Mathematik I. (für Informatiker, ET und IK) Oliver Ernst. Wintersemester 2013/14. Professur Numerische Mathematik

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1 Mthemtik I (für Informtiker, ET und IK) Oliver Ernst Professur Numerische Mthemtik Wintersemester 2013/14

2 Inhlt 1 Vorbemerkungen 2 Grundlgen 3 Folgen und Reihen 4 Grenzwerte, Stetigkeit und Beispiele reeller Funktionen 5 Differentilrechnung in einer Vriblen 6 Integrlrechnung in einer Vriblen Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

3 Inhlt 1 Vorbemerkungen 2 Grundlgen 3 Folgen und Reihen 4 Grenzwerte, Stetigkeit und Beispiele reeller Funktionen 5 Differentilrechnung in einer Vriblen 6 Integrlrechnung in einer Vriblen 6.1 Der Riemnnsche Integrlbegriff 6.2 Integrtionstechniken 6.3 Uneigentliche Integrle 6.4 Volumenberechnung bei Rottionskörpern 6.5 Qudrturformeln ein erster Einblick Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

4 Der Riemnnsche Integrlbegriff Die Integrlrechnung bildet ds Gegenstück zur Differentilrechnung. Sie wurde prllel zu dieser von I. Newton und G. W. v. Leibniz entwickelt und später von A. L. Cuchy präzise gefsst. Der hier vorgestellte Integrlbegriff geht (zumindest sinngemäß) uf den deutschen Mthemtiker Bernhrd Riemnn ( ) zurück. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

5 Der Riemnnsche Integrlbegriff Motivierende Problemstellung Gesucht ist der Flächeninhlt zwischen dem Grphen einer beschränkten Funktion f : [, b] R und der x-achse: f b Im Allgemeinen ist die Fläche krummlinig begrenzt; Formeln für elementre geometrische Objekte scheiden lso zur Lösung us. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

6 Der Riemnnsche Integrlbegriff Lösungsstrtegie Ds Problem ist einfch für stückweise konstnte Funktionen, d sich dnn der Flächeninhlt us Rechtecken zusmmensetzt. Dher schchtelt mn die Fläche unter dem Grphen von f von oben und unten mit Rechteckflächen ein und gewinnt so obere und untere Schrnken. Können sich die gruen und grünen Rechteckflächen von oben und unten beliebig weit derselben Schrnke nähern, so ist diese die gesuchte Fläche. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

7 Der Riemnnsche Integrlbegriff Integrl für Treppenfunktionen Wir beschreiben diesen Zugng nun mthemtisch exkt. Definition 6.1 Wir nennen t : [, b] R eine Treppenfunktion, wenn es eine Zerlegung = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b des Intervlls [, b] gibt, so dss t uf jedem der (offenen) Teilintervlle (x i, x i+1 ) konstnt ist, d. h. t(x) = ξ i für lle x mit x i < x < x i+1. Für eine solche Treppenfunktion t setzt mn n 1 t(x) dx := ξ i (x i+1 x i ). i=0 Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

8 Der Riemnnsche Integrlbegriff Geometrische Interprettion x 0 x 1 x 4 x 2 x 3 x 5 x 6 ξ 1 ξ 2 ξ ξ 4 ξ 5 + ξ 0 t(x) dx entspricht dem gewichteten Flächeninhlt zwischen dem Grph von t und der x-achse. Dbei werden Flächen oberhlb der x Achse positiv, Flächen unterhlb der x-achse negtiv gezählt. Berechnen Sie 1 sgn(x) dx (vgl. S. 195). 2 Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

9 Der Riemnnsche Integrlbegriff Ober- und Unterintegrl Zu jeder beschränkten Funktion f : [, b] R können wir nun zwei Zhlen definieren, nämlich ds Oberintegrl { } b Ī f := inf t(x) dx : t Treppenfunktion uf [, b] mit t f und ds Unterintegrl { } b I f := sup t(x) dx : t Treppenfunktion uf [, b] mit t f. Diese beiden Größen helfen uns, die Einschchtelung der Fläche unter dem Grphen von f mit Rechteckflächen mthemtisch zu erfssen. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

10 Der Riemnnsche Integrlbegriff Definition Definition 6.2 (Riemnn-Integrl) Eine uf [, b] beschränkte Funktion f heißt uf [, b] Riemnn-integrierbr, flls ds Ober- und ds Unterintegrl übereinstimmen, d. h. flls Īf = I f =: I. Der gemeinsme Wert wird bestimmtes Riemnn-Integrl von f über [, b] gennnt und mit f(x) dx bezeichnet. heißt untere und b obere Integrtionsgrenze, und [, b] wird Integrtionsintervll gennnt. x heißt Integrtionsvrible und f(x) Integrnd. Konventionen f(x) dx := 0 und b f(x) dx := f(x) dx (flls < b). Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

11 Der Riemnnsche Integrlbegriff Rechenregeln I Definition 6.2 liefert zwr kum Anhltspunkte für die konkrete Berechnung von Integrlen, ber bereits einige Rechenregeln: Stz 6.3 (Rechenregeln für die Integrtion I) Sind f, g : [, b] R integrierbr, so uch mx{f, g}, min{f, g}, f, f ± g und fg. Es gelten die folgenden Integrtionsregeln: (f ± g)(x) dx = (λf)(x) dx = λ f(x) dx ± g(x) dx, f(x) dx für lle λ R. Mchen Sie sich eine der Formeln zumindest für Treppen- funktionen klr. (Die Vererbung der Eigenschften n integrierbre Funktionen soll hier nicht diskutiert werden.) Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

12 Der Riemnnsche Integrlbegriff Rechenregeln II Stz 6.4 (Rechenregeln für die Integrtion II) Seien f, g : [, b] R integrierbr. Dnn gilt f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Flls f g uf (, b) gilt, so folgt f(x) dx g(x) dx. Insbesondere folgt us c f(x) bzw. f(x) C für lle x (, b) : Außerdem gilt c(b ) f(x) dx bzw. f(x) dx für lle c (, b). f(x) dx C(b ). f(x) dx. Interpretieren Sie einige dieser Aussgen geometrisch. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

13 Der Riemnnsche Integrlbegriff Klssen integrierbrer Funktionen Stz 6.5 Ist f uf [, b] stetig oder monoton, so ist f uch integrierbr uf [, b]. Ntürlich gehört ber bei weitem nicht jede uf [, b] integrierbre Funktion in eine dieser beiden Klssen. Aus dem Zwischenwertstz für stetige Funktionen folgt desweiteren: Stz 6.6 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Ist f : [, b] R stetig, dnn gibt es ein ξ [, b] mit f(x) dx = f(ξ) (b ). Interpretieren Sie diese Aussge geometrisch. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

14 Der Riemnnsche Integrlbegriff Stmmfunktionen und der HDI Bislng hben sind wir noch gr nicht druf eingegngen, wie mn denn Integrle konkret berechnet. Dzu benötigen wir den Begriff der Stmmfunktion sowie den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Letzterer besgt, dss ds Integrieren unter gewissen Vorussetzungen und sehr grob gesprochen die Umkehrung des Differenzierens ist. Ds Ergebnis ist so berühmt und wichtig, dss es sogr eine Vertonung ls Kntte gibt. 2 2 (F. Wille, ). Eine schöne Aufführung von Würzburger Gymnsisten inclusive nimierter Skizzen finden Sie unter Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

15 Der Riemnnsche Integrlbegriff Stmmfunktionen Definition 6.7 Sei f : [, b] R eine reelle Funktion. Mn nennt eine differenzierbre Funktion F : [, b] R eine Stmmfunktion von f, wenn F (x) = f(x) für lle x [, b]. Beispiel: F (x) = x 2 ist Stmmfunktion von f(x) = 2x, denn F = f. Können Sie Stmmfunktionen zu f(x) = e x und g(x) = cos x finden? Vielleicht sogr mehrere? Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

16 Der Riemnnsche Integrlbegriff Integrtionskonstnten und unbestimmtes Integrl Sind F 1 und F 2 Stmmfunktionen von f, dnn gibt es eine Konstnte c R mit F 1 (x) = F 2 (x) + c für lle x [, b]. (Wrum?) Stmmfunktionen sind lso bis uf Konstnten eindeutig bestimmt. Stmmfunktionen werden uch unbestimmte Integrle gennnt und häufig in der Form F (x) = f(x) dx + c geschrieben. Die Konstnte c heißt Integrtionskonstnte. Ws verstehen wir lso unter den unbestimmten Integrlen e x dx und cos x dx? Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

17 Der Riemnnsche Integrlbegriff Huptstz I Zu stetigen Funktionen erhält mn eine Stmmfunktion wie folgt: Stz 6.8 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, Teil I) Sei f : [, b] R stetig, dnn ist die durch F : [, b] R, x x f(s) ds definierte Funktion F in [, b] differenzierbr, und es gilt F (x) = d ( x ) f(s) ds = f(x). dx Sämtliche Stmmfunktionen einer stetigen Funktionen sind konsequenterweise von der Burt F (x) = x f(s) ds + c. (6.1) Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

18 Der Riemnnsche Integrlbegriff Grphische Drstellung f f(x) F (x) x b Drgestellt ist eine stetige Funktion f und ihre Stmmfunktion F ls Mß der schrffierten Fläche gemäß Stz 6.8. Errbeiten Sie sich die Beweisidee nhnd der Skizze selbst. Nutzen Sie ggf. uch die Litertur oder die Huptstzkntte. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

19 Der Riemnnsche Integrlbegriff Stmmfunktionen spezieller Funktionen Wegen der Beziehung F = f liegt für die Bestimmung von Stmmfunktionen zunächst ds Rückwärtslesen der Tbellen für Ableitungen (S. 274 f.) nhe. Lernen Sie m besten folgende Stmmfunktionen elementrer Funktionen uswendig: f F Bemerkungen x n x n+1 /(n + 1) n 1 1/x ln x x 0 e x e x / 0 ln x x ln x x x > 0 sin x cos x cos x sin x Prüfen Sie die Beispiele uf ihre Richtigkeit. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

20 Der Riemnnsche Integrlbegriff Regeln für Stmmfunktionen Aus den Regeln für Ableitungen ergeben sich schließlich folgende Regeln für Stmmfunktionen (bis uf Integrtionskonstnten): λf(x) dx = λ f(x) dx (λ R), (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. Es ist nzumerken, dss die Berechnung von Stmmfunktionen im Allgemeinen viel schwieriger ist ls Differenzieren. Dher gibt es z. T. Hunderte Seiten dicke Integrltfeln. Deren Bedeutung ht sich llerdings in den letzten Jhrzehnten mit der Verfügbrkeit von PC und numerischen Verfhren deutlich reltiviert. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

21 Der Riemnnsche Integrlbegriff Huptstz II Kommen wir nun zur konkreten Berechnung der Integrle über Stmmfunktionen: Stz 6.9 (HDI, Teil II) Sei f : [, b] R stetig und F eine (beliebige) Stmmfunktion von f, dnn gilt: f(x) dx = F (x) b := F (b) F (). Mn mche sich klr, wrum Stz 6.9 us (6.1) und Stz 6.8 folgt. Mn berechne 2 1 dx x mit Hilfe von Stz 6.9. Mn berechne d x dx 1 te2t dt. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

23 Integrtionstechniken Prtielle Integrtion Wir nennen eine Funktion f : D f R stetig differenzierbr, wenn sie uf D f differenzierbr, und die Ableitung f stetig ist. Wir wollen hier wenigstens einige elementre Techniken zur Bestimmung von Integrlen/Stmmfunktionen behndeln. Der folgende Stz entsteht z. B. durch Integrieren der Produktregel: Stz 6.10 (Prtielle Integrtion) Seien f, g : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gelten: f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx (6.2) und f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b b f(x)g (x) dx. (6.3) Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

24 Integrtionstechniken Beispiel: xe x dx = xe x e x dx = (x 1)e x + c. Hierbei wurde in (6.2) f (x) = e x und g(x) = x gewählt, d. h. f(x) = e x und g (x) = 1. Ds Beispiel ist typisch: Bei Produkten von Polynomen mit trigonometrischen Funktionen (sin, cos, exp) ist die prtielle Integrtion Mittel der Whl. Mn berechne folgende Integrle mittels prtieller Integrtion: π x sin x dx, 0 ln x dx, cos 2 x dx. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

25 Integrtionstechniken Durch Integrieren der Kettenregel entsteht folgender Stz: Stz 6.11 (Substitutionsregel) Sei I R ein Intervll, f : I R stetig und ϕ : [, b] I stetig differenzierbr. Dnn gelten: f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = f(x) dx (6.4) und f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x) dx. (6.5) Die Formeln (6.4) und (6.5) merken sich besonders gut in Leibniz-Nottion, wenn mn x = ϕ(t) und dx = ϕ (t) dt setzt. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

26 Integrtionstechniken Beispiele Substituiert mn in 2 x = ϕ(t) = ln t, so gilt ϕ (t) = 1 t 2 1 cos(ln t) t dx = ln cos(ln(t)) t dt und dher mit (6.5): cos x dx = sin x ln 2 0 = sin(ln 2) In Leibniz-Nottion würde mn x = ln t schreiben und dx dt = 1 t in dt = t dx umformen. Einsetzen ins Integrl liefert dnn ebenso 2 1 cos(ln t) t dt = ln 2 0 cos x t t dx =... = sin(ln 2). Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

27 Integrtionstechniken Beispiele Entscheidend ist ds Erkennen der Struktur f(ϕ(t))ϕ (t). Hben Sie diese Struktur einml erfsst, führt die Substitution uch zum Ziel. Zusätzliche Konstnten im Integrnden sind wegen der Linerität des Integrls unproblemtisch. Besonders einfch sind Integrnden der Form f(t + b). Kennt mn eine Stmmfunktion von f, führt die Substitution x = t + b zum Ziel. Berechnen Sie te t2 +1 dt und t+1 dt. Welche Substitutionen sind in folgenden Integrlen zweckmäßig: sin(2t 5) dt, t 17 cos(t2 +4) dt, e 1+ t t dt, dt t 2 + 2t + 2? Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

28 Integrtionstechniken Beispiele Für eine invertierbre Funktion ϕ liefert (6.5) desweiteren f(x) dx = ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Auch dies lässt sich geschickt nutzen. Mit x = ϕ(t) = sin t erhält mn für 1 < b 1 zum Beispiel 1 x2 dx = rcsin b rcsin 1 sin 2 t cos t dt = rcsin b rcsin cos 2 t dt. Ds letztere Integrl htten wir bereits uf S. 343 usgewertet. Es ergibt sich 1 x2 dx = 1 2 (x + sin x cos x) rcsin b. rcsin Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

29 Integrtionstechniken Weitere nützliche Regeln Seien f : [, b] R stetig differenzierbr, r R (r 1) und f r uf [, b] definiert. Dnn gilt f (x)(f(x)) r dx = 1 r + 1 (f(x))r+1 + c. Sei f : [, b] R stetig differenzierbr mit f(x) 0 für lle x [, b]. Dnn gilt f (x) dx = ln( f(x) ) + c. f(x) Mchen Sie sich die beiden Aussgen mit Hilfe geeigneter Substitutionen klr. Berechnen Sie sin 3 (x) cos(x) dx und 3 2 dx x ln x. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

30 Integrtionstechniken Integrtion rtionler Funktionen Erinnerung: Rtionle Funktionen sind von der Form f(x) = p(x) q(x), wobei p und q Polynome sind. Flls grd(p) grd(q) erhält mn mittels Polynomdivision eine Zerlegung f(x) = p(x) t(x) = s(x) + q(x) q(x), mit Polynomen s und t, wobei grd(t) < grd(q). Somit gilt f(x) dx = p(x) q(x) dx = s(x) dx + t(x) q(x) dx. Die Integrtion von s ist einfch, dher konzentrieren wir uns uf den echt gebrochen rtionlen Anteil t q. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

31 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung Für die Integrtion des echt gebrochen rtionlen Anteils benötigt mn eine sogennnte Prtilbruchzerlegung. Dfür beschfft mn sich zunächst die Fktorisierung des Nennerpolynoms q(x) = x n x n k m ( = n (x λ j ) µj x 2 ) νj + p j x + q j, (6.6) j=1 (wobei n =grd(q) und k j=1 µ j + 2 m j=1 ν j = n, λ j und (p j, q j ) prweise verschieden, vgl. Stz 2.29 und S. 222). Für die Integrtion noch günstiger schreibt mn (6.6) mittels qudrtischer Ergänzung ls: k m ( q(x) = n (x λ j ) µj (x αj ) 2 ) νj + β j j=1 j=1 j=1 Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

32 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung Der folgende Stz hilft uns nun, g(x) := t(x) q(x) Struktur zu bringen: Stz 6.12 in eine für die Integrtion geeignete Unter diesen Vorussetzungen und mit diesen Bezeichnungen gibt es eindeutig bestimmte reelle Zhlen η j,t (j = 1, 2,..., k, t = 1, 2,..., µ j ) σ j,s (j = 1, 2,..., l, s = 1, 2,..., ν j ) τ j,s (j = 1, 2,..., l, s = 1, 2,..., ν j ), so dss g die folgende Prtilbruchzerlegung besitzt: g(x) = µ k j j=1 t=1 η j,t l (x λ j ) t + ν j j=1 s=1 σ j,s + τ j,s x ((x α j ) 2 + βj 2. (6.7) )s Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

33 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung Möglicherweise finden Sie folgende Drstellung von (6.7) übersichtlicher: g(x) = η 1,1 η 1,2 + x λ 1 (x λ 1 ) η 1,µ1 (x λ 1 ) µ η k,1 η k,2 + x λ k (x λ k ) η k,µk (x λ k ) µ k + σ 1,1 + τ 1,1 x σ 1,2 + τ 1,2 x (x α 1 ) 2 + β1 2 + ((x α 1 ) 2 + β σ 1,ν 1 + τ 1,ν1 x )2 ((x α 1 ) 2 + β1 2)ν σ l,1 + τ l,1 x (x α l ) 2 + β 2 l + σ l,2 + τ l,2 x ((x α l ) 2 + β 2 l ) σ l,ν l + τ l,νl x ((x α l ) 2 + β 2 l )ν l Im konkreten Beispiel knn mn uf die Doppelindizierung verzichten und für die Unbeknnten η j,t, σ j,s und τ j,s eingängigere Bezeichnungen (z. B. A, B, C,...) wählen. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

34 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung Bei der Konstruktion einer Prtilbruchzerlegung wählt mn lso den pssenden Anstz nch Stz 6.12 und muss dnn die Koeffizienten η j,t, σ j,s und τ j,s bestimmen. Dfür multipliziert mn beide Seiten von (6.7) mit q(x) und gleicht dnn die Koeffizienten der links und rechts stehenden Polynome b. Eine noch günstigere Vrinte ist häufig, nch Multipliktion mit q(x) genu n verschiedene Werte für x einzusetzen und ds entstehende linere Gleichungssystem zu lösen. Eine besonders günstige Whl für die einzusetzenden Werte sind dbei die Nullstellen λ j von q. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

35 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung Am leichtesten erlernt mn die Prtilbruchzerlegung nhnd von Beispielen: Mn bestimme eine Prtilbruchzerlegung von f(x) = 5x2 37x + 54 x 3 6x 2 + 9x. Welche Ansätze sind für die Prtilbruchzerlegungen folgender Funktionen zu wählen? 42 g(x) = x 3 (x + 1) 2, h(x) = 1 (x + 1) 2 (x 2 + 1). Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

36 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung: Benötigte Stmmfunktionen Die Funktionen us (6.7) besitzen folgende Stmmfunktionen: f(x) 1 F (x) = f(x) dx x λ ln( x λ ) λ R 1 1 (x λ) k k (x α) 2 +β 2 x 1 (x α) 2 +β 2 2 ln ( (x α) 2 +β 2) + α β 1 k N, k > 1 (x λ) ( k 1 ) β rctn x α β α, β R, β 0 x α rctn β Die verbleibenden Integrle müssen rekursiv berechnet werden: x dx ((x α) 2 +β 2 ) k = 1 2(k 1) ((x α) 2 +β 2 ) k 1 + α dx ((x α) 2 +β 2 ) k, dx ((x α) 2 +β 2 ) k = x α 2k 3 dx + 2(k 1)β 2 ((x α) 2 +β 2 k 1 ) 2(k 1)β 2 ((x α) 2 +β 2 ) k 1 für k N, k > 1. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

37 Integrtionstechniken Prtilbruchzerlegung Wir fssen die Schritte zur Integrtion einer rtionlen Funktion f(x) = p(x) q(x) noch einml zusmmen: Splte mittels Polynomdivision den echt gebrochen rtionlen Anteil b: f(x) = s(x) + t(x) q(x) mit grd(t) < grd(q) Berechne für g(x) = t(x) q(x) eine Prtilbruchzerlegung und integriere die entstehenden Summnden mit Hilfe der Formeln und Tbellen uf Seite 355. Ds verbleibende Integrl über s(x) ist einfch. Mn bestimme uf diese Weise 2x 4 12x x 2 37x + 54 x 3 6x 2 + 9x dx. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

39 Uneigentliche Integrle Bisher können wir nur beschränkte Funktionen und beschränkte Intervlle behndeln. Wir erweitern den Integrlbegriff dher ein wenig. Definition 6.13 (Uneigentliches Integrl) Sei b R { } und f : [, b) R uf jedem Intervll [, r] mit < r < b, Riemnn-integrierbr. Flls r lim r b f(x) dx =: f(x) dx existiert, so heißt f uf [, b) uneigentlich Riemnn-integrierbr. Mn sgt uch, f(x) dx ist konvergent. Anlog für f(, b] R oder f : (, b) R mit R { }. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

40 Uneigentliche Integrle Von besonderem Interesse sind häufig folgende Fälle: der Integrnd ist bei Annäherung n eine der Integrtionsgrenzen unbeschränkt (links), ds Integrtionsintervll ist unbeschränkt (rechts). f f r b r Bestimmen Sie 1 dx x 2 sowie 42 0 dx x. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

41 Uneigentliche Integrle Weitere Beispiele Für r > 1 und > 0 gilt Dgegen existiert dx x r dx x r = 1 (r 1) r 1. für r 1 nicht. In der Stochstik benötigt mn häufig exp( x 2 ) dx = π. Zu welchem Ergebnis us dem Kpitel Reihen erkennen Sie im ersten Beispiel Prllelen? Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

43 Volumenberechnung bei Rottionskörpern Für die Berechnung krummflächig berndeter Körper benötigt mn eigentlich mehrdimensionle Integrle. Bei Körpern, die durch Rottion eines Funktionsgrphen um die x-achse entstehen, reichen jedoch eindimensionle Integrle us. Mn nennt solche Körper Rottionskörper. f dx b x Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

44 Volumenberechnung bei Rottionskörpern Herleitung der Volumenformel in Leibniz-Nottion Die Größe dx wird ls infinitesiml kleine Zhl interpretiert; ds Integrl ls Summe (bechte stilistische Ähnlichkeit von und S ). Für ds Volumen der gru mrkierte Scheibe gilt für sehr kleine dx V Scheibe π[f(x)] 2 dx. Dmit ergibt sich für ds Volumen V K des Rottionskörpers V K = π [f(x)] 2 dx (Ntürlich steckt hinter dieser Herleitung eigentlich wieder ein Grenzwertprozess.) Welches Volumen ht der Körper, der durch Rottion des Grphen von f : [1, r] R, f(x) = 1 x, um die x-achse entsteht? Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

46 Qudrturformeln Nur die wenigsten Integrle knn mn geschlossen uswerten; in den llermeisten Fällen ist mn uf numerische Näherungsverfhren sogennnte Qudrturverfhren ngewiesen. Prominente Integrle, die sich nchweislich nicht durch elementre Stmmfunktionen bestimmen lssen, sind zum Beispiel Φ(x) := 2 x e s2 ds (x R). π Die entstehende Funktion x Φ(x) heißt Fehlerfunktion. 0 Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

47 Qudrturformeln Als Vorbetrchtung ersetzen wir eine stetige Funktion f : [, b] R näherungsweise durch ihre Seknte s durch (, f()) und (b, f(b)). s f b Dmit erhlten wir die Näherungsformel f(x) dx 1 (b )(f() + f(b)). (6.8) 2 Schon nschulich wird klr, dss diese Formel im Allgemeinen nur sehr grobe Näherungen liefern knn. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

48 Qudrturformeln Wesentlich bessere Ergebnisse erhält mn ber, wenn mn [, b] in N gleichlnge Teilintervlle [x i, x i+1 ] unterteilt mit x i = + ih (i = 0, 1,..., N) mit h = (b )/N. und die einfche Trpezregel (6.8) über jedem Teilintervll nwendet: f(x) dx = h N h (f(x i) + f(x i+1 )) (6.9) [ 1 2 f(x 0)+f(x 1 )+f(x 2 )+...+f(x N 1 )+ 1 ] 2 f(x N). i=0 Wir bezeichnen den Ausdruck uf der rechten Seite ls Trpezsumme T f (h) und die Formel (6.9) ls zusmmengesetzte Trpezregel. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

49 Qudrturformeln Alterntiv knn mn f lokl uch durch qudrtische Polynome ersetzen, und ddurch eine noch bessere Approximtion erreichen: Dieser Anstz führt letztlich uf die zusmmengesetzte Simpsonregel: f(x) dx h 3 [f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+...+4f(x N 1 )+f(x N )]. Dbei ist N gerde zu wählen. Den Term uf der rechten Seite bezeichnen wir mit S f (h). Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

50 Qudrturformeln Ntürlich will mn wissen, wie groß der resultierende Fehler bei Verwendung einer Qudrturformel ist. Dbei hilft uns: Stz 6.14 (Qudrturfehler Trpez- und Simpsonregel) Ist f uf [, b] zweiml stetig differenzierbr, dnn gilt f(x) dx T f (h) b h 2 mx 12 f (x). x b Ist f uf [, b] vierml stetig differenzierbr, dnn gilt f(x) dx S f (h) b 180 h4 mx f (4) (x). x b Welche der beiden Regeln ist für genügend kleine h genuer? Approximieren Sie ein beknntes Integrl Ihrer Whl mit beiden Qudrturformeln für mehrere geeignete Werte von h. Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370

51 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nch Abschluss der Übungen/Selbststudium): den Begriff des Riemnn-Integrierbrkeit tiefgreifend verstnden hben, den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung beherrschen und Integrle mit Hilfe der Stmmfunktion berechnen können, die Stmmfunktionen zu den gängigen elementren Funktionen kennen (m besten uswendig), einige Integrtionstechniken sicher nwenden können (prt. Integrtion, Substitution, einfche Fälle der Prtilbruchzerlegung), uneigentliche Integrle und ds Volumen von Rottionskörpern sicher berechnen können, über Qudrturformeln grob bescheidwissen. Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Nj,... Oliver Ernst (Numerische Mthemtik) Mthemtik I Winterersemester 2013/ / 370