Integrieren wie geht das?

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1 Integrieren wie geht ds? Ich knn Dir ds Integrieren nur erklären, wenn wir zuvor ds Differenzieren wiederholen. Ds mchen wir gnz forml, ohne die zugrundeliegenden Ideen zu esprechen. Nur so viel: Aleitung von f() n der Stelle := (Tngenten-)Anstieg der Kurve f n der Stelle f ' = f ' = d f = d f f f = d d f = f := lim d y = f ' d eschreit die Tngente wegen f = f f ', Mit 'Differenzieren' meinen wir ds rechnerische Auffinden der Aleitungsfunktion. Wir erinnern uns n den ekten Sprchgeruch: differenzieren knn mn nur Vrile (mn ildet us y ds Differentil dy), Funktionen werden geleitet (mn ildet us f() die Aleitungsfunktion f'()). Aleitungen Einige eknnte Grundfunktionen: Funktion ihre Aleitung n 1 n 1 1, n 1 n sin cos e ln cos sin e 1 Aleitungsregeln Die folgenden Regeln erluen es uns, jede Funktion zuleiten, und sei sie uch noch so kompliziert us den Grundfunktionen zusmmengesetzt. f ' = f ' Vielfches f ±g ' = f '±g ' Summe und Differenz f g ' = f ' g f g ' Produktregel f g ' = f ' g f g ' g Quotientenregel f g ' = f ' g g ' Kettenregel Die Aleitungsfindung ist ls 'Rechenvorschrift' ufzufssen, die us einer Funktion eine ndere mcht. Mthemtiker nennen die entsprechende Rechenmschine (Blck Bo) den 'Differentilopertor': : f f ' Computerhilfe: um die Funktion sin() zuleiten, tippt mn - in EigenMth d(^sin()) und <ENTER> - in Mim diff(^*sin(),); und <shift ENTER> HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 1 / 8

2 Die Stmmfunktion technisch gesehen Wir könnten ein Spiel mchen: Du denkst Dir eine Funktion f us, leitest sie und sgst mir f'. Ich will dnn versuchen, Deine ursprüngliche Funktion f heruszufinden. Sgst Du etw 1y, wäre meine Antwort 4y. Dein sin() würde ich mit -cos() kontern. Eine neue Rechenrt, ich nenne sie I : ds Gegenteil vom Aleitungilden. Gnz slopp ufgeschrieen für f(): : f f ' Aleitung ilden I : f f ' Aleitung umkehren Die Funktion I stellt ei Anwendung uf eine Aleitung lso die ursprüngliche Funktion wieder her. F() heißt eine Stmmfunktion der Funktion f(), wenn F'() = f() ist: F = f Wrum 'eine' Stmmfunktion: zum Beispiel ( )' =. Aer uch ( +4)' = und ( -8)' = oder llgemein ( +C)' = für jede Zhl C. Jede Funktion esitzt demnch unendlich viele Stmmfunktionen, er lle unterscheiden sich nur um eine Konstnte. Ds merken wir uns kennen wir eine Stmmfunktion, kennen wir lle. Beim Integrieren spielt diese Konstnte eigentlich nie eine Rolle, wir können sie in der folgenden Liste weglssen (C = ). Drehen wir oige Telle der geleiteten Funktionen einfch um, erhlten wir eine Telle der Stmmfunktionen: f() Stmmfunktion F() 1 n cos sin e 1, n 1 n 1 n 1 sin cos e ln Welche Regeln können wir von oen üernehmen? Bezeichnen wir die Stmmfunktionen mit I: I f = I f Vielfches I f ±g = I f ±I g Summe und Differenz Die ürigen Regeln lssen sich leider nicht so einfch üertrgen. HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 / 8

3 Integrieren ws steckt dhinter Ausgngspunkt unserer Üerlegungen ist die Berechnung des Flächeninhltes durch Kurven egrenzter Geiete. Nehmen wir der Einfchheit hler eine Funktion y = f(). Gegeen seien diese Funktion f, sowie zwei Stellen und uf der -Achse. Die f()-kurve (ihr Grph), die - Achse und die Vertiklen n diesen zwei Stellen schließen eine Fläche ein. D diese Fläche nicht nur von Gerdenstücken egrenzt wird, kommen wir mit unserem isherigen Wissen nicht weiter. Wir könnten die Fläche er mithilfe einfcher Figuren schätzen. Es ieten sich Rechtecke n: Wir mchen lle Streifen gleich reit (Breite d) und so hoch, dss ihre linke Knte genu is n den Grphen reicht. Dmit ist der gesuchte Flächeninhlt ungefähr gleich der Summe us llen diesen Rechtecksstreifenflächen. Leider ist die Aschätzung nicht sehr genu mnche Streifen erwischen zu viel Fläche, mnche zu wenig im Vergleich mit der Kurvenlinie. Ein Veresserungsvorschlg? Je dünner die Streifen sind (je kleiner wir d wählen), und je mehr Streifen wir deshl zeichnen, desto genuer ist die Aschätzung: Jetzt ist der Fehler fst nicht mehr sichtr! d Streifenflächen = d f gesuchte Fläche Wir führen folgende Schreiweise ein Fläche unter f zwischen und =: Mchen wir d immer kleiner und kleiner, lssen es lso 'gegen Null' gehen, wird die Summe der Rechtecksstreifenflächen der gesuchten Fläche immer ähnlicher. Diese Erkenntnis sieht in cooler Mthe-Schreiweise so us: d f = d f Dies ist ds Integrl üer (die Integrtionsvrile) von (den Integrlgrenzen) is der Funktion f(). Ds neue Zeichen, ds wie ein üerlnges S geschrieen wird, soll uns drn erinnern, dss hier sehr sehr viele sehr sehr kleine (infinitesimle) Summnden ufddiert werden. Es ist er trotzdem ls ein gnz HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 / 8

4 hrmloses Summenzeichen zu verstehen. Es ist nichts Geheimnisvolles drn. (Flls eim Integrlzeichen keine Grenzen stehen, meint mn immer den gesmten Werteereich der Vrile.) Wir hlten uns n die Rechenregeln für reelle Zhlen: - ist der Grph unterhl der -Achse, rechnen wir die Rechteckshöhe negtiv, d f()< ist - liegt links von, d.h. ist kleiner ls, müssen wir negtive d-werte wählen, um von zu zu gelngen. Folgerungen d f = d const = const ( ) d f = d f d f = d f d f g = d f C = d f d g d f + d f C Die Breite der Fläche ist Null, lso ist uch ihr Inhlt gleich Null Bei konstnte Funktion ist die gesuchte Fläche ein Rechteck Durch ds Vertuschen der Integrtionsgrenzen ekommen lle d ds entgegengesetzte Vorzeichen Sind lle Rechtecke α-ml so hoch, ist die Fläche α-ml so groß Ds Pluszeichen setzt immer zwei Streifenhöhen üereinnder Die Fläche wird in zwei Teile geteilt. (Zustzinfo: der Wert C muss gr nicht zwischen und liegen) Ist Dir ufgefllen, dss wir jede Menge Eigenschften des Integrls kennen, ohne dss wir wissen, wie mn es eigentlich prktisch erechnen knn? Deshl verrte ich Dir jetzt den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Vergrößern wir ds Integrtionsintervll rechts um einen Streifen der Breite Δ üer hinus, kommt eine Rechtecksfläche mit Inhlt f()δ zur Gesmtfläche hinzu. (Anlog: eginnen wir links erst n der Stelle +Δ mit der Summtion, kommt eine Rechtecksfläche mit Inhlt f()δ von der Gesmtfläche weg.) Dmit erhlten wir zwr keine Informtion üer ds Integrl selst, jedoch üer die Änderung seines Wertes. Und d erinnern wir uns wer eschreit die Änderung einer Funktion? Richtig, die Aleitung! Fläche = Fläche Fläche lim = lim f = f d f = f F = f ( und nlog ergäe sich d f = f ) Und ws edeutet F() = f, woei wir jetzt dieses gnze Integrl mit F ezeichnet hen? Doch HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 4 / 8

5 genu die Ttsche, dss f die Aleitung der Funktion F ist. Umgekehrt siehe oen: F ist eine Stmmfunktion von f! Jetzt wissen wir endlich, wie mn Integrle erechnet mn sucht Stmmfunktionen! Und d sich lle Stmmfunktionen nur um eine Konstnte unterscheiden können, gilt für eine elieige Stmmfunktion F von f: d f = F C Setzen wir hier = ein, erhlten wir = d f = F C zw. C= F Und jetzt knn ich Dir den erühmten Huptstz uftischen: d f = F F Der Wert des Integrls der Funktion f() üer d in den Grenzen von is ist die Differenz us dem Stmmfunktionswert n der Oergrenze minus dem entsprechenden Wert n der Untergrenze. (Bechte: 'Oergrenze' ezeichnet immer die Zhl, die im Integrl oen steht. Auch flls sie kleiner ls die Untergrenze sein sollte.) Nun ein Beispiel, n dem ich Dir gleich eine prktische Schreiweise vorführe. Wir können in der ereits gefundenen Liste der Stmmfunktionen nchschlgen: d 8 1 = 1 d [ ] = [ ] 1 = [ 4 ] 1 = 4 = 4 =1 = = = Wenn Du geüt ist, knnst Du gerne einige Zwischenschritte im Kopf usführen. Doch mit Bedcht eine üersichtliche Schreiweise mcht sich ezhlt. Die Klmmern um die Terme ei der Differenz empfehle ich Dir dringend wie leicht vergisst mn sonst, dss sich ds Minus uf den gesmten Klmmerinhlt ezieht. Noch ein Beispiel: π π dt cos(t) = dt t sin(t) = sin(t) π / = sin( π ) sin() = 1 = 1 Wenn Du schon geüt ist, knnst Du gnz kurz schreien: Ange Stmmfunktion mit Grenzen (Wert n Oergrenze) minus (Wert n Untergrenze) Vereinfchen dz 8 z z = ( z 4 z ) 1 1 = (16 7) (+1) = 15 = 1 Eigentlich sieht die Sche gnz einfch us: mn muss nur den Vorgng des 'Differenzierens' umkehren, und schon knn mn 'integrieren'. Differenzieren und Integrieren scheinen lso gleich 'schwierig' zu sein. Die Relität sieht zum Leidwesen ller Mthemtiker nders us. Während wir eim Differenzieren Regeln für lle Rechenrten (plus, minus, ml, dividiert, hoch, Verkettung) kennen und demnch lles differenzieren können ws uns unterkommt, git es diese vollständige Liste für ds Integrieren NICHT. Die Mthemtik ht nur einige Methoden entwickelt, mit denen mn Integrle UMFORMEN knn, in der Hoffnung, dss mn dnch die Stmmfunktion leichter errten (j, richtig gelesen!) knn. Universell nwendre Regeln git es leider nicht. J Leute, so trurig sieht's us. Ds Leen knn hrt sein. HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 5 / 8

6 Aer: Owohl ds Integrl für uns nur eine Methode zur Berechnung von Flächeninhlten ist, lssen sich unglulich viele Aufgen druf zurückführen. Mn integriert, wenn mn z.b. - Ds Volumen einer 1-dimensionlen Kugel wissen will - Die Länge einer gekrümmten Kurve erechnen möchte - Den Schwerpunkt komplizierter Ojekte estimmt - Ds Verhlten von Elektronen im Atomkern eschreien will - Die Ausreitung elektromgnetischer Wellen erechnet - Rketenflughnen voruserechnet - Audiodteien in MPs verwndelt - Achterhnloopings konstruiert - Autocrshtests simuliert (Ws ist der Grund: All diese Zusmmenhänge lssen sich mithilfe von Funktionen (Opertoren) eschreien, die die gleichen Recheneigenschften esitzen wie unser simples Flächenintegrl. Und deshl knn mn ds Flächenintegrlwissen uch ei diesen komplizierten Aufgen nwenden.) Computerhilfe (uch der Computer kennt nicht mehr Methoden zum Auffinden von Stmmfunktionen ls der Mensch, er eherrscht er zusätzlich numerische Methoden um den Zhlenwertes des Integrls zu finden) Zum Sprchgeruch: früher (und unsere Schulücher tun es immer noch) nnnte mn die Stmmfunktion 'ds unestimmte Integrl' und unser Integrl 'estimmtes Integrl', woher der Befehl 'definite integrl' in Mim stmmt. Eine Stmmfunktion: Eigenmth: Mim: integrl(^-8^) integrte( ^-8*^,); Ein Integrl: Eigenmth: defint( ^-8^,,1,) Mim: lgerisch: integrte( ^-8*^,,1,); numerisch: defint( ^-8*^,,1,); HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 6 / 8

7 Integrtionsmethoden 1.) Prtilruchzerlegung Bei rtionlen Funktionen knn mn den Bruch mit Glück in eine einfchere Form ringen: Mn fktorisiert den Nenner und setzt die Funktion us Brüchen mit diesen Teilnennern zusmmen, ihr Zähler ist eine Zhl. d 4 = d 1 = d A B C 1 = d 4 1 = = [ ln 4ln 1 ] In der Schule wenig wichtig, für 'echte' Mthemtiker er tägliches Brot. Lernen wir vermutlich nicht..) Prtielle Integrtion Wir erinnern uns n die Produktregel des Differenzierens, formen sie um und integrieren uf eiden Seiten: fg '= f ' g fg' f ' g= fg ' fg' d f ' g= d fg d fg ' d f ' g= fg d fg ' Wir sehen links den Aleitungsstrich ei f, rechts ei g. Wir hen die Aleitung uf g üergewälzt. Wnn ist die Methode möglicherweise sinnvoll: Wenn mn ei einem Produkt von einem Fktor leicht die Stmmfunktion findet und der ndere Fktor eim Differenzieren nicht komplizierter wird. Ich merke mir diese Methode gern so: d F ' g = Fg d Fg ' Wir wollen sin() integrieren. Sinus knn ich leicht integrieren, uch. Aer wird eim Differenzieren einfcher deshl ist ds mein Kndidt für die Funktion g d sin = d cos ' = cos = [sin cos ] d cos ' = cos d cos =. Sustitution Mnchml hilft ein Wechsel der Integrtionsvrile (Physiklisch gesehen: mn durchläuft ds Intervll von is mit einer nderen Geschwindigkeit). Wir ersetzen durch eine Funktion t(). t d f = t dt d dt f t Du siehst eim rechten Integrl den Kehrwert der Aleitung t'. Drus folgt: Diese Methode ist sinnvoll - wenn die Aleitung t' sehr einfch ist - wenn die Aleitung t' einen lästigen Term des Integrnden wegkürzen knn HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 7 / 8

8 8 d 4 4 =? Wir wählen den Inhlt der Wurzel ls neue Funktion, d seine Aleitung den Zähler verschwinden lssen wird. t= 4 dt = d d dt = 1 und die Grenzen werden =4 t=1 wenn =8 t=6 8 d = 1 dt 1 t 6 = 1 dt 1 1 t 6 = 1 1 dt t 1 = 1 t = t 6 1 = 6 1 ODER wir sustituieren m Schluss wieder zurück und setzen die ursprünglichen Grenzen ein. Dmit erspren wir uns ds Umrechnen der Integrlgrenzen. 8 d 4 t 8 4 = t 4 dt 1 t =... = 1 1 t t 8 = t t 8 t 4 t 4 = = 6 1 Folgerungen d f = C C C d f = C C d f C Verschieung der Vrile 5 4 d f C Sklierung der Vrile d = d 7 d 4 = d Die Formel für die Verschieung ist oft ruchr und unmittelr einsichtig. Aer wrum entsteht ei der Sklierung der Fktor C vor dem Integrl? Gnz einfch weil mit einer Vergrößerung von uch eine Vergrößerung der Rechtecksstreifenreite d einhergeht. Ds C kommt lso von dc her. 4. Reihenentwicklung Diese Methode erfreut sich in der Physik größter Belietheit. Mn entwickelt dei den Integrnden in eine Tylor- oder Lurin-Reihe und integriert diese ls Summe von Potenzen. Diese Reihenentwicklungen stehen er nicht mehr im Lehrpln, deshl etrifft Dich ds nicht. 5. So ds wr's Außer einigen Speziltricks für gnz esondere Fälle hst Du lle Methoden kennengelernt. Ein nettes Speziltrickeispiel (nur zum Anstunen, nicht zum Auswendiglernen): Wir wollen sin von is π integrieren (Querverindung zur Physik: Leistung des Wechselstroms). Weil in diesem Intervll Sinus und Cosinus, die sich j nur durch eine Verschieung unterscheiden, genu ein Ml enthlten sind, ergeen die Integrle üer ihr Qudrt den selen Wert. Oder die Hälfte ihrer Summe. Aer die Summe von sin und cos kennen wir, die ist nch Pythgors 1. dsin = 1 d sin cos = 1 d 1 = 1 = Oft erleichtert ds Ausnützen der Symmetrie einer Funktion ds Rechnen eträchtlich! HIB Wien --- Integrieren v1.1 urn 1/11 8 / 8

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