8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen

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1 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 $Id: fourier.tex,v.4 9/7/ :5:6 hk Exp $ 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8. Fourier Reihen Wir wollen jeder, oder zumindest möglichst vielen, Funktionen f mit Periode eine Fourierreihe f(x) = a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) n= zuordnen, die nach Möglichkeit gegen die Funktion f(x) konvergiert. Für welche Werte des Arguments x eine allgemeine Fourierreihe konvergiert ist ein schweres Problem, tatsächlich wurde der Begriff der Menge zur Behandlung dieser Frage überhaupt eingeführt. Für unsere Zwecke spielt dies glücklicherweise keine grosse Rolle, da wir mit einer gegebenen Funktion f starten wollen, und zu dieser dann passende Fourierkoeffizienten zu berechnen haben. Wie muss man jetzt die Fourierkoeffizienten wählen um eine gegebene Funktion f(x) als Grenzwert zu erhalten? Ein Weg dies zu sehen, ist es das Skalarprodukt f g := f(x)g(x) dx zu betrachten. Wenn f, g dabei periodisch mit Periode sind, so spielt es keine Rolle über welches Intervall der Länge wir integrieren, gelegentlich wird es auch nützlich sein, [, ] statt [, ] zu verwenden. Auf welchen Vektorraum wir dieses Skalarprodukt betrachten ist ein wenig komplizierter, man kann beispielsweise im wesentlichen die periodischen Funktionen f nehmen, deren Quadrat über [, ] integrierbar ist. Entscheidend sind jetzt die sogenannten Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen. Sind n, m N, so hatten wir in. bereits das unbestimmte Integral n cos(nx) sin(mx) m sin(nx) cos(mx) sin(nx) sin(mx) dx = m n für n m und für n = m berechnet, und damit ist sin (nx) dx = x sin(nx) cos(nx) n sin(nx) sin(mx) dx = - {, n = m,, n m.

2 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 Ebenso haben wir mit den Formeln aus. auch {, n = m, cos(nx) cos(mx) dx =, n m, und cos(nx) sin(mx) dx =. Für unser Skalarprodukt bedeuten diese Gleichungen sin(nx) sin(mx) = cos(nx) cos(mx) = {, n = m, n m und d.h. die Funktionen sin(nx) cos(mx) =, sin(x), cos(x), sin(x), cos(x), sin(x), cos(x),... bilden eine Orthonormalbasis des von ihnen erzeugten Teilraums. Es fehlen hier aber noch die konstanten Funktionen, und um diese zu erfassen, wollen wir die Funktion konstant zu unserer Orthonormalbasis hinzufügen. Für alle n N gilt ja sin(nx) = sin(nx) dx = cos(nx) n = und ebenso cos(nx) =, d.h. die Funktion steht auf allen unseren trigonometrischen Funktionen senkrecht. Wegen = dx = hat sie aber die Länge. Teilen wir die Funktion konstant durch ihre Länge, so erhalten wir die konstante Funktion mit dem Wert / = / und wegen sin(nx) = cos(nx) =, =, können wir diese unserer Orthonormalbasis hinzufügen. Die trigonometrischen Funktionen, sin(x), cos(x), sin(x), cos(x), sin(x), cos(x),... bilden also eine Orthonormalbasis. Eigentlich haben wir den Begriff einer Orthonormalbasis nur im endlich dimensionalen Fall eingeführt, aber wir wollen hier einmal -

3 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 glauben, dass sich die Theorie auch auf den hier benötigten allgemeineren Fall ausdehnen läßt. Insbesondere gehen wir davon aus das sich Satz auch auf diesen Fall anwenden läßt, d.h. die Darstellung eines Vektors bezüglich einer Orthonormalbasis (u n ) n N ist v = n= u n v u n. Es läßt sich tatsächlich beweisen das die hier aufgelisteten Funktionen eine Orthonormalbasis des gesamten Vektorraums aller quadratintegrierbaren Funktionen bilden, dies ist der sogenannte Satz von Riesz und Fischer. Wir wollen dieses eher theoretische Resultat an dieser Stelle akzeptieren und es auf unser Problem der Bestimmung der Fourierkoeffizienten anwenden. Sei also f eine quadratintegrierbare, periodische Funktion mit der Periode. Wie bereits bemerkt nimmt Satz dann die Form f(x) = f + sin(x) f sin(x) + cos(x) f cos(x) + sin(x) f sin(x) + cos(x) f cos(x) + an. Die Fourierkoeffizienten der Funktion f werden damit zu den Skalarprodukten von f mit den Funktionen aus unserer Orthonormalbasis, d.h. mit f(x) = a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) a n = b n = n= f(x) cos(nx) dx (n =,,,...), f(x) sin(nx) dx (n =,,,...). Dabei ist die Bestimmung von a ein Sonderfall, eigentlich ist der Fourierkoeffizient gleich ã := frac f = f(x) dx = f(x) dx = a, aber bei der Multiplikation mit dem Basiselement / wird dies zu ( ) ã = a = a. Insbesondere ist diese Formel der Grund warum man in einer Fourierreihe a / schreibt, dadurch gilt die Formel zur Berechnung von a n auch für den Fall n =. Die Zahlen a n, b n bezeichnet man als die Fourierkoeffizienten der Funktion f, und die zugehörige Reihe als die Fourierreihe von f. Dabei brauchen wir für die Definition der Fourierkoeffizienten über die obigen Formel nicht das die Funktion quadratintegrierbar ist, -

4 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 einfache Integrierbarkeit reicht zur Bildung der Fourierreihe bereits aus. Diese Feinheit wird für uns aber keine Rolle spielen. Wir wollen als ein Beispiel die schon oben eingeführte Sägezackenfunktion f durchrechnen, die für x durch { x, < x <, f(x) =, x = ± definiert wird und dann periodisch mit Periode auf ganz R fortgesetzt wird. Wir hatten schon früher bemerkt das es egal ist über welches Intervall der Länge wir intergrieren. In diesem Beispiel ist es bequem die Integrale von bis zu betrachten, statt von bis, denn zwischen und ist f(x) = x aber zwischen und haben wir zwei Teilstücke, einmal f(x) = x für < x und einmal f(x) = x für < x <. Als Fourierkoeffizienten ergeben sich und für n =,,,... ist a n = und b n = a = x cos(nx) dx = x sin(nx) n x sin(nx) dx = x cos(nx) n x dx =, sin(nx) dx = n n cos(nx) + cos(nx) dx n + = ( )n n Die Fourierreihe der Funktion f(x) ist also tatsächlich ( sin(x) f(x) = sin(x) + sin(x) = n sin(nx) ( )n =. n ). Bevor wir ein weiteres Beispiel rechnen wollen wir eine nützliche kleine Beobachtung festhalten. Im eben gerechneten Beispiel kommen nur Sinusterme vor, dies hätten wir auch gleich ohne jede Rechnung wissen können. Beachte nämlich das die Sinusfunktionen ungerade, die Cosinusfunktionen aber gerade sind. Haben wir also nur Sinusterme, so ist f(x) ungerade, und haben wir nur Cosinusterme so ist f(x) gerade. Wir wollen uns kurz klarmachen, dass auch die Umkehrung dieser Tatsache gilt. Ist f ein ungerade Funktion, also f( x) = f(x) für alle x R, so haben wir für n =,,,... stets f(x) cos(nx) dx = f( t) cos( nt) dt = f(t) cos(nt) dt, -4

5 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 also auch f(x) cos(nx) dx = f(x) cos(nx) dx + f(x) cos(nx) dx =. In der Fourierreihe einer ungeraden Funktion kommen also immer nur Sinusterme vor. Weiter haben wir auch und somit ist b n = f(x) sin(nx) dx = f(x) cos(nx) dx = ( f( t) sin( nt) dt = f(x) cos(nx) dx + f(t) cos(nt) dt, ) f(x) cos(nx) dx = f(x) sin(nx) dx. Diese Formel ist für konkrete Rechnungen oft nützlich, besonders wenn f in mehreren Stücken definiert ist. Ganz ähnlich läst sich nachrechnen, dass in der Fourierreihe einer geraden Funktion nur Cosinusterme vorkommen, wobei wir den konstanten Term zu den Cosinustermen zählen. Die Fourierkoeffizienten der Cosinus Terme können wir dann auch als a n = f(x) cos(nx) dx bestimmen. Wir rechnen jetzt ein weiteres Beispiel, die Funktion, < x <, f(x) =, < x <,, x =,, periodisch auf ganz R fortgesetzt. 5 5 Diese Funktion bezeichnet man manchmal als die Ein/Aus Funktion oder auch als eine Rechteckwelle. Die Funktion f ist wieder ungerade, wir haben also nur Sinusterme in der Fourierreihe. Für jedes n N ist b n = f(x) sin(nx) dx = sin(nx) dx = cos(nx) n = n (( )n + ) = { 4, n n ungerade,, n gerade. -5

6 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 Als Fourierreihe von f(x) ergibt sich f(x) = 4 ( sin x + sin(x) + sin(5x) 5 ) +. Wann und in welchen Sinne konvergiert jetzt die Fourierreihe einer Funktion gegen diese Funktion? Für quadratintegrierbare Funktionen f wissen wir bereits, dass die Partialsummen a n + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k= im quadratischen Mittel die besten Approximationen der Funktion f durch trigonometrische Polynome von Grad höchstens n sind. Damit sind beispielsweise für n = 5,, die besten Approximationen der obigen Beispielfunktion f die entsprechend abgebrochenen Teile der eben ausgerechneten Fourierreihe. Die Graphen dieser trigonometrischen Polynome sind: x x x n = 5 n = n = Auch hier hat man zumindest optisch den Eindruck das die Fourierreihe gegen die Rechteckwelle f(x) konvergiert. In unseren Beispielen konvergiert die Fourierreihe von f stets gegen die Funktion f, aber dies ist keinesfalls immer so, es gibt integrierbare periodische Funktionen, deren Fourierreihe in keinem einzigen Punkt konvergiert. Derartige Beispiele treten in praktischen Anwendungen aber erfreulicherweise in der Regel nicht auf. All unsere Beispielfunktionen waren bisher bis auf einige Sprungstellen stetig differenzierbar, und in diesem Fall konvergiert die Fourierreihe im wesentlichen immer. Satz 8. (Konvergenz der Fourierentwicklung) Sei f : R R eine periodische Funktion, die bis auf Perioden nur an endlich vielen Stellen nicht stetig differenzierbar ist. Mit bis auf Perioden ist damit gemeint das wir jede Gruppe t, t ±, t ± 4,... von Unstetigkeitsstellen nur einmal zählen. Für jeden -6

7 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 Punkt t in dem f nicht stetig differenzierbar ist, sollen die links- und rechtsseitigen Grenzwerte lim s t f(s) und lim s t f(s) existieren, und es gelte f(t) = ( ) lim f(s) + lim f(s). s t s t Dann konvergiert die Fourierreihe von f in jedem Punkt x R gegen f(x). Ist I = [a, b] ein Intervall, das keinen der Punkte enthält in denen f nicht stetig differenzierbar ist, so konvergiert die Fourierreihe auf I gleichmäßig gegen f. Dieser Satz deckt die meisten Anwendungssituationen ab, insbesondere werden die beiden von uns hier gerechneten Beispiele von dem Satz erfasst. Die Sichtweise der Fourierreihe als Entwicklung nach einer Orthonormalbasis erlaubt es uns auch die Bessel Identität Satz auf die Fourierkoeffizienten einer quadratintegrierbaren Funktion zu übertragen. Satz 8.4 (Bessel Identität für die Fourier Koeffizienten) Sei f : [, ] R eine quadratintegrierbare Funktion periodisch auf ganz R fortgesetzt, und bezeichne f(x) = a + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) ihre Fourierreihe. Dann gilt a n= + (a n + b n) = n= f(x) dx. Wenden wir dies beispielsweise einmal auf unsere Sägezackenfunktion ( f(x) = sin x sin(x) + sin(x) sin(4x) ) + 4 an. Die Bessel Identität wird dann zu 4 n = x dx = x n= = = 8.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen n= n = 6. Fourierreihen wurden ursprünglich als ein Hilfsmittel zur Lösung gewisser partieller Differentialgleichungen eingeführt, das Urbeispiel war dabei die sogenannte Wärmeleitungsgleichung. Zum Abschluß unserer Überlegungen wollen wir jetzt eine sehr ähnliche Aufgabe besprechen, nämlich wieder unsere Wellengleichung. Die Wellengleichung hatten wir bereits in besprochen und begründet das sie die Bewegung einer zwischen x = und x = eingespannten Saite beschreibt. Die Wellengleichung hatte die Form u t = ν u, u(, t) = u(, t) = x -7

8 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 wobei ν > eine Materialkonstante ist. In 5 hatten wir die Wellengleichung dann als Ausgangspunkt eines Eigenwertproblems verwendet, und als Eigenvektoren hatten wir die Grundschwingungen u(x, t) = sin(nx) ( A sin ( ) nt + B cos ν ( )) nt ν mit Konstanten n N, A, B R berechnet. Dies sind spezielle Lösungen der Wellengleichung, und allgemeinere Lösungen kriegen wir durch Überlagerungen der Grundschwingungen. Wir wollen jetzt Lösungen der Wellengleichung zu vorgegeben Anfangsdaten berechnen. Der bequemeren Notation halber normieren wir die Materialkonstante ν auf ν =, dies ist keine wesentliche Einschränkung. Was können wir sinnvoll als Startwerte vorgeben? Da die Wellengleichung die zweite Ableitung nach t, also im wesentlichen die Beschleunigung, vorgibt, ist es naheliegend zum Zeitpunkt t = eine Anfangsposition φ(x) und eine Anfangsgeschwindigkeit ψ(x) vorzuschreiben. Wir stellen uns also das folgende Problem: Gegeben: Zwei (geeignete) Funktionen φ, ψ : [, ] R mit φ() = φ() = und ψ() = ψ() =. Gesucht: Eine Lösung u(x, t) der Wellengleichung mit u(x, ) = φ(x) und u (x, t) = ψ(x) t für alle x. Als einen Ansatz schreiben wir das gesuchte u(x, t) als eine allgemeine Überlagerung der Grundschwingungen u(x, t) = sin(nx) (A n sin(nt) + B n cos(nt)), n= wobei wie die Konstanten A n, B n so bestimmen müssen, dass u(x, t) unsere Anfangsbedingungen erfüllt. Bevor wir in die systematische Herleitung der Formeln für A n, B n einsteigen, wollen wir uns einige Beispiele anschauen. Wir beginnen mit der Startauslenkung φ(x) = und der Startgeschwindigkeit ψ(x) = x sin x. -8

9 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag x.5 x ψ(x) = x sin x Lösung u(x, t) 4 t 5 6 Im statischen Plot auf der rechten Seite kann man natürlich nicht allzu viel erkennen, eine Animation in der u(x, t) mit sich in der Zeit verändernden t geplottet wird finden Sie unter dem Namen Animationen gleich neben dieser Datei. Im nächsten Beispiel verwenden wir die Startgeschwindigkeit ψ(x) = und für die Startauslenkung nehmen wir die unten gezeigte Funktion φ(x) x.5 t φ(x) Lösung u(x, t) Die Startauslenkung ist ist wesentlichen so etwas wie eine angezupfte Saite, und Startgeschwindigkeit bedeutet das wir die Saite in dieser Auslenkung einfach loslassen. Auch hier ist die Animation etwas übersichtlicher. -9

10 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag.7 Als ein letztes Beispiel wollen wir uns auch noch eine Wellengleichung anschauen bei der φ und ψ nicht Null sind. Als Startauslenkung nehnem wir wieder dieselbe Funktion wie im vorigen Beispiel. Als Startgeschwindigkeit verwenden wir eine leicht modifizierte Form der Geschwindigkeit des ersten Beispiels, nämlich ψ = x sin x + q(x) wobei q(x) eine bei /4 zentrierte Anzupfung ist. Die Graphen sehen wie folgt aus x t ψ(x) Lösung u(x, t) In all diesen Beispielen haben wir die Lösung u(x, t) als eine nach zwanzig Termen abbrechende Überlagerung unserer Grundschwingungen mit geeignet gewählten Koeffizienten A n, B n berechnet. Wir kommen nun zum rechnerischen Verfahren zur Bestimmung dieser Zahlen. Unser Ansatz war u(x, t) = sin(nx) (A n sin(nt) + B n cos(nt)), n= und wir setzen hier t = ein. Es ergibt sich die Bedingung φ(x) =! u(x, ) = B n sin(nx). Rechts steht hier jetzt eine Fourierreihe. Zuerst erscheint es irritierend, dass in dieser Reihe nur Sinusterme stehen, aber die Funktion φ ist ja auch nur auf [, ] definiert, und nicht auf einem Intervall der Länge. Setzen wir φ durch φ(x) := φ( x) auf [, ] fort, und von dort periodisch auf ganz R, so wird φ zu einer ungeraden, periodischen Funktion und wir haben tatsächlich nur Sinusterme in der Fourierreihe von φ. Insbesondere können wir die Zahlen B n jetzt ausrechnen, es ist B n = n= φ(x) sin(nx) dx für jedes n N. Damit ist die eine Hälfte unserer Aufgabe bereits gelöst. -