D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 3

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1 D-MAVT Lineare Algebra II FS 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 3. Die Norm x x + y wird von einem Skalarprodukt induziert. y a richtig b falsch Diese Norm erfüllt die Parallelogrammregel nicht und wird daher nicht von einem Skalarprodukt induziert vgl. Aufgabe 9a dieser Serie. In der Tat haben wir für v, und w, v + w + v w, +, + 8, v + w + 4, also v + w + v w v + w.. a, b : ab ist ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum R. a richtig b falsch a, b : ab erfüllt die Eigenschaften eines Skalarprodukts auf R:. linear im ersten Faktor: i a + a, b a + a b a b + a b a, b + a, b ii αa, b αab αab α a, b. symmetrisch: a, b ab ba b, a 3. positiv definit: a, a a für alle a R und aus a, a a folgt a.

2 3. Für jedes x R n gilt x x x. a richtig b falsch Sei x x,..., x n R n. Dann ist x max{ x,..., x n } max{x,..., x n} x + + x n x und x x + + x n x + +x n + x i x j x + +x n x. i<j Daher gilt x x x. 4. Die Folge von Funktionen f n x +nx auf [, ] konvergiert bezüglich der Norm L gegen die Funktion fx. a richtig b falsch Es gilt f n f n x dx n arctan n arctan n n + nx n arctannx arctan n n π. Also konvergiert die Folge von Funktionen f n x bezüglich der Norm L gegen die Nullfunktion f. 5. Die Folge von Funktionen f n x +nx auf [, ] konvergiert bezüglich der Norm L gegen die Funktion fx. a richtig b falsch Nach Definition der Maximumsnorm auf C [, ] haben wir { } f n max{ f n x : x } max + nx : x. Somit konvergiert die Folge von Fuktionen f n x bezüglich der Norm L nicht gegen die Nullfunktion f.

3 6. Der Betrag ist eine Norm auf dem Vektorraum R. a richtig b falsch Der Betrag auf R erfüllt die Eigenschaften einer Norm:. Es gilt a für alle a R und aus a folgt a.. Für alle a, α R gilt αa α a. 3. Für alle a, b R gilt die Dreiecksungleichung a + b a + b.

4 7. Sei V R, D diag, 3. Wir definieren x, y : x Dy für x, y V. a Zeigen Sie, dass, in V ein Skalarprodukt definiert. b Wie sieht die durch, induzierte Norm aus? / c Berechnen Sie die Norm von x. 3 Lösung: Zuerst bemerken wir, dass D diag, 3 3 x y x und y gilt: x y x, y : x y Dy x x 3 y x y + 3 x y. a Wir kontrollieren die Eigenschaften eines Skalarprodukts: ist. Für a Für alle x, y, z V und α R gilt i x + y, z x + y Dz x Dz + y Dz x, z + y, z, ii αx, y αx Dy αx Dy α x, y., ist also linear im ersten Faktor. b, ist symmetrisch, denn für alle x, y V gilt: x, y x Dy x Dy R x Dy y D x y Dx y, x. Bemerkung: Für D nicht symmetrisch ist x, y x Dy nicht mehr symmetrisch, also kein Skalarprodukt. c, ist positiv definit, denn: x, x x + 3 x für alle x R x, x x + 3 x x x, also x., ist also ein Skalarprodukt in V. b Die durch, induzierte Norm ist x : x, x x Dx x + 3 x. c

5 8. Wir betrachten die Funktionen f n x : α n cosnx und g m x : β m sinmx für m, n N, m und α n, β m > im Vektorraum V C [, ], den wir mit dem Skalarprodukt ausstatten. f, g fxgx dx a Man rechne nach, dass je zwei verschiedene Funktionen aus dieser Menge orthogonal sind. b Wie sind α n und β m zu wählen, damit alle Funktionen aus dieser Menge die Norm haben? Hinweis: Verwenden Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten: sin u sin v cosu v cosu + v cos u cos v cosu v + cosu + v sin u cos v sinu v + sinu + v Lösung: a Wir müssen die Orthogonalitätsrelationen f m, f n, g m, g n für m n sowie f n, g m zeigen. Wir benutzen dafür die trigonometrischen Identitäten aus dem Hinweis und rechnen zuerst die drei Relationen für m n nach: f m, f n m n αm cosmx α n cosnx dx α mα n cosm nx dx + α mα n sinm nx m n α mα n +. + cosm + nx dx m + n sinm + nx g m, g n m n βm sinmx β n sinnx dx β mβ n cosm nx dx β mβ n sinm nx m n β mβ n +. cosm + nx dx m + n sinm + nx

6 f n, g m m n αn cosnx β m sinmx dx α nβ m α nβ m α nβ m sinm nx dx + cosm nx m n m + n m n + m n m + n + m + n Es bleibt die dritte Relation für m n zu zeigen: f n, g n b Für n, m bekommen wir und für n f n, f n αn cosnx β n sinnx dx α nβ n sin dx + n α nβ n n cosnx α nβ n n +. n n g m, g m m f, f α n α n αn cosnx α n cosnx dx cos dx + + n sinnx sinm + nx dx sinnx dx cosnx dx α n + αn π, βm sinmx β m sinmx dx β m β m cos dx m sinmx β m + β m π α α dx α. cosmx dx cosm + nx. Die Funktionen f n und g m haben genau dann Norm, wenn f n, f n und g m, g m gilt. Somit muss α n π für n und β m π für

7 m sowie α π gelten. Also muss gelten: α n β m π, n, m und α.

8 9. a Sei eine von einem Skalarprodukt induzierte Norm. Man rechne nach, dass dann die Parallelogrammregel gilt: x + y + x y x + y. b Man verifiziere, dass die Maximumsnorm f L : max{ fx : a x b} auf C [a, b] die Axiome einer Norm erfüllt. c Auf dem Vektorraum der Polynome definiert P, Q : P xqx dx ein Skalarprodukt. Bestimmen Sie ein Polynom zweiten Grades, das senkrecht auf P x und P x x steht. Lösung: a Wir nehmen an, dass vom Skalarprodukt, induziert ist. Wir rechnen die Parallelogrammregel unter Ausnutzung der Bilinearität und Symmetrie nach: x + y + x y x + y, x + y + x y, x y b i Für jede Funktion f C [a, b] gilt x, x + x, y + y, x + y, y + x, x x, y y, x + y, y x, x + y, y x + y. f L max{ fx : a x b}. ii Aus f L max{ fx : a x b} folgt fx für alle x [a, b], also f. Für jede Funktion f C [a, b] und jedes α R gilt αf L max{ α fx : a x b} max{ α fx : a x b} α max{ fx : a x b} α f L. Für alle Funktionen f, g C [a, b] gilt f + g L max{ fx + gx : a x b} max{ fx + gx : a x b} max{ fx : a x b} + max{ gx : a x b} f L + g L.

9 c Wir machen den Ansatz P x x + ax + b für ein Polynom zweiten Grades, das senkrecht auf P x und P x x steht. Die Relationen P, P und P, P liefern zwei lineare Gleichungen für die Koeffizienten a und b: P, P P, P x + ax + b dx x3 3 + ax x 3 + ax + bx dx x4 4 + ax3 Dies entspricht dem Gleichungssystem 3a + 6b 4a + 6b 3, welches wir mit dem Gaussverfahren lösen: + bx 3 + a + b, 3 + bx 4 + a 3 + b Also ist die eindeutige Lösung durch a und b 6 gegeben und P x x x + 6 ist ein Polynom zweiten Grades, das senkrecht auf P x und P x x steht.