Partielle Integration und Substitution

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1 Prtielle Integrtion und Substitution Steffen Solyg Mi 6 Die Bestimmung einer Stmmfunktion zu einer gegebenen Funktion ist die Umkehrung der Differentition. Dher lssen sich sowohl die Produkt- ls uch die Kettenregel gewinnbringend verwenden. Prtielle Integrtion Stz Seien u(x) und v(x) uf dem Intervll [, b stetig differenzierbr. Dnn gilt uf [, b: u(x)v (x) u(x)v(x) u (x)v(x). () In Worten: Mn erhält jede Stmmfunktion von uv ddurch, dß mn von uv lle Stmmfunktionen von u v bzieht. Beweis Alle Aussgen beziehen sich uf ds Intervll [, b.. Die Funktionen uv und u v sind nch Vorussetzung stetig, so dß sie (jeweils) eine Stmmfunktion besitzen.. Sei f eine Stmmfunktion von uv und f eine Stmmfunktion von u v. Dnn ist wegen der Linerität des Differenzierens f + f eine Stmmfunktion von uv + u v. Offenbr ist uv eine weitere Stmmfunktion von uv + u v, denn gemäß der Vorussetzung ist uv differenzierbr, und nch der Produktregel ist (uv) uv + u v. Dnn können sich f + f und uv nur durch eine dditive Konstnte C unterscheiden, d.h. es gilt f uv f + C. Schreibt mn in dieser Gleichung f, f ls unbestimmte Integrle und bedenkt, dß es sich nun um Mengen von Stmmfunktionen hndelt, knn die Konstnte C entfllen, und mn erhält schließlich (). solyg@gmx.de Definition: Eine Funktion heißt (uf einem Intervll) stetig differenzierbr, wenn sie (uf diesem Intervll) eine stetige Ableitung besitzt. Dß eine uf dem Intervll I stetige Funktion f (x) eine Stmmfunktion besitzt, wurde in der Vorlesung nicht gezeigt. Dies knn mn unter Verwendung des bestimmten Integrls z.b. folgendermßen einsehen: Sei c eine feste Stelle us I, dnn existiert ufgrund der Stetigkeit von f für lle x I ds bestimmte Integrl F (x) : x c f (ξ) dξ. Wie in der Vorlesung gezeigt wurde, ist F (x) differenzierbr, und es gilt F (x) f (x). Also besitzt f (x) uf I eine Stmmfunktion, denn F (x) ist offenbr eine solche.

2 Anmerkung: Im Beweis ist bewußt uf die Verwendung des Integrlsymbols verzichtet worden, weil dies erfhrungsgemäß einer Verwechslung zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integrl Vorschub leistet. Die Eigenschften unbestimmter Integrle ergeben sich llein us der Differentilrechnung. Oder, noch deutlicher: Die Eigenschften unbestimmter Integrle sind gerde die der differenzierbren Funktionen. Denn der Ausdruck f (x) () ist lediglich ein Symbol für die Menge der Stmmfunktionen von f (x). Mittels prtieller Integrtion läßt sich ein gegebenes unbestimmtes Integrl zwr nicht unmittelbr berechnen, mit etws Geschick jedoch derrt umformen, dß mn rechtsseitig ein Grundintegrl erhält. Die folgenden Beispiele mögen ds illustrieren:. Gesucht seien lle Stmmfunktionen von xe x. Wir setzen u(x) x und v (x)e x. Dnn ist u (x) und v(x)e x. (Die Rechnung bleibt richtig, wenn mn v(x)e x + C setzt, ber ds ist unnötig.) Es sind u und v uf R stetig differenzierbr, und es gilt nch Stz : xe x xe x e x, (x )e x + C.. Gesucht seien lle Stmmfunktionen von x e x. Wir setzen u(x) x und v (x)e x. Dnn ist u (x)x und v(x)e x. Stz und Beispiel liefern x e x x e x xe x, x e x (x )e x + C, (x x )e x + C. (Die Integrtionskonstnte ist hier eine ndere ls in Beispiel.) Unter Umständen muß mn lso mehrfch prtiell integrieren. Dbei sollte sich ds verbleibende Integrl von Schritt zu Schritt vereinfchen. Hätte mn beispielsweise gesetzt u(x)e x und v (x) x, so folgte u (x)e x und v(x) x 3 /3, und es träte keine Vereinfchung ein. 3. Gesucht sei eine Stmmfunktion von cos x. Wir setzen u(x)v (x)cos x. Dnn ist u (x) sin x und v(x)sin x, und prtielle Integrtion liefert cos x sin x cos x+ sin x. Die prtielle Integrtion von sin x führt lediglich zu einer Identiät; stttdessen verwenden wir den Stz des PYTHOGORAS sin x cos x und erhlten cos x sin x cos x+ cos x. Ds erste Integrl uf der rechten Seite ist ein Grundintegrl. Bringt mn ds zweite Integrl uf die linke Seite, so ht mn cos x sin x cos x+ x+ C,

3 und dher cos x x+sin x cos x + C. (3) Also ist (x+sin x cos x)/ eine Stmmfunktion von cos x. Anmerkung: Wegen sin x sin x cos x (Additionstheorem) läßt sich (3) uch ls cos x+sin x x + C 4 schreiben; diese Drstellung findet mn in mnchen Formelsmmlungen [. 4. Mnchml ist es zweckmäßig, sich ds Produkt gewissermßen künstlich zu erzeugen: Wir suchen eine Stmmfunktion von ln x und setzen dzu u(x)ln x und v (x). Dnn ist u (x)/x und v(x) x, so dß prtielle Integrtion liefert ln x x ln x x x, lso ln x x(ln x )+ C. Folglich ist x(ln x ) eine Stmmfunktion von ln x. Prtielle Integrtion bei bestimmten Integrlen Stz Seien u(x) und v(x) uf dem Intervll [, b stetig differenzierbr. Dnn gilt: b u(x)v (x) u(x)v(x) b b u (x)v(x). (4) Beweis Nch der Produktregel ist (uv) u v+uv uf [, b, folglich uv eine Stmmfunktion von uv + u v, und nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung gilt b u(x)v (x)+u (x)v(x) u(b)v(b) u()v(). (5) Definiert mn zur Abkürzung für eine in und b definierte Funktion b f (x) : f (b) f (), (6) so ht mn mit der Linerität des bestimmten Integrls b u(x)v (x) + b u (x)v(x) u(x)v(x) b (7) 3

4 und nch Subtrktion des zweiten Integrls schließlich Gleichung (4). Die Existenz der bestimmten Integrle folgt us der Stetigkeit der Integrnden. Beispiel: Gesucht sei folgendes bestimmte Integrl: π sin x cos x. Wir setzen u(x)sin x, v (x)cos x, u (x)cos x, v(x)sin x und erhlten nch Stz π sin x cos x sin x π π sin x cos x. (8) Wegen sin sin π verschwindet der erste Summnd der rechten Seite. Eine Zhl ist ber genu dnn gleich ihrem Negtiven, wenn sie verschwindet. Also muß ds bestimmte Integrl verschwinden, d.h. es ist π sin x cos x. Ntürlich hätte mn uch zunächst eine Stmmfunktion von sin x cos x bestimmen können, um dnn den Hupstz nzuwenden. 4

5 3 Substitution in unbestimmten Integrlen Stz 3 Gegeben seien offene, hlboffene oder bgeschlossene Intervlle I und I mit nicht verschwindenden Intervllängen.. Sei f (x) uf I stetig.. Sei xφ(t) uf I differenzierbr Für jedes t I seiφ(t) I. Dnn gilt uf I : f [φ(t)φ (t) dt [ f (x). (9) xφ(t) In Worten: Besitzt f (x) eine Stmmfunktion, so erhält mn jede Stmmfunktion von f [φ(t)φ (t) ddurch, dß mn in llen Stmmfunktionen von f (x) ds x durchφ(t) ersetzt. Beweis 3 Aufgrund ihrer Stetigkeit, Vorussetzung, besitzt f (x) uf I eine Stmmfunktion, welche nch Definition uf I differenzierbr ist, siehe Fußnote uf Seite. Sei F(x) uf I eine Stmmfunktion von f (x) und mithin F (x) f (x). Dnn ist wegen Vorussetzung 3 die mittelbre FunktionΦ(t) : F[φ(t) wohldefiniert uf I, und wegen Vorussetzung ist sie gemäß der Kettenregel dort uch differenzierbr: Φ (t) F [φ(t)φ (t) f [φ(t)φ (t). Also istφ(t)f[φ(t)f(x) xφ(t) uf I eine Stmmfunktion von f [φ(t)φ (t). Durchläuft C lle reellen Zhlen, so durchläuft F(x)+C lle Stmmfunktionen von f (x). Wegen [F(x)+ C xφ(t) F(x) xφ(t) + CΦ(t)+C werden folglich uch lle Stmmfunktionen von f [φ(t)φ (t) durchlufen. Schreibt mn dies mittels unbestimmter Integrle, erhält mn Gleichung (9). Mittels Stz 3 lssen sich lso Stmmfunktionen uffinden, wenn die gegebene Funktion (zufällig) die Form f [φ(t)φ (t) ht, wie folgende Beispiele zeigen:. Gesucht werden lle Stmmfunktionen von sin 3 t cos t. Diese Funktion ht offenbr gerde die für Stz 3 erforderliche Gestlt. Setzt mn f (x) x 3 undφ(t)sin t, so folgt f [φ(t)φ (t)sin 3 t cos t, und nch Stz 3 gilt: sin 3 t cos t dt x 3, xsin t x4 4 + C, xsin t sin4 t 4 + C. () 3 φ wird nicht ls stetig vorusgesetzt! 5

6 . Es wird eine Stmmfunktion von t sin t gesucht. Setzt mn f (x)sin x undφ(t)t, ht f [φ(t)φ (t)t sin t bis uf den Koeffizienten bereits die gesuchte Form. Also gilt t sin t dt t sin t dt, sin x, xt cos x + C, xt cos t + C, weshlb (cos t )/ eine Stmmfunktion von t sin t drstellt. 3. Sei uφ(x) irgendeine differenzierbre Funktion, und f (u)u. Dnn ist f [φ(x)φ (x) φ(x)φ (x), und nch Stz 3 gilt: φ(x)φ (x) u du u + C φ (x) + C. () uφ(x) uφ(x) Sei weiterhin u φ(x) irgendeine differenzierbre Funktion, ber f (u) u k mit der reellen Konstnten k. Dnn ist f [φ(x)φ (x)φ k (x)φ (x), und es gilt φ k (x)φ (x) u k du uk+ + C φk+ (x) + C. () k+ uφ(x) k+ uφ(x) Für k ht mn gerde Gleichung (), und () ist nur für k sinnvoll. Für k ht mn f (x)/u mit der Stmmfunktion ln u, weshlb φ (x) du φ(x) ln u + C ln φ(x) + C. (3) u uφ(x) uφ(x) Zusmmenfssend ht mn lso für beliebige Konstnten k φ k+ (x), sofern k φ k (x)φ (x) C+ k+ ln φ(x), sofern k oder lterntiv (k : k) ebenflls für beliebige k φ (x) C+ kφ k (x), sofern k φ k (x) ln φ(x), sofern k (4). (5) 4. Als Zhlenbeispiel für die Anwendung von (5) mögeφ(x) x + px+q mit beliebigen reellen (oder komplexen) Konstnten p und q dienen. Für kfolgt us (5) x+ p x + px+q ln x + px+q + C, (6) 6

7 und für k gilt nch (5) x+ p (x + px+q) k k (x + px+q) k + C. (7) Diese Formeln werden bei der Integrtion gebrochenrtionler Funktionen benötigt. 5. Ein weiteres Beispiel für die Anwendung von (5) erhält mn mitφ(x)sin x und k. Es ist dnnφ (x)cos x und folglichφ (x)/φ(x)cot x. Dher gilt: cot x ln sin x + C. (8) Wie istφ(x) zu wählen, um mittels (5) eine Stmmfunktion von tn x zu gewinnen? 6. Als letztes Beispiel wird eine Stmmfunktion von sin x cos x bestimmt, vgl. Abschnitt. Mitφ(x)sin x und k folgt us Gleichung (4): sin x cos x sin x + C. (9) Ht eine unbestimmt zu integrierende Funktion nun ber nicht die Form f [φ(t)φ (t), so läßt sich oftmls der folgende Stz nwenden: Stz 4 Gegeben seien offene, hlboffene oder bgeschlossene Intervlle I und I mit nicht verschwindenden Intervllängen.. Sei f (x) uf I stetig.. Sei xφ(t) uf I differenzierbr Für jedes t I seiφ(t) I. 4. Seiφ (t) im Innern von I. 5 Dnn gilt uf I: f (x) [ f [φ(t)φ (t) dt. () tφ (x) In Worten: Mn erhält lle Stmmfunktionen von f (x) ddurch, dß mn eine umkehrbre Funktion xφ(t) wählt, lle Stmmfunktionen von f [φ(t)φ (t) bestimmt, und in diesen t durch φ (x) ersetzt. Hier bezeichnetφ (im Unterschied zum Beispiel 3 dieses Abschnitts) die Umkehrfunktion zuφund nicht etw ihr Reziprokes. Merkregel zu (): xφ(t), φ (t)dt. Beweis 4 Es ist zu zeigen, dß f (x) uf I und f [φ(t)φ (t) uf I jeweils eine Stmmfunktion besitzen, dß φ(t) umkehrbr ist und dß zwischen den Stmmfunktionen der Zusmmenhng () besteht. 4 Auch hier wirdφ nicht ls stetig vorusgesetzt! 5 Dies ist die einzige zusätzliche Vorussetzung gegenüber denen von Stz 3. 7

8 . Aufgrund der Vorussetzung besitzt f (x) uf I eine Stmmfunktion, siehe Fußnote uf Seite.. Sei F(x) uf I eine Stmmfunktion von f (x). Wegen Vorussetzung 3 ist F[φ(t) wohldefiniert uf I und wegen Vorussetzung nch der Kettenregel dort sogr differenzierbr: d dt F[φ(t)F [φ(t)φ (t) f [φ(t)φ (t). Mithin besitzt f [φ(t)φ (t) uf I eine Stmmfunktion, nämlich z.b. F[φ(t). 3. Wegen der Vorussetzungen und 4 mußφ(t) uf I streng monoton sein, weilφ (x) im Innern von I entweder überll positiv oder überll negtiv ist. Letzteres folgt us dem Stz von DARBOUX. 6 Nch diesem müßte nämlich, wäreφ (x )> undφ (x )< für gewisse innere Punkte x, x von I,φ (x) n einer Stelle x (x, x ) verschwinden, ws im Widerspruch zur Vorussetzung stünde. Die strenge Monotonie vonφ(t) gereicht ber zu deren Umkehrbrkeit; lso existiert tφ (x) uf I. 4. Neben F[φ(t) sei G(t) eine Stmmfunktion von f [φ(t)φ (t). Dnn existiert eine Konstnte C, so dß G(t)F[φ(t)+ C für lle t I gilt. Dnn gilt für lle x Ifolglich G[φ (x)f{φ[φ (x)}+ C F(x)+ C, d.h. G[φ (x) ist uf I eine Stmmfunktion von f (x). Durchläuft C lle reellen Zhlen, so durchläuft G(t) + C lle Stmmfunktionen von f [φ(t)φ (t). Dnn durchläuft [G(t)+ C tφ (x) G[φ (x)+ CF(x)+ C + C ber lle Stmmfunktionen von f (x). Schreibt mn diesen Zusmmenhng mittels unbestimmter Integrle, ht mn gerde (). Anstelle der Prüfung ller Vorussetzungen des Stzes knn mn im konkreten Flle uch () mehr oder weniger blind nwenden und im Nchgng per Differentition prüfen, ob es sich bei der gewonnenen Funktion ttsächlich um eine Stmmfunktion der gegebenen Funktion hndelt. Die folgenden Beispiele sollen die Anwendung von Stz 4 demonstrieren: 7. Gesucht wird eine Stmmfunktion von f (x) x. Hierbei ist ds Problem die Differenz unter der Wurzel. Um letztere ziehen zu können, ist der Term x in ein Qudrt zu verwndeln, ws stets den Stz des PYTHAGORAS im Kopf mittels der Substitution xφ(t)sin t uch gelingt: sin t cos t. Bevor nun Stz 4 in Anwendung kommt, werden dessen Vorussetzungen uf Erfülltsein geprüft: ) f (x) x ist stetig uf [,. b) φ(t) sin t ist differenzierbr uf [ π/, π/. c) Für jedes t [ π/,π/ ist sin t [,. d) Es istφ (t)cos t> uf ( π/,π/). Also gilt () uf [,. Auf [ π/,π/ ist f [φ(t) sin tcos t. Achtung: Der Betrg drf nur deshlb entfllen, weil t n ds Intervll [ π/, π/ gebunden ist! 6 Dieser Stz besgt, dß die Ableitung f (x) einer uf einem bgeschlossenen Intervll [, b (im eigentlichen Sinne) differenzierbren Funktion f (x) im Innern dieses Intervlls jeden zwischen den beiden Rndwerten f () f (b) gelegenen Wert wenigstens einml nnehmen muß. Er mcht lso eine ähnliche Aussge wie der Zwischenwertstz; letzterer setzt ber im Gegenstz zum DARBOUXschen Stz die Stetigkeit der betrchteten Funktion vorus. 8

9 Weiter istφ (t)cos t, f [φ(t)φ (t)cos t undφ (x)rcsin x. Dher liefert () unter Verwendung von (3) [ [ t+sin t cos t x und wegen sin rcsin x x x Wegen cos t cos t dt trcsin x rcsin x+ x cos rcsin x + C trcsin x + C. () sin t (siehe oben) ist cos rcsin x sin rcsin x x. () Folglich gilt uf [, x ( ) rcsin x+ x x + C, (3) und (rcsin x+ x x )/ entpuppt sich ls Stmmfunktion von x. 8. Gesucht seien lle Stmmfunktionen von f (x) (e x )/(e x + ). f ist uf gnz R definiert. Um die Exponentilfunktionen zu eliminieren, bietet sich die Substitution x φ(t)ln t n; positive t genügen, um mittelsφgnz R zu erzeugen. Wir prüfen, ob die Vorussetzungen von Stz 4 sämtlich erfüllt sind: ) e x ist stetig uf R. b) ln t ist differenzierbr uf (, ). c) Für jedes t (, ) ist ln t R. d) Es ist (ln t) /t> uf (, ). Also gilt uf R zunächsteinml: e x e x + [ t t+ t dt. te x Wird der rechtsseitige Integrnd in Prtilbrüche zerlegt, so folgt [ e x e x + dt t+ dt [ ln t+ ln t t te x tex+ C, wegen t> können die Beträge entfllen, e x e x + ln(ex + ) x+ C. (4) Die rechte Seite knn mn uch ls ln cosh(x/)+ C schreiben. Wrum? 9

10 9. Es wird eine Stmmfunktion von f (x)/ (+ x ) 3 gesucht. Mit xφ(t)tn t wird φ (t) d dt sin t cos t cos t+sin t cos t +tn t cos t. Die rechte Gleichung zeigt den Sinn der Substitution xtn t: Der Term + x läßt sich dmit in ein Qudrt umwndeln, so dß die Wurzel gezogen werden knn. f ist definiert uf gnz R und dort stetig,φist uf ( π/,π/) (sogr stetig) differenzierbr und bildet seinen Definitionsbereich uf den von f b, und ihre Ableitung ist ls Qudrt überll positiv. Es gilt tφ (x)rctn x, und nch Stz 4 ist: (+ x ) 3 und schließlich [ (+tn t) 3 cos t dt trctn x [ sin t+ C trctn x dt cos t [ (+ x ) 3 trctn x [ cos t dt [ tn t +tn t + C trctn x cos t 3 dt cos t trctn x trctn x x + C. (5) + x. Zur Integrtion gebrochenrtionler Funktionen benötigt mn meist eine Stmmfunktion von f (x)/(x + px+q), worin p und q reelle Konstnten sind. Je nch Anzhl reeller Polstellen von f sind folgende drei Fälle bzuhndeln: ) p > 4q: f besitzt zwei reelle Polstellen, und zwr x p/ p /4 q und x p/+ p /4 q. Die Prtilbruchzerlegung von f liefert (x x )(x x ) x x x x x x x x, weshlb Integrle sind vom Typφ /φ mitφ(x) x x i, Gleichung (3) ln x x (x x )(x x ) x x x x + C, und mit eingesetzten Polstellen (x + px+q) p 4q ln x+ p p 4q x+ p+ p + C. (6) 4q b) p 4q: f besitzt eine doppelte reelle Polstelle in x p/, weshlb f (x) /(x+ p/). Ds Integrl ist vom Typφ /φ mitφ x+ p/, weshlb gemäß Gleichung (5) mit kgilt: + C. (7) (x + px+q) x+ p/

11 c) p < 4q: f besitzt keine reelle, lso zwei konjugiert komplexe Polstellen. Mittels qudrtischer Ergänzung läßt sich der Nenner in eine Summe us zwei Qudrten umformen, wobei der zweite Summnd eine Konstnte ist; mit der reellen Konstnten 4q p gilt x + px+q (x+ p/) +, und vermöge der Substitution x + p/ tn t erhält mn ein Qudrt: x + px+q ( x+ p ) + tn t+ (+tn t) cos t. Setzt mn lso xφ(t) p/+ tn t, so istφ (t)/ cos t> uf dem Intervll I ( π/,π/), es gilt tφ (x)rctn((x+ p/)/), mithin [ cos t [ t (x + px+q) cos t dt + C trctn x+p/ trctn x+p/ und folglich x + px+q 4q p rctn x+ p + C. (8) 4q p Zusmmenfssend gilt lso: x + px+q C+ p 4q ln x+ p p 4q x+ p+ p 4q x+ p/ rctn x+ p 4q p 4q p bei bei bei p > 4q p 4q p < 4q (9) 4 Substitution in bestimmten Integrlen Stz 5 Vorgelegt seien die Funktionen f (x) undφ(t).. Sei f (x) uf [A, B stetig, A <b B.. Sei x φ(t) uf [α, β differenzierbr. 3. Für jedes t [α,β seiφ(t) [A, B. 4. Seiφ(α) undφ(β)b. Dnn gilt: b f (x) β f [φ(t)φ (t) dt. (3) α

12 Beweis 5 Wegen Vorussetzung besitzt f (x) uf [A, B eine Stmmfunktion F(x), und es gilt b f (x) F(b) F(). (3) Wegen Vorussetzung 3 istφ(t) : F[φ(t) wohldefiniert uf [α,β und wegen Vorussetzung dort sogr differenzierbr. Nch der Kettenregel gilt Φ (t) F [φ(t)φ (t) f [φ(t)φ (t), (3) d.h.φ(t)f[φ(t) ist eine Stmmfunktion von f [φ(t)φ (t). Mithin gilt β f [φ(t)φ (t) dt Φ(β) Φ(α) F[φ(β) F[φ(α), (33) α und mit der Vorussetzung 4 folgt schließlich Anmerkungen: β α f [φ(t)φ (t) dt F(b) F(). (34). Ds besondere n Gleichung (3) ist, dß die Umkehrfunktion vonφnicht benötigt wird, wie es beim unbestimmten Integrl der Fll ist (stttdessen müssen ber die Integrtionsgrenzen substituiert werden). Mehr noch:φmuß uf dem betrchteten Intervll [α,β nichteinml umkehrbr sein! Es genügt, irgendwelche Werte α und β zu finden, die den Vorussetzungen 3 und 4 genügen, wie ds folgende Beispiel zeigt.. In Stz 5 knn mn überll A und Bbsetzen, ohne dß er seine Gültigkeit verlöre. In der obigen Gestlt ist er jedoch llgemeiner. Als Beispiel sei für r>(reelle Konstnte) ds bestimmte Integrl r r x πr 4 (35) berechnet. f (x) r x ist stetig uf [, r, d.h. die Vorussetzung ist erfüllt mit A und Bbr. Zur Substitution von x bietet sich die uf gnz R stetig differenzerbre Funktion xφ(t)r sin t n. Es ist r cos t dt undφ() sowieφ(π/)r, d.h.α und βπ/ genügen der Vorussetzung 4. Ferner gilt r sin t [, r, so dß uch der Vorussetzung 3 genüge getn wird. Nch Gleichung (3) gilt lso r r x π/ r r sin t r cos t dt (36)

13 r π/ r r r π/ sin t cos t dt (37) cos t dt (38) [ t+cos t sin t π/ (39) π. (4) Alle Vorussetzungen von Stz 5 wären uch für A r, Br und z.b.α π,β5π/ erfüllt. Obwohl x φ(t) r sin t uf [ π, 5π/ nicht umkehrbr ist, gilt trotzdem r r x 5π/ π r r sin t r cos t dt. (4) Nur bereitet die Auswertung des rechtsseitigen Integrls größere Mühe, weil nun ds Vorzeichen des Kosinus bechtet werden muß: sin t cos t. Litertur [ Gregor Michilowitsch Fichtenholz: Differentil- und Integrlrechnung, Bnd. (Hochschulbücher für Mthemtik Bnd 6.) VEB Deutscher Verlg der Wissenschften,. Auflge, Berlin 99 (Verlg Hrri Deutsch, ISBN ) [ Wilhelm Göhler: Höhere Mthemtik, Formeln und Hinweise. VEB Deutscher Verlg für Grundstoffindustrie,. Auflge, Leipzig 989 (Verlg Hrri Deutsch, ISBN X) [3 Hns von Mngoldt, Konrd Knopp: Einführung in die Höhere Mthemtik, Bnd 3. S. Hirzel Verlg,. Auflge, Leipzig 963 (5. Auflge, Stuttgrt 99, ISBN ) 3