinzprinzip) ) Sftvolumen (in l) vor dem Mischen : 0, x + Sftvolumen nchher : 0,5 (x + ) (50% des Gesmtvolumens) 0,x + = 0,5 (x + ) ( x = 5) ) geht nicht :durch Mischen mit reinem Sft wird der Sftnteil immer höher! (0% 0% heißt er : der Sftnteil wird niedriger) c) Sftvolumen (in l) vor dem Mischen : 0, x Sftvolumen nchher : 0, (x + 4) (0% des Gesmtvolumens) 0,x = 0, (x + 4 ) ( x = 8) ) Um von 50% des lten Kurses wieder ufs Gnze (00% des lten Kurses) zu kommen, muss der Kurs verdoppelt werden. Verdoppeln edeutet er Steigerung um 00% (von 00% uf 00%) c) ist richtig! 8) ) 5,5 ( ei einer gerden Zhl von ufeinnderfolgenden ntürlichen Zhlen ist die Mitte zwischen den mittleren Zhlen der Mittelwert Strtegie: proiere erst mit weniger Zhlen: is,, 4,... ) ) ( x ) : 5 = 0 x 9 = 50 x = 59 9) x = lter Kffeekonsum neuer Kffeekonsum = 0% von x = 0,x neue Kffeekosten: 0% von 0,x =,. 0, x = 0,9 x = x 0,0x = Sie zhlt % weniger! 0) 5% vom Nettopreis = 4,50 % vom Nettopreis = 450ct : 5 = 0 ct MWSt = 5% vom Nettopreis = 0 ct. 5 = 450 ct = 4,50 x 4,50 4,50 5 oder mit x = MWSt : = x = =... 5% 5% 5 ) x = Seitenlänge des Qudrts x = 40000m x = 00 m ) lte Seitenlänge = x lter Flächeninhlt = x ; neue Seitenlänge = x 0,8x = 0,x neuer Flächeninhlt = (0,x) = 0,04 x solute Änderung des Flächeninhlts : x 0,04x = 0,9x ; reltive Änderung = Der Flächeninhlt nimmt um 9% C ) Plnfigur : Konstruktion: A Konstruktionspln:. C und A sind gegeen durch = 8 cm.. B liegt ) uf dem Thleskreis üer [CA]. ) uf der Prllelen zu CA im Astnd h =,5cm. β h B 0,9x x Es existieren zwei kongruente Dreiecke AB C und AB C mit = 4, cm und =,9 cm. = 0,9 = 9 % 4) Skizze: α = (80 γ) : = 4 (Bsiswinkel im gleichschenkligen Dreieck) α = µ = 80 ( α + 90 ) = 58 (Winkelsumme in Dreieck ASM) Der spitze Winkel zwischen w α und m eträgt 58.

7 5) Gesucht sind lle Punkte uf der Strße, deren Entfernungen zu A und zu B gleich groß sind Mittelsenkrechte der Strecke [AB] Azweigpunkt ) 0 0 S T H L ) ) L ) Boot näher n H ls s Boot im Kreisinneren des Kreises um H durch S Boot weiter von L entfernt ls von L Boot uf der L Seite der Mittelsenkrechten der Strecke [L L ] (die Punkte uf der Mittelsenkrechten hen die gleiche Entfernung zu L und L ) ) 0 (siehe Zeichnung) c) T liegt I) uf dem Thleskreis üer [L L ] II) uf [SH] ) h, cm h c, cm A = 0,5 c. h c 0,5. 8,5 cm., cm = =,05 cm cm c) und d) : Die neuen Eckpunkte C`und C`` liegen uf der Prllelen zu AB durch C c) genu Lösung für = h c 8) Jede Seitenlänge muss kleiner sein ls die Summe der nderen eiden, lso : c < + = 8,cm und 4,9cm < c +,cm c >,cm cm möglich lso nur c = cm und c =,cm 9)) A I = (cm) : 4 = 44cm : 4 = cm ) in I : x = cm : cm = cm y = cm cm = 9 cm (in II) z = cm : 9cm = 4cm U II =. ( 9cm + 4cm) = cm cm x II y I 0) ) ein Rechteck ) eine Rute c) ein Qudrt z

8 ) ) / ) ) c) / d) Anmerkung : Konstruktionslinien hier z.t. nicht sichtr ) M = Schnittpunkt von Mittelsenkrechten ) T und T liegen uf dem Thleskreis üer [PM] c) Es genügt, den Spiegelpunkt von A zu konstruieren, weil sich AB und A B uf der Spiegelchse schneiden und B uf AC liegt. d) I ist Schnittpunkt von Winkelhlierenden ; Berührpunkt = Lotfußpunkt ) ) Umkreismittelpunkt U uf einer Seite U ist der Mittelpunkt dieser Seite Umkreis ist Thleskreis üer dieser Seite Dreieck ist rechtwinklig ) Winkelhlierende = Höhe Dreieck ist chsensymmetrisch Dreieck ist gleichschenklig ) ) A T (-5,5,5) k - B - T (,58 -,94) P Plnfigur : D y M (0,4,) C C Konstruktion: A B (-,0 5,5) P r I (,,) B A (,5 -,9) C e f A Konstruktionspln : (wr nicht verlngt; ist er nützlich): ) Konstruiere ABC us, und e (nch sss) ) D liegt ) uf dem Thleskreis üer [AC] ) uf k( B; r = f = 0 cm) ( Lösungen!) B D wäre hier f 0,cm Lsg. ) ) I) Für f 0, cm erühren sich die eiden Kreise us der Konstruktion von D in einem Punkt ( vgl. Zeichnung) genu Lösung! II) Für f 9 cm (=) ist der untere Schnittpunkt D der eiden Kreise nicht ruchr (Umlufsinn der Eckpunkte wäre flsch); zw. D fällt mit A zusmmen kein Viereck! Dmit git es zunächst nur die ndere Lösung mit D Für f cm (= ) ist uch der oere Schnittpunkt D nicht ruchr (der Winkel wäre dnn uf der flschen Seite δ wäre 0 0 ) insgesmt genu Lösung für cm < f 9cm nch II) und für f 0,cm nch I) 4) ) ein Drchenviereck ) α = 0 0 ( ABD ist dnn gleichseitig) c) eine Rute (lle Seiten sind dnn gleich lng) whufgen-lsg.doc 00-0-