5 Integralrechnung in einer Variablen

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1 5 Integrlrechnung in einer Vriblen 5. Der Riemnnsche Integrlbegriff Die Integrlrechnung bildet ds Gegenstück zur Differentilrechnung. Sie wurde prllel zu dieser von I. Newton und G. W. v. Leibniz entwickelt und später von A. L. Cuchy präzise gefsst. Der hier vorgestellte Integrlbegriff geht (zumindest sinngemäß) uf den deutschen Mthemtiker Bernhrd Riemnn ( ) zurück. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 292 Motivierende Problemstellung Gesucht ist der Flächeninhlt zwischen dem Grphen einer beschränkten Funktion f : [, b] R und der x Achse: f b Im Allgemeinen ist die Fläche krummlinig begrenzt; Formeln für elementre geometrische Objekte scheiden lso zur Lösung us. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 293 Lösungsstrtegie Einfch ist ds Problem für stückweise konstnte Funktionen, d sich dnn der Flächeninhlt us Rechtecken zusmmensetzt. Dher schchtelt mn die Fläche unter dem Grphen von f von oben und unten mit Rechteckflächen ein und gewinnt so obere und untere Schrnken. Können sich die gruen und grünen Rechteckflächen von oben und unten beliebig weit demselben Wert nähern, so ist dieser die gesuchte Fläche. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 294

2 Wir wollen den eben beschriebenen Zugng mthemtisch exkt beschreiben. Definition 5.. Wir nennen t : [, b] R eine Treppenfunktion, wenn es eine Zerlegung = x 0 < x < x 2 < < x n = b. des Intervlls [, b] gibt, so dss t uf jedem der (offenen) Teilintervlle (x i, x i+ ) konstnt ist, d. h. t(x) = ξ i für lle x mit x i < x < x i+. Für eine solche Treppenfunktion t setzt mn n t(x) := ξ i (x i+ x i ). i=0 Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 295 Geometrische Interprettion ξ 2 x 0 x x 4 x 2 x 3 x 5 x 6 ξ ξ 4 ξ 3 ξ 5 + ξ 0 t(x) entspricht dem gewichteten Flächeninhlt zwischen dem Grph von t und der x Achse. Dbei werden Flächen oberhlb der x Achse positiv, Flächen unterhlb der x Achse negtiv gezählt. Berechnen Sie 2 sgn(x) (vgl. S. 75). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 296 Ober- und Unterintegrl Zu jeder beschränkten Funktion f : [, b] R können wir nun zwei Zhlen definieren, nämlich ds Oberintegrl { } Ī f := inf t(x) : t Treppenfunktion uf [, b] mit t f und ds Unterintegrl { } I f := sup t(x) : t Treppenfunktion uf [, b] mit t f. Diese beiden Größen präzisieren den Gednken der Einschchtelung der Fläche unter dem Grphen von f mit Rechteckflächen. Dmit sind lle Vorrbeiten zur Definition des Integrls erledigt. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 297

3 Definition 5.2 (Riemnn-Integrl). Eine uf [, b] beschränkte Funktion f heißt uf [, b] Riemnn-integrierbr, flls ds Ober- und ds Unterintegrl übereinstimmen, d. h. flls Īf = I f =: I. Der gemeinsme Wert wird bestimmtes Riemnn-Integrl von f über [, b] gennnt und mit f(x) bezeichnet. heißt untere und b obere Integrtionsgrenze, und [, b] wird Integrtionsintervll gennnt. x heißt Integrtionsvrible und f(x) Integrnd. Konvention f(x) := 0 und b f(x) := f(x) (flls < b). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 298 Definition 5.2 liefert zwr kum Anhltspunkte für die konkrete Berechnung von Integrlen, ber bereits einige Rechenregeln: Stz 5.3 (Rechenregeln für die Integrtion I). Sind f, g : [, b] R integrierbr, so uch mx{f, g}, min{f, g}, f, f ± g und fg. Es gelten die folgenden Integrtionsregeln: (f ± g)(x) = (λf)(x) = λ f(x) ± g(x), f(x) für lle λ R. Mchen Sie sich die Formeln us Stz 5.3 zumindest für Treppenfunktionen klr. (Die Vererbung der Eigenschften n integrierbre Funktionen soll hier nicht diskutiert werden.) Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 299 Stz 5.4 (Rechenregeln für die Integrtion II). Sind f, g : [, b] R integrierbr. Dnn gilt f(x) = c f(x) + Flls f g uf (, b) gilt, so folgt f(x) c f(x) g(x). für lle c (, b). Insbesondere folgt us c f(x) bzw. f(x) C für lle x (, b) : c(b ) Außerdem gilt f(x) bzw. f(x) f(x). f(x) C(b ). Ws bedeuten diese Aussgen geometrisch? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 300

4 Ohne Beweis geben wir zwei Beispiele für Funktionsklssen n, für deren Mitglieder Integrierbrkeit immer gesichert ist. Stz 5.5. Ist f stetig uf [, b], so ist f uch integrierbr uf [, b]. Stz 5.6. Ist f monoton uf [, b], so ist f uch integrierbr uf [, b]. Ntürlich gehört ber bei weitem nicht jede uf [, b] integrierbre Funktion in eine dieser beiden Klssen. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 30 Für stetige Funktionen gilt desweiteren: Stz 5.7 (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Ist f : [, b] R stetig, dnn gibt es ein ξ [, b] mit f(x) = f(ξ) (b ). Ws bedeutet diese Aussge geometrisch? Der Beweis von Stz 5.7 beruht uf einer Anwendung des Zwischenwertstzes uf eine Funktion vom Typ y y (b ) uf einem geeigneten Intervll. Führen Sie dieses Argument us. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg Stmmfunktionen und der HDI Bislng hben sind wir noch gr nicht druf eingegngen, wie mn denn Integrle konkret berechnet. Dzu benötigen wir den Begriff der Stmmfunktion sowie den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Letzterer besgt, dss ds Integrieren unter gewissen Vorussetzungen und grob gesprochen eine Art Umkehrung des Differenzierens ist. Ds Ergebnis ist so berühmt und wichtig, dss es sogr eine Vertonung ls Kntte dvon gibt (F. Wille, ). Eine schöne Aufführung von Würzburger Gymnsisten inclusive nimierter Skizzen finden Sie unter Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 303

5 Definition 5.8 (Stmmfunktion). Sei f : [, b] R eine reelle Funktion. Mn nennt eine differenzierbre Funktion F : [, b] R eine Stmmfunktion von f, wenn F (x) = f(x) für lle x [, b]. Beispiel: F (x) = x 2 ist Stmmfunktion von f(x) = 2x, denn F = f. Sind F und F 2 Stmmfunktionen von f, dnn gibt es eine Konstnte c R mit F (x) = F 2 (x) + c für lle x [, b]. (Wrum?) Stmmfunktionen sind lso bis uf Konstnten eindeutig bestimmt. Stmmfunktionen werden uch unbestimmte Integrle gennnt und häufig in der Form F (x) = f(x) + c geschrieben. Die Konstnte c heißt Integrtionskonstnte. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 304 Zu stetigen Funktionen erhält mn eine Stmmfunktion wie folgt: Stz 5.9 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung, Teil I). Sei f : [, b] R stetig, dnn ist die durch F : [, b] R, x x f(s) ds definierte Funktion F in [, b] differenzierbr, und es gilt F (x) = d ( x ) f(s) ds = f(x). Sämtliche Stmmfunktionen einer stetigen Funktionen sind konsequenterweise von der Burt F (x) = x f(s) ds + c. () Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 305 Grphische Drstellung f(x) f F (x) x b Drgestellt ist eine stetige Funktion f und ihre Stmmfunktion F gemäß Stz 5.9 ls Mß der schrffierten Fläche. Errbeiten Sie sich die Beweisidee nhnd der Skizze selbst. Nutzen Sie ggf. uch die Litertur oder die Huptstzkntte. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 306

6 Stmmfunktionen spezieller Funktionen Wegen der Beziehung F = f liegt für die Bestimmung von Stmmfunktionen zunächst ds Rückwärtslesen der Tbellen für Ableitungen (S. 248 f.) nhe. Wir notieren weiterhin folgende Stmmfunktionen elementrer Funktionen: f F Bemerkungen x n x n+ /(n + ) n /x ln x x 0 e x e x / 0 ln x x ln x x x > 0 sin x cos x cos x sin x Prüfen Sie die Richtigkeit dieser Beispiele. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 307 Aus den Regeln für Ableitungen ergeben sich schließlich folgende Regeln für Stmmfunktionen (bis uf Integrtionskonstnten): λf(x) = λ f(x) (λ R), (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). Es ist nzumerken, dss die Berechnung von Stmmfunktionen im Allgemeinen viel schwieriger ist ls Differenzieren. Dher gibt es z. T. Hunderte Seiten dicke Integrltfeln. Deren Bedeutung ht sich llerdings in den letzten Jhrzehnten mit der Verfügbrkeit von PC und numerischen Verfhren deutlich reltiviert. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 308 Kommen wir ber nun zur konkreten Berechnung der Integrle mit Stmmfunktionen: Stz 5.0 (HDI, Teil II). Sei f : [, b] R stetig und F eine (beliebige) Stmmfunktion von f, dnn gilt: f(x) = F (x) b := F (b) F (). Mn mche sich klr, wrum Stz 5.0 us () und Stz 5.9 folgt. Mn berechne 2 Mn berechne d x te2t dt. x mit Hilfe von Stz 5.0. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 309

7 5.3 Integrtionstechniken Wir nennen eine Funktion f : D f R stetig differenzierbr, wenn sie uf D f differenzierbr, und die Ableitung f stetig ist. Dmit gerüstet wollen wir wenigstens einige elementre Techniken zur Bestimmung von Integrlen/Stmmfunktionen behndeln. Der folgende Stz bildet eine Art Umkehrung der Produktregel: Stz 5. (Prtielle Integrtion). Seien f, g : [, b] R stetig differenzierbr. Dnn gelten: f (x)g(x) = f(x)g(x) f(x)g (x) (2) und f (x)g(x) = f(x)g(x) b b f(x)g (x). (3) Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 30 Beispiel: xe x = xe x e x = (x )e x + c. Hierbei wurde in (2) f (x) = e x und g(x) = x gewählt, d. h. f(x) = e x und g (x) =. Mn berechne folgende Integrle mittels prtieller Integrtion: π 0 x sin x, ln x, cos 2 x. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 3 Durch Umkehrung der Kettenregel entsteht folgender Stz: Stz 5.2 (Substitutionsregel). Sei I R ein Intervll, f : I R stetig und ϕ : [, b] I stetig differenzierbr. Dnn gelten: f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = f(x) (4) und f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x). (5) Die Formeln (4) und (5) merken sich besonders gut in Leibniz-Nottion, wenn mn x = ϕ(t) und = ϕ (t) dt setzt. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 32

8 Beispiele Substituiert mn in 2 cos(ln(x)) x y = ϕ(x) = ln x, so erhält mn wegen ϕ (x) = x mittels (5) 2 cos(ln(x)) x = ln 2 0 cos y dy = sin y ln 2 0 = sin(ln 2) In Leibniz-Nottion würde mn die erste Gleichheit gewinnen, wenn mn y = ln x setzt und us dy = x dnn uf = x dy schließt. Mn berechne uf nloge Weise xe x2 +. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 33 Für eine invertierbre Funktion ϕ liefert (5) desweiteren f(x) = ϕ (b) ϕ () f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Auch dies lässt sich geschickt nutzen. Mit x = ϕ(t) = sin t erhält mn für < b zum Beispiel x 2 = rcsin b rcsin sin 2 t cos t dt = rcsin b rcsin cos 2 t dt. Ds letztere Integrl htten wir bereits uf S. 3 usgewertet. Es ergibt sich lso x 2 = 2 (x + sin x cos x) rcsin b. rcsin Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 34 Weitere nützliche Regeln Seien f : [, b] R stetig differenzierbr, r R (r ) und f r uf [, b] definiert. Dnn gilt f (x)(f(x)) r = r + (f(x))r+ + c. Sei f : [, b] R stetig differenzierbr mit f(x) 0 für lle x [, b]. Dnn gilt f (x) = ln( f(x) ) + c. f(x) Mchen Sie sich die beiden Aussgen mit Hilfe geeigneter Substitutionen klr. Berechnen Sie sin 3 (x) cos(x) und 3 2 x ln(x). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 35

9 Exkurs: Integrtion rtionler Funktionen Erinnerung: Rtionle Funktionen sind von der Form f(x) = p(x) q(x), wobei p und q Polynome sind. Flls grd(p) grd(q) erhält mn mittels Polynomdivision eine Zerlegung f(x) = p(x) t(x) = s(x) + q(x) q(x), mit Polynomen s und t, wobei grd(t) < grd(q). Somit gilt f(x) = p(x) q(x) = s(x) + t(x) q(x). Die Integrtion von s ist einfch, dher konzentrieren wir uns uf den echt gebrochen rtionlen Anteil t q. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 36 Für die Integrtion des echt gebrochen rtionlen Anteils benötigt mn eine sogennnte Prtilbruchzerlegung. Dfür beschfft mn sich zunächst die Fktorisierung des Nennerpolynoms q(x) = 0 + x n x n k m = n (x λ j ) µ ( j x 2 ) νj + p j x + q j, (6) j= (wobei n =grd(q) und k j= µ j + 2 m j= ν j = n, λ j und (p j, q j ) prweise verschieden, vgl. Stz.29 und Abschnitt 3.4., S. 200). j= Für die Integrtion noch günstiger schreibt mn (6) mittels qudrtischer Ergänzung ls: k m q(x) = n (x λ j ) µ ( j (x αj ) 2 ) νj + β j j= Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 37 j= Der folgende Stz hilft uns nun, g(x) := t(x) q(x) geeignete Struktur zu bringen: in eine für die Integrtion Stz 5.3. Unter diesen Vorussetzungen und mit diesen Bezeichnungen gibt es eindeutig bestimmte reelle Zhlen η j,t (j =, 2,..., k, t =, 2,..., µ j ) σ j,s (j =, 2,..., l, s =, 2,..., ν j ) τ j,s (j =, 2,..., l, s =, 2,..., ν j ), so dss g die folgende Prtilbruchzerlegung besitzt: g(x) = µ k j j= t= η j,t l (x λ j ) t + ν j j= s= σ j,s + τ j,s x ((x α j ) 2 + βj 2. (7) )s Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 38

10 Möglicherweise finden Sie folgende Nottion von (7) übersichtlicher: g(x) = η, η,2 + x λ (x λ η,µ ) 2 (x λ ) µ ηk, η k,2 + x λ k (x λ η k,µk k) 2 (x λ k) µ k σ, + τ,x σ,2 + τ,2x + + (x α ) 2 + β 2 ((x α ) 2 + β σ,ν + τ,ν x 2)2 ((x α ) 2 + β 2)ν +... σl, + τl,x σ l,2 + τ l,2x + + (x α l) 2 + βl 2 ((x α l) 2 + β σl,ν + l τl,ν x l l 2)2 ((x α l) 2 + βl 2)ν l Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 39 Bei der Erzeugung einer Prtilbruchzerlegung wählt mn lso den pssenden Anstz nch Stz 5.3 und muss dnn die Koeffizienten η j,t, σ j,s und τ j,s bestimmen. Dfür multipliziert mn beide Seiten von (7) mit q(x) und gleicht dnn die Koeffizienten der links und rechts stehenden Polynome b. Eine noch günstigere Vrinte ist häufig, nch Multipliktion mit q(x) genu n verschiedene Werte für x einzusetzen und ds entstehende linere Gleichungssystem zu lösen. Eine besonders günstige Whl für die einzusetzenden Werte sind dbei die Nullstellen λ j von q. Am besten erschließt mn sich dies m Beispiel: Mn bestimme eine Prtilbruchzerlegung von g(x) = 5x2 37x+54 x 3 6x 2 +9x. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 320 Die Funktionen us (7) besitzen folgende Stmmfunktionen: f(x) F (x) = f(x) x λ ln( x λ ) λ R (x λ) t t t N, t > (x λ) ( t ) (x α) 2 +β 2 β rctn x α β α, β R, β 0 x (x α) 2 +β 2 2 ln ( (x α) 2 +β 2) + α x α β rctn β Die verbleibenden Integrle müssen rekursiv berechnet werden: x ((x α) 2 +β 2 ) = s 2(s ) ((x α) 2 +β 2 ) s + α ((x α) 2 +β 2 ), s ((x α) 2 +β 2 ) = x α 2s 3 s 2(s )β 2 ((x α) 2 +β 2 s + ) 2(s )β 2 ((x α) 2 +β 2 ) s für s N, s >. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 32

11 Wir fssen die Schritte zur Integrtion einer rtionlen Funktion f(x) = p(x) q(x) noch einml zusmmen: Splte mittels Polynomdivision den echt gebrochen rtionlen Anteil b: f(x) = s(x) + t(x) mit grd(t) < grd(q) q(x) Berechne für g(x) = t(x) q(x) eine Prtilbruchzerlegung und integriere die entstehenden Summnden mit Hilfe der Formeln und Tbellen uf Seite 32. Ds verbleibende Integrl über s(x) ist einfch. Mn bestimme uf diese Weise 2x 4 2x x 2 37x + 54 x 3 6x x Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg Uneigentliche Integrle Bisher hben wir beim Integrieren nur beschränkte Funktionen und beschränkte Intervlle betrchtet.die folgende Erweiterung des Integrlbegriffs knn u.. diesen Mngel ein Stück weit beheben. Definition 5.4 (Uneigentliches Integrl). Sei b R { } und f : [, b) R uf jedem Intervll [, r] mit < r < b, Riemnn-integrierbr. Flls r lim r b f(x) =: f(x) existiert, so heißt f uf [, b) uneigentlich Riemnn-integrierbr. Mn sgt uch, f(x) ist konvergent. Anlog für f(, b] R oder f : (, b) R mit R { }. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 323 Von besonderem Interesse sind häufig folgende Fälle: der Integrnd ist bei Annäherung n eine der Integrtionsgrenzen unbeschränkt (links), ds Integrtionsintervll ist unbeschränkt (rechts). f f r b r Bestimmen Sie x 2 sowie 42 0 x. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 324

12 Weitere Beispiele Für r > und > 0 gilt x r = (r ) r. Dgegen existiert x r für r nicht. In der Stochstik benötigt mn häufig exp( x 2 ) = π. Zu welchem Ergebnis us dem Kpitel Reihen erkennen Sie im ersten Beispiel Prllelen? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg Volumenberechnung bei Rottionskörpern Für die Berechnung krummflächig begrenzter Volumin benötigt mn eigentlich mehrdimensionle Integrle. Bei Körpern, die durch Rottion eines Funktionsgrphen um die x Achse entstehen, reichen jedoch eindimensionle Integrle us. Mn nennt solche Körper Rottionskörper. f b x Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 326 Herleitung der Volumenformel in Leibniz-Nottion Die Größe wird ls infinitesiml kleine Zhl interpretiert; ds Integrl ls Summe (bechte stilistische Ähnlichkeit von und S ). Für ds Volumen der gru mrkierte Scheibe gilt für sehr kleine V Scheibe π(f(x)) 2. Dmit ergibt sich für ds Volumen V K des Rottionskörpers V K = π (f(x)) 2 (Ntürlich steckt hinter dieser Herleitung eigentlich wieder ein Grenzwertprozess.) Welches Volumen ht der Körper, der durch Rottion des Grphen von f : [, r] R, f(x) = x, um die x-achse entsteht? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 327

13 5.6 Qudrturformeln ein erster Einblick Nur die wenigsten Integrle knn mn geschlossen uswerten; in den llermeisten Fällen ist mn uf numerische Näherungsverfhren zur Berechnung der Integrle (sogennnte Qudrturverfhren) ngewiesen. Prominente Integrle, die sich nchweislich nicht durch elementre Stmmfunktionen bestimmen lssen, sind zum Beispiel Φ(x) := 2 x e s2 ds π Die entstehende Funktion Φ heißt Fehlerfunktion. 0 (x R). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 328 Als Vorbetrchtung ersetzen wir eine stetige Funktion f : [, b] R näherungsweise durch ihre Seknte s durch (, f()) und (b, f(b)). s f b Dmit erhlten wir die Näherungsformel f(x) (b )(f() + f(b)). (8) 2 Schon nschulich wird klr, dss diese Formel im Allgemeinen nur sehr grobe Näherungen liefern knn. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 329 Wesentlich bessere Ergebnisse erhält mn ber, wenn mn [, b] in N gleichlnge Teilintervlle [x i, x i+ ] unterteilt mit x i = + ih (i = 0,,..., N) mit h = (b )/N. und die einfche Trpezregel (8) über jedem Teilintervll nwendet: f(x) = h N 2 h (f(x i) + f(x i+ )) (9) [ 2 f(x 0)+f(x )+f(x 2 )+...+f(x N )+ ] 2 f(x N). i=0 Wir bezeichnen den Ausdruck uf der rechten Seite ls Trpezsumme T f (h) und die Formel (9) ls zusmmengesetzte Trpezregel. Gute Visulisierungen finden Sie uf der Übungshomepge unter Mthemtic-Demonstrtionen. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 330

14 Alterntiv knn mn f lokl uch durch qudrtische Polynome ersetzen, und ddurch eine noch bessere Approximtion erreichen: Dieser Anstz führt letztlich uf die zusmmengesetzte Simpsonregel: f(x) h [f(x0)+4f(x)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)+...+4f(xn )+f(xn )]. 3 Dbei ist N gerde zu wählen. Den Term uf der rechten Seite bezeichnen wir mit S f (h). Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 33 Qudrturformeln sind nur sinnvoll nwendbr, wenn mn den Fehler der Näherung bschätzen knn. Dbei hilft uns: Stz 5.5 (Qudrturfehler Trpez- und Simpsonregel). Ist f uf [, b] zweiml stetig differenzierbr, dnn gilt f(x) T f (h) b h 2 mx 2 f (x). x b Ist f uf [, b] vierml stetig differenzierbr, dnn gilt f(x) S f (h) b 80 h4 mx f (4) (x). x b Welche der beiden Regeln ist für genügend kleine h genuer? Approximieren Sie ein beknntes Integrl Ihrer Whl mit beiden Qudrturformeln für mehrere geeignete Werte von h. Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 332 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nch Abschluss der Übungen/Tutorien): den Begriff des Riemnn-Integrierbrkeit tiefgreifend verstnden hben, den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung beherrschen und Integrle mit Hilfe der Stmmfunktion berechnen können, die Stmmfunktionen zu den gängigen elementren Funktionen kennen (m besten uswendig), einige Integrtionstechniken sicher nwenden können (prt. Integrtion, Substitution, einfche Fälle der PBZ), uneigentliche Integrle und ds Volumen von Rottionskörpern sicher berechnen können, über Qudrturformeln grob bescheidwissen. Sie sind sich nicht sicher oder meinen nein? Hben Sie schon gute Vorsätze fürs neue Jhr...? Integrlrechnung TU Bergkdemie Freiberg 333

15 Kurioses zur Flächenberechnung Der von f : [, ) R, f(x) = x, erzeugte Rottionskörper ht ein endliches Volumen. (Welches?) Die Fläche unter dem besgten Grphen ist jedoch unendlich groß. Mn knn lso den entstehenden Trichter mit endlich viel Tinte füllen. Schneidet mn ihn jedoch längs der Rottionschse durch, so brucht mn für ds Bemlen der Schnittfläche unendlich viel Tinte. Wie lässt sich ds Prdoxon ufklären? Zerlegt mn eine Fläche in nicht überlppende Teilflächen, so ist die Gesmtfläche gleich der Summe der Teilflächen. Werden die Teile nders zusmmengesetzt, so ändert sich die Gesmtfläche ntürlich nicht. Die folgenden Abbildungen scheinen dieser Aussge zu widersprechen. Wie lässt sich ds Rätsel uflösen? Wir wünschen Ihnen eine friedvolle schöne Weihnchtszeit und einen guten Rutsch ins Jhr 203.