Aufgabe 1: Die Zahl 100 soll derart in zwei Summanden zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate der beiden Summanden möglichst klein wird.

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1 Etremwertufgen Zhlenrätsel ufge : Die Zhl 00 soll derrt in zwei Summnden zerlegt werden, dss die Summe der Qudrte der eiden Summnden möglichst klein wird. ufge : Die Zhl 60 ist so in zwei Summnden zu zerlegen, dss ds Produkt dieser Summnden möglichst groß wird. ufge 3: Wie muss mn die Zhl 00 in zwei positive Fktoren zerlegen, dmit die Summe der Fktoren zw. die Summe der Qudrte der Fktoren ein Minimum wird? Eene Geometrie ufge 4: Eine rechteckige Fläche, die n einer Seite durch eine Muer gegrenzt ist, soll n den nderen drei Seiten so mit einem 40 m lngen Zun umgeen werden, dss ihr Flächeninhlt möglichst groß wird. ufge 5: Für eine ewässerungsnlge soll ein oen offener Knl mit dreieckigem Querschnitt us zwei gleich reiten etonfertigpltten der reite geut werden. Die Pltten sind so nzuordnen, dss möglichst viel Wsser trnsportiert werden knn. Wie groß ist der günstigste Neigungswinkel? ufge 6: Für eine ewässerungsnlge soll ein oen offener Knl mit trpezförmigem Querschnitt us drei gleich reiten etonfertigpltten der reite geut werden. Die Pltten sind so nzuordnen, dss möglichst viel Wsser trnsportiert werden knn. Wie groß ist der günstigste Neigungswinkel? ufge 7: Für eine ewässerungsnlge soll ein oen offener Knl mit trpezförmigem Querschnitt us einer odenpltte der reite und zwei öschungspltten der reite geut werden. Die Pltten sind so nzuordnen, dss möglichst viel Wsser trnsportiert werden knn. Wie groß ist der günstigste Neigungswinkel?

2 ufge 8: Ein wsserknl soll gemäß neen stehender ildung ds Profil eines Rechtecks mit ufgesetztem Hlkreis hen. ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeener Querschnittsfläche der Umfng U des Profils miniml wird? ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeenem Umfng U des Profils die Querschnittsfläche miml wird?. ufge 9: Ein wsserknl soll gemäß neen stehender ildung ds Profil eines Rechtecks mit ufgesetztem Dreieck (gleichschenklig rechtwinklig) hen. ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeener Querschnittsfläche der Umfng U des Profils miniml wird? ) Wie sind und zu wählen, dmit ei gegeenem Umfng U des Profils die Querschnittsfläche miml wird? ufge 0: Wie groß muss mn den Winkel eines Dreiecks mchen, ds die Seiten =0 cm und =6 cm ls Schenkel ht, wenn der Flächeninhlt möglichst groß werden soll? ufge : Wie groß müssen die Ktheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit konstntem Umfng gewählt werden, dmit die Hypotenuse möglichst klein wird? ufge : Welcher Punkt des Grphen von m nächsten? + f () = liegt dem Koordintenursprung ufge 3: Einer Ellipse ist ein gleichschenkliges Dreieck mit möglichst großem Flächeninhlt einzueschreien. Wie sind die Mße zu wählen, wenn die Dreiecksspitze im Scheitel der Ellipse liegen soll? ufge 4: Welche änge drf eine Holzpltte höchstens hen, dmit Sie in einem Korridor (siehe ildung) um die Ecke trnsportiert werden knn. Nehmen Sie dei n, dss die Höhe der Pltte nur geringfügig kleiner ls die Höhe des Korridors ist.

3 Räumliche Geometrie ufge 5: us einem qudrtischen lech (Kntenlänge ) soll ein oen offener, quderförmiger ehälter mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Welche messungen ht der ehälter? Wie groß ist ds Mimlvolumen? h ufge 6: us lechtfeln 500 mm 800 mm sollen durch usschneiden, iegen und Schweißen nch Skizze oen offene, quderförmige ehälter mit möglichst großem Volumen hergestellt werden. Es sind Mße und Volumen des Quders zu erechnen. ufge 7: Wie muss sich ei einer geschlossenen zylindrischen Konservendose die Höhe zum Durchmesser verhlten, dmit ei gegeenem Volumen möglichst wenig lech verrucht wird? ufge 8: Wie muss sich ei einer oen offenen zylindrischen Konservendose die Höhe zum Durchmesser verhlten, dmit ei gegeenem Volumen möglichst wenig lech verrucht wird? ufge 9: Wie muss sich ei einem eiderseits offenen Zylinder die Höhe zum Durchmesser verhlten, dmit ei gegeenem Volumen möglichst wenig lech verrucht wird? ufge 0: In die kegelförmige Spitze eines Turmes (gerder Kreiskegel) soll ein zylindrischer Wsserehälter mit möglichst großem Volumen eingeut werden. Wie müssen die Mße des ehälters ei gegeenen Kegelmessungen H und R gewählt werden? Wie viel Prozent der Turmspitze werden usgenutzt? ufge : Unter einem Kegel /Rdius R, Höhe H) soll ein mit der Spitze nch unten stehender Kegel mit möglichst großem Volumen untergercht werden. Wie viel Prozent der Kegelvolumens werden usgenutzt? ufge : Unter einer Hlkugel (Rdius R) soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen untergercht werden? Wie viel Prozent der Hlkugel werden usgenutzt? ufge 3: Unter einer Hlkugel (Rdius R) soll ein mit der Spitze nch unten stehender Kegel mit möglichst großem Volumen untergercht werden. Wie viel Prozent der Hlkugel werden usgenutzt? ufge 4: Wie muss ein kreisförmiges lech usgeschnitten werden, um drus einen Kegel mit möglichst großem Volumen herstellen zu können? 3

4 R s ufge 5: Wie muss ei einem kegelförmigen Sektgls mit vorgegeener Mntellinie s der Rdius R gewählt werden, dmit der Inhlt möglichst groß wird? Wie groß ist in diesem Fll der Winkel? Elektrotechnik ufge 6: Gegeen sei eine Spnnungsquelle mit der eerlufspnnung U 0 und dem Innenwiderstnd R i. Wie muss ein stwiderstnd R gewählt werden, wenn die eistungsge der Quelle möglichst groß werden soll? Kinetik ufge 7: Ein euchtturm liegt 6 km von der Küste entfernt. Seine Entfernung vom nächsten Ort, der direkt n der Küste liegt, eträgt 4 km uftlinie. In welcher Entfernung vom Ort muss mn n nd gehen, wenn die Geschwindigkeit zu Wsser 5 km/h, die uf der Küstenstrße 8 km/h eträgt und der Ort in möglichst kurzer Zeit erreicht werden soll? Nch wie viel Minuten wird der Ort erreicht? ufge 8: ) uf zwei sich unter 90 schneidenden Strßen ewegen sich die Krftfhrzeuge und in Richtung uf die Kreuzung. fährt mit 80 km/h und ist 800 m von der Kreuzung entfernt; ht die Geschwindigkeit 60 km/h und ist 400 m von der Kreuzung entfernt. Wie viele Meter eträgt der kleinste stnd zwischen eiden Fhrzeugen? ) uf zwei sich unter 90 schneidenden Strßen ewegen sich die Krftfhrzeuge und in Richtung uf die Kreuzung. fährt mit der Geschwindigkeit v und strtet s von der Kreuzung entfernt; ht die Geschwindigkeit v und ist s von der Kreuzung entfernt. Wie groß ist der kleinste stnd zwischen eiden Fhrzeugen? ufge 9: ) uf zwei sich unter einem Winkel = 30 schneidenden Strßen ewegen sich die Krftfhrzeuge und in Richtung uf die Kreuzung. fährt mit 80 km/h und ist 800 m von der Kreuzung entfernt; ht die Geschwindigkeit 60 km/h und ist 400 m von der Kreuzung entfernt. Wie viele Meter eträgt der kleinste stnd zwischen eiden Fhrzeugen? ufge 30 eim Kugelstoßen ht die Kugel eine nfngsgeschwindigkeit v 0. ei welchem Winkel ht die Kugel die größte Steighöhe und ei welchem Winkel wird die Wurfweite ein Mimum? Der uftwiderstnd soll vernchlässigt werden. C ufge 3: Ein Sportflugzeug fliegt von nch und zurück nch C. ei welcher Windgeschwindigkeit v w legt ds Flugzeug den Weg C in kürzester Zeit zurück, wenn seine Eigengeschwindigkeit v e = 40 km / h eträgt? (Windrichtung von nch, Entfernung 000 km, Entfernung C 50 km) 4

5 ufge 3: Ein Körper der Msse m gleitet reiungsfrei und ohne zu Rollen eine schiefe Eene hin. Wie groß muss ei gegeener änge der Winkel gewählt werden, dmit die Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt wird? h ufge 33: Ein Körper der Msse m gleitet reiungsfrei und ohne zu Rollen eine zweiteilige schiefe Eene hin. Wie groß muss ei gegeenen ängen, h die Höhe gewählt werden, dmit die Gesmtstrecke in kürzester Zeit zurückgelegt wird? Wirtschftlichkeit D C ufge 34: Die Ortschft soll mit dem Krftwerk C, ds lut Zeichnung km von der Ortschft entfernt ist, durch eine unter der Erde verlegte eitung verunden werden. Die Kosten etrgen K (600 DM pro lfd. Meter) ei Verlegung neen der Strße und K (000 DM pro lfd. Meter) im Gelände. In welcher Entfernung von der Ortschft muss die eitung zweigen, dmit die Kosten möglichst niedrig gehlten werden. Weitere Dten: = 8 km, = km. ufge 35: Von einer Huptstrße, die von Ort nch der Ortschft führt, zweigen in C, 6 km von entfernt, zwei Strßen im Winkel von 90 und führen zu den Dörfern D zw. E. Die Entfernung von der Huptstrße eträgt 800 m zw. 400 m. Vom Ort soll zu den Dörfern D und E eine Wsserleitung unter möglichst geringem Kostenufwnd gelegt werden. In welcher Entfernung von Ort müssen die Einzelleitungen zu den Dörfern D und E von der gemeinsmen eitung uf der Huptstrße zweigen, wenn die Kosten der Huptleitung 0 DM pro lfd. Meter, die der Zweigleitungen 80 DM pro lfd. Meter etrgen? ufge 36: Eine Elektrofirm knn täglich höchstens 500 Kompktnlgen herstellen. Die Herstellungskosten für n Kompktnlgen elufen sich dnn nch Erfhrungswerten uf täglich ( n + 350n + 5 ). Der Verkufspreis je Kompktnlge ist von der nzhl der hergestellten nlgen hängig und wird von der Firm gemäß ( 500 n ) klkuliert. ei wel- 4 cher täglich hergestellten Stückzhl lässt sich der größte Gewinn erzielen? 5