Aufgabe 1: Die Zahl 100 soll derart in zwei Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate der beiden Summanden möglichst klein wird.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Aufgabe 1: Die Zahl 100 soll derart in zwei Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate der beiden Summanden möglichst klein wird."

Transkript

1 Etremwertufgen Zhlenrätsel ufge : Die Zhl 00 soll derrt in zwei Summnden zerlegt werden, dss die Summe der Qudrte der eiden Summnden möglichst klein wird. ufge : Die Zhl 60 ist so in zwei Summnden zu zerlegen, dss ds Produkt dieser Summnden möglichst groß wird. ufge 3: Wie muss mn die Zhl 00 in zwei positive Fktoren zerlegen, dmit die Summe der Fktoren zw. die Summe der Qudrte der Fktoren ein Minimum wird? Eene Geometrie ufge 4: Eine rechteckige Fläche, die n einer Seite durch eine Muer gegrenzt ist, soll n den nderen drei Seiten so mit einem 40 m lngen Zun umgeen werden, dss ihr Flächeninhlt möglichst groß wird. ufge 5: Für eine ewässerungsnlge soll ein oen offener Knl mit dreieckigem Querschnitt us zwei gleich reiten etonfertigpltten der reite geut werden. Die Pltten sind so nzuordnen, dss möglichst viel Wsser trnsportiert werden knn. Wie groß ist der günstigste Neigungswinkel? ufge 6: Für eine ewässerungsnlge soll ein oen offener Knl mit trpezförmigem Querschnitt us drei gleich reiten etonfertigpltten der reite geut werden. Die Pltten sind so nzuordnen, dss möglichst viel Wsser trnsportiert werden knn. Wie groß ist der günstigste Neigungswinkel? ufge 7: Für eine ewässerungsnlge soll ein oen offener Knl mit trpezförmigem Querschnitt us einer odenpltte der reite und zwei öschungspltten der reite geut werden. Die Pltten sind so nzuordnen, dss möglichst viel Wsser trnsportiert werden knn. Wie groß ist der günstigste Neigungswinkel?

2 ufge 8: Ein wsserknl soll gemäß neen stehender ildung ds Profil eines Rechtecks mit ufgesetztem Hlkreis hen. ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeener Querschnittsfläche der Umfng U des Profils miniml wird? ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeenem Umfng U des Profils die Querschnittsfläche miml wird?. ufge 9: Ein wsserknl soll gemäß neen stehender ildung ds Profil eines Rechtecks mit ufgesetztem Dreieck (gleichschenklig rechtwinklig) hen. ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeener Querschnittsfläche der Umfng U des Profils miniml wird? ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeenem Umfng U des Profils die Querschnittsfläche miml wird? ufge 0: Wie groß muss mn den Winkel eines Dreiecks mchen, ds die Seiten =0 cm und =6 cm ls Schenkel ht, wenn der Flächeninhlt möglichst groß werden soll? ufge : Wie groß müssen die Ktheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit konstntem Umfng gewählt werden, dmit die Hypotenuse möglichst klein wird? ufge : Welcher Punkt des Grphen von m nächsten? + f () = liegt dem Koordintenursprung ufge 3: Einer Ellipse ist ein gleichschenkliges Dreieck mit möglichst großem Flächeninhlt einzueschreien. Wie sind die Mße zu wählen, wenn die Dreiecksspitze im Scheitel der Ellipse liegen soll? ufge 4: Welche änge drf eine Holzpltte höchstens hen, dmit Sie in einem Korridor (siehe ildung) um die Ecke trnsportiert werden knn. Nehmen Sie dei n, dss die Höhe der Pltte nur geringfügig kleiner ls die Höhe des Korridors ist.

3 Räumliche Geometrie ufge 5: us einem qudrtischen lech (Kntenlänge ) soll ein oen offener, quderförmiger ehälter mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Welche messungen ht der ehälter? Wie groß ist ds Mimlvolumen? h ufge 6: us lechtfeln 500 mm 800 mm sollen durch usschneiden, iegen und Schweißen nch Skizze oen offene, quderförmige ehälter mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Es sind Mße und Volumen des Quders zu erechnen. ufge 7: Wie muss sich ei einer geschlossenen zylindrischen Konservendose die Höhe zum Durchmesser verhlten, dmit ei gegeenem Volumen möglichst wenig lech verrucht wird? ufge 8: Wie muss sich ei einer oen offenen zylindrischen Konservendose die Höhe zum Durchmesser verhlten, dmit ei gegeenem Volumen möglichst wenig lech verrucht wird? ufge 9: Wie muss sich ei einem eiderseits offenen Zylinder die Höhe zum Durchmesser verhlten, dmit ei gegeenem Volumen möglichst wenig lech verrucht wird? ufge 0: In die kegelförmige Spitze eines Turmes (gerder Kreiskegel) soll ein zylindrischer Wsserehälter mit möglichst großem Volumen eingeut werden. Wie müssen die Mße des ehälters ei gegeenen Kegelmessungen H und R gewählt werden? Wie viel Prozent der Turmspitze werden usgenutzt? ufge : Unter einem Kegel /Rdius R, Höhe H) soll ein mit der Spitze nch unten stehender Kegel mit möglichst großem Volumen untergercht werden. Wie viel Prozent der Kegelvolumens werden usgenutzt? ufge : Unter einer Hlkugel (Rdius R) soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen untergercht werden? Wie viel Prozent der Hlkugel werden usgenutzt? ufge 3: Unter einer Hlkugel (Rdius R) soll ein mit der Spitze nch unten stehender Kegel mit möglichst großem Volumen untergercht werden. Wie viel Prozent der Hlkugel werden usgenutzt? ufge 4: Wie muss ein kreisförmiges lech usgeschnitten werden, um drus einen Kegel mit möglichst großem Volumen herstellen zu können? 3

4 R s ufge 5: Wie muss ei einem kegelförmigen Sektgls mit vorgegeener Mntellinie s der Rdius R gewählt werden, dmit der Inhlt möglichst groß wird? Wie groß ist in diesem Fll der Winkel? Elektrotechnik ufge 6: Gegeen sei eine Spnnungsquelle mit der eerlufspnnung U 0 und dem Innenwiderstnd R i. Wie muss ein stwiderstnd R gewählt werden, wenn die eistungsge der Quelle möglichst groß werden soll? Kinetik ufge 7: Ein euchtturm liegt 6 km von der Küste entfernt. Seine Entfernung vom nächsten Ort, der direkt n der Küste liegt, eträgt 4 km uftlinie. In welcher Entfernung vom Ort muss mn n nd gehen, wenn die Geschwindigkeit zu Wsser 5 km/h, die uf der Küstenstrße 8 km/h eträgt und der Ort in möglichst kurzer Zeit erreicht werden soll? Nch wie viel Minuten wird der Ort erreicht? ufge 8: ) uf zwei sich unter 90 schneidenden Strßen ewegen sich die Krftfhrzeuge und in Richtung uf die Kreuzung. fährt mit 80 km/h und ist 800 m von der Kreuzung entfernt; ht die Geschwindigkeit 60 km/h und ist 400 m von der Kreuzung entfernt. Wie viele Meter eträgt der kleinste stnd zwischen eiden Fhrzeugen? ) uf zwei sich unter 90 schneidenden Strßen ewegen sich die Krftfhrzeuge und in Richtung uf die Kreuzung. fährt mit der Geschwindigkeit v und strtet s von der Kreuzung entfernt; ht die Geschwindigkeit v und ist s von der Kreuzung entfernt. Wie groß ist der kleinste stnd zwischen eiden Fhrzeugen? ufge 9: ) uf zwei sich unter einem Winkel = 30 schneidenden Strßen ewegen sich die Krftfhrzeuge und in Richtung uf die Kreuzung. fährt mit 80 km/h und ist 800 m von der Kreuzung entfernt; ht die Geschwindigkeit 60 km/h und ist 400 m von der Kreuzung entfernt. Wie viele Meter eträgt der kleinste stnd zwischen eiden Fhrzeugen? ufge 30 eim Kugelstoßen ht die Kugel eine nfngsgeschwindigkeit v 0. ei welchem Winkel ht die Kugel die größte Steighöhe und ei welchem Winkel wird die Wurfweite ein Mimum? Der uftwiderstnd soll vernchlässigt werden. C ufge 3: Ein Sportflugzeug fliegt von nch und zurück nch C. ei welcher Windgeschwindigkeit v w legt ds Flugzeug den Weg C in kürzester Zeit zurück, wenn seine Eigengeschwindigkeit v e = 40 km / h eträgt? (Windrichtung von nch, Entfernung 000 km, Entfernung C 50 km) 4

5 ufge 3: Ein Körper der Msse m gleitet reiungsfrei und ohne zu Rollen eine schiefe Eene hin. Wie groß muss ei gegeener änge der Winkel gewählt werden, dmit die Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt wird? h ufge 33: Ein Körper der Msse m gleitet reiungsfrei und ohne zu Rollen eine zweiteilige schiefe Eene hin. Wie groß muss ei gegeenen ängen, h die Höhe gewählt werden, dmit die Gesmtstrecke in kürzester Zeit zurückgelegt wird? Wirtschftlichkeit D C ufge 34: Die Ortschft soll mit dem Krftwerk C, ds lut Zeichnung km von der Ortschft entfernt ist, durch eine unter der Erde verlegte eitung verunden werden. Die Kosten etrgen K (600 DM pro lfd. Meter) ei Verlegung neen der Strße und K (000 DM pro lfd. Meter) im Gelände. In welcher Entfernung von der Ortschft muss die eitung zweigen, dmit die Kosten möglichst niedrig gehlten werden. Weitere Dten: = 8 km, = km. ufge 35: Von einer Huptstrße, die von Ort nch der Ortschft führt, zweigen in C, 6 km von entfernt, zwei Strßen im Winkel von 90 und führen zu den Dörfern D zw. E. Die Entfernung von der Huptstrße eträgt 800 m zw. 400 m. Vom Ort soll zu den Dörfern D und E eine Wsserleitung unter möglichst geringem Kostenufwnd gelegt werden. In welcher Entfernung von Ort müssen die Einzelleitungen zu den Dörfern D und E von der gemeinsmen eitung uf der Huptstrße zweigen, wenn die Kosten der Huptleitung 0 DM pro lfd. Meter, die der Zweigleitungen 80 DM pro lfd. Meter etrgen? ufge 36: Eine Elektrofirm knn täglich höchstens 500 Kompktnlgen herstellen. Die Herstellungskosten für n Kompktnlgen elufen sich dnn nch Erfhrungswerten uf täglich ( n + 350n + 5 ). Der Verkufspreis je Kompktnlge ist von der nzhl der hergestellten nlgen hängig und wird von der Firm gemäß ( 500 n ) klkuliert. ei wel- 4 cher täglich hergestellten Stückzhl lässt sich der größte Gewinn erzielen? 5

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und

Mehr

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl.

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl. 1. 1. 2. Strecke B B Gerde Eine gerde, von zwei Punkten begrenzte Linie heißt Strecke. Eine gerde Linie, die nicht begrenzt ist, heißt Gerde. D.h. eine Gerde ht keine Endpunkte! 2. 3. 3. g Strhl Eine gerde

Mehr

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe

Mehr

Satz des Pythagoras. c 2. a 2. b 2

Satz des Pythagoras. c 2. a 2. b 2 Stz des Pythgors 01 c b Hypotenusenqudrt = Summe der beiden Kthetenqudrte ² = c² b² = c² b² ² + b² = c² b² = c² ² b= c² ² c² = ² + b² c= ² + b² 0 Der Stz des Pythgors und seine rechnerische Anwendung Beispiel:

Mehr

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen 2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30

Mehr

Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:

Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel: 16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische

Mehr

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN:

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Hinweise zu den nregungen zum Nchdenken und für eigene Untersuchungen zu 8.: zu 8.: Wenn die Dreiteilung des weißen Rechtecks durch

Mehr

Quadratische Gleichungen. Aufgabe 1: Lösen von Gleichungen ohne Lösungsformel

Quadratische Gleichungen. Aufgabe 1: Lösen von Gleichungen ohne Lösungsformel Qudrtische Gleichungen Aufge : Lösen von Gleichungen ohne Lösungsformel ) 0,8 ) 7 c) - 867 0 d) e) 9 f) - 0 g) 0 h) i) 6 0 j) Aufge : Lösen von Gleichungen durch Zerlegung in Fktoren ) 4 0 ) 4 0 c) - 4

Mehr

Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest

Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest Studienkolleg ei den Universitäten des Freisttes Bern Üungsufgen zur Vorereitung uf den Mthemtiktest . Polnomdivision:. Dividieren Sie! ) ( 6 + 8 ):( + ) = Lös.: = ) ( 9 7 0 + 8 + 9):(6 + +) = Lös.: =

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Grundwissen l Klasse 5

Grundwissen l Klasse 5 Grundwissen l Klsse 5 1 Zhlenmengen und Punktmengen {1; 2; 3; 4; 5; 6;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen. 0 {0; 1; 2; 3; 4; 5;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen mit Null. M {; ; C;... } Die Menge der

Mehr

Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.

Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum. gnz klr: Mthemtik - Ds Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 8 Rettungsring Berechnungen m Dreieck & Viereck Begriffe: Umfng und Flächeninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Flächeninhlt (A) erechnet werden? Kreuze

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA . Semester ARBEITSBLATT -6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen hben deckungsgleiche (kongruente), prllele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenknten sind lle gleich lng und zueinnder

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

(1) (2) (3) (4) α... Ellipse ε = α... Parabel ε> α... Hyperbel. Mittelpunktsgleichung des Kreises:

(1) (2) (3) (4) α... Ellipse ε = α... Parabel ε> α... Hyperbel. Mittelpunktsgleichung des Kreises: Kegelschnitte 9 KEGELSCHNITTE Kreis, Ellise, rel und Herel werden Kegelschnitte gennnt, weil mn sie wie die folgenden Figuren zeigen ls Schnitte einer Eene mit einem Drehkegel erhält. Zur Klssifizierung

Mehr

Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a)

Rechnen mit Termen. 1. Berechne das Volumen und die Oberfläche. 4. Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7a(1 b)+5b(2 a) Rechnen mit Termen 1. Berechne ds Volumen und die Oberfläche. 2. 3 3 7 2 4b 3. 5 4 8 b 4. Löse die Klmmern uf und fsse zusmmen: ) 2x(3x 1) x(2 5x) b) 7(1 b)+5b(2 ) c) 4b( 3b) 4b( 2 3) 5. Löse die Gleichungen:

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016

Mehr

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b 6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Stereometrie: Übersicht

Stereometrie: Übersicht Stereometrie: Übersicht Stereometrie ist die Lehre der dreidimensionlen Körper. Wir werden uns nun mit einigen von ihnen beschäftigen.. Prismen Ein Prism besteht us einer Grund und Deckfläche die gleich

Mehr

Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas

Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas Berechnungen m Prism Einführung des Prisms: Schüler ringen verschiedene Verpckungen mit in den Unterricht Klssifizierung der Verpckungen in Prismen und ndere Körper Erreitung der Eigenschften eines Prisms:

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

1.1. Vorspiel bei den alten Griechen

1.1. Vorspiel bei den alten Griechen 1.1. Vorspiel bei den lten Griechen Die Mthemtiker der griechischen Antike wren ihrer Zeit und uch ihren Epigonen im "finsteren Mittellter" um Etliches vorus. Einige ihrer Entdeckungen werden wir im Lufe

Mehr

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung

Mehr

Dreiecke als Bausteine

Dreiecke als Bausteine e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten

Mehr

4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt

4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt 1 4 Hperel 4.1 Die Hperel ls Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel mit dem hlen Öffnungswinkel α von einer Eene σ geschnitten, die mit der Kegelchse einen Wink β < α einschliesst, so entsteht ls Schnittkurve

Mehr

Übungsteil: 1. Algebra

Übungsteil: 1. Algebra lgebr Übungsteil: lgebr Gleichungssysteme: estimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme: ) y + 7 = 5x x + y = 7 c) y = x 9 6x 0 = y b) y = 5x y = x d) x + 5y = 05 0,5y = x,5 e) 0(x + y) =

Mehr

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte

Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte Kegelschnitte Kegelschnitte ds sind geometrische Figuren, die sich ergeen, wenn mn einen Kegel und eine Eene einnder schneiden lässt. Wir unterscheiden 3 Tpen von Kegelschnitten: Prel, Ellipse und Hperel.

Mehr

Aufgabentyp 2: Geometrie

Aufgabentyp 2: Geometrie Aufgbe 1: Würfel (1) () (3) (Schülerzeichnung) Wie wurde der links drgestellte Körper jeweils gedreht? Der Körper wurde nch links vorne gekippt. Der Körper wurde nch rechts vorne gekippt. Der Körper wurde

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

Die Satzgruppe des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras 7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen

Mehr

Aufgaben, in denen die Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes ermittelt wird.

Aufgaben, in denen die Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes ermittelt wird. Differentilrecnung Extremwertufgben Arbeitsbltt Aufgben, in denen die Nebenbedingung mitilfe des Strlenstzes ermittelt wird. Vorwissen 1 Werden zwei Strlen und b mit dem gemeinsmen Anfngspunkt S von zwei

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

1. Berechnen Sie in den folgenden Strahlensatzfiguren die unbekannten Stücke! z y 23

1. Berechnen Sie in den folgenden Strahlensatzfiguren die unbekannten Stücke! z y 23 Trigonometrie 1: Strhlensätze 1. Berehnen Sie in den folgenden Strhlenstzfiguren die uneknnten Stüke! ) 2.5 4 5 9 ) 4 3 5 10 z w 7 9 7 z 23 11 w 13 15 d) 18 3 e) 8 6 8 4 3 z 2. Welhe der folgenden Verhältnisse

Mehr

Grundwissen Mathematik 9

Grundwissen Mathematik 9 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem

Mehr

G2.3 Produkte von Vektoren

G2.3 Produkte von Vektoren G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen

Mehr

Grundwissen 9. Klasse G8

Grundwissen 9. Klasse G8 Leibniz-Gymnsium Altdorf Grundwissen 9. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen I) Reelle Zhlen Für eine nichtnegtive Zhl heißt diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt ergibt, Qudrtwurzel

Mehr

M3 Übung: Strahlensatz, Teilungsrechnung, Strecken teilen Name: 1)Stelle eine Verhältnisgleichung auf und berechne x!

M3 Übung: Strahlensatz, Teilungsrechnung, Strecken teilen Name: 1)Stelle eine Verhältnisgleichung auf und berechne x! M Üung: Strhlenstz, Teilungsrehnung, Streken teilen Nme: 1)Stelle eine Verhältnisgleihung uf und erehne! 1,5 4,0,0 2)Berehne mit einer Proportion! (Mße in m!) 6,0 6,5 1, )Stelle eine Verhältnisgleihung

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

2. Flächenberechnungen

2. Flächenberechnungen Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht

Mehr

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8

Mehr

Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs

Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den

Mehr

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Grundwissen 7. Jhrgngsstufe 1. Symmetrie ) chsenspiegelung : Symmetriechse Mittelsenkrechte Winkelhlbierende Konstruktion Spiegelpunkt, Spiegelchse Mittelsenkrechte: Winkelhlbierende: Lot: Eigenschften

Mehr

Abschlussprüfung Mathematik

Abschlussprüfung Mathematik Abschlussprüfung 0 Mthemtik 5. Mi 0, Klssen F08 und F08b Nme: Klsse: Hinweise: Zur Lösung der Aufgben stehen drei volle Stunden zur Verfügung. Als Hilfsmittel sind ein nicht lgebrfähiger und nicht grphikfähiger

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2012 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmturitätsschule Berufsmturitätsprüfung 2012 Mthemtik Zeit: Hilfsmittel: Hinweise: Punkte: 180 Minuten Formel- und Tbellensmmlung ohne gelöste Beispiele,

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I Mthemtik mcht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Erkläre, wrum die eiden drgestellten Dreiecke ähnlich zueinnder sind und erechne die fehlenden Seitenlängen x und

Mehr

5. Vektor- und Matrizenrechnung

5. Vektor- und Matrizenrechnung Ü F-Studiengng Angewndte lektronik, SS 6 Üungsufgen zur Lineren Alger und Anlysis II Vektor- und Mtrizenrechnung Für die Vektoren = (,,,) und = (,,,) erechne mn die Linerkomintion ( ) + ( + ), die Längen,

Mehr

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen Zusmmenfssung: Astände, Winkel und Spiegelungen Inhltsverzeichnis Astände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experten 1 Astände Astnd Punkt Punkt: Schreiweise: Den Astnd zweier Punkte A und B ezeichnet mn mit

Mehr

Beispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsaufgaben

Beispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsaufgaben eispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsufgben nläßlich einer Erbschft soll ds viereckige Grundstück CD [d = D = 78m, c = CD = 74m, Winkel C = = 45, Winkel CD = = 123, Winkel C = = 79 ] durch eine Gerde

Mehr

5.5. Integralrechnung

5.5. Integralrechnung .. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds

Mehr

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck 10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Figuren, Körper, Flächeninhalt, Volumen - Stationenlernen

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Figuren, Körper, Flächeninhalt, Volumen - Stationenlernen Unterrichtsmterilien in digitler und in gedruckter Form Auszug us: Figuren, Körper, Flächeninhlt, Volumen - Sttionenlernen Ds komplette Mteril finden Sie hier: School-Scout.de SCHOOL-SCOUT Lernzirkel -

Mehr

Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.

Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders. Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Elemente der Geometrie 1

Elemente der Geometrie 1 Elemente der Geometrie Inhlt Der Rote Fden. Definition. Geschichte Elementre Längenverhältnisse und Flächen 4. Elementre Bezeichnungen 4. Kreisögen 5.3 Flächen 5 3 Ds Innendreieck 6 4 Der Kreis des Archimedes

Mehr

Grundwissen Klasse 10

Grundwissen Klasse 10 Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen

Mehr

Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck

Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck -. ein Aufgbe us der pnischen Tempelgeometrie 3. August 006 Gegeben sei ds gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge. Auf der öhenlinie h c = CD befinden sich die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k.

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

9 Satzgruppe des Pythagoras und Kongruenzabbildungen

9 Satzgruppe des Pythagoras und Kongruenzabbildungen Stzgruppe des Pythgors Mthemtik. Klsse 9 Stzgruppe des Pythgors und Kongruenzbbildungen Stz 4 Stz von Pythgors In einem rechtwinkligen Dreieck mit Ktheten und b und Hypotenuse c gilt: + b c Aufgbe 59 Beweisen

Mehr

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik Dr. I. Lehmnn: Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Corneli Schulz 16.12.2008 Stzgruppe des Pythgors

Mehr

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3 ufgben zur Vertiefung der Geometrie WS 2005/06 5./6. ezember 2005 ltt 3 1. Umkugel und Innenkugel eines Tetreders Leiten Sie die Formel für ds Volumen, die Oberfläche, den Rdius der umbeschriebenen und

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

DOWNLOAD. Vertretungsstunde Mathematik Klasse: Größen Umfang und Flächeninhalt. Marco Bettner/Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

DOWNLOAD. Vertretungsstunde Mathematik Klasse: Größen Umfang und Flächeninhalt. Marco Bettner/Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel: DOWNLOAD Mrco Bettner/Erik Dinges Vertretungsstunde Mthemtik 4 5. Klsse: Größen Umfng und Flächeninhlt Downloduszug us dem Originltitel: Umfng Rechteck 1 Größen Umfng und Flächeninhlt 1. Ds drgestellte

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

Grundwissen Mathematik 7I

Grundwissen Mathematik 7I Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises

Mehr

Pyramidenvolumen. 6 a2. 9 = a

Pyramidenvolumen. 6 a2. 9 = a Prmidenvolumen 1 Die Ecken einer dreiseitigen Prmide hben die Koordinten (0 0 0), ( 0 0), (0 0) und (0 0 ) mit > 0, H ist der Mittelpunkt der trecke [] lle Ergebnisse ls möglichst einfche Terme mit der

Mehr

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 Them NATÜRLICHE ZAHLEN Zählen und Ordnen Ntürliche Zhlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet Stefn ist beim 100m-Luf ls 2. ins Ziel gekommen. Große Zhlen und Zehnerpotenzen

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

Ein Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel.

Ein Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel. Geometrie 1 3 Winkelsummen Der von zwei Nhrseiten eines Vieleks geildete Winkel heißt Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt 180. + + = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Viereks

Mehr

Download. Klassenarbeiten Mathematik 5. Geometrische Figuren und Körper. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Download. Klassenarbeiten Mathematik 5. Geometrische Figuren und Körper. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Downlod Mrco Bettner, Erik Dinges Klssenrbeiten Mthemtik 5 Geometrische Figuren und Körper Downloduszug us dem Originltitel: Klssenrbeiten Mthemtik 5 Geometrische Figuren und Körper Dieser Downlod ist

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2 Man berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Platte aus homogenem Material mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe

Aufgabe 3.1. Aufgabe 3.2 Man berechne den Schwerpunkt der nebenstehenden Platte aus homogenem Material mit Hilfe der Ergebnisse aus Aufgabe Institut für ngewndte und Eperimentelle Mechnik Technische Mechnik I ZÜ 3.1 ufgbe 3.1 Bestimmen Sie mit Hilfe der entsprechenden Guldin schen Regel die Höhe der Schwerpunkte von homogenen Blechstücken,

Mehr

Tag der Mathematik 2016

Tag der Mathematik 2016 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt

Mehr

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt? ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch

Mehr

Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2

Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2 IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls

Mehr

ergeben die Strecken eine Länge von 85 cm. Wie lang sind die Strecken? 1. Strecke: x 2. Strecke: 4x x 4x 85 x 17

ergeben die Strecken eine Länge von 85 cm. Wie lang sind die Strecken? 1. Strecke: x 2. Strecke: 4x x 4x 85 x 17 Textgleichungen Aus der Geometrie Lösungen 1. Von zwei Strecken ist die eine viermal so lang wie die andere. Zusammen ergeben die Strecken eine Länge von 85 cm. Wie lang sind die Strecken? 1. Strecke:

Mehr

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen 1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Übungsaufgaben zum Vorkurs Mathematik. im Fachbereich Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau

Übungsaufgaben zum Vorkurs Mathematik. im Fachbereich Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau Üungsufgen zum Vorkurs Mthemtik im Fchereich Fhrzeugtechnik und Flugzeugu Aschnitt A : Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aschnitt A: Umformungen, Potenzen, Wurzeln, Logrithmen Aufge A Berechnen

Mehr

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr