Anleitung zu Blatt 6 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / r. Hanna Peywand Kiani.. Anleitung zu Blatt 6 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Bereichsintegrale, Transformationssatz, Potentiale ie ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt!

2 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment R bzw R 3 kompakt, meßbar, ρ(x) Massendichte Masse: M ρ(x)dx Schwerpunkt: X s ρ(x)xdx (komponentenweise) ρ(x)dx Trägheitsmoment: Θ A ρ(x)r (x)dx r(x) Abstand zur Achse A Beispiel : Skizzieren Sie das durch die Ungleichungen x + y, y beschriebene Flächenstück. Schreiben Sie als Vereinigung von Normalbereichen und berechnen Sie den Schwerpunkt bei homogener ichte ρ. Lösung : x, x y +x : x, y +x 3 : x, y x 4 : x, +x y x

3 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 3 Masse : M ρd(x,y) d(x,y) Fläche x s M F Raute F abgschnittenesreieck 4 x ρ(x,y)d(x,y) (Symmetrie) y s y ρ(x,y)d(x,y), wobei + + M Es gilt y ρ(x,y) y ρ(x,y) (Symmetrie). 4 Aus Symmetriegründen gilt y ρ(x,y) y ρ(x,y). 3 Also erhält man y s M 7 7 +x ydydx 7 [ y ] +x ( (+x) ) dx 7( [ (+x) 3 ( ( 8 3 ) ) 4 3 dx ] )

4 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 4 Beispiel : Berechnen Sie das Intagral von f(x,y) R : x +y 4 über den Kreisring x +y Berechnung in kartesischen Koordinaten umständlich! In Polarkoordinaten x r cos(φ), y r sin(φ) gilt: R : r, φ π as Gebiet ist viel einfacher. ABER: Koordinatenwechsel / Substitution nötig! Transformationssatz: Zur Erinnerung: im R gilt φ(b) f(x)d(x) b φ(a) a f(φ(u)) φ (u)du (φ (u) x ]a,b[) Unter den in der Vorlesung angegebenen Voraussetzungen an Φ und und f gilt hier: f(x)d(x) f(φ(u)) detjφ(u) du ( detjφ(u) x ) Φ() Polarkoordinaten ( ) ( ) x r Φ(u) Φ y ϕ ( ) rcos(ϕ) rsin(ϕ) det(jφ(r, ϕ)) r Kugelkoordinaten x r y Φ(u) Φ ϕ z θ r cos(ϕ) cos(θ) r sin(ϕ) cos(θ) rsin(θ) det(jφ(r,ϕ)) r cos(θ) (vgl. Übungsblatt ). Zylinderkoordinaten x r rcos(ϕ) y Φ(u) Φ Φ rsin(ϕ) z z z cos(ϕ) rsin(ϕ) det(jφ(r, ϕ)) sin(ϕ) r cos(ϕ) r

5 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 5 Elliptische Kugelkoordinaten ( x ) ( y ) ( z ) Zum Beispiel bei Φ() + + a b c x r ar cos(ϕ) cos(θ) y Φ(u) Φ ϕ br sin(ϕ) cos(θ) z θ cr sin(θ) det(jφ(r,ϕ)) abcr cos(θ) (vgl. Übungsblatt ) Für Beispiel gilt also f(x,y)d(x,y) R R x +y d(x,y) r [φ]π dr π π r rdφdr dr πln(). r

6 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 6 Beispiel 3: Berechnen Sie das Integral zd(x,y,z) über den wie folgt beschriebenen Teil einer Kugelschale : { (x,y,z) T R 3 ; x +y +z 4, z }. Lösung: Kartesische Koordinaten zu umständlich. x r r cos(ϕ) cos(θ) Kugelkoordinaten: y Φ(u) Φ ϕ r sin(ϕ) cos(θ) z θ rsin(θ) r x +y +z 4 r [,] z rsinθ θ [ π,] Keine weitere Einschränkung : ϕ [,π]. zd(x,y,z) π rsin(θ)(r cos(θ))dθdϕdr π π π r 3 π sin(θ) dθdϕdr [ r 3 cos(θ) ] 4 π π r 3 [ 4 ] dϕdr 4 dϕdr π r 3 dr π[ ] π 5 4

7 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 7 Beispiel 4: Gegeben sei eine Platte in Form eines Parallelogramms: P { (x,y) T, y x, 3 y +3x } ie Platte habe die ichte ρ. Berechnen Sie das Trägheitsmoment von P bzgl, der x Achse. Verwenden Sie dazu die Transformationsformel aus der Vorlesung mit u : y x und v : y +3x. Hinweis: Trägheitsmoment bzgl. einer Achse A: Θ A ρ(x)r (x)dx r(x) Abstand zur Achse A Lösung 4: P Φ(Q), Q [,] x [ 3,] ( ) x Ψ Φ : (x,y) (u,v) Ψ y ( ) y x y +3x det JΨ det ( ) 4 detjφ detjψ 3 4. Φ und Ψ sind bijektive C Funktionen von Q nach P bzw. umgekehrt. Alternativ : Trägheitsmoment ( ) x y 4 ( ) v u v +3u Abstand r von der x Achse y Θ P ρr (x,y)d(x,y) P y d(x,y) : Φ(u,v), det(jφ(u,v) 4. 4 (3u+v) Q ( ) 4 (3u+v) detjφ d(u,v) 8 3 (3u+v) 4 dvdu 3 96 (3u+v) 3 3 ( (3u+) 4 v v 3 du 96 (3u 3)4 ) ( (3u+) 3 (3u 3) 3) du 7 3 5,375 Hinweis: im R 3 wäre der Abstand zur x Achse y +z :

8 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 8 Potentiale Sei R n ein Gebiet. f : R n Vektorfeld, φ : R heißt Potential von f, wenn x : φ(x) gradφ(x) T f (x) Im R 3 heißt das φ x f, φ y f, φ z f 3 Zur Erinnerung: rot(gradφ) C Funktionen φ Rotation des Vektorfeldes bei n3 (f 3 ) y (f ) e e e 3 z rot f (x,y,z) : (f ) z (f 3 ) x det (f ) x (f ) x x x 3 y f f f 3 Rotation des Vektorfeldes bei n: rot f (x,y) : (f ) x (f ) y Integrabilitätsbedingung: rot f Es gibt kein Potential einfach zusammenhängend: J f symmetrisch Potential Konstruktion von φ Beispiel ) f x y z 3x y e x z x 3 y +sinz? ycosz e x φ x φ y φ z Falls dann und φ x 3x y e x z φ(x,y,z) x 3 y e x z + C(y,z) φ y x 3 y + C y (y,z) andererseits φ y! f x 3 y +sinz C y (y,z)! sinz C(y,z) ysinz + C(z) also und φ(x,y,z) x 3 y e x z + ysinz + C(z) φ z ycosz e x + C (z) andererseits φ z! f 3 ycosz e x C (z)! C(z) k also φ(x,y,z) x 3 y e x z + ysinz +k k R

9 Anleitung zu Blatt 6, Analysis III, H. P. Kiani,.. 9 Beispiel ) y x xy + f cos (xy ) y x xy + cos (xy ) as sieht kompliziert aus! Lohnt sich der Versuch des Integrierens? rotf(x,y) (f ) x (f ) y? x+ ycos (xy ) cos(xy )( sin(xy ))y xy cos 4 (xy ) x ycos (xy ) cos(xy )( sin(xy ))xy y cos 4 (xy ) φ x φ y (x,y). Es gibt kein Potential. Beispiel 3) R 3, f x y z yz cos(x) zsin(x)+y +z? ysin(x)+y φ x φ y φ z... zcos(x) ycos(x) J f (x,y,z) zcos(x)... sin(x)+ ycos(x) sin(x)+... nicht symmetrisch kein Potential.