Übungen zur Vorlesung Analysis II

Transkript

1 Sommersemester 3 Bltt 13 1) Mn verschiebe die Prbel y = x in R so, dß sie weiterhin den Nullpunkt enthält. Zu der hierdurch entstehenden Kurvenschr bestimme mn die orthogonlen Kurven. ) Mn bestimme lle Funktionen y = f (x), x I R, deren Grph bei gegebenem α R mod π die Schr der Hyperbeln y x = const. unter dem Winkel α schneidet. Lösungen zu 1 und nur (zum ngegebenen Stichtg) bgeben, wenn noch dringend Punkte für ds lufende Semester gebrucht werden. Die Aufgben 3 und 4 sind für die Beschäftigung in der vorlesungsfreien Zeit gedcht und werden vorussichtlich im Bltt 1 von I wieder ufgenommen. 3) Mn bestimme die llgemeine Lösung der folgenden Differentilgleichungen, d. h. die (eindeutig bestimmte) Lösung durch einen beliebigen Punkt (x, y ) des Definitionsbereichs. y = e y cos x, y = 1 y, y < 1 y = 1 1 y, < y < 1, y = x + y y x + y, (x, y) (R +). 4) Mn bestimme die sogennnte Hundekurve: Ein Fluß fließt in einem von prllelen Gerden begrenzten Knlbecken der Breite mit der konstnten Geschwindigkeit c in Richtung der Uferbefestigung. Ein (selbstverständlich punktförmiger) Hund befindet sich n einem Ufer, sein (ebenflls punktförmiges) Herrchen steht senkrecht gegenüber m nderen Ufer und pfeift. Drufhin springt der Hund ins Wsser und schwimmt, reltiv zum Wsser, mit konstntem Geschwindigkeitsbetrg v, die,,schnuze (mcht irgendwie keinen Sinn bei einem punktförmigen Hund, oder doch?) stets uf ds Herrchen gerichtet, zu ihm zurück. Welche Kurve legt der Hund zurück? Unter welcher Vorussetzung knn der Hund - nch usgiebigem Ausschütteln des Felles - sein Herrchen schwnzwedelnd wieder begrüßen? Abgbetermin:

2 Sommersemester 3 Bltt 1 1) Mn beweise für positive ntürliche Zhlen q < p die Formel kp 1 lim k n=kq 1 n = ln p q durch Betrchtung Riemnnscher Summen einer geeigneten Funktion. ) Es sei f : [ c, d ] R stetig, und die Funktionen g, h : [, b ] [ c, d ] seien differenzierbr. Mn zeige, dß die durch Φ (x) := h(x) g(x) f (t) dt definierte Funktion Φ : [, b] R differenzierbr ist, und bestimme ihre Ableitung. 3) Mn führe den in der Vorlesung skizzierten Beweis des folgenden Stzes us: Ist f : [, b ] R Riemnn integrierbr, so uch Drboux integrierbr. Dzu zeige mn im ersten Schritt, dß f beschränkt sein muß. 4) Mn beweise die Substitutionsregel für Riemnn integrierbre Funktionen in der folgenden Form: Ist α : J I eine stetig differenzierbre Abbildung zwischen reellen Intervllen mit α, so ist mit f : I R uch uch (f α) α : J R Riemnn integrierbr, und es gilt für lle, b J : b f (α (t)) α (t) dt = α(b) α() f (x) dx. Mn schließe hierus: Ist α : J I zusätzlich bijektiv mit einer stetig differenzierbren Umkehrbbildung, so ist die Funktion f : I R genu dnn Riemnn integrierbr, wenn f α : J R Riemnn integrierbr ist. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

3 Sommersemester 3 Bltt 11 1) Mn berechne ds Integrl 1 dx x, > 1, mit Hilfe von Riemnnschen Summen zu geeigneten Zerlegungen des Intervlls [ 1, ]. ) Mn beweise für lle komplexen z mπ, m Z, die Formeln k= cos kz = cos nz sin (n + 1) z sin z, k= sin kz = sin nz sin (n + 1) z sin z, und beweise mit ihrer Hilfe vermittels Riemnnscher Summen, dß für > die Identitäten bestehen. cos x dx = sin, sin x dx = 1 cos 3) Mn zeige: Ist die Funktion f : [, b ] R beschränkt und uf [, b ), d. h. uf jedem Intervll [, β ] [, b ], β < b, Riemnn integrierbr, so ist sie uch uf [, b ] Riemnn integrierbr, und es gilt b f (x) dx = β lim f (x) dx. β b 4) ) Die Folge der Funktionen f j : [, b ) R, b R, j N, sei gleichmäßig konvergent. Existieren dnn die uneigentlichen Riemnn Integrle der f j über [, b ), so konvergiert uch ds uneigentliche Riemnn Integrl für die Grenzfunktion f = Limf j, und es gilt b f (x) dx = b lim j f j(x) dx = lim j b f j (x) dx. b) Mn belege durch ein Beispiel von stetigen (oder sogr beliebig oft differenzierbren) Funktionen f j, dß diese Aussge nicht richtig bleibt für unbeschränkte Intervlle [, ). Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

4 Sommersemester 3 Bltt 1 1) Mn berechne die folgenden unbestimmten Integrle: x 3 dx x 3 x x + 1, dx (x + x + 1), x 7 dx x 4 +, x x x + x dx. ) Die Funktion f : [, b ] R sei stetig differenzierbr und streng monoton wchsend, und g : [ f (), f (b) ] R sei ihre Umkehrfunktion. Mn zeige, dß b f (x) dx + f(b) f() g (y) dy = b f (b) f (), und bestimme hiermit uf elementre Weise die Integrle b 3) Mn zeige, dß ds uneigentliche Integrl 1 x dx, < < b, rcsin x dx. sin x x konvergent ist, ber nicht bsolut konvergiert. 4) Mn beweise ds Dirichlet Kriterium für uneigentliche Integrle: Ist f stetig und g stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b ), b R { }, ist dx F (x) := x f (t) dt in [, b ) beschränkt, und strebt g monoton gegen für t b, so existiert ds uneigentliche Integrl b f (t) g (t) dt. Mn verwende dieses Resultt zum Nchweis der folgenden Aussge: Ist f : [, ) R stetig differenzierbr mit monoton wchsender Ableitung f und lim x f (x) =, so konvergiert ds Integrl Insbesondere existieren sin x dx sin f (x) dx. und cos x dx. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

5 Sommersemester 3 Bltt 9 1) Mn verifiziere die folgenden Identitäten: ln x dx = x ln x x, dx = rcsin x +, 5 4x x 3 e x dx 5 + e x = 1 ln (5 + ex ), ln x dx x = 1 + ln x, x rctn x dx = x rctn x 1 ln (1 + x ), rcsin x dx = x rcsin x + 1 x, cos x dx sin x = sin x, cosh 3 x dx = sinh x sinh3 x. ) Mn zeige, dß die durch f (x) := x + e x uf R definierte Funktion eine zweiml differenzierbre Umkehrfunktion g uf R besitzt, und bestimme deren. Tylorpolynom Tg,b (x) n der Stelle b = 1. Ferner schätze mn mit der Drstellung nch Lgrnge ds Restglied g (x) Tg,1(x) 1 in dem Intervll ( 1, 11/1 ) b. 3) Mn berechne durch geeignete Substitutionen die Integrle π/4 sin x cos x + cos x dx, 1 dx x, 1/ x dx 1 x 3. 4) Es sei f : [, b ] R eine stetig differenzierbre Funktion. Mn zeige, dß dnn gilt. b lim f (t) sin Rt dt =. R Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

6 Sommersemester 3 Bltt 8 1) Mn bestimme die folgenden Grenzwerte: lim x 1 π rcsin x, lim sin (πx) ln (1 x), lim 1 x x 1 x cos x cos bx x lim x ( sin x x ) 3/x, lim x sinh x cosh x, lim x x sin x ln (sinh x 3 ). ) ) f und g seien stetig uf [, b ] und differenzierbr uf (, b ), ferner gelte f () = g () und f (x) < g (x) für lle x (, b ). Mn zeige, dß dnn uch f (x) < g (x) für lle x (, b ] gilt. b) Es gelte f (x 1 ) f (x ) K x 1 x α mit festen Konstnten K > und α > 1 für lle x 1, x [, b ]. Mn zeige, dß die Funktion f konstnt ist. 3) Mn beweise für y = f (x) = rctn x die von Euler 1755 stmmenden Formeln ( ( f (n) (x) = (n 1)! sin n y + π )) cos n y, n 1. Mn bestimme dmit die Tylor Reihe von f um den Nullpunkt und zeige (ohne Integrtion und den Abelschen Grenzwertstz), dß diese für x 1 gegen rctn x konvergiert. 4) Mn zeige, dß die Funktion f (x) := e 1/x, x, f () := beliebig oft differenzierbr uf R ist, und bestimme ihre Ableitungen im Nullpunkt. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:. 6. 3

7 Sommersemester 3 Bltt 7 1) Mn beweise die folgende Formel sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x und bestimme dmit die exkten Werte von sin π/3, sin π/6, sin π/1 und die entsprechenden Werte des Cosinus. ) Mn finde lle differenzierbren Funktionen uf R + mit f (xy) = f (x) + f (y), x, y >. Hinweis: Mn zeige zuerst f(1/x) = f(x) und bestimme dmit f. 3) Die Funktion f genüge den üblichen Vorussetzungen des Stzes von Tylor uf dem Intervll I = [, b ]. Dnn gibt es zu jedem p N und jedem x I ein ϑ (, 1), so dß f (x) = j= f (j) () j! (x ) j + f (n+1) ( + ϑ(x )) n! p (1 ϑ) n+1 p (x ) n+1 ist. Der letzte Term dieser Gleichung heißt ds Schlömilchsche Restglied. Für p = n+1 geht es in ds Lgrngesche, im Flle p = 1 in ds sogennnte Cuchysche Restglied über. (Hinweis: Mn setze G (t) := f (x) j= f (j) (t) j! (x t) j, g (t) := (x t) p und wende uf G (x) G () g (x) g () den zweiten Mittelwertstz n). 4) Der Schneidermeister Kopf us Ludwigshfen ht einen Vorschlg gemcht, wie mn mit Hilfe von Zirkel und Linel jeden spitzen Winkel dreiteilen knn (ws beknntlich nicht möglich ist). Mn leite nhnd der uf der Rückseite bgedruckten Zeichnung (diese ist smt Text einem Artikel von Oskr Perron entnommen) durch Anwendung des Sinusstzes uf ds Dreieck GBE eine Beziehung zwischen den Winkeln x und y her. Mn zeige, dß die Funktion f(x) = x y n genu einer Stelle ihr Mximum nnimmt. Mn bestimme 3 diese und gebe eine obere Abschätzung für den mximlen Fehler n, den mn bei dieser einfchen Konstruktion begeht. Bemerkung: Herr Kopf ht weitere, ntürlich nicht so einfche Konstruktionen gefunden, bei denen der mximle Fehler kleiner ls (Bogensekunden) ist. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

8 Aus dem Artikel von Oskr Perron:,,Herr Eugen Kopf, Schneidermeister in Ludwigshfen. Rh., behuptet, dß eine von ihm ersonnene Konstruktion mit Linel und Zirkel die genue Dreiteilung des Winkels leiste. Die Behuptung ist ntürlich flsch, und ws Herr Kopf zu ihrer Begründung nführt, steht uf keinem höheren Niveu ls mn es sonst bei Winkelteilern und Kreisqudrierern gewöhnt ist. Um so überrschender ist es, dß mit der Konstruktion selbst ihr Entdecker doch eine wirklich glückliche Hnd bewiesen ht; denn durch rechnerische Nchprüfung fnd ich, dß sie im Verhältnis zu ihrer Einfchheit eine gnz erstunlich gute Näherung liefert. Der Fehler ist für spitze Winkel im ungünstigsten Fll nur [...], liegt lso unter der Genuigkeitsgrenze der besten hndlichen Zeichnung. Die Konstruktion findet sich nicht in den einschlägigen Büchern von Enriques und Vhlen; die dort mitgeteilten Konstruktionen sind zum Teil viel ungenuer und nicht einfcher, zum Teil nur wenig genuer und dnn bedeutend komplizierter, so dß die Kopfsche Konstruktion entschieden hübscher ist. Mn drf us diesem Umstnd wohl mit ziemlicher Whrscheinlichkeit schließen, dß die Konstruktion neu ist. Aber selbst, wenn sie irgendwo in einem vergessenen lten Schmöker stehen sollte, ws mn bei derlei Dingen nie wissen knn, ist sie immerhin wert, der Vergessenheit entrissen zu werden. Die Konstruktion verläuft, wenn mn sie von den unnötigen Linien befreit, folgendermßen (in der Figur sind gr keine Hilfslinien unterdrückt, nicht einml solche, die lediglich zur Konstruktion eines rechten Winkels dienen): Mn zeichne einen Hlbkreis und den zu seinem Durchmesser AB senkrechten Rdius M C. Durch C zeichne mn den Kreisbogen CD mit dem Mittelpunkt B. Schließlich mrkiere mn uf der Verlängerung von AB den Punkt E so, dß CE = AB ist. Ist nun AM F = x der gegebene spitze Winkel, so bringe mn die Gerde F B mit dem Kreisbogen CD zum Schnitt in G. Verbindet mn dnn G mit E, so ist AEG = y die Kopfsche Näherung für den dritten Teil von x. F G C A D x M x/ B y E

9 Sommersemester 3 Bltt 6 1) ) Mn bestimme die Definitionsbereiche der folgenden Funktionen und berechne ggfls. ihre Ableitungen: ln (ln x), ( 1 + x ) ( ) x sin x 1 + x, 1 x, x sin x, ln x e sin x. b) Mn bestimme f (n) (x), n = 1,, 1, für die Funktion f (x) := x e x. ) Ein Schiff fährt prllel zur Küste im Abstnd A. An welcher Stelle sieht mn vom Schiff us eine senkrecht ins Meer rgende Mole der Länge L < A unter mximlem Winkel? Ws knn mn in den Fällen L A ussgen? Wie verändert sich ds Ergebnis, wenn mn stttdessen in einem Flugzeug über dem Schiff in der Höhe H fliegt? 3) Mn beweise die folgenden Formeln vermittels der Ableitungen geeigneter Funktionen ( n ): ( ) n k = n n 1, k k=1 ( ) n ( 1) k 1 k =, k k=1 ( ) n k (k 1) = n (n 1) n. k 4) Von welchen Punkten (, t) R gibt es keine, eine, zwei bzw. drei Tngenten n den Grphen der durch f (x) = xe x definierten Funktion? k= Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

10 Sommersemester 3 Bltt 5 1) Es sei C n (I, R) die Menge der n ml stetig differenzierbren Funktionen f : I R uf dem nicht leeren Intervll I R. Mn zeige, dß diese Menge nicht nur ein R Vektorrum, sondern sogr eine kommuttive Algebr mit Einselement ist. Hinweis: Beweise die Formel ( ) n (f g) [n] = f [k] g [n k]. k ) Wo sind die Funktionen x sin 1 f 1 (x) := x, x, x = k= x sin 1 bzw. f (x) := x, x, x = differenzierbr bzw. stetig differenzierbr? Hinweis: Es drf benutzt werden, dß der Sinus (stetig) differenzierbr ist mit sin = cos. 3) Mn konstruiere eine Folge differenzierbrer Funktionen f n : R R, die gleichmäßig uf gnz R gegen die (nicht überll differenzierbre) Funktion f (x) := x konvergiert. Hinweis: Mn ändere f in dem Intervll [ 1/n, 1/n ] durch eine geeignete Prbel b. 4) Sei f : R [, 1 ] eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschften: f (t) = { für t 1/3, 1 für /3 t 1 und f (t + ) = f (t). Setze γ 1 (t) := n f (3 n 1 t), γ (t) := n f (3 n t). n=1 n=1 Mn zeige: Die,,Kurve γ : R R mit γ (t) = (γ 1 (t), γ (t)) ist stetig und bildet ds Intervll I = [, 1 ] surjektiv uf ds Qudrt I R b. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

11 Sommersemester 3 Bltt 4 1) Mn zeige, dß es uf jedem Großkreis uf der Erdoberfläche (ohne Einschränkung sei dies der Äqutor) zu jeder Zeit zwei dimetrl gegenüberliegende Punkte gibt, n denen die gleiche Tempertur herrscht. (Selbstverständlich wird hierbei vorusgesetzt, dß die Erde eine euklidische Kugel und die Temperturverteilung stetig ist). ) Es sei f : I R eine stetige Funktion uf dem Intervll I R. Mn zeige, dß dnn uch die durch { f (x), f (x) > f + (x) :=, f (x) definierte Funktion f + stetig ist. Mn folgere hierus: ) Jede stetige Funktion wie oben ist Differenz zweier nichtnegtiver stetiger Funktionen; b) mit f ist uch f stetig; c) mit f und g sind uch mx (f, g) und min (f, g) stetig. 3) Es sei I R ein beliebiges Intervll, und f : I R sei eine stetige Funktion. Mn zeige: f ist, ls Abbildung, injektiv genu dnn, wenn f streng monoton wächst bzw. fällt. Mn gebe ferner ein Beispiel dfür n, dß eine Richtung in der obigen Aussge nicht richtig bleibt, wenn mn die Vorussetzung fortläßt, dß der Definitionsbereich der Funktion f ein Intervll ist. (Hinweis. Mn drf die in der Vorlesung us dem Zwischenwertstz deduzierte Aussge verwenden: Ist f : I R stetig und injektiv, so folgt für je drei Punkte x < x 1 < x in I us f (x ) < f (x 1 ) uch f (x 1 ) < f (x ) ). 4) Es sei f : I = [, b ] R eine streng monoton wchsende Funktion. Mn zeige, dß die Menge der Unstetigkeitsstellen höchstens bzählbr ist. (Hinweis: An Unstetigkeitsstellen knn die Funktion nur nch oben springen. Zu jeder solchen Stelle x gibt es somit ein nichttriviles,,sprungintervll J x. Wähle nun zu x eine rtionle Zhl r x J x ). Bemerkung: Aus Aufgbe 4 in Bltt 1 folgt die Existenz von streng monoton wchsenden Funktionen, deren Menge der Unstetigkeitsstellen ttsächlich bzählbr unendlich ist und dicht in I liegt. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

12 Sommersemester 3 Bltt /3 1) Es seien f n : X Y Abbildungen der endlichen Menge X in den metrischen Rum Y. Mn zeige: Die Folge (f n ) ist genu dnn punktweise konvergent, wenn sie gleichmäßig konvergent ist. Mn belege durch ein Gegenbeispiel, dß diese Aussge nicht richtig bleibt, wenn die Menge X die Krdinlität von N besitzt. ) Mn gebe eine Folge von Polynomen P n n, die uf dem Intervll I := [, 1 ] gleichmäßig gegen f (x) = x konvergiert, für die ber die Folge der Ableitungen P n nicht einml punktweise gegen die Ableitung f (x) = 1 n jeder Stelle x I konvergiert. Für die Behndlung der Aufgbe brucht mn nur die formle Kenntnis der Ableitung eines Polynoms: P (x) = 1 + x + + n n x n 1 für P (x) = + 1 x + x + + n x n. (Hinweis: Stndrdbeispiel.) 3) Mn zeige: Die Funktionenfolge f n (x) = nx(1 x) n ist uf dem bgeschlossenen Einheitsintervll I R punktweise, ber nicht gleichmäßig konvergent. Ist die Grenzfunktion stetig uf I? 4) Mn bestimme die Koeffizienten n, n =,..., 7, der Potenzreihenentwicklung des Tngens tn z := sin z / cos z um den Nullpunkt. Hierbei dürfen die entsprechenden Entwicklungen für den Sinus und den Cosinus verwendet werden. 5) Es sei X eine beliebige nicht leere Menge und V ein reeller oder komplexer Bnchrum mit der Norm. Mn zeige, dß die Menge der beschränkten Abbildungen von X nch V zusmmen mit den üblichen Verknüpfungen und der Supremumspseudonorm ein Bnchrum ist. 6) Die Folge der Funktionen f n : X R sei punktweise monoton fllend und gleichmäßig uf X konvergent gegen Null. Dnn ist die Reihe ( 1) n f n gleichmäßig konvergent. Für Aufgbe 1 besteht Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 bis 6 werden nur zwei in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur mximl zwei von diesen bgeben! n= Abgbetermin:

13 Sommersemester 3 Bltt 1 1) Mn bestimme die Konvergenzrdien der folgenden Potenzreihen: n= ( n + 1 n=1 n! n z n, > 1 fest, n ) n z n, n= ( n 5 5 n + ( 1) n n 5 5 n) z n, n= ( ) n z n, n ) Mn bestimme die folgenden Funktionsgrenzwerte: lim x 1 x n 1 x m 1, n, m N, n z n, > 1 fest. n= n x n x + lim x b m x m, n b m, + + b 1 x + b ( lim x ) x + 3x, x 1 lim x sin x x. 3) ) Mn finde eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z = 1, die in einer Umgebung 1 dieses Punktes die Funktion drstellt, und berechne ihren Konvergenzrdius. 1 z b) Mn bestimme den Konvergenzrdius R der Potenzreihe n z n n= mit der Fiboncci Folge n+ = n+1 + n, = 1 = 1, und berechne ihren Wert für lle z C mit z < R. 4) Es sei Q = { r n : n N } eine Abzählung der rtionlen Zhlen. Mn definiere f (x) := n, x R, r n<x und zeige: f ist eine uf R definierte, streng monoton wchsende Funktion, die in jedem Punkt von R \ Q stetig und in jedem Punkt von Q unstetig ist. Für Aufgbe 1 besteht weiter Einzelbgbe - Pflicht. Von den Aufgben 3 und 4 wird nur eine in die Bewertung einbezogen. Dher bitte uch nur eine von beiden bgeben! Abgbetermin:

14 Sommersemester 3 Bltt Beginn der Übungen: Eintrg in die Listen für die einzelnen Übungsgruppen: b (Die Listen hängen m schwrzen Brett neben meinem Dienstzimmer 1 us) Ds erste Übungsbltt befindet sich uf der nächsten Seite Die Scheinvergbe - Kriterien us dem letzten Semester wurden etws modifiziert. Die neuen Bedingungen sollten us der zusätzlichen Formulierung uf Bltt 1 ersichtlich sein - sie werden zu Beginn des Semesters in Vorlesung und Übungen erläutert Ich wünsche Ihnen weiterhin Spß m und Erfolg im Mthemtik - Studium, Ihr Oswld Riemenschneider