Riemannsche Flächen. Übungsaufgaben SS 10

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1 Franz Pedit Tübingen Riemannsche Flächen Übungsaufgaben SS Grundlegendes zu Riemanschen Flächen Aufgabe 1. Sei f : U C holomorph auf der offenen Menge U C. Zeige, daß es zu jedem z 0 U eine Darstellung f(z) = (z z 0 ) n g(z) in einer genügend kleinen Umgebung von z 0 in U gibt, mit g holomorph, g(z 0 ) 0 und n N. Aufgabe 2. Sei U C offen. Zeige, daß eine holomorphe Abbildung f : U C offen ist, d.h., f(v ) C ist offen für jede offene Teilmenge V U. Aufgabe 3. Sei U C offen und f : U C injektiv und holomorph. Zeige, daß dann f ein holomorpher Diffeomorphismus ist. Also f(u) C ist offen, und f 1 : f(u) U C ist wieder holomorph. Gilt dieser Satz auch, falls man holomorph durch glatt ersetzt? Hinweis: Inverses Funktionentheorem und komplexe Linearität von f und Aufgabe 1. Aufgabe 4. Sei Γ C ein Gitter und f : C C eine Γ-periodische meromorphe Funktion, also f(z + γ) = f(z) für alle γ Γ. Zeige, daß die Residuensumme von f innerhalb eines Fundamentalparallelogrammes null ist. Schließe daraus, daß f mindestens 2 einfache Pole bzw. mindestens einen Pol 2-ter Ordnung ohne Residuum haben muss. Aufgabe 5. Sei Γ C ein Gitter und P die zugehörige Weierstrass P-Funktion. Zeige P ist eine Γ-invariante meromorphe Abbildung auf C mit Polen 2-ter Ordnung (ohne Residuen) in Γ (Hinweis: zeige Invarianz von P ; zeige absolute und gleichmässige Konvergenz weg von den Polen von P.) Leite die Differentialgleichung der P-Funktion her (Hinweis: Satz von Liouville). Aufgabe 6. Eine gebrochen lineare Abbildung T : C C ist eine meromorphe Abbildung der Form T (z) = az+b mit a, b, c, d C und ad bc = 1. Zeige: cz+d (i) solche Abbildungen bilden eine zu SL(2, C) isomorphe Gruppe. (ii) solche Abbildungen bilden Kreise auf Kreise ab (Kreis kann auch unendlichen Radius haben, also eine Gerade sein) und erhalten Winkel. (iii) solche Abbildungen lassen sich zu holomorphen Diffeomorphismen T : P 1 P 1 fortsetzen. (iv) Jeder holomorphe Diffeomorphismus von P 1 ist eine gebrochen lineare Transformation.

2 2 Diese Aufgabe wurde etwas umgeschrieben ( ): das Grundproblem ist, holomorphe Diffeomorphieklassen von Tori zu beschreiben als 2-dimensionale topologische (und auch C Mannigfaltigkeit) ist ja jeder Torus wegen Aufgabe 9 homeomorph (diffeomorph) zu S 1 S 1.. Aufgabe 7. Seien Γ, Γ C zwei Gitter und f : C/Γ C/Γ ein holomorpher Diffeomorphismus. (i) Zeige, daß es ein a C := C \ {0} gibt, sodaß aγ = Γ ist. Warum hat dies damit zu tun, daß man f zu der Abbildung ˆf : C C mit ˆf(z) = az liften kann? (ii) Zeige, daß der Modulraum der holomorphen Diffeomorphieklassen von Tori durch die Menge G/C bechrieben ist, wobei G die Menge der Gitter in C ist und C durch Multiplikation auf G operiert. (iii) Zeige, daß G/C bijektiv zur Teilmenge B C ist, wobei B das durch die vertikalen Geraden Re(z) = ± 1 und dem Einheitskreis berandete 2 unbeschränkte Gebiet in der oberen Halbebene ist (die linke vertikale Gerade und der halbe linke Kreisbogen inklusive i ist dabei Teil von B, der Rest des Randes jedoch nicht; zeichne B). Hinweis: die Bijektion ist so gegeben: in jeder Äquivalenzklasse C Γ gibt es ein eindeutiges Gitter Z Zτ mit τ B; Gitterbasen werden durch SL(2, Z) ineinander umgerechnet. (iv) Zusaetzlich interessant ist auch noch zu sehen, daß B der Fundamentalbereich der Aktion von SL(2, Z) vermoege gebrochen linearer Abbildungen auf der oberen Halbebene H ist (spezielle Untergruppen G von SL(2, Z) liefernd dann als Quotienten H/G kompakte Riemannsche Flächen, ähnlich wie C/Γ für C). Wir haben also gezeigt, daß der Modulraum der holomorphen Diffeomorphieklassen von Tori wieder eine Riemannsche Fläche (mit Rand), nämlich B C ist. Aufgabe 8. Zeige, daß die Riemannsche Fläche P 1 homeomorph zur Einheitssphäre in R 3, also insbesondere kompakt, ist (Hinweis: stereographische Projektion). Aufgabe 9. Zeige, daß die Riemannsche Fläche C/Γ, mit Γ = Zγ 1 Zγ 2 ein Gitter in C, homeomorph zu S 1 S 1, also insbesondere kompakt, ist (Hinweis: für z = sγ 1 + tγ 2 definiere f(z) = (exp(2πis), exp(2πit)) als Kandidaten für den Homeomorphismus). Kleiner Exkurs in projektiver Geometrie: der n-dmensionale projektive Raum über einem Körper K ist durch den Raum der Geraden (durch Null), also den 1-dimensionalen Unterräumen KP n := {Kx ; 0 x K n+1 } von K n+1 gegeben. K operiert durch Multiplikation auf K n+1 und es ist offensichtlich KP n = K n+1 /K. Die Schreibweise Kx = [x 0 : x 1 : : x n ] ist

3 traditionell, und man nennt x = (x 0,..., x n ) homogene Koordinaten (sie sind nur bis auf gemeinsame Multiplikation mit a K bestimmt) des projektiven Punktes Kx. Durch Wahl einer Hyperebene im Unendlichen, z. Bsp. 0 K n K n+1, kann man K n in den KP n vermöge K n P K n : y K(1, y) einbetten. Damit entsprechen die affinen Punkte y K n den projektiven Punkten K(1, y) welche gerade nicht in 0 K n liegen. Somit ist also P K n = K n P K n 1, und man hat die Interpretation von P K n 1 als der unendlich fernen Hyperebene in P K n (es ist sehr nuetzlich, sich das Bild der projektiven Geraden und Ebene zu zeichnen und die obigen Begriffe darin zu studieren). Aufgabe 10. Zeige, daß die Riemannsche Zahlenkugel P 1 zur komplexen projektiven Gerade CP 1, welche mit den Karten (U i, ϕ i ), i = 1, 2, zu einer Riemannschen Fläche gemacht wird, holomorph diffeomorph ist. Dabei sind U i = {[z 1 : z 2 ] CP 1 ; z i 0} und ϕ i : U i C durch ϕ i ([z 1 : z 2 ]) = z j /z i, i j, gegeben. Aufgabe 11. Zeige, daß f : M C in p 0 M eine Nulstelle (Polstelle) der Ordnung n hat, genau dann wenn es zentrierte Karten (U, ϕ) um p 0 gibt mit f ϕ 1 = z n (1/z n ). Aufgabe 12. Sei P : P 1 P 1 ein Polynom vom Grad d 1. Bestimme alle Verzweigungspunkte, deren Ordnungen, die Verzweigungswerte, und den Abbildungsgrad von P. Aufgabe 13. In der Vorlesung wurde im globalen Struktursatz einer holomorphen Abbildung f : M N zwischen kompakten Riemannschen Flächen gezeigt, daß in einer Umgebung Ũ eines Punktes q 0 N, welcher kein Verzweigungswert ist, f eine holomorphe Überlagerung ist: also es existieren U i offene disjunkte Umgebungen von den Punkten p i f 1 (q 0 ), i = 1,..., d, mit f : U i Ũ ein holomorpher Diffeomorphismus. Daraus wurde geschlossen, daß f 1 (q) auch genau d verschiedene Punkte enthält für alle q Ũ. Eine Lücke in diesem Beweis ist, wieso es nicht sein kann, daß es für q Ũ, q q 0, ein p f 1 (q) gibt, welches nicht in der Vereinigung der d i=1 U i liegt. Wie kann man diese Lücke schließen? Aufgabe 14. Sei P C[z, w] ein Polynom in 2 Variablen und betrachte M := {(z, w) C 2 ; P (z, w) = 0} die Nullstellenmenge in C 2 (man nennt dies eine affine algebraische Kurve in der algebraischen Geometrie). Es gelte in jeden Punkt (z, w) M, daß P P 0 oder 0. Zeige, daß man dann M zu einer z w Riemannschen Fläche (man sagt die algebraische Kurve ist glatt) machen kann: was sind die Karten und wie sehen die Übergangsfunktionen aus? Schließe auch, daß M nie kompakt sein kann. Hinweis: holomorphes implizites Funktionentheorem, was wir vorerst ohne Beweis benutzen, und Maximumsprinzip. 3

4 4 Welche Voraussetzungen müssen an die Nullstellen eines Polynoms Q C[z] gestellt werden, damit die Kurve M = {w 2 Q(z) = 0} glatt ist, also M eine Riemannsche Fläche ist? Obige Aufgabe zeigt, wie man Beispiele nicht-kompakter Riemannsche Flächen als Nullstellenmengen von Polynomen auf C 2 erhalten kann. Um kompakte Riemannsche Flächen so zu erhalten, müssen wir die Polynome fortsetzten auf den CP 2. Dazu überlegen wir uns zuerst, wie man CP 2 zu einer komplexen Fläche (also 2-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit) macht (damit ist natürlich klar, was man mit CP n tun muss). Aufgabe 15. Versehe CP 2 = C 3 \ {0}/C mit der Quotiententopologie. (i) Zeige, daß CP 2 zusammenhängend, Hausdorffsch, abzählbar und kompakt ist (für das Letztere überlege, daß CP 2 zu S 5 /S 1 homeomorph ist, wie?). (ii) Definiere (affine) Karten analog zu CP 1, also zuerst offene (wieso) Teilmengen U i := {[z 0 : z 1 : z 2 ] ; z i 0}, i = 0, 1, 2, und Abbildungen ϕ i : U i C 2 vermöge ϕ i ([z 0 : z 1 : z 2 ]) := (z j /z i ) j i. Zeige, daß diese einen holomorphen Atlas von CP 2 bilden. Damit wird also CP 2 zu einer kompakten, komplexen Fläche. (iii) Zeige, daß die Nullstellenmenge eines homogenen Polynoms in 3 Variablen eine wohldefinierte Teilmenge des CP 2 gibt. Beispiel: P (z0, z 1, z 2 ) = z z z 5 2. In der nächsten Aufgabe widmen wir uns der Frage, wann die Nulsstellenmenge eines homogenen Polynoms im CP 2 glatt ist, und was dies mit der Kompaktifizierung der Nullstellenmenge eines Polynomes auf C 2 zu tun hat. Aufgabe 16. Sei P C[z, w] ein Polynom in 2 Variablen vom Grad d und betrachte M := {(z, w) C 2 ; P (z, w) = 0} die Nullstellenmenge in C 2. Betrachte nun C 2 CP 2 vermöge der (Umkehrung der) affinen Karte (z, w) [1 : z : w]. (i) Finde ein homogenes Polynom in 3 Variablen P (t, z, w) vom Grad d, sodaß die Nullstellenmenge M von P in CP 2, falls geschnitten mit dem affinen C 2 CP 2 die Nullstellenmenge M = M C 2 von P ist. Man nennt M die Kompaktifizierung (durch Hinzufügen von endlich vielen (wieso) Punkten im Unendlichen ) von M. Überlege, daß die Menge M tatsächlich kompakt ist. (ii) Angenommen M sei glatt, welche zusätzliche Bedingung muss an P (bzw. P ) gestellt werden, damit auch M glatt wird in den Punkten die man hinzugenommen hat? Hinweis: in jedem Punkt (t, z, w) 0 welcher P (t, z, w) = 0 erfüllt, muss eine der partiellen Ableitungen von P ungleich 0 sein, damit M in jedem Punkt glatt ist. Wähle für jeden hinzugekommenen Punkt eine affine Karte von CP 2, sodaß der Punkt im

5 Kartenbereich ist, und betrachte dann das entsprechende Polynom in 2 Variablen, und das implizite Funktionentheorem. (iii) Bestimme explizit die Punkte im Unendlichen von M welches durch P (z, w) = z 2 +w 2 1 beschrieben ist und zeige, daß die Kompaktifizierung M in diesem Falle glatt und biholomorph zu P 1 ist. (iv) Bestimme explizit die Punkte im Unendlichen von M welches durch P (z, w) = w 2 Q(z) beschrieben ist mit Q ein kubisches Polynom mit einfachen Nullstellen und zeige, daß die Kompaktifizierung M in diesem Falle glatt ist (Im Seminar wird gezeigt, daß M biholomorph zu einem Torus C/Γ ist). (v) Zeige, daß für P (z, w) = w 2 Q(z) mit deg Q 4 die Nullstellenmenge M CP 2 im Unendlichen nicht glatt ist. Dies heißt jedoch nicht, daß man die (affine) Nullstellenmenge M von P (z, w) in C 2 nicht dennoch zu einer kompakten Riemannschen Fläche durch hinzufügen eines Punktes vervollständigen kann. Nur liegt dieser Punkt eben nicht im CP 2, sondern wird abstrakt dazugegeben. Wie muß man die Karte um diesen Punkt definieren, sodaß M (mit den üblichen Karten) zusammen mit der neuen Karte eine kompakte Riemannsche Fläche wird? 2. Grundlegende Analysis auf 2-dim Mannigflatigkeiten mit ersten Anwendungen auf Riemannschen Flächen Aufgabe 17. Betrachte R 2 als Mannigfaltigkeit mit der Standardkarte (R 2, id) und mit der Karte welche durch die Polarkoordinaten (x, y) = re iθ gegeben ist. (i) Bestimme eine maximale offene Teilmenge U R 2 auf der die Polarkoordinatenkarte (U, (r, θ)) definiert ist. (ii) Drücke die Standardkoordinatenvektorfelder und durch die Koordinatenvektorfelder der Polarkoordinaten und aus. r θ x y (iii) Drücke die Standardkoordinaten 1-Formen dx und dy durch die 1-Formen dr und dθ aus. (iv) Für die Funktion f : R 2 R, f(x, y) = x 4 + 2x 2 y 2 + y 4, berechne f und r f und deren Ausdruck in der Polarkoordinatenkarte, also f (r, θ θ) 1. (v) Berechne df bzgl. den Basis 1-Formen dx, dy sowie dr, dθ. Aufgabe 18. Zeige die folgenden Eigenschaften für das Kurvenintegral von 1- Formen: (i) Sei γ : [a, b] M eine glatte Kurve und ϕ: [c, d] [a, b] ein Diffeomorphismus, dann ist α = ± α γ φ γ wobei ± das Vorzeichen von ϕ (welches wohldefiniert ist, wieso?) ist. Insbesondere ist α = α. γ γ 5

6 6 (ii) γ 1 γ 2 α = γ 1 α + γ 2 α. Aufgabe 19. Sei f : M N glatt und α eine 1-Form auf N. Zeige, daß f (dα) = d(f α) gilt. Aufgabe 20. Sei M eine Riemannsche Fläche und z = (x, y): U C eine holomorphe Karte. Zeige: (i) dz := dx + idy und d z := dx idy sind C-wertige 1-Formen auf U M. (ii) Jede glatte C-wertige 1-Form α kann man lokal in der Karte eindeutig schreiben als α = adz + bd z mit glatten Funktionen a, b: U C. Man kann natürlich auch α = Adx + Bdy darstellen. Wie rechnet man A, B in a, b um? (iii) α ist reellwertig genau dann, wenn a = b. Aufgabe 21. Sei M eine Riemannsche Fläche und f eine meromorphe Funktion auf M. Dann ist d log f := df ein meromorphes Differential auf M mit nur f einfachen Polen bei den Null und Polstellen p M von f (der Ordnung n p Z) mit res p d log f = n p. Zeige, daß für jede geschlossene Kurve γ in M (welche nicht die Pole von d log f trifft) d log f 2πiZ. γ Aufgabe 22. Berechne die 1-te derham Kohomolgie von S 2 und T 2. Hinweis: Überdecke S 2 mit den offenen Mengen U ± = S 2 \ {N ± } wobei N ± den Nord und Südpol bezeichen. Auf U ± sind geschlossene 1-Formen exakt usw. Für den Torus T 2 = R 2 /Z 2 betrachte die Abbildung α ( α, α) wobei a, b die geschlossen a b Kurven auf T 2 sind, welche auf R 2 den Geradenstücken von (0, 0) nach (1, 0) bzw. (0, 1) entsprechen. Falls dα = 0 ist, dann ist α auf R 2 exakt, also α = df mit f : R 2 R. Überlege, daß f doppelt periodisch ist, genau dann, wenn α = α = 0. a b Aufgabe 23. Zeige daß auf S 2 = C { } die Ordnung ord α = p S 2 ord α p eines jeden meromorphen Differentials α gleich -2 ist. Gibt es auf S 2 holomorphe Differentiale? Wie sieht dies für den Torus C/Γ aus? Aufgabe 24. Schreibe alle meromorphen Differentiale auf S 2 = C { } an, welche bei 0 und einen Pol 1ter Ordnung haben, und sonst holomorph sind. Wieviele Nullstellen hat ein solches Differential? Aufgabe 25. Sei M die kompakte Riemannsche Fläche zur Gleichung w 2 = zπ 2n k=1 (z z k) wobei die z k 0 alle paarweise verschieden sind (siehe Aufgabe 16 (v)). Zeige, daß α k = zk dz, k = 0,..., n 1 linear unabhängige holomorphe w Differentiale auf M sind. Aufgabe 26. Sei M eine Fläche und L M ein C-Linienbündel. Ein Schnitt ψ Γ(L) heißt transversal (zum Nullschnitt 0), falls an allen Nullstellen ψ(p) = 0

7 gilt dψ p (T p M) + d p 0(T p M) = T 0p L. Zeige, daß die Nulsstellen eines transversalen Schnittes isoliert liegen. Für kompaktes M gibt es nur endlich viele Nullstellen. Aufgabe 27. Für einen transversalen Schnitt ψ von π : L M definieren wir, falls M orientiert ist, die Ordnung ord p ψ an einer Nullstelle wie folgt: ord p ψ = ±1 genau dann, wenn der lineare Isomorphismus (dψ p ) Lp : T p M L p Orientierung erhält (umkehrt). Hier wird T 0p L = dψ p (T p M) L p benutzt, ( ) Lp bezeichne die Projektion auf L p in obiger direkter Summen Zerlegung, und L p ist als 1-dimensionaler C-Vektorraum kanonisch orientiert. Obige Zerlegung kommt von der Beobachtung ker dπ 0p = L p, der Transversalität von ψ und π ψ = Id M. Zeige: (i) Falls M kompakt und orientiert, dann gilt die (topologische) Gradformel ord p ψ = deg L. p M Insbesondere ist der Grad eines jeden C-Linienbündels ganzzahlig, falls wir zeigen können, daß es immer einen transversalen Schnitt gibt (dies kann man mit dem Satz von Sard relativ leicht zeigen, wir nehmen das mal als gegeben an). Hinweis: folge dem Beweis der Gradformel in der Vorlesung. (ii) Falls M ein kompakte Riemannsche Fläche und L ein holomorphes Linienbündel ist, dann ist ein holomorpher Schnitt ψ transversal, genau dann wenn ψ nur einfache Nullstellen hat. Aufgabe 28. Sei M eine kompakte, orientierte Fläche. Zeige, daß es zu jedem Grad ein C-Linienbündel mit diesem Grad gibt. Also ist die Gradabbildung deg: L Z ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Aufgabe 29. Sei M eine kompakte, orientierte Fläche. Zeige, daß die Gradabbildung deg : L Z ein Isomorphismus ist, daß es also zum jedem Grad d Z bis auf C -Isomorphie genau ein C-Linienbündel L M mit deg L = d gibt. Insbesondere sind alle Bündel vom Grad null C -isomorph zum trivialen Bündel M C. Hinweis: es genügt zu zeigen, daß ein Bündel L vom Grad null einen nirgends verschwindenden Schnitt ψ Γ(L) hat. Dazu nehme man einen transversalen Schnitt ϕ (dessen Existenz wir annehmen nach dem Satz von Sard, welcher relativ leicht mit Ana II Methoden zu zeigen ist) und im ersten Durchgang überlege den Fall, daß ϕ nur eine Nullstelle hat. Benutze die Gradformel um ϕ in einer 7

8 8 Kartenumgebung um die Nullstelle so abzuändern, daß man einen nirgends verschwindenden Schnitt ψ erhält. Im Falle, daß es mehrere Nullstellen gibt, konstruiere ein Vektorfeld X auf M dessen Flußabbildung alle Nullstellen nach endlicher Zeit t in eine feste Kartenumgebung von M schiebt. Betrachte dann das isomorphe Bündel via des Fluß Diffeomorphismus Φ t. Dieses hat einen transversalen Schnitt mit allen Nullstellen in einer Kartenumgebung. Wende die Überlegung des ersten Durchganges an.